30 HSG h 20 HUONG KHE

Website:tailieumontoan.com ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN HƯƠNG KHÊ - NĂM 2019 I PHẦN GHI KẾT QUẢ (Thí sinh ghi kết vào tờ giấy thi) Câu 1: Tính giá trị biểu thức: A     Câu 2: Tìm số thực a , b cho: 2 Đa thức x  x  21x  ax  b chia hết cho đa thức x  x  Câu 3: Viết hai số dãy ; ; ; ; ; 10 ; 13 ; 17 ; 21 ;… 2019  2019  M   2019     2020  2020  Câu 4: Tính giá trị biểu thức: 2 Câu 5: Tìm giá trị nhỏ biểu thức F  x  y  xy  x  y  2020 Câu 6: Tìm tất cặp số nguyên  x; y  x thỏa mãn:  1  x  y   x y Câu 7: Giả sử x y hai số thỏa mãn x  y xy  Tìm GTNN biểu thức A x2  y x y Câu 8: Tìm A số nguyên dương, biết ba mệnh đề P , Q , R có mệnh đề sai: P  “ A  45 bình phương số tự nhiên” Q  “ A có chữ số tận số 7” R  “ A  44 bình phương số tự nhiên” Câu 9: Cho tam giác ABC có góc A 120 , AD phân giác góc A  D  BC  Tính độ dài Câu 10: AD biết AB  cm , AC  cm Cho tam giác ABC vng A , có đường trung tuyến AE BD vng góc với nhau, biết AB  cm Tính cạnh BC II PHẦN TỰ LUẬN (Thí sinh trình bày lời giải vào tờ giấy thi) Câu 11: Giải phương trình sau: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com 2x x   ; a) x  x  x  x  b) x  x   x  2 Cho hình vng ABCD có AC cắt BD O M điểm thuộc cạnh BC ( M khác B, C ) Tia AM cắt đường thẳng CD N , cạnh AB lấy điểm E cho BE  CM Câu 12: a) Chứng minh OEM vuông cân b) Chứng minh ME //BN CH  BN  H  BN  c) Từ C kẻ Chứng minh ba điểm O, M , H thẳng hàng Câu 13: Cho hình vng có cạnh 1, có chứa 29 đường trịn, đường trịn có đường kính Chứng minh tồn đường thẳng giao với đường trịn -HẾT LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN HƯƠNG KHÊ - NĂM 2019 I PHẦN GHI KẾT QUẢ Câu 1: Tính giá trị biểu thức: A     Hướng dẫn A2   2  2   2 2   3   3   A2       Vậy A  Câu 2: Tìm số thực a , b cho: 2 Đa thức x  x  21x  ax  b chia hết cho đa thức x  x  Hướng dẫn Ta thực phép chia: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com x  x3  21x  ax  b x2  x  x  x3  x x  x  15  x  23 x  ax  b 8 x  x  16 x  15 x   a  16  x  b 15 x  15 x  30  a  1 x  b  30 2 Vì đa thức x  x  21x  ax  b chia hết cho đa thức x  x  , a   a     a  1 x  b  30  b  30  b  30 Nên Vậy a  b  30 Câu 3: Viết hai số dãy ; ; ; ; ; 10 ; 13 ; 17 ; 21 ;… Hướng dẫn Ta thấy:   10 10   13 11  2 1  13   17 3  17   21 5  Do số 21   26 26   31 Vậy số cần tìm 26, 31 2019  2019  M   2019     2020  2020  Câu 4: Tính giá trị biểu thức: Hướng dẫn 20202   2019  1  20192  2.2019.1  Ta có:   20192  20202  2.2019 2019 20192 2019  2019  M   2019    2020  2.2019     2020 20202 2020  2020  Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com 2019  2019  2019 2019   2020   2020    2020   2020 2020   2020 2020 2 Câu 5: Tìm giá trị nhỏ biểu thức F  x  y  xy  x  y  2020 Hướng dẫn F   x   2.2 x y  y    x  x  1   y  y.2    2015     x  y    x  1   