31 HSG h 20 HOANG HOA

Website:tailieumontoan.com ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN HOẰNG HÓA NĂM 2019 Câu (4,0 điểm): 3x  x  x 1 x 2   x x 2 x 2 x 1 1/ Cho biểu thức a) Tìm điều kiện xác định rút gọn biểu thức P P 3 b) Tính giá trị biểu thức P x  20  14  20  14 ab 2/ Cho b  a  3a  b  4ab Tính a  b 2 Câu (4,0 điểm): 2 1/ Giải phương trình x  3x   ( x  3) x  4x 3x  1 2/ Giải phương trình x  x  x  10 x  Câu (4,0 điểm): 1/ Tìm số tự nhiên n để n  18 n  41 hai số phương    2/ Cho x, y, z số nguyên thoả mãn :  Chứng minh: x  y  z chia hết cho 27 Câu (6,0 điểm): Cho tam giác ABC có ba góc nhọn với đường cao AD, BE , CF cắt tại H 1/ Chứng minh rằng: AEF ∽ ABC 2/ Chứng minh rằng: AE.BF CD  AB.BC.CA.cosA.cosB.cosC x– y y – z z – x    x  y  z  ABC 3/ Chứng minh rằng: DEF  4/ Cho biết AH  k HD Chứng minh rằng: tanB.tanC   k  S   1– cos A – cos B – cos 2C S HA BH HC    5/ Chứng minh rằng: BC AC AB a , b , c Câu (2,0 điểm): Cho số thực dương thỏa mãn a  b  c  Tìm GTLN 2 biểu thức: P  a  abc  b  abc  c  abc  abc HẾT Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN HOẰNG HÓA NĂM 2019 Câu (4,0 điểm): 3x  x  x 1 x 2   x x 2 x 2 x 1 1/ Cho biểu thức a) Tìm điều kiện xác định rút gọn biểu thức P P 3 b) Tính giá trị biểu thức P x  20  14  20  14 ab 2/ Cho b  a  3a  b  4ab Tính a  b 2 Lời giải 1/ a/ ĐKXĐ: x  , x  Ta có P 3x  x  x 1 x 2   ( x  1)( x  2) x 2 x 1  x  x   ( x  1)( x  1)  ( x  2)( x  2) ( x  1)( x  2)  3x  x   x   x   ( x  1)( x  2)     x  1  x 1  x  2 x 2  x3 x 2  x 1 x 2  x 1 x 1 3 b) Rút gọn P x  20  14  20  14 3 Ta có x  20  14  20  14    x3  40  3 20  14 20  14  20  14  20  14   x  40  x  x3  x  40      x   x  x  10   x  x  x  10   x     (vì ) Thay x  vào biểu thức thu gọn ta P  a b 2/ Cho b  a  3a  b  4ab Tính a  b Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com 2 2 Ta có 3a  b  4ab  3a  3ab  b  ab   (a  b)(3a  b)  Vì b  a   a  b  Suy b  3a   b  3a a  b a  3a 2a    (vì a  ) Vì a  b a  3a 4a Câu (4,0 điểm): 2 1/ Giải phương trình x  3x   ( x  3) x  4x 3x  1 2/ Giải phương trình x  x  x  10 x  Lời giải x   y , với y  1/ HD: Đặt Khi đó ta y  3x  ( x  3) y  ( y  3)( y  x)  Dẫn đến y  y  x Từ đó phương trình có nghiệm x  2 4x 3x  1 2) Giải phương trình x  x  x  10 x  2 5  x  10 x    x     x  ¡ 2 2  Vì: x  x   4( x  1)   x  ¡ , , nên ĐKXĐ phương trình x  ¡ Dễ thấy x  không nghiệm (1) Chia tử mẫu (1) cho x  , ta được:  1 7 x   x   10 x x Đặt y  4x   1 x , phương trình trở thành: y  y  10  4( y  10)  3( y  8)  ( y  8)( y  10)  y  25 y  144   y  y  16  31  4x    x2  x     2x     x  16  +) Với y  , ta : vô nghiệm Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com +) Với y  16 , ta x 4x   16  x  16 x     x     x x (thỏa mãn điều kiện) x  ;x  2 Vậy phương trình có nghiệm Câu (4,0 điểm): 1/ Tìm số tự nhiên n để n  18 n  41 hai số phương 2/ Cho x, y, z số nguyên thoả mãn :  Chứng minh: x  y  z chia hết cho 27 Lời giải x – y   y – z   z – x     x  y  z 1/ Để n  18 n  41 hai số phương  n  18  p n  41  q  p, q  N  p  q   n  18    n  41  59   p  q   p  q   59  p  q   p  30   Nhưng 59 số nguyên tố, nên:  p  q  59  q  29 2 Từ n  18  p  30  900 suy n  882 2 Thay vào n  41 , ta 882  41  841  29  q Vậy với n  882 n  18 n  41 hai số phương 2/ Khi chia x, y, z cho ta