Hình học không gian KHOẢNG-CÁCH-TỪ-ĐIỂM-ĐẾN-MẶT-PHẲNG-HÌNH-CHÓP TOÁN dạng câu 36 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng hình chóp (Có đáp án) - HHKG
DẠNG TOÁN 36: KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG I KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Dạng 1: khoảng cách từ điểm thuộc mặt phẳng đáy tới mặt phẳng chứa đường vng góc với đáy Từ điểm kẻ đường thẳng vng góc với giao tuyến mặt đáy Khoảng cách đường vng Dạng 2: khoảng cách từ hình chiếu vng góc đỉnh tới mặt phẳng bên SA mặt đáy Xác định giao tuyến d mặt bên với mặt đáy Từ hình chiếu dựng đường vng góc với giao tuyến d AH d H Từ hình chiếu A dựng AK SH khoảng cách AK Dạng 3: Khoảng cách từ điểm bất ky tới mặt phẳng bên Dựa vào tỷ lệ ta lập luận đưa khoảng cách từ điểm Dạng khoảng cách từ hình chiếu tới mp bên Làm giống Dạng 2, kết cuối phải dựa vào tỷ lệ suy Dạng 4: Khoảng cách đường thẳng chéo a, b Dựng mp chứa a / / b Khi khoảng cách a, b khoảng cách từ điểm thuộc b đến mp Từ điểm ta lại lập luận dựa vào tỷ lệ đưa Dạng Dạng 5: Ta dựa vào thể tích để tính tốn Vchop h.Sd Dạng 6: Sử dụng phương pháp tọa độ hóa ta làm, ta làm hình học tọa độ Oxyz BÀI TẬP MẪU (ĐỀ MINH HỌA -BDG 2020-2021) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có độ dài cạnh đáy cạnh bên (tham khảo hình bên) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng ABCD A C B D 11 Lời giải Chọn A TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang Ta có: AC BD O O trung điểm AC , BD SO AC SO ABCD d O; ABCD SO Mặt khác SAC , SBD cân S SO BD AC SO SA 92 Bài tập tương tự phát triển: Mức độ Câu Cho hình chóp SABC , SA ABC , SA a 3, đáy tam giác cạnh a Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng SAB A a B a a Lời giải C D a Chọn B Gọi H trung điểm AB CH AB CH a CH AB a CH SAB d C , SAB CH Ta có: CH SA Câu Cho hình chóp SABC có SA ABC , tam giác ABC vng B có BC a , Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng A a B a SAB C 2a D a Lời giải Chọn A CB AB CB SAB d C , SAB CB a Ta có: CB SA TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang Câu Cho hình chóp SABC có SA ABC , tam giác ABC vuông C có BC a , Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng SAC A 2a B a C a Lời giải D a Chọn D CB AC CB SAC d B, SAC CB a Ta có: CB SA Câu Cho tứ diện ABCD , DA ABC ABC 90, BA a 3, BC a Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng DAB A a B 2a C a D a Lời giải: Chọn C Câu CB AB CB DAB d C , DAB CB a Ta có: CB DA Cho hình chóp SABC , SAB cạnh a nằm mặt phẳng vng góc với đáy Tính a3 khoảng cách từ C đến mặt phẳng SAB biết V A 2a B 2a C a D 3a Lời giải: Chọn A Ta có: V d C ; SAB S SAB Câu a3 3V d C ; SAB 2a S SAB a Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a , SA ABCD , SA a Tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng SAB A a B 2a TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA C a D a Trang Lời giải: Chọn A DA AB DA SAB d D, SAB DA a Ta có: DA SA Câu Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a , SA ABCD , SA a Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng SAB A a B a C 2a Lời