bai tap hinh hoc 7 TINH CHAT BA DUONG TRUNG TUYEN CUA TAM GIAC

thuvienhoclieu.com  TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN CỦA TAM GIÁC I KIẾN THỨC CƠ BẢN Đường trung tuyến tam giác AM ABC A Đoạn thẳng nối đỉnh tam giác với trung BC M điểm cạnh gọi đường trung tuyến tam ABC giác  Mỗi tam giác có ba đường trung tuyến Tính chất ba đường trung tuyến tam giác Ba đường trung tuyến tam giác qua điểm Điểm cách đỉnh khoảng độ dài đường trung tuyến qua đỉnh  G trọng tâm tam giác ABC AG BG CG = = = AD BE CF II BÀI TẬP Bài 1: Từ đẳng thức trên, suy đẳng thức khác: 1 AD = 2 AG = AD = GE = ¼¼¼¼ =¼¼¼¼ BG = BE = GF = ¼¼¼¼ =¼¼¼¼ CG = CF = GD = AD = ¼¼¼ =¼¼¼ CF = ¼¼¼ =¼¼¼ BE = ¼¼¼ =¼¼¼ ; ; BP, CQ G có hai đường trung tuyến cắt Trên QG PE = PG PB E tia đối tia lấy điểm cho Trên tia đối tia lấy điểm Bài 2: Cho tam giác ABC thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com F cho EF // BC QF = QG Chứng minh rằng: a) GB = GE , GC = GF ; b) EF = BC Bài 3: Tam giác ABC có đường trung tuyến BD CE Chứng ∆ABC minh tam giác cân Bài 4: Cho a) Nếu ΔABC ΔABC có đường trung tuyến chứng minh: b) Đảo lại, có GD = GE = GF AD, BE , CF GD = GE = GF đồng quy G chứng minh tam ΔABC Bài 5: : Chứng minh rằng, tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nửa cạnh huyền Bài 6: Chứng minh tam giác có đường trung tuyến tương ứng với cạnh nửa cạnh tam giác tam giác vng Bài 7: Cho ∆ABC cân G đồng quy trọng tâm a) Chứng minh Bài 8: ΔABC trung tuyến AM , BN , CP AM ^ BC AM , BN , CP b) Tính độ dài A, AB = 34cm, BC = 32cm (làm tròn kết đến chữ số thập phân thứ hai) có đường cao AH , trung tuyến AM (H n»m gi÷a M, B) Cho biết · · · BAH = HAM = MAC a) Chứng minh b) Vẽ MI ⊥ AC MC = MH · IMB = ·ABC I Chứng minh ΔABC c) Tính góc ΔABC Bài 9: Cho vng A có AD trung tuyến AD = BC a) Chứng minh AC = cm, AD = cm b) Biết + Tính cạnh AB thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com + Trung tuyến BE giác vuông Bài 10: Cho ΔABC ΔABC cắt AD G Tính BE chứng minh có hai trung tuyến AM ∆AGB tam BN vng góc với G Chứng minh BC + CA2 = AB CÓ THỂ EM CHƯA BIẾT Mỗi trung tuyến chia thành tam giác có diện tích Nối đỉnh tam giác với trọng tâm ta tam giác nhỏ có diện tích trung tuyến tam giác phân tam giác thành tam giác nhỏ có diện tích Hết HDG Bài 1: Hs tự điền Bài 2: BG = 2GP ,CG = 2GQ ∆ABC trọng tâm nên : PE = PG,QF = QG GE = 2GP ,GF = 2GQ Lại có nên : BG = GE,CG = GF Do ∆GBC = ∆GEF (c.g.c) b) Suy : · · ⇒ EF // BC GEF = GBC EF = BC Từ ta có a) Vì G Bài 3: Gọi G giao điểm BD CE, ta có 2 BG =  BD, CG   =  CE 3 Do BD = CE nên BG = CG, GD = GE thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com ∆BGE = ∆CGD  ( c.g.c ) ⇒ BE = CD BE = Ta lại có Bài 4: a) Vì EG = mà 1 AB, CD = AC   2 ΔABC AB = AC Vậy ∆ABC tam giác cân AD = BE = CF 1 EB ; FG = CF ; DG = AD Þ GE = GF = GD 3 EG = b) Ta có: mà nên nên 1 EB; FG = CF ; DG = AD 3 GE = GF = GD Þ AD = BE = CF BE = CF ⇒ AB = AC ( chứng minh ) AD = BE Þ CA = CB Þ AB = BC = CA Þ ΔABC Bài 5: Xét ∆ABC Ta chứng minh vuông A, đường trung tuyến AM AM = BC Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho có MA = AD MD = MA Ta ∆BMD = CMA ả = Cà ị BD = AC ,B , cần chứng minh Dễ thấy (c.g.c) · ·ABD = 90° BD //AC ∆CAB = ∆DBA BAC = 90° Ta lại có nên Do (vì cạnh AB chung, AM = · · BC = AD CAB = DBA = 90° AC = BD , ), suy Vậy BC thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Bài 6: Xét ∆ABC AM = , đường trung tuyến AM có Ta chứng minh · BAC = 90° Dễ thấy BC MA = MB = MC =à = ảA B A1 ,  C Các tam giác MAB, MAC cân M nên: Do µ + Cµ = A +A ả = BAC Ã B Ta lại có µ +C µ + BAC · B = 180° nên · BAC = 90° Bài 7: · · D AMB = D AMC (c.c.c) Þ AMB = AMC = 90° a) BC Þ BM = b) Vì M trung điểm BC = 16cm Áp dụng định lí Pitago cho tam giác vng AM + MB = AB ABM ta có: Þ AM = AB - MB = 342 - 162 = 30cm Vì G trọng tâm Xét ΔCBP 1 ΔABC Þ GM = AM = 30 = 10cm 3 ΔBCN có: ìï µ µ ïï B = C (gt) ïí BC chung Þ D CBP = D BCN (c.gc ) Þ CP = BN ïï ïï CN = PB (AB = AC ) ïỵ GBM Áp dụng định lí Pitago cho tam giác vng ta có: 2 GM + MB = MB Þ MB = 10 + 16 = 356 Þ BM » 18,87cm 3 ΔABC Þ BN = BG = 18,87 = 28,31cm 2 Vì G trọng tâm AM = 30cm; BN = CP = 28,31cm Vậy thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Bài 8: Þ BH = HM Þ BM = 2HM = MC D ABH = D AMH a) (c.g.c) ΔAHM = ΔAIM (ch − gn) ⇒ ·AMH = ·AMI b) Chỉ ·AMH = ·ABH (theo a ) ⇒ BMI · = ·ABC mà CM ΔAMI = ΔAMH ⇒ IM = MH = c) Ta có: CMI Trong tam giác vng có IM = CM Ã Ã = 600 ị Cà = 300 Þ CMI = 600 Þ IMB = 1200 Þ B µ = 60°; Cµ = 30°; B µ = 90 A = 90 ị A Vy tam giác ABC có: Chứng minh bổ đề: Trong tam giác vng, góc đối diện với cạnh cạnh góc vng nửa cạnh huyền Bài 9: BC AD = ⇒ BC = AD = 3cm a) 30° b) Áp dụng định lí Pitago cho tam giác vng ta có: ABC BC = AB + AC ⇒ AB = BC − AC = ( 3) − ( 8) 2 = 2cm Áp dụng định lí Pitago cho tam giỏc vuụng ABE ta cú: ổ 8ử ỗ ữ ÷ BE = AB + AE Þ BE = 22 + ỗ = 6cm ữ ỗ ữ ç ÷ ç è ø mà 2 2 AG = AD = cm; BG = BE = cm 3 3 2 æ ổ 6ử ữ ỗ2 3ữ ỗ ữ ữ ç AG + BG = ç + = = AB ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ữ ố ữ ỗ ứ ỗ ứ ố Þ D AGB 2 vuông G ( Pitago đảo) thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Bài 10: Vì AM ⊥ BN nên : BC +CA2 = (2BM )2 + (2AN )2 = 4(BG + GM + GN + AG 2) ( ) ( = GB + AG + GM + GN ) 2 ộổ ổ ửự ờỗ1 ỳ ữ ữ ỗ = 4AB + ờỗ AG ữ + ỗ BG ữ ỳ= 5AB ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ứ ố2 ứỳ ờố2 ỷ Bài tập bổ sung: ΔABC CF AG BE 1) Cho có hai trung tuyến cắt G Đường thẳng cắt BC a) b) D Kẻ BH ⊥ AD H CK ⊥ AD K Chứng minh: BH = CK S ∆AGB = S ∆AGC = S ∆CGB 2) Cho ΔMNP Gọi I điểm nằm tam giác Chứng minh S ∆IGN = S ∆MIP = S ∆NIP a) ( S diện tích) I trọng tâm ΔMNP D BDH = D CK D(ch - gn) Þ BH = CK b) Xét ΔAGB ΔAGC có cạnh AG chung mà: thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com ìï BH ^ AD ïï ïí CK ^ AD Þ S = SΔAGC ΔAGB ïï ïï BH = CK ỵ Vậy Chứng minh tương tự ta được: SΔBGC = SΔAGC S ∆AGB = S ∆BGC = S∆AGC MI ∩ NP = { E} ; NI ∩ MP = { F } 2) Gọi NH ⊥ ME PK ⊥ ME Kẻ H, K 1 Þ SDMNI = SD MIP Þ MI NH = MI PK 2 Þ NH = PK Þ D NHE = D PK E (cgv - gn) Þ NE = EP ⇒E NP F MP trung điểm Chứng minh tương tự: trung điểm ME ∩ NF = { I } ⇒ I ΔMNP mà trọng tâm thuvienhoclieu.com Trang ... CÓ THỂ EM CHƯA BIẾT Mỗi trung tuyến chia thành tam giác có diện tích Nối đỉnh tam giác với trọng tâm ta tam giác nhỏ có diện tích trung tuyến tam giác phân tam giác thành tam giác nhỏ có diện tích... huyền Bài 6: Chứng minh tam giác có đường trung tuyến tương ứng với cạnh nửa cạnh tam giác tam giác vuông Bài 7: Cho ∆ABC cân G đồng quy trọng tâm a) Chứng minh Bài 8: ΔABC trung tuyến AM , BN ,...  C Các tam giác MAB, MAC cân M nên: Do ú + Cà = A +A ả = BAC · B Ta lại có µ +C µ + BAC · B = 180° nên · BAC = 90° Bài 7: · · D AMB = D AMC (c.c.c) Þ AMB = AMC = 90° a) BC Þ BM = b) Vì M trung