Mời các bạn và các em học sinh cùng tham khảo tài liệu để nắm chi tiết hệ thống kiến thức về phương trình và hệ phương trình vào giải các bài toán nhằm khắc sâu kiến thức.
CHỦ ĐỀ 2. PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH Kiến thức cần nhớ Cho phương trình (1) + Nếu , phương trình (1) vơ nghiệm + Nếu , phương trình (1) có nghiệm kép + Nếu , phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt Cho phương trình (2) + Nếu , phương trình (2) vơ nghiệm + Nếu , phương trình (2) có nghiệm kép + Nếu , phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt Hệ thức Vi – ét: Nếu phương trình có hai nghiệm là: và thì Nếu có hai số u, v và thì hai số đó là nghiệm của phương trình với Cho phương trình (1) + Nếu , phương trình (1) có hai nghiệm + Nếu , phương trình (1) có hai nghiệm: Bài tập minh họa Bài 1. Cho phương trình (1) a) Giải phương trình khi m = b) Tìm m để phương trình có nghiệm kép Lời giải: a) Khi m = , phương trình (1) có dạng , phương trình có hai nghiệm b) Để phương trình (1) có nghiệm kép thì Bài 2. Cho phương trình: (*) a) Giải phương trình khi m = 2 b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt Lời giải: a) Khi m = 2, phương trình (*) có dạng Vậy khi m = 2, phương trình (*) có nghiệm duy nhất b) Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt Vậy điều kiện cần tìm là và Bài 3. Cho phương trình: (1) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu thỏa mãn một trong các điều kiện sau: a) Nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn; b) Nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn Lời giải: Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi Theo hệ thức Vi – ét: a) Nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn Vậy điều kiện cần tìm là b) Nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn Vậy điều kiện cần tìm là Bài 4. Cho phương trình a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm âm phân biệt Lời giải: Phương trình ln có hai nghiệm phân biệt Theo hệ thức Vi – ét: a) Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt khi b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi Bài 5. Cho phương trình (1) a) Tìm m để (1) có hai nghiệm phân biệt sao cho b) Tìm m để (1) có hai nghiệm phân biệt sao cho Lời giải: a) Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi . Theo hệ thức Vi – ét Suy ra . Vậy là các số cần tìm b) Vậy m = 3 là số cần tìm Bài 6. Cho phương trình . Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt sao cho : a) b) Lời giải : Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì . Theo hệ thức Vi – ét a) Thay vào (1) ta có Thay vào (2) ta có là số cần tìm b) là số cần tìm Bài 7. Cho phương trình (1) a) Giải phương trình khi m = 1 b) Tìm m để phương trình có bốn nghiệm phân biệt Lời giải : Đặt . Phương trình (1) có dạng : (2) a) Khi m = 1, phương trình (2) . Phương trình có hai nghiệm Phương trình có tập nghiệm b) Phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt khi phương trình (2) có hai nghiệm dương phân biệt. Điều này chỉ xảy ra khi Bài 8. Cho phương trình (1) a) Giải phương trình khi m = 2 b) Tìm m để phương trình có ba nghiệm phân biệt c) Tìm m để Lời giải : Phương trình (1) (2) a) Khi m = 2, phương trình (2) có dạng : Phương trình (*) vơ nghiệm vì . Vậy khi m = 2, phương trình có một nghiệm duy nhất là b) Phương trình Để (1) có ba nghiệm phân biệt thì (3) phải có hai nghiệm phân biệt c) Gọi là các nghiệm của phương trình (3) thì Theo hệ thức Vi – ét : Do đó thỏa mãn điều kiện Vậy là giá trị cần tìm Bài 9. Cho phương trình (1) a) Giải phương trình khi m = 14 b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt Lời giải : Điều kiện xác định (*) (2) Với điều kiện (*), phương trình (2) (3) a) Khi m = 14, phương