số dư 0, 1, * Nếu số dư khác x – y, y – z, z – x không chia hết  x – y   y – z   z – x   không chia hết cho 3, x  y  z chia hết cho (loại) x – y M  3 * Nếu có số dư giống Khơng giảm tính tổng quát ta giả sử  đó x  y  z không chia hết cho (loại) x – y ,  y – z  ,  z – x   * Nếu số chia cho có số dư  chia hết  x  y  z   x – y   y – z   z – x  M   27 Câu (6,0 điểm): Cho tam giác ABC có ba góc nhọn với đường cao AD, BE , CF cắt tại H 1) Chứng minh rằng: AEF ∽ ABC 2) Chứng minh rằng: AE.BF CD  AB.BC.CA.cosA.cosB.cosC 3) Chứng minh rằng: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word S DEF    1– cos A – cos B – cos 2C  S ABC mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com 4) Cho biết AH  k HD Chứng minh rằng: A tanB.tanC   k  HA BH HC    5) Chứng minh rằng: BC AC AB E Lời giải 1) ABE vuông tại E nên cosA  cosA  F AE AB H AF AC Suy ACF vuông tại F nên AE AF  AB AC  AEF ∽ ABC  c.g.c  B C D 2) Ta có: AE  AB.cosA;  BF  BC.cosB ; CD  AC.cosC Từ đó suy AE.BF CD  AB.BC.CA.cosA.cosB.cosC S  AE   AEF     cos A AEF ∽ ABC  c.g c  S AB   ABC 3) (*) SCDE S BDF  cos B  cos 2C S S Tương tự (*) có ABC ; ABC Từ đó suy ra: S S DEF S ABC  S AEF  S BDF  SCDE S S   AEF  BDF  CDE S ABC S ABC S ABC S ABC S ABC = S DEF  – cos A – cos B – cos 2C S ABC  Suy 4) Ta có Vì tanB   2 = – cos A– cos B – cos C AD AD AD tanB.tanC  tanC  BD ; CD Suy BD.CD AH  k HD  AD  AH  HD  k HD  HD   k  1 HD  AD   k  1 HD (1) nên AD  HD  k  1 HD (k  1)2 tanB.tanC    BD.CD (2) Do đó Lại có: DHB ∽ DCA  g.g  DB HD   DB.DC  AD.HD nên AD DC (3) Từ (1), (2) (3), ta có: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com tanB.tanC  HD (k  1)2 HD (k  1)2 HD (k  1)  k 1  AD.HD AD = HD.(k  1) Vậy tanB.tanC  k  (đpcm) A 5) Đặt BC  a, CA  b, AB  c, E AH  x, BH  y, CH  z F HC CE AFC ∽ HEC   AC CF Từ HC.HB CE.HB S HBC    AC AB CF AB S ABC B HB.HA S HAB HA.HC S HAC   AC BC S AB BC S ABC ABC Tương tự: ; M H N C D Do đó: xy yz zx HA.HB HB.HC HC.HA S HBC  S HCA  S HAB       1 ab bc ca AC BC AC AB AB.BC S ABC x y z  xy yz zx            ab bc ac  = 3.1 = Lại có:  a b c  x y z    nên a b c suy đpcm Câu (2,0 điểm): Cho số thực a, b, c dương thỏa mãn a  b  c  Tìm GTLN 2 biểu thức: P  a  abc  b  abc  c  abc  abc Lời giải a  abc  abc  a  Theo BĐT cosi ta có:    a  b  a  c  Từ đó suy bc   a  a  b  c   bc  bc  a   a  b  a  c  bc  1  a    a 3  a  abac bc  1 2 a  abc  abc  31    a 3  Tương tự ta có: b  abc  abc  Liên hệ tài 039.373.2038 liệu 1    b 3 ; word mơn c  abc  abc  tốn: 1    c 3  TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Mà  abc  abc     3   Từ đó P 1 31 1       a    b    c  3  3  3  3 Dấu bằng xảy Liên hệ tài 039.373.2038 liệu abc word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC ... AB  c, E AH  x, BH  y, CH  z F HC CE AFC ∽ HEC   AC CF Từ HC.HB CE.HB S HBC    AC AB CF AB S ABC B HB.HA S HAB HA.HC S HAC   AC BC S AB BC S ABC ABC Tương tự: ; M H N C D Do... cho ta số dư 0, 1, * Nếu số dư khác x – y, y – z, z – x không chia h? ??t  x – y   y – z   z – x   không chia h? ??t cho 3, x  y  z chia h? ??t cho (loại) x – y M  3 * Nếu có số dư giống Khơng... AH  k HD  AD  AH  HD  k HD  HD   k  1 HD  AD   k  1 HD (1) nên AD  HD  k  1 HD (k  1)2 tanB.tanC    BD.CD (2) Do đó Lại có: DHB ∽ DCA  g.g  DB HD   DB.DC  AD.HD