Bài tập phương pháp tách trong biến đổi phân thức đại số Toán nâng cao 8

Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TÁCH TRONG BIẾN ĐỔI PHÂN THỨC ĐẠI SỐ TOÁN NÂNG CAO **Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào biến  1   x  y  y  z   z  x  x  y   y  z  z  x  suy đẳng thức:  với x  y ; y  z ; z  x Từ kết ta   x  y  x  z   z  y  x  z   x  y  y  z  (*) x ; y; z đôi khác Thực chất đ}y ta thay x – y z – y thay z - x y – x giữ nguyên thừa số có hai số hạng vế phải, Vận dụng đẳng thức (*) giải tập sau: Bài toán 1: Cho a  b; b  c; c  a chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào a, b, c A a2 b2 c2    a  b  a  c   b  c  b  a   c  a  c  b  Áp dụng đẳng thức (*) A  a2 b2 b2 c2     a  b  a  c  b  c  c  a   a  c b  a   c  a c  b   a  b  a  b    b  c b  c  a2 b2 b2 c2       a  b  a  c   a  b  a  c  b  c  c  a  b  c  c  a   a  b  a  c  b  c c  a   ab bc a b bc    1 ac ca a c a c Bài toán 2: Cho a  b; b  c; c  a Rút gọn biểu thức B  x  b  x  c    x  c  x  a    x  a  x  b   a  b  a  c   b  c b  a   c  a  c  b  Giải Vận dụng công thức (*) ta đ ược B  x  b  x  c    x  c  x  a    x  a  x  b    a  b  a  c  b  c b  a   c  a  c  b  W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai   x  b  x  c    x  c  x  a    x  c  x  a    x  a  x  b   a  b  a  c   b  c  c  a   a  c b  a   c  a  c  b   x  b  x  c    x  c  x  a    x  c  x  a    x  a  x  b    a  b  a  c   b  c  c  a   a  c  a  b   a  c  c  b   x  b  x  c    x  c  x  a    x  c  x  a    x  b  x  a    x  c  a  b    x  a b  c    a  b  a  c   b  c  c  a   a  b  a  c   a  b  a  c    xc xa xc xa   1 ac ac a c Bài toán 3: Cho a, b, c đôi khác Chứng minh rằng: a b c x     a  b  a  c  x  a  b  a b  c  x  b   c  a c  b c  x   x  a  x  b  x  c  Biến đổi vế tr|i, ta được: a b c =    a  b  a  c  x  a  b  a b  c  x  b   c  a c  b c  x   a b b c =     a  b  a  c  x  a  b  a  a  c  x  b   c  a b  c  x  b  c  a c  b c  x   b  c   a  b =        a  b  a  c   x  a x  b   c  a  (b  c)  x  b x  c    bx  cx   (ax  bx) x x    a  b  a  c   x  a  x  b   c  a b  c   x  b  x  c   a  c  x  a  x  b  c  a  x  b  x  c   1 x a  c  x     Sau biến đổi    a  c  x  b   x  a x  c   a  c  x  b  x  c  x  a   x  b  x  c  x  a  x vế trái vế phải Đẳng thức chứng minh Bài toán 4: Cho a, b, c đôi khác Chứng minh: bc ca a b 2       a  b  a  c  b  c b  a   c  a  c  b  a  b b  c c  a Giải: Ta có bc ba a c 1 (1)      a  b  a  c   a  b  a  c   a  b  a  c  c  a a  b Tương tự ta có: W: www.hoc247.net ca 1    b  c  b  a  b  c a  b (2) F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai a b 1 (3)    c  b  c  a  b  c c  a Từ (1) ;(2) (3) ta có bc ca a b 1 1 1          a  b  a  c  b  c b  a   c  a  c  b  c  a a  b b  c a  b b  c c  a  2 (đpcm)   a b bc c a Bài toán 5: Rút gọn biểu thức: a  bc b2  ac c  ab với a  b; b  c; c  a    a  b  a  c  b  c b  a   c  a  c  b  Giải: Ta có: a  bc a  ab  bc  ab a(a  b)  b(c  a ) a b (1)      a  b  a  c   a  b  a  c   a  b  a  c  a  c a  b b2  ac b c Tương tự: (2)    b  a b  c  a  b b  c c  ab c a (3)    c  a  b  c  c  b c  a Cộng (1), (2) (3) vế theo vế ta có a  bc b2  ac c  ab a b b c c a         0  a  b  a  c  b  c b  a   c  a  c  b  a  c a  b a  b b  c c  b c  a Bài toán 6: Cho ba phân thức a b bc ca ; ; Chứng minh tổng ba phân thức tích  ab  bc  ca chúng Giải: Ta có : bc ba a c a b b c c a a b b a a c c a         nên  bc  bc  bc  ab  bc  ca  ab  bc  bc  ca    a  b 1  bc   ab   c  a 1  bc   ac      a  b    c  a      1  ab 1  bc  1  ac 1  bc  1  ab  bc  1  ac  bc   b  a  b  c  a   a  b  c  a   b  c    a  b  c  a b  c  (đpcm) 1  ab 1  bc  1  ac 1  bc  1  bc  1  ab  ac  1  ab 1  bc 1  ac  W: www.hoc247.net  c  c  a  b  a   F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Bài toán 7: Cho ba số nguyên dương a, b, c tuỳ ý, tổng sau có phải số nguyên dương không? a b c   ab bc ca Giải: Ta có M  a b c a b c a bc       1 ab bc ca a bc abc abc abc hay M > b   c   a  b c a    M  1      1    1    3     hay M <  ab   bc   ca   a b c b c a c a b  Vậy < M