Tài liệu ơn thi HSG Tốn I Chun đề Biến đổi biểu thức đại số KIẾN THỨC BỔ SUNG 1) Với số a, b, c ta có (a + b + c) = a + b + c + 2ab + 2bc + 2ca Chứng minh: a + ( b + c ) = a + 2a ( b + c ) + ( b + c ) = a2 + 2ab + 2ac + b2 + 2bc + c2 hay (a + b + c) 2 = a + b + c + 2ab + 2bc + 2ca 2) Với số a, b, c ta có: a + b3 + c3 − 3abc = ( a + b + c ) ( a + b + c − ab − bc − ca ) Chứng minh Ta có a + b3 = ( a + b ) − 3ab ( a + b ) (*) Do a + b3 + c − 3abc = ( a + b3 ) + c − 3abc = ( a + b ) − 3ab ( a + b ) + c − 3abc = ( a + b ) + c − 3ab ( a + b + c ) = ( a + b + c ) ( a + b ) − ( a + b ) c + c − 3ab ( a + b + c ) = ( a + b + c ) ( a + 2ab + b − ac − bc + c − 3ab ) = ( a + b + c ) ( a + b + c − ab − bc − ca ) Hệ quả: Nếu a + b + c = a3 + b3 + c3 = 3abc Nhận xét: Hệ chứng minh trực tiếp sau: Do a + b + c = a = − ( b + c ) hay b + c = −a ta có a + b3 + c3 = a + ( b + c ) ( b − bc + c ) = a − a ( b − bc + c ) = a ( a − b + bc − c ) mà a = − ( b + c ) a = − ( b + c ) = b + 2bc + c nên a + b3 + c3 = a ( b + 2bc + c − b + bc − c ) = a ( 3bc ) = 3abc Bài (Mỹ Đức 2021) Cho x y z a b c + + = + + = , với a, b, c, x, y, z Tính giá trị a b c x y z x2 y z biểu thức P = + + a b c Hướng dẫn giải x2 y z x y z xy yz zx x y z + + = + + = 32 + + + + + = hay a b c a b c ab bc ca a b c cxy + ayz + bxz P + = (1) abc a b c ayz + bxz + cxy = (2) Lại có + + = x y z abc Ta có Từ (1) (2) ta có P = Trang Tài liệu ơn thi HSG Tốn Chun đề Biến đổi biểu thức đại số a b 2019c + + (các mẫu ab + a + 2019 bc + b + ac + 2019c + 2019 số khác 0) Tính giá trị B, biết abc = 2019 Hướng dẫn giải a b abc.c Thay 2019 = abc vào biểu thức B ta B = + + ab + a + abc bc + b + ac + abc.c + abc a b ac.bc b bc + + = = + + a ( b + + bc ) bc + b + ac (1 + bc + b ) + b + bc bc + b + 1 + b + bc Bài (Mỹ Đức 2019) Cho biểu thức B = + b + bc =1 + b + bc Vậy P = = Bài (Mỹ Đức 2012) Cho x, y, z đôi khác thỏa mãn 1 + + = Tính giá trị x y z yz xz xy + + x + yz y + xz z + xy Hướng dẫn giải 1 yz + zx + xy Ta có + + = = xy + yz + zx = suy yz = − xy − xz x y z xyz biểu thức A = Khi ta có x2 + yz = x2 + yz + yz (2) Từ (1) (2) có x + yz = x + yz − xy − xz = ( x − xy ) − ( xz − yz ) = x ( x − y ) − z ( x − y ) = ( x − y )( x − z ) Do Chứng minh tương tự ta có Từ (3), (4) (5) có A = = = = = = yz + yz yz = (3) x + yz ( x − z )( x − z ) xz xz xy xy = = (4) (5) y + xz ( y − x )( y − z ) z + xy ( z − x )( z − y ) yz + xz + xy ( x − y )( x − z ) ( y − x )( y − z ) ( z − x )( z − y ) − xz xy + ( x − y )( y − z ) ( x − z )( y − z ) ( x − y )( x − z ) y z − yz − x z + xz + xy ( x − y ) yz ( y − z ) − xz ( x − z ) + xy ( x − y ) = ( x − y )( y − z )( x − z ) ( x − y )( y − z )( x − z ) z ( y − x ) + z ( x − y ) + xy ( x − y ) − ( x − y )( x + y ) z + z ( x − y ) + xy ( x − y ) = ( x − y )( y − z )( x − z ) ( x − y )( y − z )( x − z ) ( x − y ) ( − xz − yz + z + xy ) ( x − y ) ( xy − xz ) − ( yz − z ) = ( x − y )( y − z )( x − z ) ( x − y )( y − z )( x − z ) ( x − y ) x ( y − z ) − z ( y − z ) ( x − y )( y − z )( x − z ) = = ( x − y )( y − z )( x − z ) ( x − y )( y − z )( x − z ) Vậy A = Trang Tài liệu ôn thi HSG Toán Chuyên đề Biến đổi biểu thức đại số Bài (Mỹ Đức 2016) Cho a, b, c ba số khác thỏa mãn điều kiện a + b + c = Tính giá trị a2 b2 c2 + biểu thức P = 2 + 2 a − b − c b − c − a c2 − a − b2 Hướng dẫn giải Ta có a + b + c = a = − ( b + c ) suy a = − ( b + c ) = b + c + 2bc Do a2 − b2 − c2 = 2bc (1) Chứng minh tương tự ta có b2 − c2 − a2 = 2ca (2) c2 − a2 − b2 = 2ab (3) a + b3 + c a2 b2 c2 Từ (1), (2) (3) có P = = (4) + + 2abc 2bc 2ca 2ab Lại có a + b3 + c3 = a + ( b + c ) ( b − bc + c ) mà a + b + c = b + c = −a nên ta có a + b3 + c = a − a ( b − bc + c ) = a ( a − b + bc − c ) mà a2 = b2 + 2bc + c2 (cmt) nên dẫn đến a + b3 + c3 = a ( b + 2bc + c − b + bc − c ) = 3abc (5) Từ (4) (5) có P = 3abc = 2abc Nhận xét: Ta có kết sau: 1) Cho ba số a, b, c ta có Vậy P = a + b3 + c3 − 3abc = ( a + b + c ) ( a + b + c − ab − bc − ca ) 2) Nếu a + b + c = a3 + b3 + c3 = 3abc Bài (Mỹ Đức 2013) Cho a + b + c = ; x + y + z = ; a b c + + = Chứng minh x y z ax2 + by + cz = Hướng dẫn giải Ta có x + y + z = x = − ( y + z ) x = − ( y + z ) nên x2 = y + yz + z ax = a ( y + yz + z ) = a ( y + z ) + 2ayz (1) Chứng minh tương tự ta có by = b ( x + z ) + 2bxz (2) cz = c ( x + y ) + 2cxy (3) Cộng vế với vế (1), (2) (3) ta có ax + by + cz = a ( y + z ) + b ( z + x ) + c ( x + y ) + ( 2ayz + 2bxz + 2cxy ) cộng hai vế với ax2 + by + cz ta 2ax + 2by + 2cz = a ( x + y + z ) + b ( x + y + z ) + c ( x + y + z ) + ( 2ayz + 2byz + 2cxy ) hay 2ax + 2by + 2cz = ( a + b + c ) ( x + y + z ) + ( 2ayz + 2bxz + 2cxy ) (4) Mặt khác a + b + c = nên từ (4) dẫn đến ax2 + by + cz = ayz + bxz + cxy (5) Theo giả thiết a b c ayz + bxz + cxy + + =0 = ayz + bxz + cxy = (6) x y z xyz Từ (5) (6) ta có ax2 + by + cz = Trang Tài liệu ơn thi HSG Tốn Chun đề Biến đổi biểu thức đại số Bài (Mỹ Đức 2015) Cho a, b, c thỏa mãn ( ax + by + cz ) ay − bx cx − az bz − cy = = (1) Chứng minh c b a = ( x + y + z )( a + b + c ) (2) Hướng dẫn giải ay −az bz − cy y −z y z Nếu x = từ (1) dẫn đến (*) = Đặt k = = − = = c b a c b c b 2 y = ck −b k − c k Từ (*) suy ak = a k = −b k − c k k ( a + b + c ) = (**) a z = −bk mà a, b, c a + b2 + c2 nên (**) dẫn đến k = y = z = nên (2) Chứng minh tương tự y = z = dẫn đến (2) z ( ay − bx ) y ( cx − az ) x ( bz − cy ) Xét x, y, z Từ (1) có Theo tính chất dãy tỉ số = = cz by ax ta có z ( ay − bx ) y ( cx − az ) x ( bz − cy ) ayz − bxz + cxy − ayz + bxz − cxy = = = = cz by ax ax + by + cz a b x = y ay = bx ay − bx cx − az bz − cy a c = = = Do cx = az = Mà x, y, z nên có c b a bz = cy x z c b z = y a b c = = x y z a = mx a b c Đặt = = = m b = my Khi ta có x y z c = mz VT (2) = ( mx + my + mz ) = m ( x + y + z ) 2 VP ( ) = ( x + y + z )( m x + m y + m z ) = m ( x + y + z ) Do VT (2) = VP(2) nên ta có đpcm Bài (Mỹ Đức 2014) Tính giá trị biểu thức M = 1 + + , biết 2a = by + cz ; x+2 y+2 z+2 2b = ax + cz ; 2c = ax + by a + b + c Hướng dẫn giải by + cz = 2b + 2c = b + c = Lại có Nếu a = từ giả thiết dẫn đến 2b = cz 2c = by a + b + c = + b + c = mâu thuẫn giả thiết a + b + c Vậy a Chứng minh tương tự có b, c Khi ta có a a = = (1) x + ax + 2a ax + by + cz Chứng minh tương tự có b c = = (2) (3) y + ax + by + cz z + ax + by + cz Trang Tài liệu ôn thi HSG Tốn Từ (1), (2) (3) có P = Chuyên đề Biến đổi biểu thức đại số a b c a+b+c = (4) + + ax + by + cz ax + by + cz ax + by + cz ax + by + cz 2a = by + cz Lại có 2b = ax + cz 2a + 2b + 2c = ( by + cz ) + ( ax + cz ) + ( ax + by ) hay 2c = ax + by ( a + b + c ) = ( ax + by + cz ) a + b + c = ax + by + cz (5) Từ (4) (5) có P = Trang ... a + b2 + c2 n? ?n (**) d? ?n đ? ?n k = y = z = n? ?n (2) Chứng minh tương tự y = z = d? ?n đ? ?n (2) z ( ay − bx ) y ( cx − az ) x ( bz − cy ) Xét x, y, z Từ (1) có Theo tính chất dãy tỉ số =... )( y − z )( x − z ) V? ??y A = Trang Tài liệu ? ?n thi HSG To? ?n Chuy? ?n đề Bi? ?n đổi biểu thức đại số Bài (Mỹ Đức 2016) Cho a, b, c ba số khác thỏa m? ?n điều ki? ?n a + b + c = Tính giá trị a2 b2 c2... Chứng minh x y z ax2 + by + cz = Hướng d? ?n giải Ta có x + y + z = x = − ( y + z ) x = − ( y + z ) n? ?n x2 = y + yz + z ax = a ( y + yz + z ) = a ( y + z ) + 2ayz (1) Chứng minh tương