y    2015 Vì  2x  y  2 0 ,  x  1 0 ,  y  2  , với x, y  ¡ Do F  2015  x  y      x  1  x      y    F y  Vậy đạt GTNN 2015  Câu 6: Tìm tất cặp số nguyên  x; y  x thỏa mãn:  1  x  y   x y Hướng dẫn 2 2 PT  x  x y  x  y  x y  x  x  y   x y  y  1  x   y   y  y  x     x  y   x  y    y  1  x y  x     x  y    y  1  y  1 x    x  y    y  1 x   * 2  x  y    x  y  ¢    y  1 x  y   ¢ x , y  ¢  Vì nên hay  x2  y     x  x2  y    x  y     x  1 *  y    x  1 x   Kết hợp với suy  Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com - Nếu x  y   (Thỏa mãn x, y  ¢ ) - Nếu x  y   (Thỏa mãn x, y  ¢ ) y   1  - Nếu x  1 (Thỏa mãn x, y  ¢ ) Vậy cặp số nguyên  x, y  thỏa mãn yêu cầu toán là:  0;0  ,  1;1 ,  1;1 Câu 7: Giả sử x y hai số thỏa mãn x  y xy  Tìm GTNN biểu x2  y A x y thức Hướng dẫn Ta có:  x  y A  xy x y Mà xy  thay vào A , ta có:  x  y A 2 x y  x  y  x y  2  x y x y x y Vì x  y nên x  y  Áp dụng BĐT Cô-si: A x y 2 x y  x  y x y hay A  2 x y  Amin  2 2 x  y   x  y   , kết hợp x  y  xy x 2 y Mà xy  , Ta có Liên hệ tài 039.373.2038 Vy    liệu 2    y y   y2  y 1   4.1. 1   word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com   2  TM  y     2 2  L x 2 y   2 Vậy A đạt GTNN 2 x 2 2  2 y 2 , Câu 8: Tìm A số nguyên dương, biết ba mệnh đề P , Q , R có mệnh đề sai: P  “ A  45 bình phương số tự nhiên” Q  “ A có chữ số tận số 7” R  “ A  44 bình phương số tự nhiên” Hướng dẫn - Nếu P, Q A  45 có tận Khơng số  1 phương, trái với P Suy P Q sai - Nếu Q R A  44 có tận Khơng số  2 phương, trái với R Suy Q R sai Từ  1  2 suy Q sai Mà A  45 bình phương số tự nhiên nên A  45 có dạng a A  44 bình phương số tự nhiên nên A  44 có dạng b  A  45   A  44   a  b2  89   a  b   a  b  Mà 89 số nguyên tố  a  b  1; a  b  89  a  45, b  44  A  45  452  2025 Vậy A  1980 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Câu 9: Cho tam giác ABC có góc A 120 , AD phân giác góc A  D  BC  Tính độ dài AD biết AB  cm , AC  cm Hướng dẫn DE //AB  E  AB  Qua D kẻ Vì AD phân giác góc A ABC  DC AC  DB AB  DC AC DC DC      1 DB  DC AB  AC hay BC  BC · ¶  BAC  120  600  µA1  A 2 Ta có: AB l phõn giỏc gúc A ả M A1  D1  60 ( DE //AB ) ¶  600  ¶A2  D  ADE  AD  DE Vì DE //AB (cách dựng) DE DC   2 Xét ABC theo hệ định lý Ta-lét: AB BC Thế  1 vào  2 DE DE 2.3    DE    cm  3 ta được: AB hay  AD  DE  2cm Câu 10: Cho tam giác ABC vuông A , có đường trung tuyến AE BD vng góc với nhau, biết AB  cm Tính cạnh BC Hướng dẫn · · ·  DAB  DBA Ta có: BAE  BAE ∽ CAB  AC AB  AB AE Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com  AC AE   AC  12 AE  AC 2 Áp dụng định lý pytago: BC  AC  BC  II PHẦN TỰ LUẬN (Thí sinh trình bày lời giải vào tờ giấy thi) Câu 11: Giải phương trình sau: 2x x   ; a) x  x  x  x  b) x  x   x  2 Lời giải PT  x  x  x  1  x  x  x  1 x a)   x  1  x  x  1  x3  x  x  x3  x  x   x  x  1  x  x  1  