trình (3) . Phương trình có hai nghiệm Đối chiếu với điều kiện chỉ có là nghiệm của (1) b) Để (1) có hai nghiệm phân biệt thì phương trình (3) phải có hai nghiệm phân biệt Vậy và thỏa mãn đề bài Bài 10. Giải các phương trình sau : a) (1) b) (2) c) (3) d) (4) Lời giải : a) Phương trình 1 có điều kiện xác định là Đặt Ta có phương trình Phương trình này có hai nghiệm , phương trình vơ nghiệm Vậy phương trình có nghiệm b) Nhận xét khơng là nghiệm của (2). Chia hai vế cho , ta được : Đặt . Phương trình có dạng : , phương trình có nghiệm , phương trình có nghiệm , phương trình có nghiệm c) Phương trình (3) Đặt , ta có . Phương trình có hai nghiệm là , phương trình có nghiệm , phương trình vơ nghiệm Vậy phương trình có hai nghiệm d) Phương trình (4) Đặt , ta có : Phương trình này có hai nghiệm , phương trình vơ nghiệm Vậy phương trình có hai nghiệm Bài 11. Giải các phương trình sau : a) (1) b) (2) c) (3) d) (4) Lời giải : a) Phương trình (5) (6) , phương trình có nghiệm (loại) khơng thỏa mãn (5). Vậy phương trình đã cho có một nghiệm b) Điều kiện xác định (*) Phương trình (8) . Phương trình này có hai nghiệm khơng thỏa mãn điều kiện (*). Phương trình có nghiệm c) Điều kiện xác định hay (**) Đặt , ta có .Phương trình có hai nghiệm nên Với đều thỏa mãn điều kiện (**). Vậy phương trình có nghiệm e) Điều kiện xác định Đặt . Ta có : Cộng từng vế (9) và (10) ta được Với , từ (9) Vậy Với vơ nghiệm do Phương trình đã cho có nghiệm Bài 12. Giải các hệ phương trình sau : a) b) Lời giải : a) Điều kiện xác định . Đặt ta có hệ phương trình Từ đó suy ra . Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất b) Hệ đã cho tương đương với Cộng từng vế (5) và (6) ta được . Thay vào (6) Hệ có nghiệm duy nhất Bài 13. Cho hệ phương trình Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thảo mãn điều kiện : a) và trái dấu b) và cùng dương Lời giải : a) ; thay vào (2) ta được (3) Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì (3) phải có nghiệm duy nhất . Hệ có nghiệm duy nhất và trái dấu Mà với nên là giá trị cần tìm b) và cùng dương Vì nên Vậy điều kiện cần tìm là Bài 14. Giải các hệ phương trình sau a) b) Lời giải : a) , thay vào (2) ta được Phương trình có hai nghiệm Do đó hệ đã cho có hai nghiệm b) Trừ từng vế của các phương trình (3), (4) ta được: Với thay vào (4) được Với , thay vào (3) ta được:, phương trình vơ nghiệm Vậy hệ có nghiệm Bài tập tự luyện Bài 1. Cho hai phương trình : (1) (2) Với giá trị nào của m thì hai phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm chung. Tìm nghiệm chung đó Bài 2. Cho hai phương trình : (1) (2) với a) Chứng minh rằng hai phương trình đã cho cùng có nghiệm hoặc cùng vơ nghiệm b) Giả sử và lần lượt là các nghiệm của phương trình (1) và (2). Chứng minh rằng Bài 3. Cho phương trình . Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt sao cho: a) b) Bài 4. Cho phương trình . Tìm m để phương trình có hai nghiệm là độ dài hai cạnh góc vng của tam giác vng có cạnh huyền bằng Bài 5. Cho hệ phương trình Tìm đề hệ phương trình có nghiệm duy nhất và là số ngun Bài 6*. Cho hệ phương trình Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất sao cho tích có giá trị nhỏ nhất Bài 7. Giải các hệ phương trình: a) b) Bài 8. Giải hệ phương trình: a) b) Bài 9*. Giải hệ phương trình: a) b) Bài 10*. Giải các phương trình sau: a) (Đề thi vào lớp 10 – Hà Nội – Năm học 2009 – 2010) b) (Đề thi vào lớp 10 – Hà Nội – Năm học 2010 – 2011) Hướng dẫn – Lời giải – Đáp số Bài 1. , phương trình (1) và phương trình (2) đều vơ nghiệm. Vậy Từ (1) suy ra . Thay vào (2) và thu gọn được (loại), Với , ta có Vậy hai phương trình có nghiệm duy nhất khi m = 3 Bài 2. a) Vì nên (1) và (2) đều là phương trình bậc hai Ta có suy ra hoặc cùng hoặc cùng