chuyen de toan lop 9 on thi vao lop 10

8 CĐ ĐS CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN ĐỒNG HÀNH VÀO 10 MỤC LỤC A CÁC BÀI TOÁN RÚT GỌN CĂN THỨC  Dạng 1: Biểu thức dấu số thực dương  Dạng 2: Áp dụng đẳng thức A2  A  Dạng 3: Biểu thức dấu đưa đẳng thức A2  A  Dạng 4: Rút gọn tổng hợp (sử dụng trục thức, đẳng thức, phân tích thành nhân tử; …)  Dạng Bài toán chứa ẩn (ẩn x) dấu ý toán phụ 12  Bài tập tự luyện: 27 B CÁC BÀI TỐN GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH 30  Kiến thức 30  Ví dụ minh họa 31  Bài tập 33  Bài tập tự luyện 36  Giải hệ phương trình số ý phụ 40  Giải hệ phương trình bậc cao 47 C GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH 50  KIẾN THỨC CẦN NHỚ 50  PHÂN DẠNG TOÁN 51 Dạng Toán quan hệ số 51 Ví dụ minh họa: 51 Bài tập tự luyện: 53 Dạng 2: Toán chuyển động 55 Ví dụ minh họa: 56 Bài tập tự luyện: 59 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN Dạng 3: Tốn suất – Khối lượng cơng việc - % 60 Ví dụ minh họa: 61 Bài tập tự luyện: 68 Dạng 4: Tốn có nội dung hình học 68 Ví dụ minh họa: 69 Bài tập tự luyện: 71 Dạng Các dạng toán khác 71 Ví dụ minh họa: 71 Bài tập tự luyện: 74 D GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 75  KIẾN THỨC CẦN NHỚ 75  PHÂN DẠNG TOÁN 76 Dạng Toán quan hệ số 76 Ví dụ minh họa: 76 Bài tập tự luyện: 77 Dạng 2: Toán chuyển động 77 Ví dụ minh họa: 78 Bài tập tự luyện: 83 Dạng 3: Toán suất – Khối lượng công việc - % 85 Ví dụ minh họa: 86 Bài tập tự luyện: 89 Dạng 4: Tốn có nội dung hình học 90 Ví dụ minh họa: 90 Bài tập tự luyện: 92 Dạng Các dạng toán khác 92 Ví dụ minh họa: 92 Bài tập tự luyện: 94 E HÀM SỐ BẬC NHẤT 95 95  BÀI TẬP 96  BÀI TẬP TỰ LUYỆN 102 F HÀM SỐ BẬC HAI 104  KIẾN THỨC CẦN NHỚ 104  BÀI TẬP 106 Sự tương giao đường thẳng đồ thị hàm số bậc hai 108  PHẦN BÀI TẬP TỰ LUYỆN 119 G PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN HỆ THỨC VI-ET VÀ ỨNG DỤNG 122 Dạng 1: Giải phương trình phương trình quy phương trình bậc hai 122 1.1 Giải phương trình bậc hai 122 1.2 Giải phương trình quy phương trình bậc hai 125 1.2.1 Phương trình trùng phương 125 1.2.3 Giải phương trình đưa phương trình tích 130 1.2.4 Giải phương trình chứa bậc hai 131 a) Phương trình chứa bậc hai đơn giản (quy phương trình bậc hai) 131 b) Phương trình vơ tỉ 132 1.2.5 Giải phương trình chứa dấu GTTĐ 134 Dạng 2: Hệ thức Vi-et ứng dụng 134 Dạng 3: Phương trình chứa tham số 139  BÀI TẬP TỰ LUYỆN 170 H BẤT ĐẲNG THỨC 172  KIẾN THỨC LÍ THUYẾT 172  BÀI TẬP 173  Kỹ thuật chọn điểm rơi toán cực trị xảy biên 178  Kỹ thuật chọn điểm rơi toán cực trị đạt tâm 183  BÀI TẬP TỰ LUYỆN 190 “Tài liệu tổng hợp từ nhiều nguồn: Sách, đề cương, đề thi.” Chủ đề CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN CÁC BÀI TOÁN RÚT GỌN CĂN THỨC A CÁC BÀI TỐN RÚT GỌN CĂN THỨC  CÁC CƠNG THỨC BIẾN ĐỔI CĂN THỨC  A nÕu A  A2  A    A nÕu A < AB  A  B A2 B  A (Với A  0; B  ) A B A B (Với A  0; B  ) (Với B  ) B (Với A  0; B  ) A B  A B   A2 B A2 B A  B B A B A  B B (Với A  0; B  ) (Với A  0; B  ) AB (Với B  )  C AB C  A  B2 AB 10 C C  A B 11  A 3    A B A B A3  A (Với A  0; A  B2 )  (Với A  0; B  0; A  B ) CÁC CHUN ĐỀ TỐN  CÁCH TÌM ĐKXĐ CỦA MỘT BIỂU THỨC TRONG BÀI TOÁN RÚT GỌN BIỂU THỨC - ĐKXĐ: A A B VÍ DỤ ĐKXĐ: A  Ví dụ: ĐKXĐ: B  Ví dụ: ĐKXĐ: x  2018 x4 x7 ĐKXĐ: x7 x  2018 A B ĐKXĐ: B  Ví dụ: x 1 x3 ĐKXĐ: x3 A B ĐKXĐ: A  0; B  Ví dụ: x x3 ĐKXĐ: x   x3  x  A B  A   B  ĐKXĐ:  A     B  ĐKXĐ:  x      x     x  2 x 1  x       x   Ví dụ: x 1 x2 Cho a > ta có: x  a Ví dụ: x    x  a x2  a    x   a  x   a Cho a > ta có: x a a x a Ví dụ: x   2  x   Dạng 1: Biểu thức dấu số thực dương Bài 1: Rút gọn biểu thức sau: M  45  245  80 N   50  18 P  125  45  20  80 A  12  27  48 B   27  300 C  (2  27  12) : Hướng dẫn giải M  45  245  42.5 N   50  18 P  5  12    32.5  72   42.5  5.2   2.3  5 3 7 54 6  10    (10   6)  CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN A  12  27  48 B   27  300 C  (2  27  12) :  3 4   32.3  102.3   3.3  10  (2  5.3  4.2 3) :   5 :  5  Nhận xét: Đây dạng tốn dễ Học sinh bấm máy tính để giải, đa phần áp A2 B  A dụng kiến thức đưa thừa số dấu để giải toán B (B0 ) Tự luyện:   B  32  27   75 A  50  18  C  20  45  A2  A  Dạng 2: Áp dụng đẳng thức Bài 1: Rút gọn biểu thức sau: a) 3  2  d) 3  3  2   2  1  2   2    2 b) e)   2    2 c)   2  1  2 f)  2  1    5 Giải mẫu:   2 2    2 2   a)  3 2  32 3 2  Lưu ý: Điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối: b) 4 Kết quả:  A nÕu A  A2  A    A nÕu A  c) d) e)  Dạng 3: Biểu thức dấu đưa đẳng thức Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức A     Hướng dẫn giải A   1        1   3 1   2         3 A2  A f) 2  CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN Nhận xét: Các biểu thức  ;  có dạng m  p n với a  b2  m p n  2ab Những biểu thức viết dạng bình phương biểu thức Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức B     Hướng dẫn giải Cách 1: B  5  52    3  3  3 2     3  3  3 2 Cách 2: B  5  52 Ta có: 5  5    10  B2      18 Vì B  nên B   2 Nhận xét: Các biểu thức   hai biểu thức liên hợp Gặp biểu thức vậy, để tính B ta tính B trước sau suy B Bài 1: Rút gọn a) A   b) B   12 c) C  19  d) D   Hướng dẫn giải a) A      1   b) B   12    c) C  19   4  3 d) D     1  1  1  1 3  4  4   3  3 Bài 2: Rút gọn a) A   b) B   15 c) C   d) D   13   13 e) E     f) F   10  20  Hướng dẫn giải a) A    b) B   15  c) C      1   1  15  2     2   13    15  d) D   13   13     2  14  13  14  13  2 13      e) E            (  1)  (  1) |  1|  |  1|     f) F   10  20   8  5    2 5 2 5  5 2 5 3 Bài 3: Rút gọn (Bài tự luyện) a)    b)  10   10 c) d) 24    e) 17  12   f)   22  12 g)    h) 21  12  i) j) 13  30   42  42   29  12 k)  13    13  l)   13     13   Dạng 4: Rút gọn tổng hợp (sử dụng trục thức, đẳng thức, phân tích thành nhân tử; …) Bài 1: Rút gọn: 62 52  1 3 1 1 C     1 2 3 99  100 34 34  1 52 E   5 6 6 B A D  74 2 F 2   2 3 Hướng dẫn giải a) A  62 52 1 3    2 1 3 1 3 b) B  3    5 6 6    4 5 6   6  5 2 6 2 6 52 c) C    1 1     1 2 3 99  100   1    3        100  99  d) D  1  74   44 3   (2  3) 2 2 2  2 2 2  2  2  2 (2  3)(2  3) e) E  34 34   1 52 3  2 3    1 52 1  22  11 26  13   2  2 11 13  42 42     2 2   1      2 3  52  1             1       1    1   1  1   2 34  (2)   2  1  1  2 1      2 3 2 3 3 1 f) F       1    3    32   1    3 1   1  3   1  1  1 3 Bài 2: Rút gọn A C  74 2 B  (  2)(  2)  34 34  1 52 D 2    74 32 2   Hướng dẫn giải a) A  1  74   44 3   (2  3) 2 2 2  2 2 2  2  2  2 (2  3)(2  3) b) B  ( 5)  2  c) A  (2  3)2 32 34 34   1 52   54 3 2   (1)  32  2 3    1 1 22  11 26  13   2  2 11 13    2 3  5 52 42 42     2 2    2  5  2  5  2   2  1   1     (2)   2  1  1  d) D    22 2   2 2   2 52 22  2  5     2   2  2 2 2 42 4 8 54  Bài 3: Rút gọn - Bài tập tự luyện a) c) e) 5 62    2 4 3 2    b) 2   6 3 2 5  12 d)   1 f) 2    : 5 5    13  48 6 Bài 4: Rút gọn – Bài tập tự luyện 1) A 5  52 3  3 1 3) C 5) E 7) G  62  9) I 11) K  3 5  3 5 15  3 2) B 1  32 32 4) D 15  12  52 2 6) F 8) H 5 3   2    10  2   1 1 10) J    2  2 2 12) L      5 2   2   2   1   1   1   6   3:  1  2  13) M  2 : 3 14) N  2 2   3 1 2   6  17) Q         15) O      :   21  12  2  19) S   2  1 3 21) U  23) W=  3   1 7 2  1 1 2  18) R  74 74 16) P  20) T  15  13  1 1 22) V  2  1 63 24) Y  3  2  3 Kinh nghiệm: Đơi số tốn rút gọn thức thực dễ dàng trục thức rút gọn hạng tử đề tốn Nếu quy đồng mẫu số việc thực phép tính phức tạp Vì trước làm toán rút gọn, học sinh cần quan sát kỹ đề tốn từ có định hướng giải đắn để lời giải ngắn gọn, xác  Dạng Bài tốn chứa ẩn (ẩn x) dấu ý toán phụ  Rút gọn Bước 1: Tìm điều kiện xác định Bước 2: Tìm mẫu thức chung, quy đồng mẫu thức, rút gọn tử, phân tích tử thành nhân tử Bước 3: Chia tử mẫu cho nhân tử chung tử mẫu Bước 4: Khi phân thức tối giản ta hồn thành việc rút gọn   3 x 5 Bài 1: Cho biểu thức P  x   x   x 1 3 x x  x 3 a) Rút gọn P; b) Tìm giá trị P, biết x   ; c) Tìm giá trị nhỏ P Hướng dẫn giải ĐKXĐ: x  0; x  a) x 2 x 3   x 1 x 3 P      3 x 2   3 x 5   x 1  x 3     x  1  3  x  1 x  3 x 3  x 3 x 5  x  x  x   x  x  x   x  15   x 1 x 3  x  17 x    x 1 x 3  x  15 x  x   5   x 1 x 3   x  3  x  1 x  3 x 2 x 2 x 1   1  x   ;   1     3     7 Do đó: P    1     2   b) Ta có x    c) Ta có P  P  5 x 2 x 57  x 1 x 1 x 1 Vì  nên P có giá trị nhỏ  x 1  x  nhỏ  x  lớn x 1 Khi P    2  x 1 x x 2 x x Bài 2: Cho biểu thức Q     :  x  x  x  x 2  x 2 a) Rút gọn Q; b) Tìm x để Q  ; 9 c) Tìm giá trị x để Q có giá trị âm Hướng dẫn giải ĐKXĐ: x  0; x  4; x   x 1 x x 2 x x Q      : x  x  x    x4 x 4 a)       x 1 x 2 2 x  x 2     x 2  x 2 x 2  x  x   2x  x  x   x 2  x  x  x 2 x 2    x 2 b) Q     x 2      x 2 x 3 x 2 2 x 3 x 2  x 6 Q0   x 3 x x 2   x  8  c) x 3 x   x  2    x  2 x  2 x 3  x   x   x 2  : x 3  x   x  2 x   x  64 (Thỏa mãn ĐKXĐ) x 2 0 x 3 x   (vì x   ) x   x  Kết hợp với điều kiện xác định ta có Q   x  x  Bài 3: Cho biểu thức B  a a2   với a  0; a  a 3 a 3 a 9 a) Rút gọn B b) Tìm số nguyên a để B nhận giá trị nguyên Hướng dẫn giải a) Với a  0; a  ta có: B a a2 a a2     = a 3 a 3 a 9 a 3 a  ( a  3)( a  3) b)  a ( a  3) 3( a  3) a2   ( a  3)( a  3) ( a  3)( a  3) ( a  3)( a  3)  a 3 a 3 a 9a 2 11  a 9 a  3)( a  3) 11  Z  11 ( a  9)  ( a  9)  U (11) a 9 Để B  Z  U (11)  1;11; 1; 11 Khi ta có bảng giá trị a 9 -11 -1 11 a -2 10 20 Không thoả mãn Thoả mãn Thoả mãn Thoả mãn Vậy a  8;10; 20 B  Z  x 3 x 2 9 x   x 9     : 1   x    x  x x  x     Bài 4: Cho biểu thức P   (với x  0; x  4; x  ) a) Rút gọn biểu thức P b) Tính giá trị biểu thức P x   3.(  1) 62  Hướng dẫn giải a) P  b)  x  9    x   9  x  : x     x 3  x  4 x   x 3  x  x   x9 x 3 x    1   5  1 1  : x 9   x 3 x 3   1   2 x 2 1 1  x Nên P  2  1 Bài 5: Với x > 0, cho hai biểu thức A  2 x B  x x 1 x   x x x a) Tính giá trị biểu thức A x = 64 b) Rút gọn biểu thức B c) Tìm x để A  B Hướng dẫn giải a) Với x = 64 ta có A  b) B c) Với x > ta có:  64    64 ( x  1)( x  x )  (2 x  1) x x x  x   1  x (x  x ) x xx x 1 A 2 x 2 x   :   B x x 1 x 2 x 1 x 1  x  x   x  x    x  ( Do x>0) Bài 6: Cho hai biểu thức A  x 4 x 1  B  với x  0; x  x 1 x2 x 3 x 3 a) Tính giá trị biểu thức A x  b) Chứng minh B  x 1 c) Tìm tất giá trị x để A x  5 B Hướng dẫn giải a) b) Do x = thoả mãn điều kiện nên thay x = vào A ta có A  3   1 1 B x 1  x x 3 x 3  x 1  ( x  3)( x  1) x 3 c)  x   2( x  1) ( x  3)( x  1)  x 3  ( x  3)( x  1) A x  5  B x 1 x 4 x :  5 x 1 x 1  4( x  4)  x  20  x  x    x = thoả mãn điều kiện Vậy x = Bài 7: Cho biểu thức A    x 2   x 2   x  A x  5 B x2 x x 1 1 2x  x   ( Với x  0, x  ) x x 1 x x  x  x x2  x a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm x để biểu thức A nhận giá trị số nguyên Hướng dẫn giải a) A x 2 x  x 1 b) Cách 1: Với x  0, x   x  x   x   Vậy  A  x 2  x  x 1 x 2  1  x 1 x 1 Vì A nguyên nên A =  x 2   x  ( Không thỏa mãn) x  x 1 Vậy giá trị nguyên x để giả trị A số nguyên Cách 2: Dùng miền giá trị A x 2  Ax+(A-1) x  A   x  x 1 Trường hợp 1: A   x  2  x   Trường hợp 2: A     (A  1)  A( A  2)  3 A2  A    A2  A    A2  A   4  (A  1)   A  1; 2 doA  Z , A  3 Với A = => x = ( loại) Với A =  x 2   x  ( loại) x  x 1  Bài 8: Cho biểu thức P  1     x 1 1 x    , (với x  x  ) : x   x x  x  a) Rút gọn biểu thức P b) Tính giá trị biểu thức P x  2022  2018  2022  2018 Hướng dẫn giải a) Ta có  x 1  x x 1   x    x x x x 1 x Và  nên P  b) x 1 x  x x 1 x 1  x x 1     x  1 x 1 x  x x 1 x 1 x 1 x Có x  2022  2018  2022  2018    2018   2018     2018   2018   2018   2018   thỏa mãn điều kiện x  x  + Vậy giá trị biểu thức P x  là: 1    ( a  1) 10  a Bài 9: Cho biểu thức B   (với a  0; a  )    a 1 a a  a  a 1  a a) Rút gọn biểu thức B b) Đặt C  B.(a  a  1) So sánh C Hướng dẫn giải a) Với a  0; a  , ta có:  10  a  ( a  1) B   a  ( a  1)( a  1)   a  b) a 4 ( a  1) 4( a  1) ( a  1)2   Vậy B  (a  1)( a  1) a ( a  1)( a  1)( a  1) a a a Với a  0; a  , ta có: C   Bài 10: Cho biểu thức A  a  a 1 ( a  1) 1   Vậy C  a a x 1 x  :  x4 x 4  x2 x x   , với x  x 2 a Rút gọn biểu thức A b Tìm tất giá trị x để A  x Hướng dẫn giải a) Ta có: A   b) x 1 x x  x 1  :   x4 x 4  x2 x x   ( x  2) x 1 ( x  2)2  x 1 x ( x  1) x x   :  :    ( x  2) x  x  x    x ( x  2) Với x  ta có A  Khi A   x x  :   x 2  x ( x  2) x  x  x 2   x ( x  2) x  ; x   x  x 23  x 1  x 1 Suy ra:  x   x x x x x 3 x 1 (với x  0; x  x  )    x  2x  x 1  x x 1 Bài 11: Cho biểu thức B   Tìm tất giá trị x để B  Hướng dẫn giải a) Ta có A  25  4.2  9.2     Vậy A  b)  Ta có B       x x  x 1    x   x      x 1 x  x 1    x  3 x 1 x 1  2x  x 1    x 1 x 3  x 1  x 1  x  1 x 1 x  x 1 x   x 1 x 1 x 1 Vì x  nên x   , B  x    x  Mà x  0; x  x  1 nên ta kết  x  4  x 2   Bài 12: Cho biểu thức V   với x  0, x   x 2 x  x 2 a) Rút gọn biểu thức V b) Tìm giá trị x để V 3 Hướng dẫn giải a)  x 2  V     x 2 x  x 2 b) V  x 2 x 2  x 2  x 2  x 2  x x 2   x    x  