PHỊNG GD&ĐT TAM DƯƠNG ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2017 -2018 MÔN: TOÁN Câu (5,0 điểm) a) Rút gọn biểu thức: 10.11 + 50.55 + 70.77 11.12 + 55.60 + 77.84 18 x.5 x+1.5x + = 1000 14 43 : x, 18 chu so b) Tìm số tự nhiên biết: a − b, c) Tìm hiệu biết rằng: a = 1.2 + 2.3 + 3.4 + + 98.99 b = 12 + 22 + 32 + + 982 Câu (3,0 điểm) a) Cho n, A = + 52 + + 5100 A + = 5n Tìm số tự nhiên biết rằng: 18n + 21n + n b) Tìm tất số tự nhiên để phân số rút gọn Câu (5,0 điểm) 11 a) Tìm số tự nhiên nhỏ biết số chia cho dư 6, chia cho dư 19 chia cho dư 11 p p 2016 + 2018 b) Cho số nguyên tố lớn Hỏi số nguyên tố hay hợp số c) Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết số gấp đơi tích chữ số Câu (6,0 điểm) Cho hai góc a) Trong tia ·AOx = 380 OA, OB, Ox b) Tính số đo góc AOB · BOx = 1120 Biết AOx BOx không kề tia nằm hai tia cịn lại ? Vì ? OM AOB MOx c) Vẽ tia phân giác góc Tính số đo góc AOx = α ; BOx = β , 00 < α + β < 1800 α ≠ β d) Nếu Tìm điều kiện · β α OA OB Ox MOx liên hệ để tia nằm hai tia Tính số đo β α theo Câu (1,0 điểm) 100 Cho số tự nhiên Chứng minh ta chọn 15 số mà hiệu hai số tùy ý chia hết cho ĐÁP ÁN Câu a) Ta có: 10.11 + 50.55 + 70.77 10.11.( + 5.5 + 7.7 ) = = 11.12 + 55.60 + 77.84 11.12.( + 5.5 + 7.7 ) 18 x + x +1+ x + 5x.5x+1.5x +2 = 000 = 1018 : 218 14 43 : ⇒ 18 chu so b) Ta có: 18 x +3 ⇒5 1018 10 = 18 = ÷ = 518 ⇒ x + = 18 ⇒ x = 2 a = 1.2 + 2.3 + 3.4 + + 98.99 c) Ta có: = 1.( + 1) + ( + ) + ( + ) + + 98 ( + 98 ) = + 12 + + 22 + + 32 + + 98 + 982 = ( 12 + 22 + 32 + + 982 ) + ( + + + + 98 ) = b + ( + + + + 98 ) = b + ( + 98 ) 98 : = b + 4851 Vậy Câu a − b = 4851 A = 52 + 53 + + 5101 a) Ta có: ⇒ A − A = ( 52 + 53 + + 5101 ) − ( + 52 + + 5100 ) = 5101 − ⇒ A + = 5101 Lại có: A + = 5n ⇒ 5n = 5101 ⇒ n = 101 18n + 21n + d b) Giả sử chia hết cho số nguyên tố 21n + 7Md ⇒ ( 21n + ) − ( 18n + 3) Md ⇒ 21Md 18n + 3Md Khi = { 3;7} ⇒d∈ Ư(21) d =3 21n + +Nếu khơng xảy khơng chia hết cho d =7 +Nếu đó, để phân số rút gọn thì: 18n + 3M7 ( vi 21n + 7M7 ) ⇒ 18n + − 21M ⇒ 18 ( n − 1) M7 ( 18,7 ) = ⇒ n − 1M7 ⇒ n = k + 1( k ∈ ¥ ) mà 18n + n = k + 1( k ∈ ¥ ) 21n + Vậy để phân số rút gọn Câu a ( a ∈ ¥ *) a) Gọi số cần tìm , ta có: ( a − + 33) M11 ⇒ ( a + 27 ) M11 Ta có: ( a − ) M11; ( a − 1) M4 ( a − + 28) M4 ⇒ ( a + 27 ) M4 ( a − 11 + 38 ) M19 ⇒ ( a + 27 ) M19 a + 27 số tự nhiên nhỏ nên nhỏ a + 27 = BCNN ( 4;11;19 ) = 836 Suy : Do a ( a − 11) M19 a = 809 Từ tìm p p p b) Vì số nguyên tố lớn nên chia cho dư chia cho dư ⇒ p2 chia cho dư p 2016 = ( p ) 1008 p 2016 chia cho dư ( p 2016 + 2018) M3 2018 Mặt khác: chia cho dư 2, đó: 2016 ( p + 2018) M3 ( p 2016 + 2018) > p 2016 + 2018 Vì nên hợp số a, b ∈ ¥ ,1 ≤ a ≤ 9,0 ≤ b ≤ ab c) Gọi số tự nhiên phải tìm với 10a + b = 2ab ⇒ 10a = 2ab − b ⇒ 10a = b ( 2a − 1) Theo đề bài, ta có: ( a;2a − 1) = 10M2a − ⇒ 10aM 2a − mà nên 2a − = ⇒ a = ⇒ b = 10(ktm) 2a − = ⇒ a = ⇒ b = 6(tm) 2a − Vì lẻ nên 36 Vậy số cần tìm Mà nên Câu BOx hai góc khơng kể mà có chung cạnh Ox nên hai tia OB Ox nằm nửa mặt phẳng có bờ chứa tia ·AOx < BOx · 380 < 1120 ) OA OB Ox Mà (vì nên tia nằm hai tia OA OB Ox b) Do nằm hai tia nên ta có: ·AOx + ·AOB = BOx · · ⇒ 38 + AOB = 1120 ⇒ ·AOB = 740 a) Do OA AOx 1 AOB = 740 = 37 2 AOB phân giác góc nên: OB Ox; OA OB Do tia OA nằm hai tia tia Om nằm hai tia (OM ·AOB ) OA OM Ox tia phân giác nên tia nằm hai tia · ⇒ MOx = ·AOM + ·AOx = 37 + 380 = 750 c) Do d) Có OA OM AOM = OA OB nằm nửa mặt phẳng bờ chứa tia αβ ·AOx > BOx · ⇒ OB OA Ox Thật vậy, tia nằm hai tia ·AOx = BOx · α =β ⇒ Nếu tia OB trùng với tia OA α p 20 16 + 2018 Vì nên hợp số a, b ∈ ¥ ,1 ≤ a ≤ 9,0 ≤ b ≤ ab c) Gọi số tự nhiên phải tìm với 10a + b = 2ab ⇒ 10a = 2ab − b ⇒ 10a = b ( 2a − 1) Theo đề bài,... 4;11;19 ) = 8 36 Suy : Do a ( a − 11) M19 a = 809 Từ tìm p p p b) Vì số nguyên tố lớn nên chia cho dư chia cho dư ⇒ p2 chia cho dư p 20 16 = ( p ) 1008 p 20 16 chia cho dư ( p 20 16 + 2018) M3 2018 Mặt... − 1) = 10M2a − ⇒ 10aM 2a − mà nên 2a − = ⇒ a = ⇒ b = 10(ktm) 2a − = ⇒ a = ⇒ b = 6( tm) 2a − Vì lẻ nên 36 Vậy số cần tìm Mà nên Câu BOx hai góc khơng kể mà có chung cạnh Ox nên hai tia OB