tuyen tap nhung bai tap hay nhat ve tinh chat ba duong trung tuyen cua tam giac co loi giai

TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN CỦA TAM GIÁC A Phương pháp giải Đường trung tuyến tam giác đoạn thẳng nối đỉnh tam giác với trung điểm cạnh đối diện Ba đường trung tuyến tam giác qua điểm (điểm gọi trọng tâm tam giác) Trọng tâm cách đỉnh khoảng độ dài đường trung tuyến qua điểm (h.18.1) B Một số ví dụ Ví dụ 1: Cho tam giác ABC, hai đường trung tuyến BM CN cắt G Trên tia GB GC lấy điểm F E cho G trung điểm FM đồng thời trung điểm EN Chứng minh ba đường thẳng AG, BE CF đồng quy Giải (h.18.2) * Tìm cách giải Để chứng minh ba đường thẳng AG, BE CF đồng quy ta chứng minh chúng ba đường trung tuyến tam giác GBC * Trình bày lời giải Gọi D giao điểm AG BC Vì G trọng tâm ABC nên AD đường trung tuyến, suy DB  DC 3 Ta có GF  GM  BM ; GE  GN  CN Do GF  FB   BM  ; GE  EC   CN  3     Xét GBC có GD, BE, CF ba đường trung tuyến nên chúng đồng quy suy ba đường thẳng AD, BE, CF đồng quy Ví dụ 2: Cho tam giác ABC Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa C vẽ tia Bx // AC Lấy điểm D  Bx điểm E thuộc tia đối tia CA cho BD = CE Chứng minh ABC ADE có trọng tâm Giải (h.18.3) * Tìm cách giải Tam giác ABC ADE có chung đỉnh A nên muốn chứng minh chúng có trọng tâm, cần chứng minh chúng có chung đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A * Trình bày lời giải Vì Bx // AC nên CBx  BCE (so le trong) Gọi M trung điểm BC Ta có BMD  CME (c.g.c) Suy MD  ME 1 BMD  CME Ta có BME  CME  180o (kề bù) Do BME  BMD  180o  D, M, E thẳng hàng (2) Từ (1) (2) suy M trung điểm DE ABC ADE chung đỉnh A, chung đường trung tuyến AM nên trọng tâm G hai tam giác trùng * Nhận xét: Để chứng minh hai tam giác có trọng tâm ta chứng minh chúng có chung đỉnh chung đường trung tuyến qua đỉnh Ví dụ 3: Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AD Trên tia đối tia DA lấy điểm K cho DK  AD Qua B vẽ đường thẳng song song với CK cắt AC M Chứng minh M trung điểm AC Giải (h.18.4) * Tìm cách giải Để chứng minh M trung điểm AC ta chứng minh BM đường trung tuyến Muốn vậy, cần chứng minh BM qua trọng tâm G * Trình bày lời giải Gọi G giao điểm BM AD Ta có BDG  CDK (g.c.g) Suy DG  DK  AD Xét ABC có điểm G nằm đường trung tuyến AD mà GD  AD nên G trọng tâm Suy BM đường trung tuyến MA  MC Ví dụ 4: Chứng minh ba đường trung tuyến tam giác ba cạnh tam giác khác Giải (h.18.5) * Tìm cách giải Để chứng minh ba đường trung tuyến tam giác ba cạnh tam giác khác, ta chứng minh ba đường trung tuyến tỉ lệ với ba cạnh tam giác * Trình bày lời giải Gọi AD, BE, CF ba đường trung tuyến ABC Ba đường trung tuyến cắt G Trên tia đối tia DG lấy điểm H cho DH  DG Ta có CDG  BDH (c.g.c)  GC  HB Theo tính chất ba đường trung tuyến ABC ta có: 3 3 AD  GA  GH ; BE  GB; CF  GC  BH 2 2 Suy AD BE CF    GH GB BH Vậy ba đường trung tuyến AD, BE, CF tỉ lệ với ba cạnh tam giác GHB, ba đường trung tuyến ba cạnh tam giác C Bài tập vận dụng  Chứng minh đồng quy, thẳng hàng 18.1 Chứng minh tam giác có hai cạnh khơng đường trung tuyến ứng với cạnh lớn nhỏ đường trung tuyến ứng với cạnh bé 18.2 Cho tam giác nhọn ABC Vẽ AH  BC Cho biết AB  10cm, AC  13cm, AH  3cm Gọi O điểm AH cho AO  2cm Gọi M N trung điểm AB HC Chứng minh ba điểm M, O, N thẳng hàng  Chứng minh trọng tâm 18.3 Cho tam giác ABC Gọi D E hai điểm cạnh BC cho BD  DE  EC Vẽ đường trung tuyến AO tam giác ABC Trên tia đối tia OA lấy điểm F cho OF  OA a) Chứng minh D trọng tâm tam giác BAF; E trọng tâm tam giác CAF b) Tia AD cắt BF N, tia FE cắt AC M Chứng minh tam giác ABC tam giác AMN có trọng tâm 18.4 Cho tam giác ABC Qua A vẽ đường thẳng a // BC Qua B vẽ đường thẳng b // AC qua C vẽ đường thẳng c // AB Các đường thẳng b c cắt A’ cắt đường thẳng a C’ B’ Chứng minh ABC ABC có trọng tâm 18.5 Cho góc xOy điểm G góc Hãy xác định điểm A  Ox;B  Oy cho G trọng tâm tam giác AOB  Tính độ dài đường trung tuyến 18.6 Cho tam giác ABC cân A, AB  41cm, BC  24cm Tính độ dài đường trung tuyến BM 18.7 Cho tam giác ABC vuông A Các đường trung tuyến BE, CF cắt G Biết GB  61cm, GC  601cm Tính chu vi tam giác ABC 18.8 Cho tam giác ABC vuông A, AB2  AC Chứng minh đường trung tuyến AM CN vng góc với 18.9 Chứng minh tổng ba đường trung tuyến tam giác lớn chu vi tam giác  Chứng minh trung tuyến, trung điểm 18.10 Tam giác ABC có hai đường trung tuyến BE CF Gọi G trọng tâm tam giác ABC Chứng minh AG  BC 18.11 Cho tam giác ABC Trên cạnh AC lấy điểm D cho AD  AC Trên tia đối tia CB lấy điểm E cho CE  CB Tia BD cắt AE điểm M Trên tia CM lấy điểm N cho M trung điểm NC Chứng minh AN  BC 18.12 Cho tam giác ABC trọng tâm G Chứng minh tam giác ABC tam giác cân AB  GB  AC  GC 18.13 Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM Chứng minh AM  BC A  90o 18.14 Cho tam giác ABC trọng tâm G Chứng minh BGC  90o AB  AC  3BC Hướng dẫn giải 18.1 (h.18.6) Xét tam giác ABC có BE CF hai đường trung tuyến cắt G Giả sử AC  AB, ta phải chứng minh BE  CF Ta vẽ thêm đường trung tuyến AD, theo tính chất ba đường trung tuyến ta có AD qua G  Xét ADB ADC có: DB  DC, AD chung AB  AC nên ADB  ADC (định lí hai tam giác có hai cặp cạnh nhau)  Xét GDB GDC có: DB  DC, GD chung ADB  ADC (chứng minh trên) nên GB  GC, suy 2 BE  CF , BE  CF 3 18.2 (h.18.7) Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vng ABH ACH ta tính HB = 1cm, HC = 2cm Vì N trung điểm HC nên HN  NC  1cm Do HN  HB  1cm Vậy AH đường trung tuyến ABN Mặt khác AH  3cm, AO  2cm nên AO  AH , suy O trọng tâm ABN Ta có NM đường trung tuyến NAB, NM phải qua trọng tâm O Vậy ba điểm M, N, O thẳng hàng 18.3 (h18.8) a) Xét BAF có OA  OF nên BO đường trung tuyến 3 Điểm D nằm đường trung tuyến BO mà BD  BC  BO (vì BC  2BO ) nên D trọng tâm BAF Chứng minh tương tự ta E trọng tâm CAF b) Vì D trọng