64 ( thỏa mãn) x 2 Bài 13: Cho hai biểu thức A  x 2 B  x 5 20  x  với x  0, x  25 x  25 x 5 1) Tính giá trị biểu thức A x  2) Chứng minh B  x 5 3) Tìm tất giá trị x để A  B x  Hướng dẫn giải 1) Tính giá trị biểu thức A x   3   5 35 Khi x  ta có A  2) x 5 Chứng minh B  20  x   x  15 x 5 Với x  0, x  25 B   3)    x  5 x   20  x x 5   x  15  20  x  x 5  x 5   x 5  20  x  x 5  x 5 x 5  x 5  x 5    (đpcm) x 5 Tìm tất giá trị để A  B x  Với x  0, x  25 Ta có: A  B x   x 2  x 5 x4  x 2  x4 x 5 Nếu x  4, x  25 (*) trở thành :  x x 6 0  Do  x   nên x 3  Do x   nên x 2 x4  x 2 0 x   x  (thỏa mãn) Nếu  x  (*) trở thành :  x x 2 0  (*)   x 1 x 2  4 x  x 2 0 x   x  (thỏa mãn) Vậy có hai giá trị x  x  thỏa mãn yêu cầu toán x x  x x  x 1 , với x  0, x    x 2 x  x 2 x 1 Bài 14: Cho biểu thức : P  a) Rút gọn biểu thức P b) Cho biểu thức Q   x  27  P  x 3  x 2  , với x  0, x  1, x  Chứng minh Q  Hướng dẫn giải a) Ta có x x  x x  x 1   x 2 x x 2 x 1 P x    b)   x 1  x  x x     x 1   x 1 x 2 x 2   x  x  x  x x 6 x 3 x 2   x 1 x 2 x  x x  x    x 1 x 2       x  1 x 1  x  4 x 2   x 2 Với x  0, x  1, x  , ta có  x  27  P  x  27  x   36 Q x 3 x 3 x 3 x 2   x 3   36  6  x 3 Dấu “=” xẩy   x 3  36  x 3 x 3  36  6  12  (co-si) x 3 1 a   x   36  x  1 a  1  Bài 15: Cho biểu thức P       với < a < a  a   a   1 a  1 a  a Chứng minh P = –1 Hướng dẫn giải Với < a < ta có:  1 a P   1 a  1 a   1 a  1  a 1  a        a    a  1 a   a    1 a    1 a  1 a 1 a     (1  a)(1  a)     a2 a 1 a     1 a   1 a       a  a  1 a 1 a       a a  a   a  a   a    a   a  a  a  (1  a)  (1  a) 2a 1 a  1 a  1 a  1 a   1 a  1 a    1 a  1 a  1 a  1 a   2a 1 a  1 a  2a 1 a 1 a 2a   1 2a 2a Bài 16: 1) Tính giá trị biểu thức : A  x 1 x = x 1  x 1  x2  2) Cho biểu thức P   với x > 0; x   x   x 1  x2 x a) Chứng minh P  x 1 x b) Tìm giá trị x để 2P = x  Hướng dẫn giải Với x = 2) a) Chứng minh P  x  3 A  1  2 1 x 1 x - Với x > 0; x  ta có   x 1 x x  P    x ( x  2)  x   x ( x  2) P P x x 2 x 1 x ( x  2) x  x 1 x ( x  1)( x  2) x  = x ( x  2) x 1 - Vậy với x > 0; x  ta có P  b) - Với x > 0; x  ta có: P  - Để 2P = x  nên x 1 x x 1 x x 1  x 5 x - Đưa phương trình x  x    x  2 (lo¹i)  x  thỏa mãn điều kiện x > 0; x  - Tính   x1  Vậy với x  2P = x  Bài 17: Cho hai biểu thức A =   B = x x x 1  (x>0, x  1) x x 1 a) Rút gọn biểu thức A B b) Tìm giá trị x để A  B  Hướng dẫn giải a) Ta có: A =    (  2)   B=  b)       2 (vì x x x 1   x x 1  2) x.( x  1) ( x  1).( x  1)  x x 1 x 1 x 1  x 3A + B =  6  x  với x  0, x   x   x   x  ( thỏa mãn ĐKXĐ) Vậy với x = 3A + B = Bài 18: Cho biểu thức   A =  27  12 : B= (2  3)  2 a) Rút gọn biểu thức A B b) Tìm x biết B - x  = A Hướng dẫn giải a)   A =  27  12 :   =  15  : = 5 : = -5 B (2  3)    2 2  b)         2    (2  3) 43 1 B - x  = A (ĐK: x  )  - 2x  = -  x  =  2x - =  x  5, (TMĐK) Bài 19: Cho x  15 ; A  1 2 x 2x  x với x > 0, x   x 1 x  x a) Tính giá trị x rút gọn A b) Tính giá trị biểu thức B = ( A + 1)(  ) với giá trị x tính phần a Hướng dẫn giải a) x 15(  1) 2(  2)   3(  1)  (  2)   6 1 64 x x (2 x  1)   x 1 x ( x  1) A x x 1  x 1 x 1 x  x  ( x  1)2   x 1 = x 1 x 1 b) B  ( x   1)(  2)  x (  2) với x = + ta có B   (  2) = (  2)2 (  2)  (  2)(  2)     x 1 Bài 20: Cho biểu thức A  x3  với x  x  x 1 x1 b) Tính giá trị A x   2 a) Rút gọn biểu thức A Hướng dẫn giải   x 3  với x ≥ x  x 1 x 1   x 1 x 1   x 1 A    x 3   x 1   x  3  x  1 x  1 x 1  x 1  x   x 1 x    x 1 x  3 2  +) Thay x       x 1  1  1 A  x 1 2 1 1 2  x 1   x 1 thoả mãn x ≥ x ≠ vào A  x 1  x 1  11   2 (do Kết luận x   1)  2 1 A  2  x 2 x 2  4x  Bài 21: Cho biểu thức A    :  x  x  x    x  1 a) Rút gọn A b) Tính giá trị A biết x   Hướng dẫn giải a) ĐK: x  0; x    x 2 x 2  4x A       :  x  x  x    x  1    x   x 1   x  1 x 1 4x   x 2     x  2 x  1 x  1 x 1  x 1 với ĐKXĐ: x  0; x  x b) Với điều kiện: x  0; x  Khi x    x    x   x  Ta có A  1   Bài tập tự luyện:  x 2 x 2 4x  x  x  x4 Bài 1: Cho biểu thức P     : x   x   x 2 a) Rút gọn P; b) Tính giá trị P x     ; c) Tìm x để P   x 1 x 1  x x  2x  x    x  x  x  x  18   Bài 2: Cho biểu thức P   a) Rút gọn P; x    x  1  4x    b) Tìm giá trị x để P  ; c) Tìm giá trị x để P  Bài 3: Cho biểu thức P  x2 x 1 x 1   x x  x  x  x 1 a) Rút gọn P; b) Tìm x để P  ; c) Chứng minh với giá trị x làm cho P xác định P   x  x    x 1 x  x      :   x  x  x  x  x  x      Bài 4: Cho biểu thức P   a) Rút gọn P; b) Tìm giá trị nhỏ P x 1  2 c) Tìm x để P x  8x  x  x  Bài 5: Cho biểu thức: P   , với x > : x   x  x  x a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm giá trị P x = c) Tìm x để P = 13 Bài 6: Cho biểu thức: A  x 10 x   , với x  x  25 x  x  25 x 5 a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị A x = c) Tìm x để A < x x 8 Bài 7: Cho biểu thức: P  x  x   3(1  x ) (x  0) a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị nguyên dương x để biểu thức Q  Bài 8: a) Cho biểu thức A  2P nhận giá trị nguyên 1 P x 4 Tính giá trị A x = 36 x 2  x  x  16  b)Rút gọn: B   , với x  x  16 : x   x   x 4 c) Với biểu thức A B nói trên, tìm giá trị nguyên x để giá trị biểu thức số nguyên Bài 9: Cho biểu thức: A  x  B  x x 1 x   ( Với x  0, x  ) x 9 x 3 a) Rút gọn biểu thức B b) Tính giá trị A x  c) Cho biểu thức P  1  1 1 A Hãy tìm giá trị m để x thỏa mãn P = m B HD câu d: d) x 3 Với điều kiện x  0, x  4, x  x P  m  (m  1) x  (1) P A  B Nếu m = phương trình (1) vơ ghiệm Nếu m  từ (1)  x  m 1 Do x  0, x  4, x   x  0, x  2, x    m 1  m        m  Để có x thỏa mãn P = m    m 1   m   m 1   Vậy m  1, m  , m  ( Thỏa mãn yêu cầu toán) x 2 B  x Bài 10: Cho biểu thức: A  a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị A x   c) Tìm x để biểu thưc A  B x 1 x   ( Với x  0, x  ) x 9 x 3 Chủ đề d) Tìm giá trị m để có x thỏa mãn A  m B CÁC BÀI TỐN GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH B CÁC BÀI TỐN GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH  Kiến thức ax  by  c a ' x  b ' y  c ' Hệ phương trình bậc hai ẩn có dạng: ( I )  Trong a b a’ b’ khơng đồng thời * Hệ (I) có nghiệm * Hệ (I) vô nghiệm a b  a' b' a b c   a' b' c' * Hệ (I) có vơ số nghiệm a b c   a' b' c'  Giải phương trình phương pháp (giả sử hệ có ẩn x y ) - Từ phương trình hệ, biểu thị ẩn chẳng hạn ẩn x theo ẩn - Thế biểu thức x vào phương trình lại thu gọn, ta tìm giá trị y - Thế giá trị y vào biểu thức x ta tìm giá trị x  Giải phương trình phương pháp cộng đại số (giả sử hệ có