Website:tailieumontoan.com ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN HUYỆN NAM ĐÀN - NĂM 2020 Bài (4,0 điểm) Tính giá trị biểu thức: a) A 13 13 2 x y x2 x2 y2 B xy x x y x y y2 y x y b) Bài (5,0 điểm) (Điều kiện: x y ) a) Tìm số tự nhiên n cho số 2n 2017 n 2019 số phương 2 b) Giải phương trình: x x x 3x 33 c) Chứng minh rằng: A n 3n n chia hết cho 48 với n số tự nhiên lẻ Bài (3,0 điểm) 1 a) Cho a , b số dương thoả mãn: a b 2019 Chứng minh: a b a 2019 b 2019 b) Cho a , b , c số dương thoả mãn: a b c 3 2 2 2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: M a ab b b bc c c ca a Bài (6,0 điểm) Cho tam giác ABC có góc nhọn Các đường cao AD , BE , CF cắt H a) Chứng minh AEF # DBF AH k HD b) Tính: tan ABC tan ACB theo k Biết S AEF S DBF S DEC BH CH c) Chứng minh: AH Bài (2,0 điểm) Tính tan36 (khơng sử dụng bảng số máy tính) -HẾT - LỜI GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN HUYỆN NAM ĐÀN - NĂM 2020 Bài (4,0 điểm) Tính giá trị biểu thức: a) A 13 13 b) x y x2 x2 y2 B xy x x y x y y2 y x y (Điều kiện: x y ) Lời giải a) A 13 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu 13 word môn A 14 13 14 13 tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com 13 2A A 13 13 2 13 A 0 b) Vì x y nên xy x y Khi đó: x y x2 x2 y2 B xy x x y x y y2 y x y xy y x x y x y xy x x y y x y 1 2 Bài (5,0 điểm) a) Tìm số tự nhiên n cho số 2n 2017 n 2019 số phương 2 b) Giải phương trình: x x x 3x 33 c) Chứng minh rằng: A n 3n n chia hết cho 48 với n số tự nhiên lẻ Lời giải a) Cách 1: Với 2n 2017 n 2019 số phương 2 2n 2017 a 2n 2017 a n 2019 b2 2n 4038 2b 2b2 a 2021 Đặt 2b a 2b a 2021 Ta xét trường hợp: 2b a 43 2b a 47 + TH1: 45 b 2013 a 2 n (loại) 2b a 47 2b a 43 + TH2: 45 b 2013 a n (loại) 2b a 2021 2b a 1 + TH3: 1011 b 1018083 a 1010 n (loại) 1011 b 2b a 1 1018083 n b a 2021 a 1011 + TH4: (loại) Vậy không tồn số tự nhiên n thoả mãn yêu cầu toán 2n 2017 a n 2019 b 2b2 a 2021 Cách 2: Đặt (với a, b ) Ta có a 2n 2017 a số lẻ Đặt a 2k ( k ) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Suy 2b 2k 1 2021 b2 2k k 1 1011 Ta thấy vế trái 1 1 số phương nên chia cho dư dư 1, vế phải 1 chia cho dư Do khơng tồn số tự nhiên n thoả mãn yêu cầu toán b) Ta thấy: x 3x 0, x 2 2 Phương trình x 3x x 3x 33 x 3x x 3x 42 t 6 t 0 Phương trình trở thành: t t 42 0 t , chọn t 6 Đặt t 2 x x 2 x 3 9 x Với t 6 x 3x 36 9 S 3; Vậy phương trình cho có tập nghiệm là: n n 3 n 3 n 1 n 1 n 3 c) Ta có A n 3n n n 1 n 1 n 3 tích số chẵn liên tiếp nên A8 , A3 ; A2 Với n số tự nhiên lẻ Suy A48 Bài (3,0 điểm) 1 a) Cho a , b số dương thoả mãn: a b 2019 Chứng minh: a b a 2019 b 2019 b) Cho a , b , c số dương thoả mãn: a b c 3 2 2 2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: M a ab b b bc c c ca a Lời giải a) Điều kiện: a 2019 , b 2019 1 ab 2019 a b Ta có: a b 2019 Khi đó: a 2019 b 2019 a a b ab ab b a b a b a b a b a b a b a b b) Ta có: Liên hệ tài 039.373.2038 a ab b2 a b liệu môn word tốn: 1 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com b2 bc c b c 2 c ca a c a 3 Cộng vế theo vế 1 , , 3 ta được: M a b c 3 Dấu “ ” xảy a b c 1 Vậy GTNN M 3 đạt a b c 1 Bài (6,0 điểm) Cho tam giác ABC có góc nhọn Các đường cao AD , BE , CF cắt H a) Chứng minh AEF # DBF b) Tính: tan ABC tan ACB theo k Biết k AH HD S AEF S DBF S DEC BH CH c) Chứng minh: AH Lời giải A F E H C D B AE AF a) Xét AEF ABC có: A chung; AB AC ( cosA ) Suy AEF # ABC (c.g.c) Tương tự có: DBF # ABC (c.g.c) Do đó: AEF # DBF (đpcm) b) Ta có: ACB BHD (cùng phụ với HBD ) BD tan ACB tanBHD HD (vì BHD vng D ); Suy ra: tan ABC AD BD (vì ABD vng D ) Khi đó: tan ABC tan ACB Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word AD BD AD BD HD HD mơn tốn: 1 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Mặt khác: Từ 1 k AH AH HD AD k k HD HD hay HD 2 suy ra: tan ABC.tan ACB k c) Ta có: AEH # BDH (g.g) 2 AH AE AH AE BH BD BH BD BH FB 2 CE Tương tự: CH AEF # DBF Theo câu a) ta có: S AEF AE AH S DBF BD BH DBF # DCE Chứng minh tương tự câu a) ta được: S DBF BF BH S DCE CE CH S AEF AH S DBF BH S AEF S DBF S DEC 2 S BH S CH AH BH CH (đpcm) Do đó: DBF ; DCE Bài (2,0 điểm) Tính tan36 (khơng sử dụng bảng số máy tính) Lời giải A x E D x B C Vẽ ABC cân A , có BC 1 ; A 36 ; B C 72 Vẽ phân giác CD góc C ADC cân D DCB cân C DA DC BC 1 Kẻ DE AC E Đặt AE x EC x; AC AB 2 x; BD 2 x Mặt khác CD phân giác góc C DA AC 2 x DB CB hay x 1 x x 0 x 2 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn * tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com 1 x 1 x cos 36 x * là: Ta có: AD Nghiệm dương phương trình 10 10 sin 36 sin 36 16 Mà sin 36 cos 36 1 2 tan36 Suy Liên hệ tài 039.373.2038 liệu 10 10 : 4 1 word môn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC