TRƯỜNG THCS MỸ HƯNG ĐỀ THI OYMPIC TOÁN LỚP NĂM HỌC 2013-2014 Câu (6 điểm) 1 1 + + = x + x + 20 x + 11x + 30 x + 13 x + 42 18 a) Giải phương trình: a , b, c b) Cho ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: a b c A= + + ≥3 b+c−a a +c −b a +b−c Câu (5 điểm) a) Chứng minh tổng hai số nguyên chia hết cho tổng lập phương chúng chia hết cho n5 + n3 + b) Tìm số nguyên n để chia hết cho Câu (3 điểm) 1 + + ≥9 a b c a , b, c a) Cho số dương có tổng Chứng minh rằng: 2000 a, b a + b 2000 = a 2001 + b2001 = a 2002 + b2002 b) Cho dương 2011 2011 a +b Tính Câu (6 điểm) ABC Cho tam giác vuông A Gọi M điểm di động AC Từ C vẽ đường thẳng vng góc với tia BM minh rằng: a)OA.OB = OC.OH b) · OHA có số đo không đổi BM BH + CM CA c) Tổng không đổi cắt tia BM H, cắt tia BA O Chứng ĐÁP ÁN Câu x ≠ −4; x ≠ −5; x ≠ −6; x ≠ −7 a) ĐKXĐ: Phương trình trở thành: 1 1 + + = ( x + ) ( x + 5) ( x + 5) ( x + ) ( x + ) ( x + ) 18 1 1 1 − + − + − = x + x + x + x + x + x + 18 1 ⇔ − = x + x + 18 ⇔ 18( x + 7) − 18 ( x + ) = ( x + ) ( x + ) ⇔ x = −13 ⇔ ( x + 13) ( x − ) = ⇔ x = b) Đặt b + c − a = x > 0; a= c + a − b = y > 0; y+z x+z x+ y ;b = ;c = 2 Từ suy Thay vào ta được: y + z x + z x + y y x x A= + + = + ÷+ + 2x 2y 2z x y z A≥ Từ suy Câu ( + + 2) Vì hay z y z + ÷+ x z y ÷ A≥3⇔ a =b=c b a+b , ta có chia hết cho a + b3 = ( a + b ) ( a − ab + b ) = ( a + b ) ( a + b ) − 3ab a) Gọi số phải tìm Ta có: a+b−c = z >0 a+b Do vậy, a ( a + b) chia hết ( a + b ) ( a + b ) − 3ab − 3ab chia hết cho chia hết cho b) n + 1M ( n3 + 1) ⇔ ( n5 + n2 − n2 + 1) M( n3 + 1) ⇔ n ( n3 + 1) − ( n − 1) M ( n3 + 1) ⇔ ( n − 1) ( n + 1) M ( n + 1) ( n − n + 1) ⇔ n − 1Mn − n + ⇒ n ( n − 1) Mn − n + n − nMn − n + ⇒ ( n − n + 1) − 1M ( n2 − n + 1) ⇒ 1Mn − n + Hay Xét hai trường hợp: n = +)n − n + = ⇔ n − n = ⇔ n = +)n − n + = −1 ⇔ n − n + = 0, khơng có giá trị n thỏa mãn Câu b c 1 = + + a a a a c 1 a + b + c =1⇒ =1+ + c b b a b 1 = + + c c c a.Từ 1 a b a c b c ⇒ + + = + + ÷ + + ÷+ + ÷ ≥ + + + = a b c b a c a c b ⇔ a=b=c= Dấu “=” xảy ( a 2001 + b2001 ) ( a + b ) − ( a 2000 + b 2000 ) ab = a 2002 + b2002 b) ⇒ ( a + b ) − ab = a = ⇔ ( a − 1) ( b − 1) = ⇔ b = Với Với b = 1(tm) a = ⇒ b 2000 = b 2001 ⇒ b = 0(ktm) a = 1(tm) b = ⇒ a 2000 = a 2001 ⇒ a = 0(ktm) a = 1; b = ⇒ a 2011 + b 2011 = Vậy Câu ∆BOH : ∆COA ( g g ) ⇒ a) OB OH = ⇒ OA.OB = OH OC OC OA b) OB OH OA OH = ⇒ = OC OA OC OB · · ⇒ OHA = OBC c) Vẽ ⇒ µ O chung ⇒ ∆OHA : ∆OBC (không đổi) MK ⊥ BC ; ∆BKM : ∆BHC ( g g ) BM BK = ⇒ BM BH = BK BC BC BH ∆CKM : ∆CAB ( g g ) ⇒ (3) CM CK = ⇒ CM CA = BC CK (4) CB CA Cộng vế (3) (4) ta có: BM BH + CM CA = BK BC + BC.CK = BC.( BK + KC ) = BC (Không đổi) ... + = ( x + ) ( x + 5) ( x + 5) ( x + ) ( x + ) ( x + ) 18 1 1 1 − + − + − = x + x + x + x + x + x + 18 1 ⇔ − = x + x + 18 ⇔ 18( x + 7) − 18 ( x + ) = ( x + ) ( x + ) ⇔ x = −13 ⇔ ( x + 13) ( x