giải: D a Chọn D CB AB CB SAB d C , SAB CB a Ta có: CB SA Câu Cho hình chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật AB a, BC 2a , SA ABCD , SA a Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng SAD A 2a B a C a D a Lời giải: Chọn C CD AD CD SAD d C , SAD CD a Ta có: CD SA Câu 10 Cho hình chóp S ABCD có V a 3 Đáy hình vng cạnh a , tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng ABCD A 2a C a Lời giải: B 3a D 3a Chọn D 3V 3.a 3 3a Ta có: V d S ; ABCD AB d S ; ABCD AB a2 Mức độ Câu Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vng đỉnh B , AB a , SA vng góc với mặt phẳng đáy SA 2a Khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC A 5a B 5a C 2a D 5a Lời giải Chọn A S 2a H C A a B TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang BC AB BC SAB Ta có BC SA Kẻ AH SB Khi AH BC AH SBC AH khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC 4a 2 5a 1 1 AH AH 2 2 2 5 AH SA AB 4a a 4a Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O cạnh 2a , Ta có Câu SA SB SC SD a Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng SCD A a C a B a D a Lời giải Chọn B - Gọi H trung điểm CD Trong SOH , kẻ OI SH CD SO CD SOH CD OI Có CD SH Mà OI SH nên OI SCD d O, SCD OI - Vì O trung điểm BD nên d B, SCD d O, SCD 2OI SO.OH SO OH Có BD 2a , SO SD OD 5a 2a a , OH a d B, SCD a S I A D H O B Câu C Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh 3a , SA vng góc với mặt phẳng đáy SA a Khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC A 6a B 3a C 5a D 3a Lời giải Chọn D TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang BC AB Ta có: BC SAB BC SA SAB SBC SAB SBC SB Trong mặt phẳng SAB : Kẻ AH SB AH d A, SBC 1 1 2 2 2 AH SA AB a 3a 3a d A, SBC AH Câu 3a Chọn D Cho hình chóp SABCD có SA ABCD , đáy ABCD hình chữ nhật Biết AD 2a , SA a Khoảng cách từ A đến SCD bằng: A 3a B 3a 2 C 2a D 2a 3 Lời giải Chọn C Gọi H hình chiếu A lên SD ta chứng minh AH SCD 1 2a 2 AH 2 AH SA AD Câu Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng, cạnh bên SA vng góc với đáy SA a Biết diện tích tam giác SAB A a B a2 Khoảng cách từ điểm B đến SAC là: a 10 C a 10 D a Lời giải Chọn A TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang Ta có SA ABCD SA AB hay SAB vuông A S SAB 1 a2 SA AB a AB AB a Do ABCD hình vng cạnh a 2 Gọi O AC BD Ta có: BD SA; BD AC BD SAC d B, SAC BO Câu a BD 2 Cho hình chóp S ABC có ABC cạnh a Cạnh bên SA a vng góc với ABC Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SBC A a B a 15 C a D a Lời giải Chọn B S H C M A B Gọi M trung điểm BC BC AM BC SAM Ta có BC SM Trong mặt phẳng SAM kẻ AH SM AH SBC Vậy khoảng cách từ điểm A đến SBC AH Ta có AM a , SA a a 15 1 ta AH 2 AH AM SA Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a , SA ABCD , SA a Gọi G Sử dụng hệ thức Câu trọng tâm tam giác ABD , khoảng cách từ điểm G đến mặt phẳng SBC A a B TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA a C a D a Trang Lời giải Chọn B BC AB BC SAB SAB SBC Do BC SA Kẻ AH SB , tam giác SAB vuông cân nên H trung điểm SB Do SAB SBC cắt theo giao tuyến SB AH SB AH SBC AH d A, SBC Trong tam