3x3  x  3x  x  x   5 x  3x  x  x     x  1  5 x  2x2  2x  5   x  1 1   5 x  x        5 x  x    5x  x         51 5x  5x  0      20   2  51    5x  0    20     5x   0 5 Vì   51    5x  0     *  20  vô nghiệm Vậy x 1 nghiệm PT b) x  x   x  ĐK: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn x2 tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com  x2  5x    x     x    x  3   x     x    x  3    x    x  3    x  1   x   1 x  1 0     x  3  x    x  1  x   x   0  x   TM   x  1 Vậy x  nghiệm PT Cho hình vng ABCD có AC cắt BD O M điểm thuộc cạnh BC ( M khác B, C ) Tia AM cắt đường thẳng CD N , cạnh AB lấy điểm E cho BE  CM Câu 12: a) Chứng minh OEM vuông cân b) Chứng minh ME //BN CH  BN  H  BN  c) Từ C kẻ Chứng minh ba điểm O, M , H thẳng hàng Lời giải µ µ a) Vì ABCD hình vng nên AC  BD , B1  C1  45 OB  OC Xét OEB OMC có: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com EB  MC (GT) µ C µ B 1 (CMT) OB  OC (CMT)  OEB  OMC  c  c  c   OE  OM (2 cặp cạnh t.ư)  1 µ O ¶ O (2 cặp góc t.ư) 0 ¶ ¶ ¶ µ · Ta có O2  O3  90  O2  O1  90 hay OEM  90 Từ  1  2  2 suy OEM vuông cân b) Xét ABM NCM có: ·ABM  NCM ·  900 ·AMB  NMC · (đối đỉnh)  ABM ∽ NCM  g  g   CM MN  BM AM (cạnh tương ứng tỉ lệ)  CM MN CM MN    BM  CM AM  MN BC AN  BE MN BE MN    AB AN AB AN  ME //BN (ĐL đảo ĐL Ta-let) c) Gọi giao điểm OM BN H ' · · Ta có MHB  EMD  45 Xét BMH ' OCM có: µ C µ  450 H · · BMH '  CMO (đối đỉnh)  BMH ' ∽ OMC  g  g  Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com BM OM  Ta có tỉ số: MH ' MC · · ' MC BMO H (đối đỉnh)  BMO ∽ H ' MC  c  g  c  · · ' M  450  OBM  CH · ' C  900  BH  H ' trùng với H Vậy O, M , H thẳng hàng Câu 13: Cho hình vng có cạnh 1, có chứa 29 đường trịn, đường trịn có đường kính Chứng minh tồn đường thẳng giao với đường tròn Lời giải Kẻ đường thẳng song song cách chia hình vng thành 10 hình chữ nhật có chiều rộng 0,1 Vì đường kính hình trịn lớn 0,1 nên đường trịn bị đường thẳng vừa kẻ cắt Nếu đường thẳng cắt không q đường trịn số đường trịn khơng q 9.6  54 Mà có 55 đường trịn nên phải có đường thẳng cắt đường trịn -HẾT - Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word môn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC ... biểu thức: H? ?ớng dẫn 202 02   201 9  1  201 92  2 .201 9.1  Ta có:   201 92  202 02  2 .201 9 201 9 201 92 201 9  201 9  M   201 9    202 0  2 .201 9     202 0 202 02 202 0  202 0  Liên h? ?? tài... 039.373 .203 8 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN H? ??C Website:tailieumontoan.com 201 9  201 9  201 9 201 9   202 0   202 0    202 0   202 0 202 0   202 0 202 0 2 Câu 5: Tìm giá trị nhỏ biểu thức F... trịn có đường kính Chứng minh tồn đường thẳng giao với đường trịn Lời giải Kẻ đường thẳng song song cách chia h? ?nh vng thành 10 h? ?nh chữ nhật có chiều rộng 0,1 Vì đường kính h? ?nh trịn lớn 0,1