ẩn x y ) - Nhân vế hai phương trình với số thích hợp (nếu cần) cho hệ số ẩn đối - Sử dụng quy tắc cộng đại số để hệ phương trình có phương trình ẩn - Giải hệ phương trình vừa thu Chú ý: Nếu hệ phương trình có ẩn mà hệ số 1 nên giải hệ theo phương pháp  *Lưu ý: Khi hệ có chứa biểu thức giống nhau, ta kết hợp phương pháp đặt ẩn phụ để đưa hệ hệ đơn giản Sau sử dụng phương pháp cộng để tìm nghiệm hệ phương trình  Giải hệ phương trình phương pháp đặt ẩn phụ a) Phương pháp giải - Đặt điều kiện để hệ có nghĩa (nếu cần) - Đặt ẩn phụ điều kiện ẩn phụ (nếu có) - Giải hệ theo ẩn phụ đặt - Trở lại ẩn cho để tìm nghiệm hệ số (lưu ý với điều kiện lúc đặt ẩn phụ)  Ví dụ minh họa Bài 1: Giải hệ phương trình: 32 CÁC CHUN ĐỀ TỐN 1 x  y 1  b)  3    x y 3x  y  11 x  y  a)  Hướng dẫn giải a) + Giải theo phương pháp thế: 3x  y  11 3x  y  11 3 1  y   y  11 3  y  y  11      x   y x  y  x  1 y x  1 y 3  y  11 3  11  y 8 y  8  y  1  y  1  y  1       x  1 y x  1 y x  1 y x  1 y  x   2.(1) x  Vậy hệ phương trình có nghiệm (x;y) = (3;-1) + Giải theo phương pháp cộng đại số: 3x  y  11 4 x  12 x  x  x       x  y   x  y  3  y  2 y  2  y  1 Vậy hệ phương trình có nghiệm (x;y) = (3;-1) b) + Giải hệ phương pháp đặt ẩn phụ Điều kiện: x  0; y  Đặt 1  a;  b (*) x y a  b  3a  4b  Hệ phương trình cho tương đương với   b   a  b  3a  3b  7b  b      Ta có:   a  b  a  b  a  b     a   b a    b  Thay  vào (*) ta có a    1   y   y   (thỏa mãn)  1  x   x  7 9 Vậy nghiệm hệ phương trình  x; y    ;  Bài tập Bài 1: Giải hệ phương trình  x y 5 2 a)  x  y   x  y  26 d)  5 x  y  16 x  y   x  y  1 g)  7  2 2 x  y  3 3x  y  c)  3x  y  11 x  y  f)  3x  y  5 x  y  23 i)  b)  e)  h)  x  y  3x  y  2 x  y  4 x  y  2 x  y  x  y  Hướng dẫn giải a) 2 x  y  3x  x  x      x  y  x  y  x  y   y  Vậy hệ cho có nghiệm  x; y    2;1 b) 2 x  y  3 2 x  y  3 17 x  17 x      3x  y  15 x  y  20 2 x  y  3  y  1 Vậy hệ cho có nghiệm  x; y   1; 1 c) x  y  3x  2( x  1)  5 x  x      3x  y   y  x   y  x 1  y  Vậy hệ cho có nghiệm  x; y   1;0  d)  x  y  26 5 x  35 y  130  x  y  26  x  5     5 x  y  16 5 x  y  16 38 y  114  y  Vậy hệ cho có nghiệm  x; y    5;3 e) 3x  y  11 4 x  12 x     x  y   x  y   y  1 Vậy hệ cho có nghiệm  x; y    3; 1 f) 2 x  y  2 x  y  2 x  y   x      4 x  y  12 x  y  27 14 x  28 y 1 Vậy hệ cho có nghiệm  x; y    2;1 g) 3 y  x  y      x  y  1  x  y  1  y  3    x  (3)  1  y  3  x  Vậy hệ cho có nghiệm  x; y    2; 3 h) 3x  y    5 x  y  23 6 x  y  10   5 x  y  23 11x  33  3 x  y  x   y  Vậy hệ cho có nghiệm  x; y    3;  i) 2 x  y    x  y  x    x  y  x   y 1 Vậy hệ cho có nghiệm  x; y    0;1 Nhận xét: Học sinh thành thạo phương pháp phương pháp cộng giải theo phương pháp Bài 2: Giải hệ phương trình 3( x  1)  2( x  y )  a)  4( x  1)  ( x  y )  1  x  y   c)   x   7  y   x  y  y 1   e)     1  x  y y  2  x  y  b)  1  2y   x  3x  x 1  y    d)   2x    x  y  4 x  y  f)  2 x  y  Hướng dẫn giải a) 3( x  1)  2( x  y )  3x   x  y  5 x  y  5 x  y      4( x  1)  ( x  y)  4 x   x  y  3x  y  6 x  y  10 11x  11 x    6 x  y  10  y  1 Vậy hệ cho có nghiệm  x; y   1; 1 b) Điều kiện x  2 4 5    x  y   x  y   x  10  x  x      (thỏa mãn)  1  2y  1  2y  1  2y    y   y  1  x  x  x  x 1 2   Vậy hệ phương trình có nghiệm  x; y    ; 1 c) Điều kiện y  Đặt t  , hệ phương trình cho trở thành y 1   1 x  t   1  x  1  t   x x  x  1 t   (thỏa mãn)         y  t   2 x  3t  2 x  3(  x)  5 x  5    2 Vậy hệ có nghiệm  x; y    1;  d)  3x  x 1   (I )   2x   x  4 y2 ĐK x  1; y  2 5 y2  x  x   a Đặt  Khi hệ phương trình (I) trở thành:  b  y  3a  2b  3a  2b  7 a  14 a       2a  b  4a  2b  10 2a  b  b   x 2 x   x   Khi ta có:     y  1  y  Vậy hệ phương trình có nghiệm  x; y    2; 1 e)  x y       x  y 5 y 1 Điều kiện: x   y; y   1 y 1 Đặt u  1 v  Hệ phương trình thành : x y y 1 4u  v  8u  2v  10 9u  u      u  2v  1 u  2v  1 2v  u  v  Thay vào hệ cho ta có :   x  y   x  y   x  1      y 1  y   1  y  Vậy hệ phương trình có nghiệm  x; y    1;  f) Điều kiện: x  0; y  4 x  y  4 x  y  5 y       2 x  y  4 x  y  2 x  y   y  y    (Thỏa mãn)  x  x   Vậy hệ phương trình có nghiệm  x; y   1;0  Bài tập tự luyện Bài 1: Giải hệ phương trình x  2y  2x  y    x  y  x  y   5 x  y  9 4 x  y  2x  y    2x  3y      4 x  y  6 x  y  10  11  1  x y 3 13  4 x  y  x y   14   x8   y  4 x   15  y  x  y  10     (  1) x  y  17  4 x  (  1) y  7 x  y  3x  y  x  y   2 x  y  4 x  y  10 x  y  3 x  y  23  4 x  y   x  y  17,5 27  0,2 x  0,1 y  0,3 3 x  y  31  3x  y  2 x  y  8 35  22  2 x  y   4 x  y  26  25  5 x  y  2 29   x  y  3x  y  5 x  y  28 33  3x  y   5 x  y  14 19  5 x  y  2 x  y  21  30  34  5 x  y  17 9 x  y  x  y   2 x  y    x  y  18  2 x  y  3 x  y  2 x  y  3x  y  14 12  16 3  x  y    x  y  5  5 x  y  x  y  20  3x  y  2 x  y  x  y   x  y  3 24  3x  y  7 3x  y  28  0,75 x  3, y  10  x  y  32  2 x  y  1 x  y  36  x  2 x  y  3 x  y   x  1,5 y  0,5 2 x  y   x  y  10 x  y  2 x  y  Phương pháp: Giải hệ phương pháp cộng đại số Bài 2: Giải hệ phương trình 4 x  y   x  y   2 x   y  1  2  x  1  15  y  1  3  x  1   y  1  5  x  y    x  y   12 3  x  y    x  y       2x  4x 1  y 1  y    x2  x4  y  y   x  y x  3y   0   3x  y     1   x   y  3  xy  50    x   y    xy  32  2  x   y    xy  x   y  3  xy    x 1 y  2   x 1 y  3   x  3 y 1   x  3 y  5  18   x   y    xy  x   y  12   xy  3  x     x  y  1  4  x  1   x  y    12  14  2  x  1   y  1  3  x  1   y  1  15   x  y  17   3x  y  18   x 1 y  2   x 1 y  3  x  5 y  4   x  4 y 1 11  13  3  y      3  7  x     x  y  1  14 3  x  y    x  y   16  2  x  y    x  y   1 10  5  x  y    x  y   99  x  y  x  y  17 2  y  1   x  1  5  y  1   x  1  (x  3)(2y  5)  (2x  7)(y 1) (4x 1)(3y  6)  (6x 1)(2y  3) 2(2x  3y)  3(2x  3y)  10 4x  3y  4(6y  2x)  20  2(x  2)  3(1  y)  2 3(x  2)  2(1  y)  3 23  24  3 5x  4y  15  26  27  19  22  5(x  2y)  3x  2x   3(x  5y)  12 25    x  y   4( x  1)  5x  3y   (x  y)  2(x  y)  3(x  y)  (x  y)  2(x  y)   2 5x  7y  18 (  2)x  y  21   x  (  2)y  3(x  1)  2y   x 5(x  y)  3x  y   x  y  2(x  1) 7x  3y  x  y  Phương pháp: Rút gọn phương trình hệ sau giải hệ phương pháp cộng đại số Bài 3: Giải hệ phương trình 1) 2 x    4   x 4 y2 1 y2 4)   2x  y       x  y 7)   x  2y  x  2y 1    20    x  y x  y   x 1   10)     x   1 x y 0 x y 15 1 y2 1  y  12 2)   x 1       x   1 y  1 y 5)   x 1       x  1  10 y 1  18 y 1 8)  12 x 3       x   63 y2 15  13 y2   x 1   11)     x  1 7 y 1 4 y 1 3) 1  x  y   1   4    x y  6)  3x  