giác vng SAB , ta có AG SBC C Câu 1 1 a AH 2 2 SA AB AH AH a d A, SBC AC d G, SBC GC GC a a d G , SBC d A, SBC AC 3 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông A , biết SA ABC AB 2a , AC 3a , SA 4a Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SBC A d 2a 11 B d 6a 29 29 C d 12a 61 61 D a 43 12 Lời giải Chọn C S K C A H B Ta có SA ABC SA BC BC ABC Trong ABC , kẻ AH BC , mà BC SA BC SAH BC SH Trong SAH , kẻ AK SH , mà SH BC AK SBC hay d A, SBC AK Vì ABC vuông A nên BC AB AC 13a TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang Mặt khác có AH đường cao nên AH AB AC 6a 13 BC 13 Vì SAH vng A nên SH SA2 AH Vậy có AK đường cao AK Câu 2a 793 13 SA AH 12a 61 SH 61 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a chiều cao a Tính khoảng cách d từ tâm O đáy ABCD đến mặt bên theo a A d 2a B d a C d a D d a Lời giải Chọn D S ABCD hình chóp tứ giác nên ABCD hình vuông SO ABCD a nên kẻ OK vng góc với SH K Vẽ OH vng góc với CD H H trung điểm CD , OH Dễ thấy CD SOH SCD SOH OK SCD d O, SCD OK a a Tam giác vng SOH có OK đường cao nên OK OS OH a2 2a OS OH Vậy d O, SCD a a Câu 10 Cho tứ diện O ABC có OA, OB, OC đơi vng góc với OA OB OC Khoảng cách từ O đến mp( ABC ) A B 1 Lời giải C D Chọn B TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang Gọi A ' chân đường cao kẻ từ A lên BC , C ' chân đường cao kẻ từ C lên AB Gọi H giao AA’ với CC’ suy H trực tâm tam giác ABC Ta dễ dàng chứng minh OH ( ABC ) Do đó: d (O, ( ABC )) OH Tính OH 1 (1) 2 OH OA OA '2 1 Lại có: Tam giác OBC vng B, có OA ' đường cao Suy ra: (2) 2 OA ' OB OC 1 1 Từ (1) (2) suy ra: Thay OA OB OC vào, ta được: 2 OH OA OB OC 1 1 OH OH 3 Vậy d (O, ( ABC )) OH Mức độ Ta có: Tam giác OAA ' vng O, có OH đường cao Suy : Câu Cho hình chóp tam giác S ABC có độ dài cạnh đáy a , cạnh bên a Gọi H trọng tâm tam giác ABC , d1 khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC , d khoảng cách từ H đến mặt phẳng SBC Khi d1 d có giá trị A 2a 11 B 2a 33 C 22a 33 D 2a 11 Lời giải S I A C H M B Chọn C Vì H trọng tâm tam giác ABC nên d A, SBC 3d H , SBC d d1 2S Kẻ AI SM AI SBC d1 AI SAM SM Ta có a a AM ; AH ; SM TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA a 3 2 a 11 a ; SH 2 a 3 2 a 3 a 24 3 Trang 10 Gọi H trung điểm AB Khi đó, SH ABCD Gọi O giao điểm AC BD suy AC BD Kẻ HK BD K ( K trung điểm BO ) Kẻ HI SH I Khi đó: d A, SBD 2d H , SBD HI Xét tam giác SHK , có: SH a a , HK AO 1 28 a 21 HI 2 HI SH HK 3a 14 Khi đó: Suy ra: d A, SBD HI Câu a 21 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AD a , AB 2a Cạnh bên SA 2a vng góc với đáy Gọi M , N trung điểm SB SD Tính khoảng cách d từ S đến mặt phẳng AMN A d a C d B d 2a 3a D d a Lời giải Chọn A Ta có: VS ABD SA.SABD a 3 V SN SM 1 a3 Vì: S AMN VS AMN VS ABD VS ABD SD SB 4 SAD vuông: SD SA2 AD a AN a SD 2 SAB vuông: SD SA2 AB 2a AM a MN đường trung bình tam giác SBD MN TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA a DB 2 Trang 12 Khi đó: S AMN Câu 3V a2 a d S ; AMN S AMN nên chọn đáp án A S AMN Cho hình chóp S ABCD , cạnh đáy a , góc mặt bên mặt đáy 60 Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng SCD A a B Chọn C * Ta có: d B, SCD d O, SCD a a Lời giải C D a BD d B, SCD 2.d O, SCD 2OH Trong H OD hình chiếu vng góc O lên SCD * Gọi I trung điểm CD ta có: SCD ABCD CD SCD , ABCD OI , SI SIO 60 SI CD OI CD Xét tam giác SOI vng O ta có: SO OI tan 60 Xét SOI , ta có a 1 4 16 2 2 2 2 OH OI OS a 3a 3a a a d B; SCD Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang vng A B , AB BC a, OH Câu AD 2a Hình chiếu S lên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm H AD SH a Tính khoảng cách d từ B đến mặt phẳng SCD A d 6a B d a C d 6a D d 15a Lời giải Chọn C TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 13 Gọi M trung điểm CD , K hình chiếu H lên SM Tam giác HCD vng H có CD a HM Ta có BH / /CD d B, SCD d H , SCD HK Tam giác SHM vng H có HK HM HS HM HS a 2 a Vậy d B, SCD Câu a Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang vng A D; AB AD 2a; DC a Điểm I trung điểm đoạn AD, hai mặt phẳng SIB SIC vuông góc với mặt phẳng ABCD Mặt phẳng SBC tạo với mặt phẳng ABCD góc 60 Tính khoảng cách từ D đến SBC theo a A a 15 B 9a 15 10 C 2a 15 D 9a 15 20 Lời giải Chọn A Theo đề ta có SI ABCD Gọi K hình chiếu vng góc I BC Suy ra: Góc hai mặt phẳng SBC , ABCD SKI 60 Gọi E trung điểm AB, M IK DE Do BCDE hình bình hành nên DE // SBC d D, SBC d DE , SBC d M , SBC Gọi H hình chiếu vng góc M SK Suy d M , SCD MH Dễ thấy: IM 1 AU KN MK 2 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 14 IN IM MK KN Suy ra: MK MK MK MK MK 2 2 2a IN ID DN 5 a 15 Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vuông A, AC a, I trung điểm SC Hình Trong tam giác MHK , ta có: MH MK sin 60 Câu chiếu vng góc S lên ABC A ABC trung điểm H BC Mặt phẳng SAB tạo với góc 60 Tính khoảng cách từ I đến mặt phẳng SAB 3a B 3a C 5a 2a D Lời giải Chọn A Gọi M trung điểm cạnh AB MH đường trung bình tam giác ABC nên a MH , MH //AC MH AB Mặt khác, SH ABC nên SMH BC Suy góc SAB ABC góc SM MH ; lại có SH MH nên góc góc SMH Từ giả thiết suy SMH 60 Gọi K hình chiếu H lên SM HK SAB Xét tam giác vuông SMH , SH MH tan 60 a a a , MH HK 2 Gọi khoảng cách từ I , C , H đến mặt phẳng SAB d I , SAB , d C , SAB , d H , SAB Cách 1: d I , SAB = d C , SAB a d I , SAB d H , SAB Ta có d H , SAB d C , SAB Cách 2: IH đường trung bình tam giác SBC nên IH //SB IH // SAB d I , SAB d H , SAB Câu 10 Cho tứ diện ACD ABCD có a AC AD BC BD 1, mặt phẳng ABC ABD BCD Khoảng cách từ A đến mặt phẳng BCD là: TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 15 A B C D Lời giải Chọn D A K H D C B Gọi H , K trung điểm CD AB ACD cân A nên AH Đặt AH AH d A; BCD BCD AH x AD HD CD BCD AH ACD x2 HB HA x (hai đường cao tương ứng nhau) x 2 1 HK 2 2 x HK HA HB Mặt khác, ta lại có: AH ABC ABD cân D nên DK AB DK CK KCD tam giác vuông K Suy HK CD HK HD x 2 x2 Vậy khoảng cách từ A đến mặt phẳng BCD x Mức độ Câu Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh 2a SBA SCA 900 Biết góc đường thẳng SA mặt đáy 450 Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) A 15 a B 15 a C 15 a D 51 a Lời giải Chọn B Gọi I trung điểm SA Tam giác SAB SAC tam giác vuông B, C IS IA IB IC TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 16 Gọi G trọng tâm tam giác ABC IG ABC Trong SAG kẻ SH / / IG H CG SH ABC Dễ thấy IG đường trung bình tam giác SAH SH IG Tam giác ABC cạnh = 2a AG 2a 2a 3 Ta có: SA, ABC SA, AH SAH 45 AIG vuông cân G IG AG 2a 4a SH IG 3 1 a 2a a VS ABC SH S ABC 3 Ta có: GA GB GC , GA GH ( IG đường trung bình tam giác SAH) GA GB GC GH G tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABHC AH đường kính đường trịn ngoại tiếp tứ giác ABHC ACH 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) Ta có: AH AG 4a 2a CH AH AC 3 4a 2a 15a SC SH HC 3 2 1 15a 15a S SAC SC AC 2a 2 3 4a 3 3V 2a 15 Vậy d B, SAC S ABC S SAC 15a Câu Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB a , AD 2a Tam giác SAB cân S nằm mặt phẳng vng góc với đáy Góc đường thẳng SC mặt phẳng ABCD 45 Gọi M trung điểm SD , tính theo a khoảng cách từ M đến mặt phẳng SAC A d 2a 1513 89 B d a 1315 89 C d 2a 1315 89 D d a 1513 89 Lời giải Chọn D TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 17 Gọi H trung điểm AB SH AB ( SAB cân S ) SAB ABCD AB SH ABCD Ta có SAB ABCD SH AB cmt Vì SH ABCD , nên hình chiếu vng góc đường thẳng SC lên mặt phẳng ABCD HC , suy SC , ABCD SC , HC SCH 45 2 AB a 17 a HBC vng B , có HC HB BC BC 2a 2 2 SHC vuông cân H , suy SH HC Ta có d M , SAC d D , SAC Mặt khác a 17 MS 1 d M , SAC d D , SAC d B , SAC DS 2 d B , SAC d H , SAC BA d B , SAC 2d H , SAC HA Từ d M , SAC d H , SAC Trong mặt phẳng SAC , kẻ HI AC kẻ HK SI AC HI gt AC SHI AC HK Ta có AC SH SH ABCD HK SI gt HK SAC d H , SAC HK Ta có HK AC cmt ABC vng B , có AC AB BC a 2a a AIH ABC BC AH BC AB 2a.a a AI IH AH IH AC AC AB BC AC 2.a SHI vng H , có HK TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA SH HI SH HI 2 a 17 a a 17 a a 1513 89 Trang 18 Câu Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng với AB 2a Tam giác SAB vuông S , mặt phẳng SAB vng góc với ABCD Biết góc tạo đường thẳng SD mặt phẳng SBC , với sin Tính khoảng cách từ C đến SBD theo a 2a a A B a C 2a D 3 Lời giải Chọn A Gọi d giao tuyến SBC SAD d qua S song song với AD Kẻ qua D đường thẳng song song với SA , cắt d K , ta có: SAB ABCD AD SAB AD SA d SA d KD 1 AD AB SAB SAD SB SAD SB KD SB SA Từ (1) (2) suy KD SBC , hay góc SD với SBC góc SD với SK góc KSD (do tam giác KSD vng K ) Suy KSD Có sin SA SD SA SA AD Ta có SB AB SA2 4a 2 a SA2 SA2 4a SA a 7a a 14 SB 2 Gọi H chân đường vng góc hạ từ S tam giác SAB , SAB ABCD nên SH ABCD Ta có d C , SBD d A, SBD AB d H , SBD HB AB AB d H , SBD d H , SBD HB AB SB 4a d H , SBD d H , SBD 7a Tam giác SAB vuông S nên: 1 2 16 a SH SH SA SB a 7a 7a TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 19 AC 2a a 2 Gọi E hình chiếu vng góc H lên OB ta có 7a 2 HE BH BH BA SB 7 2a 2 HE a 2 AO BA BA BA 4a 8 Gọi F hình chiếu vng góc H lên SE , dễ thấy d H , SBD HF Gọi O tâm hình vng OA 1 16 32 144 7a 7a , suy d H , SBD 2 HF 2 2 HF SH HE 7a 49a 49a 12 12 8 a 2a Vậy d C , SBD d H , SBD 7 12 Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác ABC cạnh a , tam giác SBA vng B , tam Có Câu giác SAC vng C Biết góc hai mặt phẳng SAB ABC 60 Tính