Giải Toán lớp 11: Phương pháp và kỹ năng - Phần 2

Tiếp nối nội dung phần 1, phần 2 cuốn sách Phương pháp giải Toán lớp 11 sẽ trình bày một số phương trình lượng giác thường gặp, cùng với đó là bài tập ôn tập chương để các em luyện tập củng cố kiến thức. Mời thầy cô và các em cùng theo dõi chi tiết tại đây nhé.

Trang 87 MỘT PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP §3 MỘT PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP A MỘT SỐ DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP Phương trình bậc hai hàm số lượng giác Dạng Giải số phương trình bậc hai hàm số lượng giác Quan sát dùng công thức biến đổi để đưa phương trình hàm lượng giác (cùng sin cos tan cot) với cung góc giống nhau, chẳng hạn: Dạng a sin2 x + b sin x + c = a cos2 x + b cos x + c = Đặt ẩn phụ t = sin x t = cos x a tan2 x + b tan x + c = t = tan x a cot2 x + b cot x + c = t = cot X Điều kiện −1 ≤ t ≤ −1 ≤ t ≤ π x = + kπ x = kπ Nếu đặt t = sin2 x, cos2 x t = | sin x |, | cos x | điều kiện ≤ t ≤ Ví dụ Ví dụ  Giải phương trình: cos2 x − sin x − =   π + k2π (k ∈ Z) 5π + k2π x= x= ɓ Lời giải cos2 x − sin x − = ⇔ 4(1 − sin2 x) − sin x − = ⇔ − sin2 x − sin x − = ⇔ sin2 x + sin x − = Đặt t = sin x (−1 ≤ t ≤ 1) Khi đó, phương trình trở thành:   4t2 + 4t − = ⇔ (2t − 1)(2t + 3) = ⇔  π x = + k2π  Vì −1 ≤ t ≤ nên t = sin x = ⇔  (k ∈ Z) 5π x= + k2π Ƅ LÊ QUANG XE - ĐT: 0967.003.131  −3 t= t= Trang 88 Chương HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Ví dụ x = k2π −π  x = + k2π (k ∈ Z)   π x= + k2π  Giải phương trình: cos 2x − cos x + = ɓ Lời giải cos 2x − cos x + = ⇔ cos2 x − sin2 x − cos x + = ⇔ cos2 x − cos x + = Đặt t = cos x (−1 ≤ t ≤ 1) Khi đó, phương trình trở thành: 2t − 3t + = ⇔ (2t − 1)(t − 1) = ⇔ t =  t = x = k2π  −π t = cos x =  Vì −1 ≤ t ≤ nên  ⇔ x = + k2π (k ∈ Z)  t = cos x = π x = + k2π   Ví dụ  Giải phương trình cos 2x + sin x + =   −π + k2π (k ∈ Z) 7π x= + k2π x= ɓ Lời giải cos 2x + sin x + = ⇔ 3(1 − sin2 x) + sin x + = ⇔ sin2 x − sin x − = Đặt t = sin x (−1 ≤ t ≤ 1) Khi đó, phương trình trở thành:  6t2 − 7t − = ⇔ (3t − 5)(2t + 1) = ⇔  −1 t=  −π x= + k2π −1  Vì −1 ≤ t ≤ nên t = sin x = ⇔ (k ∈ Z) 7π x= + k2π t=  TRƯỜNG THPT NGUYỄN TẤT THÀNH Trang 89 MỘT PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP Ví dụ −π + kπ x=   −π  x = + kπ (k ∈ Z)   π x= + kπ  Giải phương trình: sin4 x + cos2 x − = ɓ Lời giải sin4 x + cos2 x − = ⇔ sin4 x + 5(1 − sin2 x) − = ⇔ sin4 x − sin2 x + = Đặt t = sin2 x (0 ≤ t ≤ 1) Khi đó, phương trình trở thành: t=  4t − 5t + = ⇔ (4t − 1)(t − 1) = ⇔ t =  −π + kπ x=   1  = sin x = t = sin x = ± −π  ⇔ ⇔ x = + kπ (k ∈ Z)  t = sin x = ±  = sin x = π x = + kπ   Vì ≤ t ≤ nên  t t Ví dụ Giải phương trình: cos 4x + 12 sin2 x − = x = kπ (k ∈ Z) ɓ Lời giải cos 4x + 12 sin2 x − = ⇔ cos2 2x − sin2 2x + 12 sin2 x − = ⇔ (cos2 x − sin2 x)2 − sin2 x cos2 x + 12 sin2 x − = ⇔ (1 − sin2 x)2 − sin2 x(1 − sin2 x) + 12 sin2 x − = ⇔ − sin2 x + sin4 x − sin2 x + sin4 x + 12 sin2 x − = ⇔ sin4 x + sin2 x = Đặt t = sin2 x (0 ≤ t ≤ 1) Khi đó, phương trình trở thành:  8t + 4t = ⇔ 4t(2t + 1) = ⇔  t=0 −1 t= Vì ≤ t ≤ nên t = sin2 x = ⇔ x = kπ (k ∈ Z) Ví dụ Giải phương trình: − tan2 x + − = cos x Ƅ LÊ QUANG XE - ĐT: 0967.003.131    π + k2π (k ∈ Z) −π x= + k2π x= Trang 90 Chương HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ɓ Lời giải Điều kiện: cos x = ⇔ x = π + kπ (k ∈ Z) Ta có: 2 sin2 x cos x cos2 x − tan x + − =0 ⇔− + − = cos x 2 cos2 x cos2 x cos2 x ⇔ cos2 x − + cos x − cos2 x = ⇔ cos2 x − cos x + = ⇔ (2 cos x − 1)2 = ⇔ cos x =  π x = + k2π  ⇔ (k ∈ Z) −π x= + k2π   So sánh hai nghiệm với điều kiện thỏa mãn Vậy  π + k2π (k ∈ Z) −π x= + k2π x= Bài tập vận dụng Bài Giải phương trình lượng giác sau −π x= + k2π    7π x = + k2π (k ∈ Z)   π x= + k2π  a) sin2 x − sin x − =  b) sin x + 12 sin x − =    √ √ c) 2 sin2 x − (2 + 2) sin x + = π + k2π (k ∈ Z) 5π x= + k2π x= x   x     x   x π + k2π 3π = + k2π (k ∈ Z) π = + k2π 5π = + kπ = −π x= + kπ   π x = + k2π (k ∈ Z)    5π x= + k2π  d) −2 sin3 x + sin2 x + sin x − = x = k2π −π  x = + k2π (k ∈ Z)   π x= + k2π  e) cos2 x − cos x + =  f) cos2 x + cos x − =   −π + k2π (k ∈ Z) π x= + k2π x= TRƯỜNG THPT NGUYỄN TẤT THÀNH Trang 91 MỘT PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP √ g) cos2 x + ( − 2) cos x = √ x = k2π −3π  + k2π x = (k ∈ Z)   3π x= + k2π  x    x    x   x √ √ √ h) cos2 x − 2( − 2) cos x = −3π + k2π 3π + k2π = (k ∈ Z) −π = + k2π π = + k2π = √ i) tan2 x + tan x + = x= √ 3−3 x = arctan + kπ   (k ∈ Z) √  3+3 + kπ x = arctan  √ j) tan2 x − tan x − = k) tan2 x + (1 − √ 3) tan x − √  =   √ l) cot2 x + cot x + = m) n) √ √ cot2 cot2 −π + kπ (k ∈ Z) x − (1 + x + (1 − √ √ −π + kπ (k ∈ Z) π + kπ x= x= x=  3) cot x + =    3) cot x − =   ɓ Lời giải a) Đặt t = sin x (−1 ≤ t ≤ 1) Khi đó, phương trình trở thành: −1 t=  2t − t − = ⇔ (2t + 1)(t − 1) = ⇔ t =  −π + k2π  −1  t = sin x =  7π Vì −1 ≤ t ≤ nên  ⇔ x = + k2π (k ∈ Z)  t = sin x =  π x = + k2π   x= b) Đặt t = sin x (−1 ≤ t ≤ 1) Khi đó, phương trình trở thành: −7  4t2 + 12t − = ⇔ (2t + 7)(2t − 1) = ⇔  t=  π x = + k2π  Vì −1 ≤ t ≤ nên t = sin x = ⇔  (k ∈ Z) 5π x= + k2π  Ƅ LÊ QUANG XE - ĐT: 0967.003.131 t= −π + kπ (k ∈ Z) π + kπ (k ∈ Z) π x= + kπ x= π + kπ (k ∈ Z) −π + kπ x= x= Trang 92 Chương HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC c) Đặt t = sin x (−1 ≤ t ≤ 1) Khi đó, phương trình trở thành: t=  2√ 2t2 − 2t − 2t + = ⇔ (2t − 1)( 2t − 1) = ⇔   t=  π x = + k2π    3π  x = + k2π t = sin x =   √ Vì −1 ≤ t ≤ nên  ⇔ (k ∈ Z) x = π + k2π  t = sin x =   5π x= + kπ  √ √ √ d) Đặt t = sin x (−1 ≤ t ≤ 1) Khi đó, phương trình trở thành: t=1  t = −1 −2t3 + t2 + 2t − = ⇔ (−t + 1)(t + 1)(2t − 1) = ⇔   t=  −π  + kπ x= t = sin x =   t = sin x = −1 π  Vì −1 ≤ t ≤ nên  ⇔ x = + k2π (k ∈ Z)    t = sin x = 5π x= + k2π  e) Đặt t = cos x (−1 ≤ t ≤ 1) Khi đó, phương trình trở thành:  2t − 3t + = ⇔ (t − 1)(2t − 1) = ⇔  t=1 t= x = k2π t = cos x =  x = −π + k2π Vì −1 ≤ t ≤ nên  (k ∈ Z) ⇔   t = cos x = π x = + k2π   f) Đặt t = cos x (−1 ≤ t ≤ 1) Khi đó, phương trình trở thành:  2t2 + 3t − = ⇔ (t + 2)(2t − 1) = ⇔  t = −2 t= −π + k2π  Vì −1 ≤ t ≤ nên t = cos x = ⇔  (k ∈ Z) π x = + k2π  x= g) Đặt t = cos x (−1 ≤ t ≤ 1) Khi đó, phương trình trở thành: 2t + √ 2t − 2t − √ = ⇔ (t − 1)(2t + √  2) = ⇔  t=1 √ − t= TRƯỜNG THPT NGUYỄN TẤT THÀNH Trang 93 MỘT PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP  x = k2π  x = −3π + k2π √  ⇔ Vì −1 ≤ t ≤ nên  (k ∈ Z) −   t = cos x = 3π + k2π x=  t = cos x = h) Đặt t = cos x (−1 ≤ t ≤ 1) Khi đó, phương trình trở thành: √ − √ √ √ √ √ t = 4t2 − 3t + 2t − = ⇔ (2t + 2)(2t − 3) = ⇔  √  t=  −3π x= + k2π  √   −  3π x = t = cos