x 1  y      2x    x  y   5  x   y   10  9)     18  x  y    x  2y  x  2y   12)     11  x  2y x  2y  x  y  x  y   13)    1  x  y x  y   x   y 1   14)    1  x  y    3x  y  x  y   15)    3  x  y x  y    x  y x  y  16)    3  x  y x  y   2x  y  2x  y   17)      x  y x  y 15 2 x  x  y   18)     1,7  x x  y   x   y 1   19)    1  x  y    x  y  x  y  2  21)     21  x  y x  y  6x  y  y 1  x    22)   4x   y   y  x    2x 1  y 1   20)     13  x  y    x  y   x  y 1   23)     1,  x  y  x  y  x x  y  y  12   25)   x  x 2  y  12 y y  5x  x   y   27  26)   2x  y   x  y  3y  2x  y 1  x 1   27)   y  5x   x  y   x  y  36 28)  2 3 x  y  37 3 x  y  29)  2  x  3y   x  y  13 30)  2  x  y  7   x  y 1  2x  y    24)      x  y  x  y  Phương pháp: Nên đặt ẩn phụ để giải hệ phương trình để hệ gọn tránh sai xót giải tốn Lưu ý đặt điều kiện x; y ẩn phụ (nếu có) Bài 3: Giải hệ phương trình 1)  x  y    4 x  y   2)  x   y     x   y   12 3)  x   y     x   y   4 4) 2 x   y    4 x   y   17 5)  x  y    x  y  18 6)  x   y    2 x   y   7) 3 x  y    x  y  4, 8)  x  y     y  x   9) 7 x   y     x   y   23   x 1   10)     x  5 y 1   x7  y6   11)     21  x  y6 1 y 1  10  12x   4y    12)    1  12x  4y  Phương pháp: Nên đặt ẩn phụ để giải hệ phương trình để hệ gọn tránh sai xót giải tốn Lưu ý: đặt điều kiện biểu thức dấu So sánh nghiệm với điều kiện  Giải hệ phương trình số ý phụ Dạng 1: Giải hệ phương trình theo tham số m cho trước Phương pháp: Bước 1: Thay giá trị m vào hệ phương trình Bước 2: Giải hệ phương trình Bước 3: Kết luận Dạng 2: Tìm m để hệ phương trình có nghiệm  x; y  thỏa điều kiện cho trước Phương pháp: Bước 1: Giải hệ phương trình tìm nghiệm  x, y  theo tham số m ; Bước 2: Thế nghiệm x, y vào biểu thức điều kiện cho trước, giải tìm m ; Bước 3: Kết luận Dạng 3: Tìm mối liên hệ x, y không phụ thuộc vào tham số m Phương pháp: Bước 1: Giải hệ phương trình tìm nghiệm  x, y  theo tham số m ; Bước 2: Dùng phương pháp cộng đại số phương pháp làm tham số m ; Bước 3: Kết luận Bài tập  a  1 x  y  a   x   a  1 y  Bài 1: Cho hệ phương trình:  1  2 ( a tham số) a) Giải hệ phương trình a  b) Giải biện luận hệ phương trình c) Tìm số ngun a để hệ phương trình có nghiệm nguyên d) Tìm a để nghiệm hệ phương trình thỏa mãn x  y đạt GTNN Hướng dẫn giải a)  x  3x  y  4 x  Khi a  hệ phương trình có dạng:    x  y  y   x y   5 3   Vậy với a  hệ phương trình có nghiệm  x; y    ;  4 b) Giải biện luận: Từ PT 1 ta có: y   a  1 x   a  1  3 vào PT  2 ta được: x   a  1  a  1 x   a  1    x   a  1 x   a  1   a x  a  TH1: a  , phương trình   có nghiệm x   4 a2  Thay vào  3 ta có: a2  a  1  a  1  a  a  1 a3  a  a   a3  a a  a2 1 y   a  1   a  1    a a2 a2 a  a2  a   ;  a   a Suy hệ phương trình cho có nghiệm  x; y    TH2: Nếu a  , phương trình   vơ nghiệm Suy hệ phương trình cho vơ nghiệm KL:  a2  a   a  hệ phương trình cho có nghiệm  x; y    ;  a   a a  hệ phương trình cho vơ nghiệm  a2  a   ;  a   a Với a  hệ phương trình cho có nghiệm  x; y    c)  a2 1   x    a Hệ phương trình có nghiệm ngun:    y    a 1    a Điều kiện cần: x   a   a2  1         a   a  1 a a a Điều kiện đủ: a  1  y    (nhận) a   y    (nhận) Vậy a  1 hệ phương trình cho có nghiệm nguyên  a2  a   ;  a   a Với a  hệ phương trình cho có nghiệm  x; y    d) a2 1 a 1 a2  a  2  1  Ta có x  y    a a a a a Đặt t  ta được: a     1  1 7 x  y  2t  t    t  t     t       t     2   4 8   16  Dấu "  " xảy t   , a  4 Vậy a  4 hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn x  y đạt GTNN 2 x  by  a có nghiệm x  ; y  bx  ay  Bài 2: Tìm a , b biết hệ phương trình:  Hướng dẫn giải Thay x  ; y  vào hệ ta có: 1  b  10b  1 2.1  b.3  a a  3b  3a  9b  10      b.1  a.3  3a  b  3a  b  3a  b  a  17  10 Vậy a  1 17 hệ phương trình có nghiệm x  ; y  ; y 10 10 x  y  m   I  ( m tham số) 2 x  y  m Bài 3: Cho hệ phương trình  a) Giải hệ phương trình  I  m  b) Tìm m để hệ  I  có nghiệm  x; y  thỏa mãn x  y  3 Hướng dẫn giải a) Với m  , hệ phương trình  I  có dạng: x  y  2 x  y   x     2 x  y  2 x  y  y 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm  x, y    2;1 b) 5m   x   x  y  m   x  y  2m  x  y  m      2 x  y  m 2 x  y  m 7 y  m  y  m 6  5m  m   ;    Hệ phương trình có nghiệm  x; y    Lại có x  y  3 hay 5m  m    3  5m   m   21  6m  36  m  6 7 Vậy với m  6 hệ phương trình  I  có nghiệm  x, y  thỏa mãn x  y  3 2 x  y  5m  x  y  Bài 4: Cho hệ phương trình:  Tìm m để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn: x  y  2 Hướng dẫn giải 2 x  y  5m   y  5m   x  y  5m   x  x  2m     x  y   x  2(5m   x )  5 x  10m  y  m 1 Thay vào ta có m  x  y  2  (2m)  2( m  1)2  2  2m  4m    Vậy m –2;0  m  2 (m  1) x  y  ( m tham số)  mx  y  m  Bài 5: Cho hệ phương trình:  a) Giải hệ phương trình m  ; b) Chứng minh với giá trị m hệ phương trình ln có nghiệm  x; y  thỏa mãn: x  y  Hướng dẫn giải a) Giải hệ phương trình m  x  y  x  y  x    2 x  y   x  y 1 Ta có:  Vậy hệ phương trình có nghiệm 1;1 b) Ta có y  –  m  1 x vào phương trình lại ta phương trình: mx  –  m  1 x  m   x  m –1 suy y  –  m  1 với m  Vậy hệ phương trình ln có nghiệm  x; y   m  1; –  m  1 2 x  y   m  1  –  m  1  m2  4m   –  m  2  với m 2 x  ay  4 ax  y  Bài 6: Cho hệ phương trình :  a) Giải hệ phương trình với a   b) Tìm a để hệ phương trình có nghiệm Hướng dẫn giải a) Với a  , ta có hệ phương trình: 2 x  y  4 6 x  y  12 7 x  7  x  1  x  1      x  y  x  3y   x  y  1  y   y  2 Vậy với a  , hệ phương trình có nghiệm là:  x; y    1; 2 b) Ta xét trường hợp:  x  4 + Nếu a  , hệ có dạng:    y   x  2  Vậy hệ có nghiệm   y   + Nếu a  , hệ có nghiệm khi: a  a  6 (ln đúng,  a 3 a  với a ) Do đó, với a  , hệ ln có nghiệm Tóm lại hệ phương trình cho có nghiệm với a x  my  m  Bài 7: Cho hệ phương trình:  ( m tham số) mx  y  2m a) Giải hệ phương trình m  x  y 1 b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm  x; y  thỏa mãn  Hướng dẫn giải a)   x  x  y  x  y  3x  Thay m  ta có hệ phương trình     2 x  y  4 x  y  2 x  y  y   b) Xét hệ   x  my  m  mx  y  2m 1  2 Từ    y  2m  mx thay vào 1 ta x  m  2m  mx   m   2m2  m2 x  x  m   1  m2  x  2m2  m    m2  1 x  2m2  m   3 Hệ phương trình cho có nghiệm   3 có nghiệm m    m  1 * 2m    x  m  Khi hệ cho có nghiệm  y  m m 1   2m   1  m    m   x  Ta có     m    m  1 m  y 1   1 0  m   m  Kết hợp với * ta giá trị m cần tìm m  1  1 2 x  y  mx  y  Bài 8: Cho hệ phương trình:  a) Giải hệ phương trình với m  b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm  x, y  x, y trái dấu c) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm  x; y  thỏa mãn x  y Hướng dẫn giải a) x  2y  Với m  ta có hệ phương trình:  x  y    2 x  y    y    y  x  y  x    Vậy m  hệ có nghiệm ( x; y )  (1; 2) 3 y  6  y  2 b) Từ phương trình 1 ta có x  y  Thay x  y  vào phương trình   ta được: m  y    y    2m  1 y   5m  3 Hệ có nghiệm   có nghiệm Điều tương đương với: 2m    m  Từ ta được: y  Ta có: x y  c)  5m ; 2m    5m   2m  1 Ta có: x  y  x   2y  2m  Do x y    5m   m   5m  2m  2m  (thỏa mãn điều kiện)  4 Từ   suy 2m    m  Với điều kiện m  ta có:  m  l     5m  Vậy m       5m      5m  3 m   mx   m  1 y   m  1 x  my  8m  Bài 9: Cho hệ phương trình:  Chứng minh hệ ln có nghiệm  x; y  Hướng dẫn giải Xét hai đường thẳng  d1  : mx   m  1 y   0;  d2  :  m  1 x  my  8m   + Nếu m   d1  : y    d  : x   suy  d1  vng góc với  d2  + Nếu m  1  d1  : x    d  : y  11  suy  d1  vuông góc với  d2  + Nếu m  0;1 đường thẳng  d1  ,  d  có hệ số góc là: a1   m m 1 , a2  m 1 m suy a1.a2  1  d1    d2  Tóm lại với m hai đường thẳng  d1  ln vng góc với  d2  Nên hai đường thẳng ln vng góc với Xét hai đường thẳng  d1  : mx   m  1 y   0;  d2  :  m  1 x  my  8m   ln vng góc với nên cắt nhau, suy hệ có nghiệm  Giải hệ phương trình bậc cao Bài 1: Giải hệ phương trình: 8x y  27  18 y  2 4x y  6x  y CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN Hướng dẫn giải Dễ thấy y  khơng nghiệm phương trình  27 8 x  y  18  Chia vế phương trình (1) cho y3 , phương trình (2) cho y2 ta  4 x  x   y y2 2 x  a  Đặt  ta có hệ y b  a  b  18 a  b    2 a b  ab  ab  a; b nghiệm phương trình X  X    3 3   3 3  ; ;  ;( x2 , y2 )        Từ suy hệ có nghiệm: ( x1 , y1 )    x  xy  x  y   Bài 2: Giải hệ phương trình:  2  y  x  xy  x   Hướng dẫn giải 2  x  xy  x  y   (1) 2 x  xy  x  y     2  y  x  xy  x   (2)  y  x  xy  x   Cộng vế hệ phương trình ta x  y  xy  x  y     x  y  2   y  x  Thay vào pt (1) ta x  x    x  5  21  5  21 1  21   5  21 1  21  ; ;  ,   2 2     Vậy hệ có hai nghiệm   x + y + xy = 16 Bài 3: Giải hệ phương trình:   x + y = 10 Hướng dẫn giải  x + y + xy = 16 (I) ( Điều kiện: x; y  )   x + y = 10 Đặt S= x y ;P= S + 4P = 16  S - 2P = 10 xy ( S  0; P  ) hệ (I) có dạng: S + 4P = 16  2S - 4P = 20 S + 4P = 16  2S + S - 36 = -9  S = S = 4(tm);S = ( loai)   P = P = Khi x ; y nghiệm phương trình: t – 4t   Giải phương trình ta t1  3; t2  ( thỏa mãn )  x =  x = TH 1:   y =  y =  x = x = TH :    y =  y = ( thỏa mãn) (thỏa mãn) x = x = ; Vậy hệ phương trình cho có hai nghiệm  y =  y =  Bài 4: Giải hệ phương trình:  x  y  11  x  xy  y   Hướng dẫn giải  S  P  11  S  P  11 - Đặt S  x  y; P  xy được:    S  P   2S  P   Cộng hai vế hệ phương trình ta phương trình: S  2S  (17  2)  - Giải phương trình S1   ; S  5  S1   P1  ; S  5  P2   Với S1   ; P1  có x, y hai nghiệm phương trình: X  (3  ) X   Giải phương trình X  3; X  Với S  5  P2   có x, y hai nghiệm phương trình: X  (5  ) X    Phương trình vơ nghiệm  x3 ; y  Vậy hệ có hai nghiệm:  x    y3   x   y  x  Bài 5: Giải hệ phương trình:    x   y  x Hướng dẫn giải Điều kiện: x  3 ; y 2 Trừ vế hai phương trình hệ ta phương trình:  2y   – 2y   y  1 (t/mãn đk) Cộng vế hai phương trình hệ cho ta phương trình:  x  x    x  1   x  1 (thỏa mãn điều kiện) Chủ đề Vậy hệ phương trình có nghiệm là:  x; y   (1 ;  ) GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH C GIẢI BÀI TỐN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH  KIẾN THỨC CẦN NHỚ Giải tốn cách lập hệ phương trình gồm ba bước: Bước Lập hệ phương trình tốn: - Chọn ẩn số đặt điều kiện cho ẩn số - Biểu diễn đại lượng chưa biết theo ẩn theo đại lượng biết - Lập hệ phương trình biểu thị mối quan hệ đại lượng Bước Giải hệ phương trình Bước Trả lời: Kiểm tra xem nghiệm phương trình, nghiệm thỏa mãn điều kiện ẩn, nghiệm không thỏa mãn, kết luận - Đối với giải toán cách lập hệ phương trình, học sinh phải chọn ẩn số từ lập hệ gồm hai phương trình - Khó khăn mà học sinh thường gặp biểu diễn đại lượng chưa biết theo ẩn số theo đại lượng biết khác, tức không thiết lập mối quan hệ đại lượng Tùy theo dạng tập mà ta xác định đại lượng bài, công thức biểu diễn mối quan hệ đại lượng  PHÂN DẠNG TỐN Dạng Tốn quan hệ số  Số có hai, chữ số ký hiệu ab Giá trị số: ab  10a  b ; (Đk: 1 a  0 b  9, a,b N)  Số có ba, chữ số ký hiệu abc abc = 100a +10b + c, (Đk:  a   b, c  9; a, b, c  N)  Tổng hai số x; y là: x  y  Tổng bình phương hai số x, y là: x  y  Bình phương tổng hai số x, y là:  x  y   Tổng nghịch đảo hai số x, y là: 1  x y Ví dụ minh họa: Bài 1: Cho số tự nhiên có hai chữ số, tổng chữ số hàng chục chữ số hàng đơn vị 14 Nếu đổi chữ số hàng chục chữ số hàng đơn vị cho số lớn số cho 18 đơn vị Tìm số cho Hướng dẫn giải Gọi chữ số hàng chục số cần tìm x, điều kiện x  N, (0 < x ≤ 9) Gọi chữ số hàng đơn vị số cần tìm y, điều kiện y  N, (0 ≤ y ≤ 9) Tổng chữ số hàng chục chữ số hàng đơn vị 14 nên có phương trình: x  y  14 Số là: xy  10 x  y Nếu đổi chữ số hàng chục chữ số hàng đơn vị cho số là: yx  10 y  x Theo ta số lớn số cho 18 đơn vị nên có phương trình: 10 y  x – 10 x  y   18  x  y  14  x   (thoả mãn điều kiện) y  x  y  Từ ta có hệ phương trình  Số cần tìm 68 Bài 2: Tìm số tự nhiên có hai chữ số Biết chữ số hàng đơn vị chữ số hàng chục đơn vị viết chữ số xen vào hai chữ số số ta số lớn số 280 đơn vị Hướng dẫn giải Gọi chữ số hàng chục a ( a  N ,  a  ) Gọi chữ số hàng đơn vị b ( b  N ,  b  ) Số cần tìm ab  10a  b Chữ số hàng đơn vị chữ số hàng chục đơn vị nên ta có phương trình: b  a   a  b  1 Khi viết chữ số xen vào hai chữ số số ta số a1b  100a  10  b Số lớn số 280 đơn vị nên ta có phương trình : 100a  10  b   10a  b   280   Từ 1   ta có hệ phương trình a  b  a  b  a  (tm)    100a  10  b   10a  b   280 90a  270 b  Vậy số cần tìm 38 Bài 3: Tìm số có hai chữ số chia số cho tổng hai chữ số ta thương Nếu cộng tích hai chữ số với 25 ta số nghịch đảo Hướng dẫn giải Gọi chữ số hàng chục x chữ số hàng đơn vị y (đk : x, y  N ,  x, y  ) Nếu chia số cho tổng chữ số ta thương nên có phương trình: 10 x  y 6 x y Nếu lấy tích chữ số cộng thêm 25 ta số nghịch đảo nên ta có phương trình xy  25  10 y  x 10 x  y 6 (1)  Theo ta có HPT:  x  y  xy  25  10 y  x (2)  Từ phương trình 1 ta có : 10 x  y  x  y  x  y  x  5y y y 5y  25  10 y  4 2  y  100  40 y  y  y  45 y  100   y  y  20  (3) Thay vào phương trình   ta có :    Phương trình (3) có hai nghiệm