Website:tailieumontoan.com TRƯỜNG THCS & THPT LƯƠNG THẾ VINH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC: 2019 - 2020 MƠN: TỐN Thời gian làm bài: 90 phút x 9 x2 x 1 A : x 1 x x x x x 1 Bài (4,0 điểm)Cho biểu thức với x 0; x 125 125 x 4 3 3 9 27 27 Tính giá trị biểu thức Bài (4,0 điểm) 2 a) Giải phương trình x 10 x x x x b) Tìm nghiệm nguyên phương trình x y 3xy Bài (4,0 điểm) a) Cho x, y Tìm GTNN P x xy y xy ( x y ) b) Tìm 2019 số tự nhiên liên tiếp mà khơng có số ngun tố nào? Bài (6,0 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB, dây CD Gọi H K hình chiếu A, B CD a) Khi OAC tam giác đều, giải tam giác ABC b) Chứng minh HC = KD c) Chứng minh S AHKB S ABC S ABD Bài (2,0 điểm) Viết 150 số tự nhiên 1, 2, 3,…, 150 lên bảng Mỗi lần ta xóa hai số thay tổng hiệu chúng Sau số lần bảng cịn lại số Hỏi có số 100 khơng? -Hết Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên học sinh:……………………………… Trường THCS: ……………………………… Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word môn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com ĐÁP ÁN Bài (4,0 điểm) Ta có: x9 x2 x 1 A : x 1 x x x x x 1 = x 1 x 3 x x : x x 3 x 1 x x 1 x 1 x x 1 x 1 3 x 1 x 1 x 3 x 3 = x 1 x 1 x x 1 x x 1 x Có: 125 125 125 125 x 3 x 4 3 3 9 3 9 27 27 27 27 x3 x x 80x 384 x x 4x 96 64 x x x 4(tm) x 92 (vn) x 4x 96 Thay x ( tmđk) vào A, ta được: A 1 4 Bài (4,0 điểm) 2 a) Giải phương trình x 10 x x x x b) Tìm nghiệm nguyên phương trình x y 3xy Giải a) ĐK: x Đặt: a 5x 10x 4a 5b2 60x b 4x 4x Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word môn Khi Phương trình trở thành: tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com 20a 10b 4a 5b 30 4a 20a 25 5b 10b a 2a b 1 b 2 a b Với , ta có: 5 25 5x 10x 5x 10x x 2x 1 4x 4x 4x 4x 2x 1 x (do x 1) x 1 x (tm) 4 2x x Vậy nghiệm phương trình x b) Ta có: x y xy 3x y 9xy 27 y 3x 3x 26 3x y 1 26 +) TH 1: 3 y y ¢ 1 3x 26 1 3x 26 ( loại ) +) TH 2: 3 y 26 y 1 3x x ( tm ) +) TH 3: 3 y 1 y 1 3x 26 x ( tm ) +) TH 4: 3 y 26 3 y 26 1 3x 1 x ¢ ( loại ) +) TH 5: 3 y y 1 1 3x 13 x 4 ( tm ) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com +) TH 6: 3 y 13 3 y 13 1 3x x ¢ ( loại ) +) TH 7: 3 y 13 y 4 1 3x 2 x ( tm ) +) TH 8: 3 y 2 y ¢ 1 3x 13 1 3x 13 ( loại ) Vậy x; y 0;9 ; 9; ; 4;1 ; 1; 4 Bài (4,0 điểm) x xy y P xy ( x y ) x , y a) Cho Tìm GTNN b) Tìm 2019 số tự nhiên liên tiếp mà khơng có số nguyên tố nào? Giải a) Ta có: x xy y x y 3xy x y xy P xy ( x y ) xy ( x y ) xy x y Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số dương x, y, ta được: x y xy xy P x y Dấu " " xảy x y Khi đó: x y 3 2 x y 2 xy Dấu " " xảy x y xy Vậy giá trị nhỏ P x y b) Xét số tự nhiên A 2.3.4.5 2019.2020 Khi đó: A chia hết cho số: 2; 3; 4; 5; …; 2019; 2020 Xét dãy 2019 số tự nhiên liên tiếp: A 2; A 3; A 4; A 5; ; A 2019; A 2020 Do AM2 nên A 2M2 mà A A hợp số Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Do AM3 nên A 3M3 mà A A hợp số Tương tự: Do AM4 nên A 4M4 mà A A hợp số … Do AM2019 nên A 2019M2019 mà A 2019 2019 A 2019 hợp số Do AM2020 nên A 2020M2020 mà A 2020 2020 A 2020 hợp số Vậy dãy 2019 số tự nhiên liên tiếp: A 2; A 3; A 4; A 5; ; A 2019; A 2020 , khơng có số ngun tố Bài a) Khi AOC sin B AC OA OC R AB 2 2 BC AB AC R R R AC R µ 300 C µ 600 B AB R b) Kẻ OI CD I trung điểm CD OI / / AH / / BK Lại có O trung điểm IH IK ; CI ID CH DK AB I trung điểm HK c) Kẻ EF qua I song song với AB( E AH , F BK ) EHI FKI (ch gn) S AHKB S AEFB IM AB Lại có: S ACB S ADB AB.(CN DP ) AB.IM S AHKB S ACB S ADB Bài 5: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Gọi tổng S 150 150 số ban đầu (1 150).150 11325 S1 a b Giả sử xóa hai số a, b thay a b a b ta có tổng là: S1 a b S1 a b Ta có: ( S1 a b) ( S a b) 2S 2a 2b ( S1 a b) ( S a b) 2S 2a chẵn nên tổng lúc đầu tổng lúc sau ln tính chẵn lẻ mà tổng ban đầu số lẻ nên tổng lúc sau 100 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word môn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC ... A h? ??p số Tương tự: Do AM4 nên A 4M4 mà A A h? ??p số … Do AM2019 nên A 201 9M2019 mà A 201 9 201 9 A 201 9 h? ??p số Do AM2 020 nên A 202 0M2 020 mà A 202 0 202 0 A 202 0 h? ??p... y Khi đó: x y 3 2 x y 2 xy Dấu " " xảy x y xy Vậy giá trị nhỏ P x y b) Xét số tự nhiên A 2.3.4.5 201 9 .202 0 Khi đó: A chia h? ??t cho số: 2; 3; 4; 5; …; 201 9; 202 0 Xét dãy 201 9... b 4x 4x Liên h? ?? tài 039.373 .203 8 liệu word mơn Khi Phương trình trở thành: tốn: TÀI LIỆU TỐN H? ??C Website:tailieumontoan.com 20a 10b 4a 5b 30 4a 20a 25 5b 10b