tinh chat duong phan giac cua tam giac lmdpt

TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC I Phương pháp giải Định lý Trong tam giác, đường phân giác góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ABC  DB AB   BAD  CAD  DC AC Chú ý * Định lý với đường phân giác góc ngồi tam giác ABC  AB  AC   EB AB   EC AC BAE  CAE  * Các định lý có định lý đảo DB AB   AD đường phân giác tam giác DC AC EB AB   AE đường phân giác tam giác EC AC II Một số ví dụ Ví dụ 1: Cho tam giác ABC , trung tuyến BM cắt phân giác CD P Chứng minh rằng: PC AC   PD BC Giải Dựa vào định ý Ta-lét: PC AC PC AC  1   PD BC PD BC CD phân giác ABC nên  DA AC DA AC   1  1 DB BC DB BC AB AC PC AB   Vì cần chứng minh:  DB BC PD DB Cách Vẽ DK // BM ( K thuộc AM ), theo định lý Ta-lét, ta có: PC MC MA AB    PD MK MK DB Cách Vẽ DI // AC ( I thuộc BM ), Theo định lý Ta-lét, ta có: PC MC MA AB    PD DI DI DB Cách Vẽ AN // BM ( N thuộc tia CD ) Do MA  MC suy PC  PN  PC PN  PD PD Mặt khác Suy  ND DA  (do AN // BP ), PD DB PN ND DA AB  1  1  PD PD DB DB PC AB  PD DB Cách Vẽ AH // CD ( H thuộc tia BM ), Ta có: AMH  CMP  c.g.c  Suy PC  AH  PC AH  PD PD Mặt khác, PD // AH nên theo hệ định lý Ta-lét, ta có: AH AB PC AB    PD DB PD DB Cách Trên tia đối cỉa tia MB , lấy điểm E cho MB  ME Suy ABCE hình bình hành Suy AB // CE AB  CE Theo hệ định lý Ta-lét, ta có: PC CE AB   PD BP DB Ví dụ 2: Cho ABC cân A A  36 Chứng minh rằng: AB  AB.BC  BC Giải * Tìm cách giải Phân tích đề bài, thu B  C  72 , nhận thấy 72  2.36 nên kẻ phân giác góc B (hoặc góc C ) suy luận tự nhiên Từ vận dụng tính chất dường phân giác tam giác biển đổi linh hoạt tỉ lệ thức ta lời giải hay * Trình bày lời giải Kẻ phân giác BD ABC  D  AC  , B1  B2  36  ABD cân D BCD cân B  AD  BC  BD Theo tính chất đường phân giác tam giác ABC , ta có: BA AD BA BC    BC CD BC AC  AD Mà AB  AC ; AD  BC nên BA BC  BC BA  BC  BA  BA  BC   BC  BA2  BA.BC  BC  AB  AB.BC  BC Nhận xét Tương tự giải bày toán sau: Cho ABC cân A A  108 Chứng minh rằng: AB  BC  AB.BC Ví dụ Cho tam giác ABC có trọng tâm G I giao điểm ba đường phân giác Biết IG // BC Chứng minh rằng: AB  AC  2.BC Giải * Tìm cách giải Nhận thấy để khai thác IG // BC nên kẻ đường phân giác góc A trung tuyến ứng với cạnh BC vận dụng giả thiết Từ suy luận có kết AI AI  Mặt khác, tỉ số , kết hợp với I giao điểm ID ID ba đường phân giác cho phép liên tưởng tới khả vận dụng tính chất đường phân giác tam giác ABD, ACD Từ có lời giải sau: * Trình bày lời giải Gọi D, M giao điểm AI , AG với BC Theo tính chất đường phân giác tam giác ABD, ACD , ta có: IA AB CA AB  AC AB  AC     ID BD CD BD  CD BC IG // BC  IA GA AB  AC  2 2 ID GM BC Hay AB  AC  2BC Nhận xét Với kỹ thuật lối tư trên, giải toán đảo: Cho tam giác ABC có trọng tâm G I giao điểm ba đường phân giác Biết AB  AC  2.BC Chứng minh rằng: IG // BC Ví dụ Cho tam giác ABC có tỉ số hai cạnh chung đỉnh A 3:2 Vẽ đường trung tuyến AM đường phân giác AK Tính tỉ số diện tích hai tam giác AKM AKB Giải Trường hợp Xét Chú ý rẳng: KM  AB  AC KB  KC KC AC  KB AB Ta có: S AKM KM KB  KC  KC   AC       1    1    1    S AKB KB KB  KB   AB    Trường hợp Xét Chú ý rẳng KM  AC  AB KC  KB KC AC  KB AB Ta có: S AKM KM KC  KB  KC   AC         1    1    1  S AKB KB KB  KB   AB    Nhận xét Bài dễ bỏ sót trường hợp Ví dụ Cho tam giác ABC có BE CF hai đường phân giác cắt O Chứng minh OB.OC  BE.CF ABC vng A Giải * Tìm cách giải Với giả thiết OB.OC  BE.CF chứng minh ABC vuông A , dễ dàng nhận thấy từ mối quan hệ độ dài mà chứng minh tam giác vuông, tất yếu nghĩ tới định lý Py-ta-go đảo Do cần biểu diễn OB.OC  BE.CF thông qua cạnh tam giác ABC Định hướng cuối a  b  c * Trình bày lời giải Đặt BC  a, AC  b, AB  c Theo tính chất đường phân giác, ta có: BF BC BF BC    FA AC BF  FA BC  AC  BF a ac   BF  c ab ab OF BF c OF  OC a  b  c CF a  b  c       OC BC a  b OC a b OC a b Tương tự, ta có: BE a  b  c  OB ac a  b  c  BE.CF 2 Từ giả thiết OB.OC  BE.CF  OB.OC  a  c  a  b   a  b  c  2ab  2ac  2bc  2a  2ab  2ac  2bc a  b  c , suy ABC vng A Ví dụ Cho tam giác ABC vng A có G trọng tâm, BM đường phân giác Biết GM  AC Chứng minh BM vng góc với trung tuyến AD Giải Cách (Khơng dùng tính chất đường phân giác) Gọi I giao điểm BM AD, H trung điểm AC  DH // AB DH  AB (vì DH đường trung bình ABC ) Lại có GM // AB (cùng vng góc với AC )  GM // DH Áp dụng hệ định lý ta-lét: Xét ADH có  GM // DH  GM AG GM     DH AD DH Xét ABI có GM // AB  GI GM GH    AI AB BH  GI  AI A  3 AD   AI  AG  AD  AI  AI 4  I trung điểm AD ABD có BI vừa đường phân giác, vừa đường trung tuyến, suy ABD cân B nên BI vừa đường cao vừa đường phân giác Do BM  AD Cách ADH có GM // DH  AM AG    AM  AH  AC  AM  MC AH AD hay MC  2.AM Áp dụng tính chất đường phân giác ABC , ta có: BC MC BC    AB   BD AB MA Vậy ABD cân B nên BI vừa phân giác vừa đường cao Do BM  AD Ví dụ Cho tam giác ABC có I giao điểm ba đường phân giác Đường thẳng qua I cắt đường thẳng BC , CA, AB D, E , F cho D, E nằm phía điểm I Chứng minh rằng: BC AC AB   ID IE IF Giải Áp dụng tính chất đường phân giác ngồi tam giác, ta có: BD BF CE CD AF AE  ;  ;  ID IF IE ID IF IE Ta có: BC BD CD BF CE     ID ID ID IF IE Ta có: AC AE CE AF CE     IE IE IE IF IE (1) (2) Từ (1) (2) cộng vế với vế, suy ra: BC AC BF AF AB     ID IE IF IF IF Ví dụ Cho tam giác ABC , đường phân giác AD Đặt AC  b, AB  c Chứng minh AD  2bc bc Giải Cách Qua D kẻ đường thẳng song song với AB , cắt AC E Ta có : D1  A1  A2 nên AE  DE Ta tính DE theo b c Do DE // AB nên theo định lý Ta-lét DE DC  AB BC (1) Theo tính chất đường phân giác Nên DC AC b   DB AB c DC b  DC  DB b  c tức là: DC b  BC b  c Từ (1) (2) suy ra: Do DE  (2) DE b  c bc bc bc Tam giác ADE có AD  AE  DE  DE  2bc bc Cách (không dùng tính chất đường phân giác) Qua B kẻ đường thẳng song song với AD , cắt đường thẳng AC K Ta có: K1  A2 ; B1  A2  K1  B1  ABK cân K , nên AK  AB  c Do BK // AD nên theo định lý Ta-lét AD AC b b    AD  BK BK KC b  c bc (1) Tam giác ABK có BK  AB  AK  2c (2) Từ (1) (2) suy ra: AD  2bc bc Nhận xét Từ kết luận toàn, suy ra: bc 11 1       AD 2bc AD  b c  Tương tự đường phân giác góc B góc C , giải tốn hay khó sau: Cho tam giác ABC Gọi la , lb , lc độ dài đường phân giác góc A, B, C Đặt BC  a, AC  b , AB  c Chứng minh rằng: 1 1 1      la lb lc a b c Ví dụ Cho ABC có AD đường phân giác, I giao điểm ba đường phân giác K trung điểm AB Biết KIB  90 Chứng minh rằng: AB  AC  3BC Giải Trên BA lấy điểm E cho BE  BD Ta có: BDE cân B có BI đường phân giác nên BI  BE DE // KI   BI   KE DI  KA AI (1) Áp dụng tính chất đường phân giác ABD, ACD ta có : BD ID CD   BA IA CA Do BD CD BC   BA CA BA  CA Từ (1) (2) suy ra: (2) (3) KE BD BE BE    KA BA BA 2.KA Hay 2KE  BE  BE  BD BK  BD  BA   3 BA Từ (3) (4) suy ra: (4) BC   AB  AC  3.BC BA  CA III Bài tập vận dụng 14.1 Cho tam giác ABC , đường phân giác AD Biết BC  10cm 2.AB  3.AC Tính độ dài đoạn thẳng BD CD 14.2 Gọi AI đường phân giác tam giác ABC ; IM , IN thứ tự đường phân giác góc AIC góc AIB Chứng minh rằng: AN.BI CM  BN.IC.AM 14.3 Cho tam giác ABC có chu vi 18cm Đường phân giác góc B cắt AC M , đường phân giác góc C cắt AB N Biết rẳng: MA NA  ;  Tính độ dài cạnh MC NC tam giác ABC 14.4 Cho ABC vuông cân A Đường cao AH đường phân giác BE cắt I Chứng minh rằng: CE  2.HI 14.5 Cho hình chữ nhật ABCD Gọi M trung điểm AD, N trung điểm BC Trên tia đối tia DC lấy điểm P , đường thẳng PM cắt AC Q cắt BC S Đường thẳng QN cắt DC R Chứng minh rằng: a) NPR tam giác cân b) MQ SQ  MP SP 14.6 Cho ABC có AM BN.CP đường phân giác Đặt BC  a; AC  b; AB  c Chứng minh rằng: S MNP 2abc  S ABC  a  b  b  c  c  a  14.7 Cho ABC có AB  4cm; BC  6cm; CA  8cm Gọi I giao điểm ba đường phân giác tam giác ABC G trọng tâm Tính độ dài đoạn thẳng IG 14.8 Cho hình bình hành ABCD  AD  AB  điểm M , N thuộc AB, AD cho BM  DN Gọi O giao điểm BN DM Đường thẳng CO cắt đường thẳng AB AD theo thứ tự I K Chứng minh rằng: CD  DK ; BI  BC 14.9 Cho tam giác ABC vng A Có đường cao AH , đường trung tuyến BM đường phân giác CD đồng quy O Chứng minh rằng: BC BH  AC CH 14.10 Cho tam giác ABC vuông A Hai đường phân giác BD CE cắt O Biết số đo diện tích tam giác BOC a Tính tích BD.CE theo a 14.11 Cho tam giác ABC có BAC  ACB Các điểm D , E thuộc cạnh BC cho BAD  DAE  EAC Gọi M điểm thuộc cạnh AB, MC cắt AE L ; gọi K giao điểm ME AD Chứng minh KL // BC 14.12 Cho tam giác ABC với đường trung tuyến CM Điểm D thuộc đoạn BM cho BD  2.MD Biết MCD  BCD Chứng minh rằng: ACD tam giác vng Hướng dẫn giải 14.1 Ta có: AB  3AC suy AB  AC AD đường phân giác góc BAC nên BD BD    BD  CD  10 Suy BD  3.10   cm  ; CD   cm  14.2 Áp dụng tính chất đường phân giác vào tam giác ABC , ABI , AIC : BI AB AN AI CM IC  ;  ;  IC AC NB BI MA AI BI AN CM AB AI IC AB IC   1 IC NB MA AC BI AI AC BI  BI AN.CM  BN.IC.AM 14.3 Xét ABC có BC đường phân giác ABC nên: AM AB AB 1     AB  BC MC BC BC 2 Gọi CN đường phân giác ACB , suy ra: NA AC AC 3     AC  BC NB BC BC 4 Ta có: AB  BC  AC  18  BC  BC  BC  18  BC  18  BC   cm  Từ ta tính AB   cm  ; AC   cm  14.4 Ta có: AIE  BAH  ABI    1 A  B  45  B  45  C  AEI 2 Suy AIE cân A  AI  AE (1) Áp dụng tính chất đường phân giác ABH BAC , ta có: IH BH AB BH    IA BA AI IH (2); EC BC AB BC    EA BA AE EC (3) Từ (2) (3) suy : BH BC  IH EC (4) Vì ABC vng cân v nên BC  2.BH Từ kết hợp với (4), suy EC  2.IH 14.5 a) Ta có: CN // DM ; CN  DM NCD  90 nên CDMN hình chữ nhật  MN // CD Gọi O giao điểm AC MN AOM CON có: AM  CN ; AMO  CNO  90; MAO  NCO  AMO  CNO  c.g.c   MO  ON Áp dụng hệ định lý Ta-lét, ta có: MO // CP  Suy MO QO NO QO  , NO // CR   CP QC CR QC NO MO  mà MO  NO suy CR  CP CR CP NRP có NC  PR, CR  CP nên NRP cân b) MN // RP nên QNM  NRP, MNP  NPR mà NRP  NPR  QNM  MNP  NM tia phân giác QNP Ta có: NS  MN nên NS tia phân giác góc ngồi đỉnh N PNQ Áp dụng tính chất đường phân giác ngồi NPQ , ta có:  MQ NQ SQ NQ  ;  MP NP SP NP MQ SQ  MP SP 14.6 Theo tính chất đường phân giác ABC , ta có: AN AB AN AB    NC BC NC  AN BC  AB  AN c bc   AN  b ca ca Tương tự, ta có: AP  bc ba Mặt khác: S ANP AN AP bc   S ABC AB AC  a  b  a  c  (1) Tương tự: S BMP ac  S ABC  a  b  b  c  (2) SCMN ab  S ABC  a  c  b  c  (3) Từ (1), (2) (3) ta có: SMNP S S S   ANP  BMP  CMN S ABC S ABC S ABC S ABC  1  bc ac ab    a  b  a  c   a  b  b  c   a  c b  c   a  b  a  c  b  c   bc  b  c   ac  a  c   ab  a  b   a  b  a  c  b  c   S MNP 2abc  S ABC  a  b  a  c  b  c  14.7 Gọi D, M giao điểm AI , AG với BC Áp dụng tính chất đường phân giác tam giác ABD , ta có: BD AB BD AB    CD AC BD  CD AB  AC  BD 6.4   BD   2cm 48 12 ID BD ID     IA AB IA Mặt khác G trọng tâm ABC  GM  AG  1     IG // DM (theo định lý Ta-lét đảo)  2  ID GM  IA GA  IG AG IG 2     IG  DM DM AM DM 3 2  IG   BM  BD       cm 3 14.8 Gọi E giao điểm đường thẳng BN CD BM // DE nên BM BO  ED OE mà BM  DN nên BO DN  OE ED DN BC  ED CE Ta có DN // BC nên Từ (1) (2) suy (1) (2) BO BC  OE CE  CO đường phân giác BCD    DKC  DCK  BCK  CDK cân D  CD  DK    BIC  DCI  ICD  BCI cân B  BI  BC 14.9 Kẻ MI  HC AH  HC nên MI // AH Mặt khác MA  MC nên HI  CI  2.HI  CH Áp dụng tính chất đường phân giác định lý ta-lét, ta có: BH BH BO BC BC     CH 2.HI 2.OM 2.CM AC (lời giải khác, bạn xem chuyên đề định lý Cê-va) 14.10 Đặt BC  x; CA  y; AB  z Theo tính chất đường phân giác ABC , ta có: DA AB z DA z yz      DA  DC BC x DA  DC z  x zx (1) AO phân giác BAD nên OB AB OB AB    OD DA OB  OD AB  DA Từ (1) (2) suy ra: Tương tự (2) OB xz  BD x  y  z OC x y  Từ CE x  y  z OB.OC  x  y  x  z  OB.OC x  xy  xz  yz     2 BD.CE BD.CE  x  xy  yz  zx   x  y  z Vì y  z  x nên OB.OC x  xy  xz  yz   BD.CE  x  xy  yz  zx  hay BD.CE  2.OB.OC (3) Để ý kẻ BH  OC , mặt khác dễ thấy BOC  135 , nên BHO vuông cân H Do SBOC  BH OC  OB.OC , suy OB.OC  2a (4) Từ (3) (4) suy ra: BD.CE  4a 14.11 Trên AE lấy điểm N cho MN // BC Từ giả thiết EAC  ECA  EAC cân E  AE  EC (1) Cũng theo giả thiết AEB  EAC  ECA  2.ECA  EAB  BAE cân B  MAN cân M (vì (2) MN // BE )  AM  NM Vậy ta có LM NM AM KM  (vì MN // EC )  (theo (1) (2))  (theo tính chất đường phân LC EC AE KE giác) Suy KL // BC (định lý Ta-lét đảo) 14.12 BCM có CD đường phân giác nên BC BD    BC  2.CM CM MD Trên tia đối tia MC lấy điểm P cho MC  MP suy CP  2.CM  CP  BC  CBP cân C , mà CD phân giác nên CD  BP (1) Mặt khác: CMA  PMB  c.g.c  Do CAM  PBM suy AC // BP (2) Từ (1) (2), ta có: CD  AC hay ACD vuông C  ... vận dụng tính chất đường phân giác tam giác ABD, ACD Từ có lời giải sau: * Trình bày lời giải Gọi D, M giao điểm AI , AG với BC Theo tính chất đường phân giác tam giác ABD, ACD , ta có: IA AB... thuật lối tư trên, giải tốn đảo: Cho tam giác ABC có trọng tâm G I giao điểm ba đường phân giác Biết AB  AC  2.BC Chứng minh rằng: IG // BC Ví dụ Cho tam giác ABC có tỉ số hai cạnh chung... nhận thấy từ mối quan hệ độ dài mà chứng minh tam giác vuông, tất yếu nghĩ tới định lý Py-ta-go đảo Do cần biểu diễn OB.OC  BE.CF thông qua cạnh tam giác ABC Định hướng cuối a  b  c * Trình