phân biệt y1  5; y2  (thỏa mãn) 5.5 (không thỏa mãn điều kiện x) 5.4 Với y2   x2   (Thỏa mãn điều kiện x) Với y1   x1  Vậy chữ số hàng chục 5, chữ số hàng đơn vị Số cần tìm 54 Nhận xét: Có tốn giải hệ phương trình, sử dụng phép từ phương trình phương trình thứ hai giải dạng phương trình bậc hai ẩn Bài tập tự luyện: Bài A.01: Một số phân số lớn tử số đơn vị Nếu tăng tử mẫu thêm đơn vị phân số phân số cho Tìm phân số đó? (Đ/S : Phân số cần tìm ) Bài A.02: Tổng chữ số số có hai chữ số Nếu thêm vào số 63 đơn vị số thu viết hai chữ số theo thứ tự ngược lại Hãy tìm số đó? (Đ/S: Số cần tìm 18) Bài A.03: Tổng hai số 51 Tìm hai số biết số thứ số thứ hai (Đ/S: Số cần tìm 15 36) Bài A.04: Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết tổng chữ số Nếu đổi chỗ hai chữ số hàng đơn vị hàng chục cho số giảm 45 đơn vị (Đ/S: Số cần tìm 61) Bài A.05: Tìm số tự nhiên có hai số biết tổng chữ số số Nếu viết số theo thứ tự ngược lại số số cho 18 (Đ/S: Số cần tìm 24 ) Bài A.06: Tìm số tự nhiên có ba chữ số cho tổng chữ số 17, chữ số hàng chục 4, đổi chỗ chữ số hàng trăm hàng đơn vị cho số giảm 99 đơn vị (Đ/S: Số cần tìm 746) Bài A.07: Tìm hai số tự nhiên có hai chữ số, biết tổng chữ số 11, đổi chỗ hai chữ số hàng chục hàng đơn vị cho tăng thêm 27 đơn vị (Đ/S: Số cần tìm 47) Bài A.08: Tìm số có hai chữ số biết chữ số hàng chục lớn chữ số hàng đơn vị đem số chia cho tổng chữ số thương dư (Đ/S: Số cần tìm 83) Bài A.09: Một phân số có tử số bé mẫu số 11 Nếu bớt tử số đơn vị tăng mẫu số lên đơn vị phân số nghịch đảo phân số cho Tìm phân số (Đ/S: Số cần tìm  ) Bài A.10: Cho số có hai chữ số Nếu đổi chỗ hai chữ số số lớn số cho 63 Tổng số cho số tạo thành 99 Tìm số cho Bài A.11: Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết chữ số hàng chục lớn chữ số hàng đơn vị 2, viết xen chữ số vào chữ số hàng chục chữ số hàng đơn vị số tăng thêm 630 đơn vị Bài A.12: Chữ số hàng chục số có hai chữ số lớn chữ số hàng đơn vị Nếu đổi chỗ hai chữ số cho ta số số ban đầu Tìm số ban đầu Bài A.13: Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết chữ số hàng chục chữ số hàng đơn vị đơn vị tổng bình phương hai chữ số 80 Dạng 2: Toán chuyển động Tốn chuyển động có ba đại lượng: S  v.t Quãng đường  Vận tốc  Thời gian S: quãng đường v S t Vận tốc  Quãng đường : Thời gian v: vận tốc t S v Thời gian  Quãng đường : Vận tốc t: thời gian Các đơn vị ba đại lượng phải phù hợp với Nếu qng đường tính ki-lơmét, vận tốc tính ki-lơ-mét/giờ thời gian phải tính + Nếu hai xe ngược chiều xuất phát gặp lần đầu: Thời gian hai xe nhau, Tổng quãng đường hai xe khoảng cách ban đầu hai xe + Nếu hai phương tiện chuyển động chiều từ hai địa điểm khác A B, xe từ A chuyển động nhanh xe từ B xe từ A đuổi kịp xe từ B ta ln có hiệu qng đường xe từ A với quãng đường xe từ B quãng đường AB Chuyển động với ngoại lực tác động: (lực cản, lực đẩy); (thường áp dụng với chuyển động dòng nước với vật ca nô, tàu xuồng, thuyền): Đối với chuyển động dòng nước Vận tốc nước đứng yên = vận tốc riêng Vận tốc xi dòng = vận tốc riêng + vận tốc dòng nước Vận tốc ngược dòng = vận tốc riêng – vận tốc dòng nước Vận tốc dòng nước vận tốc vật trơi tự nhiên theo dòng nước (Vận tốc riêng vật 0) Đối với chuyển động có ngoại lực tác động lực gió ta giải tương tự tốn chuyển động dòng nước Ví dụ minh họa: Bài 1: Lúc ô tơ chạy từ A B Sau nửa giờ, xe máy chạy từ B A Ơ tơ gặp xe máy lúc Biết vân tốc ô tô lớn vận tốc xe máy 10 km/h khoảng cách AB  195 km Tính vận tốc xe Hướng dẫn giải Gọi vận tốc ô tô x  km/h  x   Gọi vận tốc xe máy y  km/h  y   Vì vận tốc tô vận tốc xe máy 10 km/h nên ta có phương trình: x  y  10 Thời gian ô tô lúc gặp xe máy là:   (giờ) Thời gian xe máy lúc gặp ô tô là:   (giờ) 2 Quãng đường ô tô chạy x  km  Quãng đường xe máy chạy 3y  km  2 Vì quãng đường AB dài 195 km nên ta có phương trình x  y  195 hay x  y  390  x  y  10 4 x  y  390 Do ta có hệ hai phương trình :  Giải hệ ta x  60; y  50 (thỏa mãn điều kiện) Vậy vận tốc ô tô 60 km/h, vận tốc xe máy 50 km/h Bài 2: Một tàu thủy chạy xi dòng sông 66 km hết thời gian thời gian chạy ngược dòng 54 km Nếu tàu chạy xi dòng 22 km ngược dòng km hết Tính vận tốc riêng tàu thủy vận tốc dòng nước (biết vận tốc riêng tàu không đổi) Hướng dẫn giải Gọi vận tốc riêng tàu thủy x (km/h) Gọi vận tốc dòng nước y (km/h) ( x  y  0) Suy vận tốc tàu thủy xi dòng x  y (km/h) Vận tốc tàu thủy ngược dòng x  y (km/h) Dẫn tới hệ phương trình : 54  66  x y  x y  x  30   (thỏa mãn điều kiện)  22 y     1  x  y x  y Vậy vận tốc riêng tàu thủy 30 km/h Vận tốc dòng nước km/h Bài 3: Hàng ngày, Nam đạp xe học với vận tốc khơng đổi qng đường dài 10 km Nam tính toán thấy đạp xe với vận tốc lớn thời gian học rút ngắn 10 phút so với đạp xe với vận tốc ngày Tuy nhiên, thực tế sáng lại khác dự kiến Nam đạp xe với vận tốc lớn nửa đầu quãng đường (dài 5km), nửa quãng đường lại đường phố đông đúc nên Nam đạp xe với vận tốc hàng ngày Vì thời gian đạp xe học sáng Nam 35 phút Hãy tính vận tốc đạp xe hàng ngày vận tốc đạp xe lớn Nam (lấy đơn vị vận tốc km/h) Hướng dẫn giải Gọi vận tốc đạp xe ngày Nam x (km/h, x > 0) Vận tốc đạp xe lớn Nam y (km/h, y > x) Thời gian hàng ngày Nam từ nhà đến trường 10 (h) x Thời gian Nam từ nhà đến trường với vận tốc lớn 10 (h) y Theo Nam tính tốn thấy đạp xe với vận tốc lớn thời gian học rút ngắn 10 phút ( (h) ) nên ta có pt: 10 10 x  y 6 Thời gian học thực tế Nam km đầu ( h) y Thời gian học thực tế Nam km cuối ( h) x Theo thời gian đạp xe học sáng Nam 35 phút ( phương trình 5   x y 12 (h) )nên ta có 12 10 10 1 1 1  x  y 6  x  y  60  x  15 (tm)    x 15 Giải hệ pt:      y  20 (tm) 5   1   1   x y 12  x y 60  y 20 Vậy vận tốc đạp xe hàng ngày Nam 15 (km/h) Vận tốc đạp xe lớn Nam 20 (km/h) Bài 4: Một ca nơ xi dòng qng sơng dài 12km ngược dòng qng sơng 30 phút Nếu quãng đường sông ấy, ca nô xuôi dòng 4km ngược dòng 8km hết 1giờ 20 phút Biết vận tốc riêng ca nô vận tốc riêng dòng nước khơng đổi, tính cận tốc riêng ca nô vận tốc riêng dòng nước Hướng dẫn giải Gọi vận tốc riêng ca nơ vận tốc riêng dòng nước x, y (km/h;  y  x ) Vận tốc ca nơ xi dòng là: x  y (km/h) Vận tốc ca nơ ngược dòng là: x  y (km/h) Đổi: 30 phút  giờ; 1giờ 20 phút  Vì ca nơ xi dòng qng sơng dài 12km ngược dòng qng sơng 30 phút nên ta có phương trình: 12 12   x y x y (1) Vì ca nơ xi dòng 4km ngược dòng 8km hết 1giờ 20 phút nên ta có phương trình:   x y x y (2) 12  12 x y  x y   