ĐÊ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG Mơn Tốn Năm học 2017-2018 1 1 1 2 2 100 Câu Chứng minh Câu Cho số tự nhiên từ đến 11 viết theo thứ tự tùy ý, sau đem cộng số với số thứ tự ta tổng Chứng minh tổng nhận được, tìm hai tổng mà hiệu chúng số chia hết cho 10 Câu 1999 1997 a) Cho A 999993 55555 Chứng minh A chia hết cho n2 n 1 b) Chứng minh 11 12 chia hết cho 133 Câu Cho 101 đường thẳng hai đường thẳng cắt nhau, ba đường thẳng đồng quy Tính số giao điểm chúng Câu Trên tia Ox xác định điểm A B cho OA a (cm), OB b(cm) a) Tính độ dài đoạn thẳng AB biết b a b) Xác định điểm M tia Ox cho OM a b Câu Trên tia Ox cho điểm A, B, C , D Biết A nằm B C; B nằm C D; OA 5cm, OD 2cm, BC 4cm độ dài AC gấp đơi độ dài BD Tìm độ dài đoạn BD, AC ĐÁP ÁN Câu 1 1 1 1 1 1 ; 2 ; ; 2 2.1 2.3 100 99.100 99 100 Ta có: 1 1 1 1 99 1 2 100 2 99 100 100 Vậy Câu Vì có 11 tổng mà có 10 chữ số tận số 0;1;2;; ;9 nên ln tìm hai tổn có chữ số tận giống (nguyên lý Dirichle) nên hiệu chúng số nguyên có tận số chia hết cho 10 Câu a) Nhận thấy: 9999931999 có chữ số tận (vì 1994 : dư 3, ứng với 27) 5555571997 có chữ số tận 7(vì 1997 : dư 1, ứng với 7) 9999931999 5555571997 có chữ số tận hiệu chia hết cho S 11n 122 n1 112.11n 12.122 n 121.11n 12.144n b) Đặt S 133 12 11n 12.144n 133.11n 144n 11n 12 n Ta có 133.11 chia hết cho 133 n n 144n 11n =chia hết cho 144 11 144 11 chia hết cho 133 n 1 n 1 133 Vậy S 11 12 M Câu Mỗi đường thẳng cắt 100 đường thẳng lại tạo nên 100 giao điểm Có 101 đường thẳng nên có 101.100 giao điểm Nhưng giao điểm tính lần, nên có: 101.100 : 5050 (giao điểm) Câu a) Vì OB OA(b a ) nên tia Ox điểm B nằm điểm O điểm A, đó: OB BA OA AB a b OM a b b) nghĩa M trung điểm OA Câu Vì A nằm B C nên BA AC BC BA AC (1) Lập luận B nằm A D Theo giả thiết OD OA D nằm O A (mà OD DA OA DA DA 3cm Ta có: DB BA DA DB BA (2) 1 AC DB 1(3) Theo đề AC BD thay vào (3) Ta có: BD BD BD 1cm AC BD 2cm ... DA OA DA DA 3cm Ta có: DB BA DA DB BA (2) 1 AC DB 1(3) Theo đề AC BD thay vào (3) Ta có: BD BD BD 1cm AC BD 2cm