1. Trang chủ
  2. » Giáo án - Bài giảng

39 hsg h 20 nam dan

6 1 0

Đang tải... (xem toàn văn)

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 6
Dung lượng 381,41 KB

Nội dung

Website:tailieumontoan.com ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN HUYỆN NAM ĐÀN - NĂM 2020 Bài (4,0 điểm) Tính giá trị biểu thức: a) A   13   13  2  x  y  x2 x2 y2 B   xy x  x  y  x  y  y2 y  x  y b) Bài (5,0 điểm) (Điều kiện: x  y  ) a) Tìm số tự nhiên n cho số 2n  2017 n  2019 số phương 2 b) Giải phương trình: x  x  x  3x  33 c) Chứng minh rằng: A n  3n  n  chia hết cho 48 với n số tự nhiên lẻ Bài (3,0 điểm) 1   a) Cho a , b số dương thoả mãn: a b 2019 Chứng minh: a  b  a  2019  b  2019 b) Cho a , b , c số dương thoả mãn: a  b  c 3 2 2 2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: M  a  ab  b  b  bc  c  c  ca  a Bài (6,0 điểm) Cho tam giác ABC có góc nhọn Các đường cao AD , BE , CF cắt H a) Chứng minh AEF # DBF AH k   HD b) Tính: tan ABC tan ACB theo k Biết S AEF S DBF S DEC   BH CH c) Chứng minh: AH Bài (2,0 điểm)  Tính tan36 (khơng sử dụng bảng số máy tính) -HẾT - LỜI GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN HUYỆN NAM ĐÀN - NĂM 2020 Bài (4,0 điểm) Tính giá trị biểu thức: a) A   13   13  b)  x  y  x2 x2 y2 B   xy x  x  y  x  y  y2 y  x  y (Điều kiện: x  y  ) Lời giải a) A   13  Liên hệ tài 039.373.2038 liệu  13   word môn A  14  13  14  13  tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com   13      2A   A  13   13   2 13    A 0 b) Vì x  y  nên xy  x  y  Khi đó:  x  y  x2 x2 y2 B   xy x  x  y  x  y  y2 y  x  y  xy  y  x    x   y  x    y    xy x  x  y y  x  y 1   2 Bài (5,0 điểm) a) Tìm số tự nhiên n cho số 2n  2017 n  2019 số phương 2 b) Giải phương trình: x  x  x  3x  33 c) Chứng minh rằng: A n  3n  n  chia hết cho 48 với n số tự nhiên lẻ Lời giải a) Cách 1: Với 2n  2017 n  2019 số phương 2  2n  2017 a 2n  2017 a    n  2019 b2  2n  4038 2b  2b2  a 2021   Đặt  2b  a   2b  a 2021 Ta xét trường hợp:  2b  a 43   2b  a 47 + TH1:  45  b    2013  a 2  n  (loại)  2b  a 47   2b  a 43 + TH2:  45  b    2013  a   n  (loại)  2b  a 2021   2b  a 1 + TH3:  1011  b   1018083  a  1010  n  (loại) 1011  b   2b  a 1   1018083   n  b  a  2021 a  1011  + TH4:  (loại) Vậy không tồn số tự nhiên n thoả mãn yêu cầu toán  2n  2017 a  n  2019 b  2b2 a  2021 Cách 2: Đặt  (với a, b   ) Ta có a 2n  2017  a số lẻ Đặt a 2k  ( k   ) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Suy 2b  2k  1  2021  b2 2k  k  1  1011 Ta thấy vế trái  1  1 số phương nên chia cho dư dư 1, vế phải  1 chia cho dư Do khơng tồn số tự nhiên n thoả mãn yêu cầu toán b) Ta thấy: x  3x   0, x 2 2 Phương trình x  3x  x  3x  33  x  3x   x  3x  42  t 6   t 0  Phương trình trở thành: t  t  42 0  t  , chọn t 6 Đặt t 2 x  x  2  x 3  9 x  Với t 6  x  3x  36   9 S 3;    Vậy phương trình cho có tập nghiệm là: n  n  3   n  3  n  1  n  1  n  3 c) Ta có A n  3n  n   n  1  n  1  n  3 tích số chẵn liên tiếp nên A8 , A3 ; A2 Với n số tự nhiên lẻ Suy A48 Bài (3,0 điểm) 1   a) Cho a , b số dương thoả mãn: a b 2019 Chứng minh: a  b  a  2019  b  2019 b) Cho a , b , c số dương thoả mãn: a  b  c 3 2 2 2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: M  a  ab  b  b  bc  c  c  ca  a Lời giải a) Điều kiện: a 2019 , b 2019 1 ab  2019   a b Ta có: a b 2019 Khi đó:  a  2019  b  2019  a a b ab ab    b a b a b a b a b a b  a b a b b) Ta có: Liên hệ tài 039.373.2038 a  ab  b2   a  b liệu môn word tốn:  1 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com b2  bc  c   b  c  2 c  ca  a   c  a  3 Cộng vế theo vế  1 ,   ,  3 ta được: M   a  b  c  3 Dấu “ ” xảy a b c 1 Vậy GTNN M 3 đạt a b c 1 Bài (6,0 điểm) Cho tam giác ABC có góc nhọn Các đường cao AD , BE , CF cắt H a) Chứng minh AEF # DBF   b) Tính: tan ABC tan ACB theo k Biết k AH HD S AEF S DBF S DEC   BH CH c) Chứng minh: AH Lời giải A F E H C D B AE AF  a) Xét AEF ABC có: A chung; AB AC ( cosA ) Suy AEF # ABC (c.g.c) Tương tự có: DBF # ABC (c.g.c) Do đó: AEF # DBF (đpcm)    b) Ta có: ACB  BHD (cùng phụ với HBD ) BD   tan ACB tanBHD  HD (vì BHD vng D ); Suy ra:  tan ABC  AD BD (vì ABD vng D )   Khi đó: tan ABC tan ACB Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word  AD BD AD  BD HD HD mơn tốn:  1 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Mặt khác: Từ  1 k AH AH  HD AD  k  k  HD HD hay HD  2   suy ra: tan ABC.tan ACB k  c) Ta có: AEH # BDH (g.g)   2 AH AE AH AE    BH BD BH BD BH FB  2 CE Tương tự: CH AEF # DBF  Theo câu a) ta có: S AEF AE AH   S DBF BD BH DBF # DCE  Chứng minh tương tự câu a) ta được: S DBF BF BH   S DCE CE CH S AEF AH S DBF BH S AEF S DBF S DEC     2  S BH S CH AH BH CH (đpcm) Do đó: DBF ; DCE Bài (2,0 điểm)  Tính tan36 (khơng sử dụng bảng số máy tính) Lời giải A x E D x B C    Vẽ ABC cân A , có BC 1 ; A 36 ; B C 72 Vẽ phân giác CD góc C  ADC cân D DCB cân C  DA  DC BC 1   Kẻ DE  AC E Đặt AE  x  EC  x; AC  AB 2 x; BD 2 x  Mặt khác CD phân giác góc C  DA AC  2 x DB CB hay x  1   x  x  0   x    2  Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn  * tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com 1 x 1  x  cos 36   x   * là: Ta có: AD Nghiệm dương phương trình 10  10   sin 36   sin 36  16 Mà sin 36  cos 36 1 2  tan36  Suy Liên hệ tài 039.373.2038 liệu  10   10  :  4 1 word môn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC

Ngày đăng: 20/07/2023, 11:30

w