Website:tailieumontoan.com TRƯỜNG THCS & THPT LƯƠNG THẾ VINH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC: 2019 - 2020 MƠN: TỐN Thời gian làm bài: 90 phút x x2 x 1 A : x 1 x x x x x 1 Bài (4,0 điểm)Cho biểu thức với x 0; x 1 125 x 4 3 3 27 Tính giá trị biểu thức 9 125 27 Bài (4,0 điểm) 2 a) Giải phương trình x 10 x x x 6 x b) Tìm nghiệm nguyên phương trình x y 3xy Bài (4,0 điểm) a) Cho x, y Tìm GTNN P x xy y xy ( x y ) b) Tìm 2019 số tự nhiên liên tiếp mà khơng có số ngun tố nào? Bài (6,0 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB, dây CD Gọi H K hình chiếu A, B CD a) Khi OAC tam giác đều, giải tam giác ABC b) Chứng minh HC = KD c) Chứng minh S AHKB S ABC S ABD Bài (2,0 điểm) Viết 150 số tự nhiên 1, 2, 3,…, 150 lên bảng Mỗi lần ta xóa hai số thay tổng hiệu chúng Sau số lần bảng cịn lại số Hỏi có số 100 khơng? -Hết Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên học sinh:……………………………… Trường THCS: ……………………………… Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com ĐÁP ÁN Bài (4,0 điểm) Ta có: x x2 x 1 A : x 1 x x x x x 1 x 3 x x x 2 x : = x1 x 3 x1 x 2 x x 1 x = x1 x 1 x 1 x 1 x 1 x x 1 x x1 x x 1 x Có: 125 125 125 125 x 3 9 x 4 3 3 9 3 9 27 27 27 27 x3 6 x x 80x 384 0 x x 4x 96 0 64 x 4 x 0 x 4(tm) x 4x 96 x 92 ( ) Thay x 4 ( tmđk) vào A, ta được: A 1 4 Bài (4,0 điểm) 2 a) Giải phương trình x 10 x x x 6 x b) Tìm nghiệm nguyên phương trình x y 3xy Giải a) ĐK: x 1 Đặt: a 5x 10x 0 4a 5b 60x b 4x 4x 0 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn Khi Phương trình trở thành: tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com 20a 10b 4a 5b 30 4a 20a 25 5b 10b 0 a 2a b 1 0 b 1 2 a b Với , ta có: 5 25 5x 10x 5x 10x 1 4x 4x 4x 4x 1 x 1 4 2x 0 x 2x 2x 1 0 x (do x 1) x (tm) x 1 Vậy nghiệm phương trình x b) Ta có: x y 3xy 3x y 9xy 27 y 3x 3x 26 3x y 1 26 +) TH 1: 3 y 1 y 1 3x 26 1 3x 26 ( loại ) +) TH 2: 3 y 26 1 3x 1 y 9 x 0 ( tm ) +) TH 3: 3 y 1 3x 26 y 0 x 9 ( tm ) +) TH 4: 3 y 26 1 3x 3 y 26 x ( loại ) +) TH 5: 3 y 2 y 1 1 3x 13 x ( tm ) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com +) TH 6: 3 y 13 1 3x 2 3 y 13 x ( loại ) +) TH 7: 3 y 13 1 3x y x 1 ( tm ) +) TH 8: 3 y y 1 3x 13 1 3x 13 ( loại ) Vậy x; y 0;9 ; 9;0 ; 4;1 ; 1; Bài (4,0 điểm) x xy y P xy ( x y ) x , y a) Cho Tìm GTNN b) Tìm 2019 số tự nhiên liên tiếp mà khơng có số nguyên tố nào? Giải a) Ta có: x xy y x y 3xy x y xy P xy ( x y ) xy ( x y ) xy x y Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số dương x, y, ta được: x y 2 xy P xy x y Dấu " " xảy x y Khi đó: xy 2 xy 2 xy Dấu " " xảy x y xy Vậy giá trị nhỏ P x y b) Xét số tự nhiên A 2.3.4.5 2019.2020 Khi đó: A chia hết cho số: 2; 3; 4; 5; …; 2019; 2020 Xét dãy 2019 số tự nhiên liên tiếp: A 2; A 3; A 4; A 5; ; A 2019; A 2020 Do A2 nên A 22 mà A A hợp số Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Do A3 nên A 33 mà A A hợp số Tương tự: Do A4 nên A 44 mà A A hợp số … Do A2019 nên A 20192019 mà A 2019 2019 A 2019 hợp số Do A2020 nên A 20202020 mà A 2020 2020 A 2020 hợp số Vậy dãy 2019 số tự nhiên liên tiếp: A 2; A 3; A 4; A 5; ; A 2019; A 2020 , khơng có số ngun tố Bài K D E I F C H A M N O B P AC OA OC R AB 2 2 a) Khi AOC BC AB AC R R R sin B AC R 300 C 60 B AB R b) Kẻ OI CD I trung điểm CD OI / / AH / / BK Lại có O trung điểm IH IK ; CI ID CH DK AB I trung điểm HK c) Kẻ EF qua I song song với AB( E AH , F BK ) EHI FKI (ch gn) S AHKB S AEFB IM AB S ACB S ADB AB.(CN DP ) AB.IM Lại có: S AHKB S ACB S ADB Bài 5: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Gọi tổng S 1 150 150 số ban đầu (1 150).150 11325 S1 a b Giả sử xóa hai số a, b thay a b a b ta có tổng là: S1 a b S1 a b Ta có: ( S1 a b) ( S a b) 2S 2a 2b ( S1 a b) (S a b) 2S 2a chẵn nên tổng lúc đầu tổng lúc sau ln tính chẵn lẻ mà tổng ban đầu số lẻ nên tổng lúc sau 100 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC