Website:tailieumontoan.com ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN THƯỜNG TÍN NĂM HỌC 2019-2020 Bài 1 2x x 1 2x x x x P : 1 x x x 1 x x Cho biểu thức: a) Rút gọn P b) Chứng minh: P Bài Giải phương trình: x x 1 x x 1 Bài 3 1) Tìm nghiệm nguyên phương trình: x y x 10 y 2 2) Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện: x y z Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P x2 y2 z2 yz zx x y Bài 4: Cho hai đường tròn đường tròn O cắt đường tròn O; R đường tròn O; R / tiếp xúc A Trên lấy điểm B cho AB R điểm M cung lớn AB Tia MA O điểm thứ N Qua N kẻ đường thẳng song song với AB O P cắt đường thẳng MB Q cắt đường tròn a) Chứng minh tam giác OAM đồng dạng tam giác OAN b) Tính NQ theo R c) Xác định vị trí M để diện tích tứ giác ABQN đạt giá trị lớn tính giá trị lớn theo R Cho tam giác ABC điểm O nằm tam giác Các tia AO , BO , CO cắt cạnh BC , CA, AB theo thứ tự M , N , P Chứng minh rằng: OA OB OC 2 AM BN CP Bài 5: 3 Cho hai số dương x,y thỏa mãn điều kiện x y x y 2 Chứng minh x y ======== Đề thi gồm có 01 trang ========= Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN THƯỜNG TÍN Bài 1 2x x 1 2x x x x P : 1 x x x 1 x x Cho biểu thức: a) Rút gọn P b) Chứng minh: P Lời giải a) Điều kiện: P có nghĩa: x 0; x x x 1 x 1 x 1 x x 1 P : 1 x x 1 x 1 x 1 x 1 x x x x 1 x 1 2 x 1 : 1 x x 1 x 1 x x x 1 1 x x 1 1 x 1 xx 1 x x x P b) Bài x : 1 x x x 1 x x Vì đẳng thức xảy Giải phương trình: x 1 x (BĐT Cauchy) x x 1 x không thỏa mãn điều kiện xác định nên P x x 1 x x 1 Lời giải ĐKXĐ: x Phương trình viết lại là: x 1 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word x 1 x 1 mơn tốn: x 1 x 1 x 1 1 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com x 1 x 1 1 x x x x không thuộc * Nếu x ta có khoảng xét * Nếu x 10 ta có x phương trình có vơ số nghiệm 1 5 phương trình vơ nghiệm * Nếu x 10 Vậy phương trình có vô số nghiệm: x 10 Bài 3 1) Tìm nghiệm nguyên phương trình: x y x 10 y 2 2) Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện: x y z Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P x2 y2 z2 yz zx x y Lời giải 1) x y x 10 y 2 x (2 y 1) 5(2 y 1) 7 (3 x 5)(2 y 1) 7 x 5; y ước 7 Nên suy x 2 3 x * 2 y 1 y 1 (thỏa mãn) 2 3x 7 x * y y (loại) 3 x 1 x * 2 y y3 (loại) x 3x * 2 y 7 y 4 (loại) Vậy phương trình có nghiệm nguyên x; y 2; 1 ; 2; 1 2) Áp dụng BĐT Cauchy ta có x2 yz y2 zx z2 x y x; y; z yz zx x y Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Cộng vế ta P x yz x yz x y z P 1 2 Dấu “ = ” xảy x yz Bài 4: Cho hai đường tròn đường tròn O cắt đường tròn O; R đường tròn O; R / tiếp xúc A Trên lấy điểm B cho AB R điểm M cung lớn AB Tia MA O điểm thứ N Qua N kẻ đường thẳng song song với AB , O P cắt đường thẳng MB Q cắt đường tròn a) Chứng minh tam giác OAM đồng dạng tam giác OAN b) Tính NQ theo R c) Xác định vị trí M để diện tích tứ giác ABQN đạt giá trị lớn nhất, tính giá trị lớn theo R Cho tam giác ABC điểm O nằm tam giác Các tia AO , BO , CO cắt cạnh BC , CA, AB theo thứ tự M , N , P Chứng minh rằng: OA OB OC 2 AM BN CP Lời giải · · · · a) Ta thấy OAM ∽ OAN (g.g) OAM OAN ; AOM AON b) Vì AB //NQ , áp dụng hệ định lí Ta-lét ta có Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com AB MA OA R 3 R NQ MN OO NQ R 2 OC O I c) Kẻ AK NQ, MH AB, OC AB , gọi S ABNQ 1 5R AB NQ AK R R AK AK S max AK 2 có giá trị lớn MAH∽ ANK g.g MH MA OA 2 MH AK AK AN AO Ta có Để AK có giá trị lớn MH lớn Ta có MH MC OM OC R R 2 R R 2 AK 2 Nên suy Khi đó, tứ giác ABQN có diện tích lớn S max 5R 2 16 M I giao O điểm đường trung trực AB với 2) Gọi S1 ; S2 ; S3 ; S diện tích tam giác OBC , OCA, OAB, ABC Dựng AH BC ( H BC ), AK BC ( K BC ) AH //OK Áp dụng đính lý Talets tỉ số diện tích tam giác, ta có OM OK S1 ON S OP S ; AM AH S , tương tự BN S CP S Cộng đẳng thức theo vế OM ON OP S1 S S3 S 1 AM BN CP S S AM OA BN OB CP OC 1 AM BN CP OA OB OC 3 AM BN CP Bài 5: OA OB OC 2 AM BN CP 3 Cho hai số dương x,y thỏa mãn điều kiện x y x y Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com 2 Chứng minh x y Lời giải Từ giải thiết x y Giả sử x y Ta có 2 x y x y ( x y )( x y ) x y x xy x y y xy x y y xy ( y x) 2 y Vơ lý y – x 0; y Điều vô lý chứng tỏ giải sử ban đầu sai 2 Vậy x y Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC ... x không thuộc * Nếu x ta có khoảng xét * Nếu x 10 ta có x phương trình có vơ số nghiệm 1 5 phương trình vơ nghiệm * Nếu x 10 Vậy phương trình có vơ số nghiệm: x ... LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN H? ??C SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN THƯỜNG TÍN Bài 1 2x x 1 2x x x x P : 1 x x x 1 x x Cho biểu thức: a) Rút gọn P b) Chứng minh: P Lời... đường thẳng MB Q cắt đường tròn a) Chứng minh tam giác OAM đồng dạng tam giác OAN b) Tính NQ theo R c) Xác định vị trí M để diện tích tứ giác ABQN đạt giá trị lớn nhất, tính giá trị lớn theo