tâm BAF nên đường thẳng AD đường trung tuyến Vì AD cắt BF N nên FN  BN  BF 1 Chứng minh tương tự ta AM  MC  AC   Ta có OFB  OAC (c.g.c) Suy BF  AC  3 OFB  OAC Từ (1), (2), (3) suy AM  FN AOM  FON (c.g.c), suy OM  ON   AOM  FON Ta có AOM  FOM  180o (kề bù) Suy FON  FOM  180o , ba điểm M, O, N thẳng hàng (5) Từ (4) (5) suy O trung điểm MN AO đường trung tuyến AMN ABC AMN có chung đỉnh A, chung đường trung tuyến AO nên có trọng tâm G 18.4 (h.18.9) Theo tinh chất đoạn chắn song song ta có AB  BC, AC  BC suy AB  AC Chứng minh tương tự ta BC  BA CA  CB Xét ABC, ba đường thẳng AA, BB, CC ba đường trung tuyến nên chúng đồng quy điểm G Gọi M giao điểm AA với BC; N giao điểm BB với AC; P giao điểm CC  với AB Ta có AMC  AMB  c.g.c  suy MC  MB Vậy AM đường trung tuyến ứng với cạnh BC ABC Chứng minh tương tự ta BN, CP đường trung tuyến tương ứng với cạnh AC, AB ABC Ba đường trung tuyến AM, BN, CP ABC gặp điểm Mặt khác ba đường thẳng AM, BN, CP ba đường thẳng AA, BB, CC Do trọng tâm G ABC trọng tâm ABC 18.5 (h.18.10)  Tìm cách giải Giả sử vẽ tam giác AOB cho G trọng tâm Tia OG cắt AB trung điểm M Trên tia OG lấy điểm K cho OK  3OG Ta chứng minh AMK  BMO  c.g.c  ; AMO  BMK  c.g.c  Suy KA // Oy;KB // Ox Do xác định A B  Trình bày lời giải - Vẽ tia OG, lấy điểm K cho OK  3OG - Từ K vẽ KA // Oy  A  Ox  KB // Ox  B  Oy  - Vẽ đoạn thẳng AB cắt OK M Khi G trọng tâm AOB Thực vậy, ta có AK  OB (tính chất đoạn chắn song song) AMK  BMO  g.c.g  , suy MA  MB 1 MK  MO 2 Vì OK  3OG nên OM  OG hay OG  OM  2 Từ (1) (2) suy G trọng tâm AOB 18.6 (h.18.11) Vẽ đường trung tuyến AD, BM cắt G Ta có ADB  ADC  c.c.c  Suy DB  DC  12cm; ADB  ADC  180o :  90o Áp dụng định lí Py-ta-go vào ABD vng D ta AD2  AB2  BD2  (3 41)2  122  225  AD  15(cm) Vì G trọng tâm ABC nên GD  AD  5cm Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác GBD vuông D ta GB2  GD2  BD2  52  122  169  GB  13  cm  3 Suy BM  BG  13  19,5  cm  18.7 (h.18.12) Vì G trọng tâm ABC nên BE  3 BG  61  61  cm  2 3 CF  CG  601  601  cm  2  Xét ABE vng A ta có: BE  AB  AE  AB   AC  61   2196 1  Xét ACF vng A ta có: CF  AF  AC   AB  AC  601 Từ (1) (2), suy   5409  2 AB  AC   7605  Mặt khác AB2  AC  BC  3 Suy BC  7605  BC  6084  BC  78  cm  Ta viết (3) thành AB  Mà theo (1) AB  AC AC   6084 4 AC  2196 So sánh (*) (**) ta * ** AC  6084  2196  3888  AC  5184  AC  72  cm  Từ ta tính AB2  BC  AC  6084  5184  900  AB  30cm Vậy chu vi ABC là: 78  72  30  180  cm  18.8 (h.18.13) Đặt AC  b Áp dụng định lí Py-ta-go cho ABC vng A ta có: BC  AB  AC  AC  AC  AC  3b2   BC  3b  AM   3b  BC  b 2 Áp dụng định lí Py-ta-go cho ACN vng A ta có: AB 2 AC 6b   CN  AC  AN  AC   AC     b   CN  b 4   2 2 Gọi G trọng tâm ABC , ta có 2 6 CG  CN  b  b  CG  b2 3 3 AG  2 3 AM  b  b  AG  b 3 3 3 Xét GAC có CG  AG  b2  b2  b2 mà AC  b2 nên AC  CG  AG Do theo định lí Py-ta-go đảo ta GAC vng G Suy AM  CN 18.9 (h.18.14) Xét ABC có đường trung tuyến AD, BE, CF cắt G Xét GBC ta có GB  GC  BC   BE  CF   BC  BE  CF  BC 1 Tương tự, ta có CF  AD  CA;   AD  BE  AB (3) Cộng vế bất đẳng thức (1) (2) (3) ta được:  BE  CF  AD    BC  CA  AB  Suy BE  CF  AD   BC  CA  AB  Nhận xét: Trong 17.7 ta chứng minh AD + BE + CF lớn nửa chu vi tam giác Như kết “mạnh” kết 17.7 18.10 (h.18.15) Xét ABC có BE CF hai đường trung tuyến BE  CF 3 Vì G trọng tâm nên GB  BE, GC  CF GB  GC; GE  GF Ta có GBF  GCE  c.g.c   BF  CE, dẫn tới AB  AC Gọi D giao điểm đường thẳng AG với BC Do G trọng tâm nên AG đường trung tuyến Suy DB  DC Ta có ADB  ADC  c.c.c  , ADB  ADC  180o :  90o Vậy AG  BC 18.11 (h.18.16) Xét ABE có AC đường trung tuyến Mặt khác D  AC AD  AC nên D trọng tâm ABE Suy đường thẳng BD chứa đường trung tuyến ứng với cạnh AE, MA  ME Ta có AMN  EMC  c.g.c   AN  EC Do AN  BC (vì BC  EC ) 18.12 (h.18.17)  Chứng minh mệnh đề AB  GB  AC  GC ABC cân A Ta chứng minh phản chứng Giả sử AB  AC 1 Vẽ tia AG cắt BC D Khi AD đường trung tuyến nên DB  DC Xét ADB ADC có: AD chung; DB  DC AB  AC nên ADB  ADC (định lí hai tam giác có hai cặp cạnh nhau) Xét GDB GDC có: GD chung; DB  DC GDB  GDC (chứng minh trên) nên GB  GC  2 Từ (1) (2) suy AB  GB  AC  GC (trái giả thiết) Vậy điều giả sử AB  AC sai (*) Nếu AB  AC ta đến mâu thuẫn AB  AC sai (**) Từ (*) (**) suy AB  AC ABC cân A  Chứng minh mệnh đề ABC cân A AB  GB  AC  GC Gọi E giao điểm BG vơi AC; F giao điểm CG với AB Khi EA  EC; FA  FB ABE  ACF  c.g.c   BE  CF , 2 BE  CF , dẫn tới GB  GC 3 Suy AB  GB  AC  GC 18.13 (h.18.18)  Chứng minh mệnh đề A  90o AM  BC Ta chứng minh phản chứng Giả sử AM  BC , A  90o , trái giả thiết Giả sử AM  BC , tức AM  BM AM  MC Xét ABM có AM  BM  B  A1 Xét ACM có AM  CM  C  A2 Do B  C  A1  A2  BAC Suy A  B  C  A  A  180o  90o trái giả thiết 2 Vậy A  90o AM  BC  Chứng minh mệnh đề AM  BC A  90o Ta có AM  BC tức AM  BM AM  CM Xét ABM có AM  BM  B  A1 Xét ACM có AM  CM  C  A2 Do B  C  A1  A2  BAC Suy A  B  C  A  A  180o  90o 18.14 (h.18.19) Gọi D giao điểm tia AG với BC Ta có DB  DC GD đường trung tuyến tam giác GBC Xét GBC có BGC  90o (giả thiết) suy GD  BC (xem 17.13) AD  BC 1 Trên tia AD lấy điểm cho DK  DA ACD  KBD  c.g.c  Suy AC  BK Xét ABK có AB  BK  AK Do AB  AC  AD  2 Từ (1) (2), suy AB  AC  .BC  3BC  ... minh ba đường trung tuyến tam giác ba cạnh tam giác khác, ta chứng minh ba đường trung tuyến tỉ lệ với ba cạnh tam giác * Trình bày lời giải Gọi AD, BE, CF ba đường trung tuyến ABC Ba đường trung. .. chất ba đường trung tuyến ABC ta có: 3 3 AD  GA  GH ; BE  GB; CF  GC  BH 2 2 Suy AD BE CF    GH GB BH Vậy ba đường trung tuyến AD, BE, CF tỉ lệ với ba cạnh tam giác GHB, ba đường trung. .. vi tam giác ABC 18.8 Cho tam giác ABC vuông A, AB2  AC Chứng minh đường trung tuyến AM CN vng góc với 18.9 Chứng minh tổng ba đường trung tuyến tam giác lớn chu vi tam giác  Chứng minh trung