khoảng cách SC AB theo a A 3a 3a 13 B C 3a D 3a Lời giải Chọn B S E H E I I D C B C D B A A Gọi D hình chiếu S lên mặt phẳng ABC , suy SD ABC Ta có SD AB SB AB gt , suy AB SBD BA BD Tương tự có AC DC hay tam giác ACD vuông C Dễ thấy SBA SCA (cạnh huyền cạnh góc vng), suy SB SC Từ ta chứng minh SBD SCD nên có DB DC Vậy DA đường trung trực BC , nên đường phân giác góc BAC a Ta có DAC 30 , suy DC Ngoài góc hai mặt phẳng SAB ABC SD a SBD 60 , suy tan SBD SD BD tan SBD 3a BD Dựng hình bình hành ABEC , tam giác ABC tam giác nên tam giác BEC Có CBD ABD ABC 90 60 30 nên BD phân giác góc CBE Gọi I trung điểm EC BI EC TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 20 Kẻ DH SI H , ta có: d D, SCE 1 1 13 a DH 2 DH SD DI a a 13 1 a 3 a 13 Có AB // SEC d AB, SC d AB; SCE d B; SCD Câu BI 3a d D; SCE DI 13 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh 4a , SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy, BAD 1200 Gọi M điểm cạnh CD cho CM 3a Khoảng cách hai đường thẳng SB AM A 51 a 17 B 51 a 12 C 51 a 17 D 51 a Lời giải Chọn A SAB ABCD Ta có: SAB ABCD AB SH ABCD Trong SAB , SH AB Theo giả thiết ta có: AB BC 4a BAD 1200 ABD 300 ABC 600 nên ABC tam giác đều, cạnh 4a S ABC 4a 3a SH 4a 3a Ta có: AM AD2 DM AD.DM cos ADM 4a a 2.4a.a.cos 60 13a 2 AM a 13 Trên tia đối tia CD lấy điểm E cho CE a Khi đó, tứ giác AMEB hình bình hành BE AM a 13 Mặt khác, ADM BCE S AMEB S ABCD 2S ABC 2.4 3a 3a AM SBE AM // SBE Ta có: AM // BE BE SBE Do d AM , SB d AM , SBE d A, SBE TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 21 Ta lại có: d A, SBE d H , SBE AB d A, SBE 2d H , SBE HB Trong ABCD , gọi K F hình chiếu H A lên BE HK 3a 39a 1 S (do HK đường trung bình ABF ) AF AMEB a 13 13 2 EB BE HK BE SH Do SH ABCD BE BE SHK Ta có: HK , SH SHK HK SH H Mà BE SBE SBE SHK Ta lại có: SBE SHK SK Trong SHK , kẻ HI SK I SK HI SBE d H , SBE HI Tam giác SHK vuông H , đường cao 1 1 2 2 HI SH HK 4 3a Do đó: HI Câu HI nên 39a 13 17 48a 51 51 a Vậy d AM , SB a 17 17 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a , SA ABC , góc đường thẳng SB mặt phẳng ABC 75 Khoảng cách hai đường thẳng AC SB gần giá trị sau đây? (lấy chữ số phần thập phân) A 0.833a B 0.844a C 0.855a Lời giải Chọn B D 0.866a S H A C D M B Vì SA ABC nên SB, ABC SB, AB SBA SBA 75 SA AB.tan SBA a.tan 75 a Dựng hình bình hành ACBD , ta có AC // SBD nên: d AC , SB d AC , SBD d A, SBD Gọi M trung điểm BD , suy BD AM Từ SA ABC ta có BD SA , BD SAM TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 22 Kẻ AH SM ( H SM ) BD AH Từ BD AH AH SM suy AH SBD Nên d A, SBD AH a Trong tam giác SAM vng A , ta có Tam giác ABD cạnh a nên AM 1 1 2 2 AH AM SA a 3 a 2 25 12 3 AH a 0.844a 3a 25 12 Vậy d AC , SB d A, SBD AH 0.844a Câu Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh đáy 2a cạnh bên a 37 Gọi M trung điểm cạnh SA Tính khoảng cách hai đường thẳng AC BM A a B 5a C 5a 12 D a Lời giải Chọn D Cách 1: Gọi D đỉnh thứ tư hình bình hành ABDC Khi đó, AC // BD AC // MBD d AC , BM d AC , MBD d A , MBD Gọi O trọng tâm tam giác ABC Suy SO ABC Gọi H trung điểm AO Suy MH // SO MH ABC Vẽ HK BD K