x = + k2π   Vì −1 ≤ t ≤ nên  ⇔ (k ∈ Z) √    −π  x = + k2π t = cos x =   π x = + k2π π Đặt t = tan x (x = + kπ, k ∈ Z) Khi đó, phương trình trở thành: √ √ √ t2 + 3t + = ⇔ (t + 3)2 = ⇔ t = − √ π −π Với x = + kπ, k ∈ Z, ta có t = tan x = − ⇔ x = + kπ(k ∈ Z) π Đặt t = tan x (x = + kπ, k ∈ Z) Khi đó, phương trình trở thành: √  3−3 Ç √ å2 t= √  √ 2t2 − 3t − = ⇔ t − = ⇔  3+3 t= √ √   3−3 3−3 x = arctan + kπ t = tan x =  π 2  √ √ Với x = + kπ, k ∈ Z, ta có  ⇔ (k ∈ Z)   3+3 3+3 t = tan x x = arctan + kπ 2 π Đặt t = tan x (x = + kπ, k ∈ Z) Khi đó, phương trình trở thành: đ √ √ √ t = −1 √ t + t − 3t − = ⇔ (t + 1)(t − 3) = ⇔ t =  −π ñ x= + kπ t = tan x = −1 π  √ ⇔ Với x = + kπ, k ∈ Z, ta có (k ∈ Z) π t = tan x = x = + kπ Đặt t = cot x (x = kπ, k ∈ Z) Khi đó, phương trình trở thành: √ √ √ − 3t2 + 3t + = ⇔ ( 3t + 1)2 = ⇔ t = √ − −π Với x = kπ, k ∈ Z, ta có t = cot x = ⇔x= + kπ(k ∈ Z) 3  i) j) k) l) Ƅ LÊ QUANG XE - ĐT: 0967.003.131 Trang 94 Chương HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC m) Đặt t = cot x (x = kπ, k ∈ Z) Khi đó, phương trình trở thành: √ 3t − t − √ √  3t + = ⇔ (t − 1)( 3t − 1) = ⇔   t=1 √ t= π + kπ  (k ∈ Z) Với x = kπ, k ∈ Z, ta có ⇔  π t = cot x = x = + kπ 3 t = cot x = √   x= n) Đặt t = cot x (x = kπ, k ∈ Z) Khi đó, phương trình trở thành: √ 3t + t − √ √  3t − = ⇔ (t − 1)(t + 1) = ⇔  t=1 √ − t=  π x = + kπ  Với x = kπ, k ∈ Z, ta có  (k ∈ Z) − ⇔ − π t = cot x = x= + kπ 3  t = cot x = √ Bài Giải phương trình lượng giác sau  a) cos2 x + sin x − =   b) cos2 x + sin x − = −π + k2π (k ∈ Z) 7π x= + k2π  π + k2π x=  (k ∈ Z)  π x= + k2π x= π x= + k2π   −5π  + k2π (k ∈ Z) x =   −π + k2π x=  c) − cos2 x = sin x(2 sin x + 1) d) − sin2 x − cos x + = x = k2π (k ∈ Z) x = k2π x = π + k2π  (k ∈ Z)   −π x= + k2π  e) −2 sin x − cos x + = −5π + kπ 12 (k ∈ Z) −π x= + kπ 12  x = k2π −π  x = + kπ (k ∈ Z)   π x= + kπ  π x= + kπ  (k ∈ Z)  −π x= + kπ  f) cos2 2x + sin 2x + = g) sin2 x + cos4 x − = h) sin4 x + cos2 x = x=   TRƯỜNG THPT NGUYỄN TẤT THÀNH Trang 95 MỘT PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP  i) cos4 x = sin x −   −3π + kπ (k ∈ Z) 3π + kπ x= x= −π x= + k2π   π (k ∈ Z)  + k2π x = x = k2π  j) sin4 x + cos2 x − = ɓ Lời giải a) Ta có: cos2 x + sin x − = ⇔ −6 sin2 x + sin x + = Đặt t = sin x (−1 ≤ t ≤ 1) Khi đó, phương trình trở thành  t=  −6t2 + 5t + = ⇔  −1 t=  −π + k2π x = −1  (k ∈ Z) Vì −1 ≤ t ≤ nên t = sin x = ⇔ 7π + k2π x= b) Ta có: cos2 x + sin x − = ⇔ − sin2 x + sin x − = ⇔ sin2 x − sin x + = Đặt t = sin x(−1 ≤ t ≤ 1) Khi đó, phương trình trở thành  t=2 2t2 − 5t + = ⇔  t=  π x = + k2π  Vì −1 ≤ t ≤ nên t = sin x = ⇔  (k ∈ Z) π x = + k2π c) Ta có: − cos2 x = sin x(2 sin x + 1) ⇔ − 4(1 − sin2 x) − sin2 x − sin x = ⇔ sin2 x − sin x − = Đặt t = sin x(−1 ≤ t ≤ 1) Khi đó, phương trình trở thành:  t=1  2t − t − = ⇔ −1 t=  π x = + k2π   t = sin x1  − 5π  Vì −1 ≤ t ≤ nên  x= + k2π (k ∈ Z) −1 ⇔   t = sin x =  −π x= + k2π Ƅ LÊ QUANG XE - ĐT: 0967.003.131 Trang 96 Chương HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC d) Ta có: ¯ sin2 x − cos x + = ⇔ cos2 x − cos x + = Đặt t = cos x (−1 ≤ t ≤ 1) Khi đó, phương trình trở thành: đ t=2 t − 3t + = ⇔ t = Vì −1 ≤ t ≤ nên t = cos x = ⇔ x = k2π(k ∈ Z) e) Ta có: −2 sin2 x − cos x + = ⇔ cos2 x − cos x + = Đặt t = cos x(−1 ≤ t ≤ 1) Khi đó, phương trình trở thành:  t=1 2t2 − 3t + = ⇔  t=  x = k2π  t = cos x =  π x = + k2π  (k ∈ Z) Vì −1 ≤ t ≤ nên ⇔  t = cos x = − π + k2π x= f) Ta có: cos2 2x + sin 2x + = ⇔ −2 sin2 2x + sin 2x + = Đặt t = sin 2x (−1 ≤ t ≤ 1) Khi đó, phương trình trở thành:  t=3 2t2 − 5t − = ⇔  −1 t=  −5π x= + kπ −1  12 Vì −1 ≤ t ≤ nên t = sin 2x = ⇔ (k ∈ Z) −π x= + kπ 12 g) Ta có: sin2 x + cos4 x − = ⇔ cos4 x − cos2 x + = Đặt t = cos2 x (0 ≤ t ≤ 1) Khi đó, phương trình trở thành:  t=1 2t2 − 3t + = ⇔  t=  x=   cos x = t = cos2 x =  √ x = Vì ≤ t ≤ nên  ⇔ ⇔  t = cos x = cos x = ± 2 x= k2π −π + kπ (k ∈ Z) π + kπ h) Ta có: sin4 x + 12 cos2 x = ⇔ sin4 x − 12 sin2 x + = TRƯỜNG THPT NGUYỄN TẤT THÀNH Trang 185 BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG I TH 2: cos x = Chia hai vế cho cos2 x ta − tan2 x + tan x + = 3(1 + tan2 x) ⇔ − tan2 x + tan x + =  tan x =  ⇔ tan x = −  π x = + kπ  ã Å , (k ∈ Z) ⇔ + kπ x = arctan − π + kπ  Å ã Vậy phương trình có nghiệm  , (k ∈ Z) x = arctan − + kπ Chọn đáp án A  x= Câu 18 Với giá trị x giá trị hàm số y = sin 3x y = sin x nhau? x = k2π π (k ∈ Z) A B x = k (k ∈ Z) π x = + k2π x = kπ π C D x = k (k ∈ Z) π (k ∈ Z) π x = +k ɓ Lời giải Xét phương trình hồnh độ giao điểm: sin 3x = sin x ⇔ 3x = x + k2π ⇔ 3x = π − x + k2π x = kπ π π x = + k (k ∈ Z) Chọn đáp án C Câu 19 Gọi M, m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = sin2 x + cos 2x Tính P = 2M − m2 A B C P = D P = ɓ Lời giải Ä ä Ta có y = sin2 x + cos 2x = sin2 x + − sin2 x = sin2 x + Mà −1 ≤ sin x ≤ ⇒ ≤ sin2 x ≤ ⇒ ≤ sin2 x + ≤ ® ⇒3≤y≤5⇒ Chọn đáp án D Ƅ LÊ QUANG XE - ĐT: 0967.003.131 M=5 ⇒ P = 2M − m2 = m=3 Trang 186 Chương HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Câu 20 Hàm số y = + sin 2x · cos 2x có tất giá trị nguyên? A B C D ɓ Lời giải Ta có: y = + sin 2x · cos 2x = + sin 4x Mà −1 ≤ sin 4x ≤ ⇒ −2 ≤ sin 4x ≤ ⇒ ≤ + sin 4x ≤ Suy ra: ≤ y ≤ 7, y ∈ Z ⇒ y ∈ {3, 4, 5, 6, 7} Do y có giá trị nguyên Chọn đáp án A Câu 21 Tập xác định hàm số y = A D = R √ − sin x B D = R \ {kπ, k ∈ Z} π D D = R\ + kπ, k ∈ Z C D = R \ {0} ɓ Lời giải Do sin x ≤ với ∀ x ∈ R nên − sin x ≥ 0, ∀ x ∈ R Vậy tập xác định hàm số D = R Chọn đáp án A Câu 22 Hàm số y = sin x đồng biến khoảng Å khoảng ã sau? π π 3π A ;π B 0; C π; 2 D (−π; 0) ɓ Lời giải π Hàm số y = sin x đồng biến khoảng 0; Chọn đáp án B Câu 23 Mệnh đề sai? A Hàm số y = tan x hàm số lẻ C Hàm số y = sin x hàm số chẵn B Hàm số y = cos x hàm số chẵn D Hàm số y = cot x hàm số lẻ ɓ Lời giải Mệnh đề “Hàm số y = sin x hàm số chẵn” mệnh đề sai Chọn đáp án C Câu 24 Xét tập xác định hàm số khẳng định sau sai? A Hàm số y = sin 2x tuần hồn với chu kì T = π B Hàm số y = cos 2x tuần hồn với chu kì T = π C Hàm số y = tan x tuần hoàn với chu kì T = π D Hàm số y = cot 2x tuần hồn với chu kì T = π TRƯỜNG THPT NGUYỄN TẤT THÀNH Trang 187 BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG I ɓ Lời giải π Hàm số y = cot 2x tuần hồn với chu kì T = Do khẳng định hàm số y = cot 2x tuần hồn với chu kì T = π sai Chọn đáp án D Câu 25 7π nghiệm phương trình sau đây? √ √ √ A sin x + = B cos x − = C cos x + = Hỏi x = D sin x − √ 3=0 ɓ Lời giải √ 7π ñ √ sin x − = 7π  sin x =  sin x = sin Với x = suy  ⇔ 7π ⇔  cos x − = cos x = cos cos x = Chọn đáp án D   Câu 26 Trong phương √ tình sau, phương trình tương đương với phương trình cos x = √ A sin x = B sin