PHỊNG GD&ĐT TAM DƯƠNG ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI TOÁN Năm học 2018-2019 Câu (2,0 điểm) Thực phép tính: a) S 1.2 2.3 61 30.31 12 12 12 4 12 4 19 37 53 : 15 2013 12424243 b) B 1 41 237373735 19 37 53 15 2013 Câu (2,0 điểm) a) Cho A 1 1 1 1 ;B 2012 1007 1008 2012 2013 A Tính B b) Tìm tất số tự nhiên n cho: 1! 2! 3! n!là số phương Câu (2,0 điểm) 1 a) Tìm số tự nhiên a, b, c thỏa mãn a b c 2 b) Tìm số nguyên tố liên tiếp p, q, r cho p q r số nguyên tố Câu (2,0 điểm) 0 Cho xOy 100 Vẽ tia phân giác Oz xOy; vẽ tia Ot cho yOt 25 a) Tính số đo góc : zOt , xOt b) Ot có phải tia phân giác zOy khơng ? Vì ? Câu (2,0 điểm) 2012 2012 2012 a) Cho A 2012 B 2012 Chứng tỏ biểu diễn A, B dạng số tự nhiên số chữ số A số chữ số B S n tổng chữ số số tự nhiên n S n 2013n n Tìm n cho ĐÁP ÁN Câu 2n 1 ; n n 1 n n 1 a) Ta có: với n * Do đó: 1 1 S 2 30 31 b) Ký hiệu 312 960 1 31 312 961 b) Ta có: 12 12 12 4 12 4 19 37 53 : 15 2013 124242423 B 1 41 237373735 19 37 53 15 2013 1 1 12 47 19 37 53 15 2013 41.3.1010101 : 1 1 47.5.1010101 41 5. 19 37 53 15 2013 47 41.3 3 41 47.5 Câu 1 1 A 1 2012 a) Ta có: 1 1 1 1 1 2012 2012 2 1 1 1 2012 1006 1 B 1007 1008 2012 1 A A 1 B Suy ra: B 2013 A 1 B Vậy 2013 12013 1 b) Xét n 1 1! 1 n 2 1! 2! 3 n 3 1! 2! 3! 9 32 n 4 1! 2! 3! 4! 33 Với n n! 1.2.3 n số tự nhiên có chữ số tận Nên 1! 2! n! 33 cộng vơi số có tân số tận nên số phương Vậy có giá trị n 1; n 3 thỏa đề Câu a) Ta thấy : a, b, c số tự nhiên khác Do a, b, c có vai trị nên khơng tính tổng qt, giả sử a b c 1 3 15 a a 1;2;3 a Ta có: a b c a 1 Với a 1 b c Khơng tồn b, c thỏa mãn 1 1 b c 10 Với a 2, ta có: b c 1 2 20 b b 1;2;3;4;5;6 b 10 Do b c nên b c b Kiểm tra trường hợp ta thấy b 5 c 10; b 4 c 20 (thỏa mãn) Các trường hợp cịn lại b khơng thỏa mãn Với a 3 1 b c 15 Ta có: 1 2 30 b b 1;2;3;4;5;6;7 b 15 Do b c nên b c b Kiểm tra trường hợp b ta thấy giá trị c không thỏa mãn c Vậy số a; b; c thỏa mãn đề 2;5;10 , 2;4;20 hoán vị chúng 2 b) Vì p q r nên p q 2 2 2 2 2 Do p q r số nguyên tố p q r phải số lẻ p , q , r số lẻ p, q, r số nguyên tố lẻ Trong ba số p, q, r phải có số chia hết cho khơng có số chia 2 2 2 hết cho p , q , r chia dư 1, p q r chia hết cho (mâu thuẫn) p 3 (p số nguyên tố lẻ nhỏ số) q 5, r 7 2 2 2 Kiểm tra p q r 3 83 số nguyên tố (thỏa mãn) Câu a) Tia Oz phân giác góc xOy nên yOz 50 Xét hai trường hợp: *Trường hợp 1: Ot nằm Oz Oy z t x y O Mà yOt 25 Ot nằm Oz, Oy nên zOt 25 Vì Oz nằm Ox, Oy Ot nằm Oy , Oz nên Oz nằm Ox, Ot 750 xOt *Trường hợp 2: Oy nằm Oz , Ot z x y t O Tia Oy nằm Oz, Ot nên zOt 75 Vì Oz nằm Ox, Oy Oy nằm Ot , Oz nên Oz , Oy nằm Ox, Ot 1250 xOt b) –Trường hợp Oy nằm Oz, Ot Ot khơng phân giác zOy -Trường hợp Ot nằm Oz , Oy ta có: yOt 25 zOt 25 nên Ot phân giác zOy Câu 2012 a) Giả sử số B 2012 biểu diễn dạng số tự nhiên có n chữ số, ta có: 2012 1000 20122012 10n 10n 106036 n 6036 2012 2012 Giả sử số A 2012 biểu diễn dạng số tự nhiên số A có nhiều n chữ số, tức A có n chữ số, suy ra: 20122012 22012 10n 20122012 10n 20122012 22012 22012.10062012 22012.2n 2012.5n 22012 1006 2012 1 , n 6036 10062012 2n 2012.5n 10062012 2n 2012.5n 10062012 Điều vơ lý 10062012 1là số lẻ, 2n 2012.5n số chẵn Do số chữ số A khơng nhiều số chữ số B dfcm b) Giả sử biểu diễn số tự nhiên n dạng số thập phân, ta có: n am 10m am 1.10m a1.10 a0 (với chữ số, i 0,1,2, , m; m ) n am am a1 a0 n S n n 2013n n n 2014n n 2014 n 2014 (1) n S n 0 n 2013n 0 Mà n 2013n n 2013 n 2013 n Từ (1) (2) suy n 2013 Thử với n 2013 ta có: S 2013 20132 2013.2013 6 (thỏa mãn) Vậy số tự nhiên n cần tìm 2013 (2)