Suy HK // BO Suy BO OD HK BO HK HD 2a a 5a Mà BO 2a suy HK 3 Vẽ HI MK I Suy d H , MBD HI 2 a 37 2a 25a 5a 5a Ta có, SO SA AO SO MH 3 2 1 5a 5a d H , MBD HI suy HI 2 12 12 HI MH HK d H , MBD HD a Mà d A , MBD d A , MBD AD Mà TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 23 Vậy d AC , BM Câu a Cho hình chóp S ABCD có SD vng góc với ABCD , SD a Đáy ABCD hình thang vuông A D với CD AD AB 2a Gọi M trung điểm BC Tính khoảng cách hai đường thằng AC SM a a a A a B C D Lời giải Chọn D Gọi N trung điểm AB Suy MN đường trung bình ABC d AC, SM d AC, SMN d I , SMN ( với I DN AC ) Ta có ID SMN N d I , SMN d D, SMN IN IN AN IN ( AN // CD ) DN ID CD DN d I , SMN d D, SMN Xét ADN DCA có D A 90 AN AD AD DC ADN DCA c.g.c ADN DCA DN AC MN SDN Ta có SMN SDN SMN SDN SN d D, SMN DH Trong SDN , DH SN 1 SDN vuông D : DH a 2 DH SD DN a d I , SMN d D, SMN 5 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 24 Câu Cho hình chớp S ABCD có đáy hình thoi tâm O cạnh a , ABC 60 , mặt bên SAB tam giác Hình chiếu vng góc S mặt phẳng ABCD trùng với trung điểm AO Tính khoảng cách hai đường thẳng SA CD A a 560 112 B a 560 10 a 560 C D a 560 28 Lời giải Chọn D Gọi H trung điểm AO Theo giả thiết: SH ABCD Ta có: CD //AB CD // SAB d SA, CD d CD, SAB d C , SAB Mặt khác: d C , SAB d H , SAB CA d C , SAB 4d H , SAB HA Trong ABCD , kẻ HI AB I ; kẻ HK SI K Khi đó: d H , SAB HK Tam giác SHI vuông H nên: 1 1 2 HK HS HI Hình thoi có ABC 60 nên tam giác ABC AC a; BO a a a IH AH OB AH a 2 IH Tam giác AIH đồng dạng tam giác AOB OB AB AB a Tam giác SAB nên SA SB AB a a 15 a Tam giác SAH vuông H nên SH SA AH a 3 4 Thay vào 1 ta được: 2 1 112 a 560 HK 2 HK 5a 112 a a 15 Vậy d C , SAB 4d H , SAB a 560 a 560 112 28 Câu 10 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thang vuông A D , SA ABCD ; AB 2a , AD CD a Gọi N trung điểm SA Tính khoảng cách đường thẳng SC DN , biết thể tích khối chóp S ABCD TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA a3 Trang 25 A a B a C a D a 10 Lời giải Chọn A S N H M B A O D C 1 3a Ta có VS ABCD SA.S ABCD ; S ABCD a 2a a 2 3VS ABCD 3a a Suy SA S ABCD 3a Gọi M trung điểm AB , O giao điểm AC DM Ta có tứ giác ADCM hình vng cạnh a Ta có DNM chứa ON ON //SC nên SC // DNM Suy nên d SC , DN d SC , DMN d C , DMN d A, DMN Trong SAC kẻ AH NO Ta có DM AC DM SA nên DM SAC Khi ta có AH NO AH DMN AH DM DM SAC d A, DMN AH 1 a 1 a a AH ; AN ; AO 2 2 3a 2 AH 3a AH AN AO a 2 Vậy d SC , DN a TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 26 ... Vậy khoảng cách từ A đến mặt phẳng BCD x Mức độ Câu Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh 2a SBA SCA 900 Biết góc đường thẳng SA mặt đáy 450 Tính khoảng cách từ điểm B đến. .. Suy : Câu Cho hình chóp tam giác S ABC có độ dài cạnh đáy a , cạnh bên a Gọi H trọng tâm tam giác ABC , d1 khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC , d khoảng cách từ H đến mặt phẳng SBC ... Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang vng A B , AB BC a, OH Câu AD 2a Hình chiếu S lên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm H AD SH a Tính khoảng cách d từ B đến mặt phẳng