x + = C tan x = D tan2 x = ɓ Lời giải Ta có: cos2 x = ⇔ cos2 x = sin2 x Mà sin2 x + cos2 x = ⇒ sin2 x = Do đó: tan2 x = = cos2 x Vậy cos2 x = ⇔ tan2 x = Chọn đáp án D Câu 27 Giá trị lớn M hàm số y = − sin 3x A M = −1 B M = C M = D M = ɓ Lời giải Ta có −1 ≤ sin 3x ≤ ⇒ −2 ≤ −2 sin 3x ≤ ⇒ ≤ − sin 3x ≤ π 2π Vậy max y = đạt sin 3x = −1 ⇔ x = − + k , k ∈ Z Chọn đáp án B Câu 28 Hình đồ thị hàm số y = sin x? y A O Ƅ LÊ QUANG XE - ĐT: 0967.003.131 y x O B x Trang 188 Chương HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC y y O x x O C D ɓ Lời giải Ta thấy đồ thị hàm số y = sin x đồ thị hàm số lẻ nên nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng π Mặt khác, hàm số y = sin x đồng biến khoảng 0; (tức khoảng gần bên phải gốc O, đồ thị hàm số lên từ trái qua phải) Chọn đáp án C Câu 29 Tìm tất giá trị tham số m để phương trình cos x + − m = có nghiệm A m > B m < C < m < D ≤ m ≤ ɓ Lời giải Ta có cos x + − m = ⇔ cos x = m − Phương trình có nghiệm −1 ≤ m − ≤ ⇔ ≤ m ≤ Chọn đáp án D Câu 30 Trong phương trình sau, phương trình vơ nghiệm √ (I) cos x = (I I) sin x = − A (I I) B (I) C (I I I) (I I I) sin x + cos x = D (I), (I I), (I I I) ɓ Lời giải 1 ∈ [−1; 1] nên phương trình (I) cos x = ln có nghiệm 3 √ √ 3 ○ Vì − ∈ [−1; 1] nên phương trình (I I) sin x = − ln có nghiệm 2 ○ Vì ○ Ta có phương trình dạng a sin x + b cos x = c có nghiệm a2 + b2 ≥ c2 Phương trình (I I I) có 12 + 12 < 22 nên vô nghiệm Chọn đáp án C Câu 31 Phương trình cos 2x − sin x + = có tập nghiệm trùng với tập nghiệm phương trình sau đây?   sin x = −1 sin x = −1 −5  A sin x = B sin x = C  D 7 sin x = sin x = − 2 ɓ Lời giải TRƯỜNG THPT NGUYỄN TẤT THÀNH Trang 189 BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG I Ta có  2 cos 2x − sin x + = ⇔ − sin x − sin x + = ⇔ sin x + sin x − = ⇔  sin x = sin x = − ⇔ sin x Chọn đáp án B Câu 32 Số điểm biểu diễn tập nghiệm phương trình sin3 x − sin2 x + sin x = đường tròn lượng giác A B C D ɓ Lời giải Phương trình tương đương với   sin x = x = kπ ä  sin x sin2 x − sin x + = ⇔  sin x = ⇔ π x = + k2π sin x = (loại) Ä (k ∈ Z) Vậy có ba điểm biểu diễn tập nghiệm phương trình đường trịn lượng giác A (1; 0), B(−1; 0), C(0; 1) Chọn đáp án C Câu 33 √ Tất họ nghiệm phương trình sin2 x + sin x cos x − cos2 x = π π π π A x = + k2π, x = + kπ, Z B x = + kπ, x = + kπ, Z π π π π C x = + kπ, x = + kπ, Z D x = + kπ, x = + k2π, Z ɓ Lời giải Ta có √ √ sin2 x + sin x cos x − cos2 x = ⇔ cos2 x − sin x cos x =  cos x = √  ⇔ tan x =  π x = + kπ  ⇔ , k ∈ Z π x = + kπ Chọn đáp án B Câu 34 √ Biến đồi phương trình cos 3x − sin x = 3(cos x − sin 3x) dạng sin(ax + b) = sin(cx + d) với π π b, d thuộc khoảng − ; Tính b + d 2 π π π π A b+d = B b+d = C b+d = − D b+d = 12 Ƅ LÊ QUANG XE - ĐT: 0967.003.131 Trang 190 Chương HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ɓ Lời giải Phương trình đã√ cho tương đương với √ √ cos 3x − sin x = 3(cos x − sin 3x) ⇔ cos 3x − sin x = cos x − sin 3x √ √ π π π π π = sin x + ⇒ b+d = + = ⇔ cos 3x + sin 3x = sin x + cos x ⇔ sin 3x + 6 Chọn đáp án B Câu 35 Tìm tổng tất nghiệm phương trình cos(sin x) = thuộc đoạn [0; 2π] A 2π B C π D 3π ɓ Lời giải Ta có cos(sin x) = ⇔ sin x = k2π, mà −1 sin x nên sin x = (k = 0) ⇔ x = k π (k ∈ Z) Suy x = 0, x = π, x = 2π (x ∈ [0; 2π]) Do tổng nghiệm 3π Chọn đáp án D Câu 36 Số nghiệm