ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN CẤP TRƯỜNG Bài Tìm x biết: a) x + ( x + 1) + ( x + ) + + ( x + 30 ) = 620 b)2 + + + + + x = 210 Bài a) Chứng tỏ số tự nhiên liên tiếp ln có số chia hết cho A = ( 17 n + 1) ( 17 n + ) M n∈¥ b) Chứng minh với S = + + 32 + 33 + + 348 + 349 Bài Cho a) Chứng tỏ S chia hết cho b) Tìm chữ số tận S 350 − S= c) Chứng tỏ Bài a, b ∈ ¥ 12a + 36b = 3211 Tìm số thỏa mãn: Bài ( 2a + 7b ) M3( a, b ∈ ¥ ) ( 4a + 2b ) M3 Cho Chứng tỏ Bài Lấy tờ giấy cắt thành mảnh Lấy mảnh cắt thành mảnh khác Cứ tiếp tục nhiều lần a) Hỏi sau cắt số mảnh đó, tất 75 mảnh giấy nhỏ không ? b) Giả sử cuối đếm 121 mảnh giấy nhỏ Hỏi cắt tất mảnh giấy AB = 5cm Bài Cho đoạn thẳng Hãy xác định vị trí điểm C đoạn thẳng CA ≤ CB AB cho AB = 5cm Bài Vẽ đoạn thẳng Lấy hai điểm C, D nằm A B cho: AC + BD = 6cm a) Chứng tỏ điểm C nằm B D CD b) Tính độ dài đoạn thẳng ĐÁP ÁN Bài a)31x + b) ( + 30 ) 30 = 620 ⇒ 31x = 620 − 31.15 ⇒ 31x = 155 ⇒ x = ( x + ) x = 210 ⇒ ( x + 1) x = 210 = 14.15 ⇒ x = 14 Bài x, x + 1, x + ( x ∈ ¥ ) a) Gọi số tự nhiên liên tiếp x = 3k (tm), Nếu x = 3k + ⇒ x + = 3k + 3M Nếu x = 3k + ⇒ x + = 3k + + = 3k + 3M Nếu Vậy số tự nhiên liên tiếp ln có số chia hết cho 17 n ,17 n + 1,17 n + 17 n b) Nhận thấy số tự nhiên liên tiếp mà không chia hết M cho 3, nên số cịn lại có số phải A = ( 17 n + 1) ( 17 n + ) M Do đó, Bài a) Ta có: S = ( + 3) + ( 32 + 33 ) + + ( 348 + 349 ) = + 32 ( + 1) + + 348 ( + ) = 4.( + 32 + + 348 ) M4 b) S = ( + + 32 + 33 ) + ( 34 + 35 + 36 + 37 ) + + ( 344 + 345 + 346 + 347 ) + 348 + 349 Các tổng số hạng chia hết cho 10, tận 348 + 349 = 34.12 + 348.3 = + 1.3 = Mặt khác: Vậy S có tận c) S = + + 32 + + 348 + 349 ⇒ 3S = + 32 + 33 + + 349 + 350 350 − ⇒ 3S − S = − ⇒ S = 50 Bài 12aM4 36bM4 3211 Nhận thấy mà khơng chia hết cho Vậy khơng có số tự nhiên thỏa mãn Bài ( 6a + 9b ) M3 ⇒ ( 2a + 7b + 4a + 2b ) M3 ( 2a + 7b ) M3 ⇒ ( 4a + 2b ) M3 Ta có: mà Bài a) Khi ta cắt tờ giấy thành mảnh số mảnh giấy tăng thêm Cắt nhiều lần tổng số mảnh giấy tăng thêm 5k (k tờ giấy đem cắt) Ban 5k + đầu có tờ giấy, tổng số mảnh giấy 75M Số chia dư 1: Vậy khơng thể có tất 75 mảnh giấy nhỏ (vì ) 5k + = 121 ⇒ k = 24 b) Ta có: Vậy ta cắt tất 24 mảnh giấy Bài MA = MB M ∈ AB - Gọi M trung điểm AB suy Xét ba trường hợp: a )C ≡ M MA = MB ⇒ CA = CB ta có: CA < MA ⇒ CA < MB (1) b) C nằm A M nên MB < CB (2) M nằm C B nên ⇒ CA < CB Từ (1) (2) ⇒ CB < MB ⇒ CB < MA (3) c) C nằm M B MA < CA(4) M nằm A C nên CA < CB Từ (3) (4) ta có C ∈ MA ⇒ CA ≤ CB Tóm lại Bài AC + CB = AB = 5cm AC + BD = a) C nằm A B nên: ⇒ AC + CB < AC + BD ⇒ CB < BD ⇒ C nằm D B BD = BC + CD b) AC + BD = ⇒ AC + BC + CD = ⇒ ( BC + AC ) + CD = Vì ⇒ CD = − AB = − = CD = 1cm Vậy ... Chứng tỏ điểm C nằm B D CD b) Tính độ dài đoạn thẳng ĐÁP ÁN Bài a)31x + b) ( + 30 ) 30 = 62 0 ⇒ 31x = 62 0 − 31.15 ⇒ 31x = 155 ⇒ x = ( x + ) x = 210 ⇒ ( x + 1) x = 210 = 14.15 ⇒ x = 14 Bài x, x... 1) + + 348 ( + ) = 4.( + 32 + + 348 ) M4 b) S = ( + + 32 + 33 ) + ( 34 + 35 + 36 + 37 ) + + ( 344 + 345 + 3 46 + 347 ) + 348 + 349 Các tổng số hạng chia hết cho 10, tận 348 + 349 = 34.12 + 348.3... + + 349 + 350 350 − ⇒ 3S − S = − ⇒ S = 50 Bài 12aM4 36bM4 3211 Nhận thấy mà không chia hết cho Vậy khơng có số tự nhiên thỏa mãn Bài ( 6a + 9b ) M3 ⇒ ( 2a + 7b + 4a + 2b ) M3 ( 2a + 7b ) M3