thuộc khoảng (0; 3π) phương trình cos2 x + A B C cos x + = D ɓ Lời giải cos x + = Đặt t = cos x với |t| ≤ Phương trình: cos2 x +  t = −2  Phương trình trở thành + t + = ⇔ t=− Loại t = −2 |t| ≤  2π x = + k2π 1 2π  , (k ∈ Z.) Với t = − ⇒ cos x = − ⇔ cos x = cos ⇔ 2π 2 x=− + k2π t2 2π 2π 2π 7π + k2π ta có < + k2π < 3π ⇔ − < k2π < ⇔− ⇔ m2 > ⇔ m = Chọn đáp án B Câu 39 Tìm tất giá trị thực Å tham ã số m để phương trình cos 2x − (2m + 1) cos x + m + = π 3π có nghiệm khoảng ; 2 A −1 ≤ m ≤ B −1 ≤ m < C −1 < m < D −1 ≤ m < ɓ Lời giải  cos x =  Ta có: cos 2x − (2m + 1) cos x + m + = ⇔ cos x = m Å ã π 3π Nhận thấy cos x = khơng có nghiệm khoảng ; Do u cầu tốn ⇔ cos x = m 2 Ƅ LÊ QUANG XE - ĐT: 0967.003.131 Trang 192 Chương HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Å có nghiệm thuộc khoảng π 3π ; 2 ã ⇔ −1 ≤ m < Chọn đáp án B Câu 40 Số vị trí biểu diễn nghiệm phương trình sin2 x − sin x cos x + cos2 x = đường tròn lượng giác A B C D ɓ Lời giải Phương trình cho tương đương Ä ä sin2 x − sin x cos x + cos2 x = sin2 x + cos2 x ⇔ −4 sin2 x − sin x cos x − cos2 x = ⇔ (2 sin x + cos x)2 = ⇔ sin x + cos x = ⇔ tan x = − Vậy có vị trí biểu diễn nghiệm đường trịn lượng giác Chọn đáp án B Câu 41 Trong hàm số sau hàm số hàm số chẵn? A y = − sin x B y = cos x + sin2 x C y = cos x − sin x D y = cos x sin x ɓ Lời giải Xét hàm ® số y = f (x) = cos x + sin x có tập xác định D = R x ∈ D ⇒ −x ∈ D Ta có f (− x) = cos (− x) + sin2 (− x) = cos x + sin2 x = f (x) Suy hàm số y = cos x + sin2 x hàm số chẵn Chọn đáp án B Câu 42 Tập xác định hàm số y = tan 2x π A R\ + kπ, k ∈ Z π C R\ + kπ, k ∈ Z π π +k ,k ∈ Z π D R\ + k2π, k ∈ Z B R\ ɓ Lời giải π π π Hàm số xác định cos 2x = ⇔ 2x = + kπ ⇔ x = + k , k ∈ Z π π Vậy tập xác định hàm số D = R \ +k ,k ∈ Z Chọn đáp án B TRƯỜNG THPT NGUYỄN TẤT THÀNH Trang 193 BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG I Câu 43 Phương trình sau vơ nghiệm? √ A sin x − cos x = √ C sin x − cos x = −1 √ B sin x − cos x = √ D sin 2x − cos 2x = ɓ Lời giải Phương trình a sin x + b cos x = c có nghiệm a2 + b2 ≥ c2 Ä√ ä2 √ Ta có + (−1)2 < 32 nên phương trình sin x − cos x = vô nghiệm Chọn đáp án B Câu 44 Tập giá trị hàm số y = sin 2x A [0; 2] B [−1; 1] C [0; 1] D [−2; 2] ɓ Lời giải Hàm số có tập xác định D = R Ta có −1 ≤ sin 2x ≤ 1,∀ x ∈ R Vậy tập giá trị hàm số cho [−1; 1] Chọn đáp án B Câu 45 Khẳng định sau sai tính tuần hồn chu kì hàm số? A Hàm số y = tan x hàm số tuần hoàn chu kì π B Hàm số y = cot x hàm số tuần hồn chu kì π C Hàm số y = cos x hàm số tuần hoàn chu kì π D Hàm số y = sin x hàm số tuần hồn chu kì 2π ɓ Lời giải Hàm số y = f (x) = cos (x + π) = − cos x = f (x) Chọn đáp án C Câu 46 Tìm tập xác định hàm số y = cos x π + kπ; k ∈ Z A D = R\ π C D = k ;k ∈ Z B D = R \ {kπ; k ∈ Z} π D D = R\ k ;k ∈ Z ɓ Lời giải π Hàm số cho xác định cos x = ⇔ x = + kπ; k ∈ Z π Vậy tập xác định hàm số D = R \ + kπ; k ∈ Z Chọn đáp án A Ƅ LÊ QUANG XE - ĐT: 0967.003.131 Trang 194 Chương HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Câu 47 π Giải phương trình sin x = sin ta có nghiệm   π x = + k2π x   A  B  , k ∈ Z 2π x= + k2π x  x π  C x = + k2π, k ∈ Z D  x π + kπ , k ∈ Z 2π + kπ = π = + k2π , k ∈ Z π = − + k2π = ɓ Lời giải π x = + k2π π  Ta có sin x = sin ⇔  , k ∈ Z 2π x= + k2π Chọn đáp án A  Câu 48 √ Phương trình sin x − = có nghiệm π 2π A x = + k2π, x = + k2π, k ∈ Z 3 2π π + kπ,k ∈ Z C x = + kπ; x = 3 π + kπ,k ∈ Z π D x = ± + k2π,k ∈ Z B x=± ɓ Lời giải  π √ x = + k2π √ π  = sin ⇔ , k ∈ Z Ta có sin x − = ⇔ sin x = 2π + k2π x= π 2π Vậy phương trình cho có nghiệm x = + k2π, x = + k2π, k ∈ Z 3 Chọn đáp án A Câu 49 Giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số y = − cos x + A −2 B −2 C π là: D ɓ Lời giải π π π Ta có: −1 ≤ cos x + ≤ ⇔ −2 ≤ −2 cos x + ≤ ⇔ − ≤ − cos x + 4 − (−2) Vậy giá trị nhỏ giá trị nhỏ hàm số cho ≤ Chọn đáp án D Câu 50 Hãy nêu tất hàm số hàm số y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = cot x thỏa mãn π điều kiện đồng biến nhận giá trị âm khoảng − ; TRƯỜNG THPT NGUYỄN TẤT THÀNH Trang 195 BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG I A y = tan x; y = cotx C y = tan x, y = cos x B y = sin x, y = cot x D y = sin x, y = tan x ɓ Lời giải Vì hàm số y = cot x nghịch biến khoảng xác định nên loại đáp án y = sin x, y = cot x π Dựa vào đồ thị hàm số lượng giác y = sin x, y = cos x y = tan x khoảng − ; ta thấy hàm y = sin x y = tan x thỏa mãn Chọn đáp án D Câu 51 Số nghiệm thuộc khoảng (−π; π) phương trình sin x = A B C D ɓ Lời giải π + k2π  Ta có sin x = ⇔ sin x = ⇔  , (k ∈ Z) 5π x= + k2π 5π π Vậy phương trình có hai nghiệm thỏa mãn đề Mà x ∈ (−π; π) ⇒ x = ; x = 6  x= Chọn đáp án C Câu 52 π π Tính tổng S nghiệm phương trình sin x = đoạn − ; 2 5π π π π A S= B S= C S= D S= 6 ɓ Lời giải π x = + 2kπ  Ta có sin x = ⇔  , (k ∈ Z) 5π + 2kπ x= π π π π Vì x ∈ − ; nên x = ⇒S= 2 6  Chọn đáp án B Câu 53 Một họ nghiệm trình cos 2x + sin x − = Å phương ã Å ã π π 1 A − arcsin − + kπ B − arcsin − + kπ 2 Å 4ã Å ã4 1 + k2π + k2π C π + arcsin − D π − arcsin − 4 ɓ Lời giải ä Ta có cos 2x + sin x − = ⇔ − 2sin2 x + sin x − = Ä Ƅ LÊ QUANG XE - ĐT: 0967.003.131 Trang 196 Chương HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC  ⇔ −4sin x + sin x + = ⇔  sin x = sin x = − π + k2π (k ∈ Z) Å ã  x = arcsin − + k2π ã Å ○ sin x = − ⇔  (k ∈ Z)  + k2π x = π − arcsin − ○ sin x = ⇔ x = Chọn đáp án D Câu 54 Nghiệm âm lớn phương trình − sin x − 2cos2 x = 7π 3π π A − B − C − 12 2 π D − ɓ Lời giải Ta có Ä ä − sin x − 2cos2 x = ⇔ − sin x + − sin2 x = ⇔ −2sin2 x − sin x + = ⇔  sin x =  sin x = − Phương trình sin x = − < −1 vô nghiệm π Với sin x = ⇔ x = + k2π, k ∈ Z −3π π nghiệm âm lớn phương trình Với k = −1 ⇒ x = − 2π = 2 Chọn đáp án C Câu 55 Ä √ ä Nghiệm phương trình sin x cos x − = π π A x = k2π; x = ± + k2π (k ∈ Z) B x = ± + k2π (k ∈ Z) π π C x = kπ; x = ± + k2π (k ∈ Z) D x = kπ; x = ± + kπ (k ∈ Z) 6 ɓ Lời giải  sin x = x = kπ Ä √ ä √  Ta có: sin x cos x − = ⇔  ⇔ , k ∈ Z π x = ± + k2π cos x = Chọn đáp án C  Câu 56 Số nghiệm phương trình sin 2x + A B √ cos 2x = √ khoảng 0; C π D ɓ Lời giải TRƯỜNG THPT NGUYỄN TẤT THÀNH Trang 197 BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG I √ √ π π = ⇔ sin 2x + = Ta có sin 2x + cos 2x = ⇔ sin 2x + 3   π π 2x + = + k2π x = kπ π π  3  ⇔  ⇔ Kết hợp x ∈ 0; ta x = nghiệm π π 2π x = + kπ 2x + = + k2π 3 π phương trình khoảng 0; Chọn đáp án A √ √ Câu 57 √ Phương trình sin 8x − cos 6x = (sin 6x + cos 8x) có nghiệm âm lớn x1 nghiệm dương nhỏ x2 , giá trị 2x1 + x2 π π π π A B C − D − 28 14 14 28 ɓ Lời giải Ta có sin 8x − cos 6x = √ √ √ (sin 6x + cos 8x) ⇔ sin 8x − cos 8x = sin 6x + cos 6x √ √ 3 ⇔ sin 8x − cos 8x = sin 6x + cos 6x 2 2 π π ⇔ sin 8x − = sin 6x +  π π 8x − = 6x + + k2π  ⇔  π 5π 8x − = − 6x + k2π  π x = + kπ  ⇔  π π , (k ∈ Z) x= +k 12 5π 84 π Nghiệm dương nhỏ x2 = 12 Å ã 5π π π Vậy 2x1 + x2 = − + =− 84 12 28 Chọn đáp án D Nghiệm âm lớnnhất x1 = − Câu 58 Để phương trình: sin x + phải thỏa điều kiện: A −2 ≤ a ≤ π π cos x − B − 1 ≤a≤ 2 = a2 + √ sin 2x − cos 2x có nghiệm, tham số a C −1 ≤ a ≤ ɓ Lời giải Phương trình tương đương với sin x + Ƅ LÊ QUANG XE - ĐT: 0967.003.131 π π cos x − = a2 + √ sin 2x − cos 2x D −3 ≤ a ≤ Trang 198 Chương HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ Ç√ å π π + sin 2x + = a +2 sin 2x − cos 2x sin 2 π π π + sin 2x + = a2 + cos sin 2x − sin cos 2x 6 π π 2 + sin 2x + = a + sin 2x − 6 π π sin 2x + − sin 2x − = a −1 6 π 2 cos 2x sin = a − ⇔ cos 2x = a2 − 2 1 a − ≤ ⇔ ≤ a2 ≤ ⇔ ≤ a2 ≤ ⇔ −2 ≤ a ≤ 2 Vậy để phương trình có nghiệm −2 ≤ a ≤ Chọn đáp án A Vì −1 ≤ cos 2x ≤ nên −1 ≤ Câu 59 x x Gọi S tập hợp nghiệm thuộc khoảng (0; 100π) phương trình: sin + cos 2 √ cos x = Tổng phần tử S 7375π 7525π 7550π 7400π A B C D 3 3 + ɓ Lời giải Ta có sin x x + cos 2 + √ √ cos x = ⇔ + sin x + cos x = √ ⇔ sin x + 3√cos x = ⇔ sin x + cos x = 2 π ⇔ sin x + =1 π ⇔ x = + k2π, k ∈ Z Theo đề cho ta có < x < 100π ⇔ < π 599 + k2π < 100π ⇔ − < k < 12 12 Mà k ∈ Z ⇒ k ∈ {0; 1; 2; 3; 4, ; 48; 49} π π π π 50π Vậy S = + + 2π + + × 2π + · · · + + 49 × 2π = + 2π (1 + + + + · · · + 49) 6 6 50π 49 (49 + 1) 7375π = + 2π = Chọn đáp án A Câu 60 Tập hợp giá trị ïtham số m ò để phương trình sin 2x + m = cos x + 2m sin x có π 2π hai nghiệm thuộc đoạn − ; [a; b) ∪ {α} ∪ { β} với a, b, α, β số thực Tính tổng 3 a + b + α +√β ? √ √ √ 2+ 1+ 3 −1 + A B C D 2 2 TRƯỜNG THPT NGUYỄN TẤT THÀNH Trang 199 BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG I ɓ Lời giải ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ sin 2x + m = cos x + 2m sin x (∗) sin x cos x + m = cos x + 2m sin x sin x cos x − 2m sin x + m − cos x = sin x (cos x − m) − (cos x − m) = (cos x − m) (2 sin x − 1) = ñ sin x − = (1) cos x − m = (2) π x = + k2π  Giải (1): sin x = ⇔  (k ∈ Z) 5π + k2π x= ï ị π π 2π Khi PT (1) có nghiệm x = ∈ − ; ï 3 ị π 2π Để (*) có hai nghiệm thuộc đoạn − ; phương trình (2) có nghiệm thuộc 3 ï ị π 2π − ; 3ï ò π 2π Với x ∈ − ; ⇒ − ≤ cos x ≤ 3 ï ò 1 π 2π Với − ≤ m < m = phương trình (2) có nghiệm thuộc − ; 2 3 Với ≤ m < phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt √ π ⇒ x = (trùng với nghiệm phương trình Vậy PT(2) có nghiệm m = (1)) ï ị π 2π Tóm lại để phương trình sin 2x + m = cos x + 2m sin x có hai nghiệm thuộc đoạn − ; 3 ®√ ´ √ √ ï ã 1 3 2+ − ; ∪ {1} ∪ Nên a + b + α + β = + = 2 2 Chọn đáp án A HẾT  Ƅ LÊ QUANG XE - ĐT: 0967.003.131 ... Giải phương trình: cos 4x + 12 sin2 x − = x = kπ (k ∈ Z) ɓ Lời giải cos 4x + 12 sin2 x − = ⇔ cos2 2x − sin2 2x + 12 sin2 x − = ⇔ (cos2 x − sin2 x )2 − sin2 x cos2 x + 12 sin2 x − = ⇔ (1 − sin2... {0} Phương pháp giải: (1) ○ a2 + b2 < c2 , phương trình vơ nghiệm ○ a2 + b2 ≥ c2 , ta làm sau: √ a b c Chia hai vế (1) cho a2 + b2 , (1) ⇔ √ sin x + √ cos x = √ (2) a2 + b2 a2 + b2 a2 + b2 a... cos2 2x = Ç å sin2 2x ⇔4 1− + sin 2x cos 2x + cos2 2x = ⇔ sin2 2x − sin 2x cos 2x − cos2 2x + = (*) TH1 Với cos 2x = 0, thay vào phương trình (*) ta sin2 2x = −1 (vơ lí) TH2 Với cos 2x = 0, chia