Từ (1) (2) ta có hệ phương trình      x  y x  y  12a  12b   1  ;b  Đặt a  ( a  0; b  ) , ta có hệ  x y x y  4a  8b    a  12 …  b1    x  y  12  x  y  12  x  10    Suy  (thỏa mãn điều kiện)  x y 8 y2  1  x  y Vậy vận tốc riêng ca nô 10 km/h vận tốc riêng dòng nước km/h Bài tập tự luyện: Bài B.01: Một ô tô từ A dự định đến B lúc 12 trưa Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h đến B chậm so với dự định Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h đến B sớm 1giờ so với dự định Tính độ dài quãng đường AB thời điểm xuất phát ô tô A? Bài B.02: Quãng đường AB gồm đoạn lên dốc dài km đoạn xuống dốc dài km Một người xe đạp từ A đến B hết 40 phút từ B đến A hết 41 phút (vận tốc lên dốc, xuống dốc lúc nhau) Tính vận tốc lúc lên dốc, lúc xuống dốc? Bài B.03: Một ô tô quãng đường AB với vận tốc 50 km/h, tiếp quãng đường BC với vận tốc 45 km/h Biết quãng đường tổng cộng dài 165 km thời gian tơ qng đường AB thời gian quãng đường BC 30 phút Tính thời gian tơ đoạn đường Bài B.04: Một ô tô dự định từ A đến B thời gian định Nếu xe chạy nhanh 10 km đến nơi sớm dự định giờ, xe chayyj chậm lại 10 km đến nơi chậm Tính vận tốc xe lúc đầu, thời gian dự định chiều dài quãng đường AB Bài B.05: Một ca nô chạy sông giờ, xi dòng 108 km ngược dòng 63 km Một lần khác ca nô xi dòng 81 km ngược dòng 84 km Tính vận tốc nước chảy vận tốc ca nô Bài B.06: Một khách du lịch ô tô giờ, sau tiếp tàu hỏa quãng đường 640 km Hỏi vận tốc tàu hỏa ô tô, biết tàu hỏa nhanh ô tô km? Bài B.07: Hai người khách du lịch xuất phát đồng thời từ hai thành phố cách 38 km Họ ngược chiều gặp sau Hỏi vận tốc người, biết gặp nhau, người thứ nhiều người thứ hai km? Bài B.08: Một ca nơ xi dòng theo khúc sông ngược dòng vòng giờ, 380 km Một lần khác ca nơ xi dòng ngược dòng vòng 30 phút 85 km Hỏi tính vận tốc thật (lúc nước yên lặng) ca nơ vận tốc dòng nước (vận tốc thật ca nơ vận tốc dòng nước hai lần nhau) Bài B.09: Một người xe máy từ A tới B Cùng lúc người khác xe máy từ B tới A với vận tốc vận tốc người thứ Sau hai người gặp Hỏi người quãng đường AB hết bao lâu? Bài B.10: Một ca nơ ngược dòng từ bến A đến bến B với vận tốc 20 km/h sau lại xi từ bến B trở bến A Thời gian ca nơ ngược dòng từ A đến B nhiều thời gian ca nơ xi dòng từ B trở A 40 phút Tính khoảng cách hai bến A B Biết vận tốc dòng nước km/h, vận tốc riêng ca nơ lúc xi dòng lúc ngược dòng Bài B.11: Hai xe máy khởi hành lúc từ hai tỉnh A B cách 90 km, ngược chiều gặp sau 1,2 (xe thứ khởi hành từ A, xe thứ hai khởi hành từ B) Tìm vận tốc xe Biết thời gian để xe thứ hết quãng đường AB thời gian để xe thứ hai hết quãng đường AB Bài B.12: Hai địa điểm A B cách 200 km Cùng lúc có tơ từ A xe máy từ B Xe máy ô tô gặp C cách A khoảng 120 km Nếu ô tô khởi hành sau xe máy gặp D cách C khoảng 24 km Tính vận tốc xe máy tơ Dạng 3: Tốn suất – Khối lượng cơng việc - % Có ba đại lượng: - Khối lượng công việc (KLCV) - Phần việc làm (chảy) đơn vị thời gian (năng suất) (NS) - Thời gian (t) KLCV  N t NS  t KLCV t KLCV NS Khối lượng công việc = Năng suất  Thời gian KLCV: Năng suất = Khối lượng công việc : Thời gian NS: Năng suất Thời gian = Khối lượng công việc : Năng suất t: thời gian Khi công việc không đo số lượng cụ thể, ta xem tồn cơng việc 1 (cơng việc) x - Nếu vòi chảy riêng đầy bể x (giờ) vòi chảy (bể) x - Nếu đội làm xong công việc x (ngày) ngày đội làm Ví dụ minh họa: Bài 1: Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm thời gian định Do áp dụng kĩ thuật nên tổ I vượt mức 18% tổ II vượt mức 21% Vì thời gian quy định họ hoàn thành vượt mức 120 sản phẩm Hỏi số sản phẩm giao tổ theo kế hoạch ? Hướng dẫn giải Gọi x, y số sản phẩm tổ I, II theo kế hoạch ĐK: x, y nguyên dương x < 600; y < 600 Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm nên ta có phương trình: x  y  600 1 Số sản phẩm tăng tổ I là: 18 21 x (sp), Số sản phẩm tăng tổ II là: y (sp) 100 100 Do số sản phẩm hai tổ vượt mức 120(sp) nên ta có phương trình: 18 21 y  120   x 100 100  x  y  600  Từ 1   ta có hệ phương trình:  18 21 100 x  100 y  120 Giải hệ ta x = 200 , y = 400 (thỏa mãn điều kiện) Vậy số sản phẩm giao theo kế hoạch tổ I 200, tổ II 400 Bài 2: Hai vòi nước chảy vào bể khơng có nước đầy bể Nếu vòi thứ chảy vòi thứ chảy bể nước Hỏi vòi chảy đầy bể Hướng dẫn giải Gọi thời gian vòi thứ chảy đầy bể x (giờ), thời gian vòi thứ hai chảy đầy bể y (giờ) (Điều kiện x; y  ) Trong giờ: vòi thứ chảy Trong hai vòi chảy 1 bể; vòi thứ hai chảy bể y x bể Vì hai vòi nước chảy vào bể khơng có nước đầy bể nên ta có phương trình: 1   x y 1 Nếu vòi thứ chảy vòi thứ chảy x y phương trình:   bể nên ta có  2 1 1 x  y   Từ 1   ta có hệ phương trình:  3    x y Giải hệ phương trình ta đươc x  7,5 ; y  15 (thỏa mãn điều kiện) Vậy thời gian vòi thứ chảy đầy bể 7,5 giờ, thời gian vòi thứ hai chảy đầy bể 15 Bài 3: Hai công nhân làm cơng việc 16 xong Nếu người thứ làm giờ, người thứ hai làm họ làm cơng việc Hỏi cơng nhân làm làm xong công việc Hướng dẫn giải Gọi x (giờ), y(giờ) thời gian cơng nhân I cơng nhân II làm xong công việc ĐK: x, y > 16 Trong giờ: + Công nhân I làm được: (công việc) x + Công nhân II làm được: (công việc) y + Cả hai công nhân làm được: (công việc) 16 Ta có phương trình: 1   x y 16 1 Trong công nhân I làm được: Trong công nhân II làm được: Ta có phương trình: (cơng việc) y   x y  2 Từ 1   ta có hệ phương trình: (2)  (1) ta : (công việc) x 3 x    3   x 3  y 16  y   y  3.16  48 ( tmđk) y 16 Thay vào (1) ta : 3 3 3 3.48        x  24 ( tmđk) x 48 16 x 16 48 48 Vậy: + Một cơng nhân I làm xong công việc hết: 24 + Một cơng nhân II làm xong cơng việc hết: 48 Bài 4: Theo kế hoạch hai tổ sản xuất giao làm 600 sản phẩm Nhờ tăng suất lao động tổ làm vượt mức 10% tổ hai làm vượt mức 20% so với kế hoạch tổ, nên hai tổ làm 685 sản phẩm Tính số sản phẩm tổ làm theo kế hoạch Hướng dẫn giải Gọi số sản phẩm tổ làm theo kế hoạch x (SP, ĐK: x  * , x  600 ) Gọi số sản phẩm tổ làm theo kế hoạch y (SP, ĐK: y  * , y  600 ) Vì hai tổ sản xuất giao làm 600 sản phẩm nên ta có phương trình: x  y  600 (1) Số sản phẩm vượt mức tổ là: 10%.x (sảnphẩm) Số sản phẩm vượt mức tổ là: 20% y (sảnphẩm) Vì tăng suất tổ làm 685 sảnphẩm, nên ta có phương trình: (2) 110% x  120% y  685  x  y  600 110% x  120% y  685 Từ (1) (2) ta có hpt   x  y  600  x  y  600  x  350    (TMĐK) 0,1 y  25  y  250  y  250 Vậy số sản phẩm tổ làm theo kế hoạch 350 sản phẩm Số sản phẩm tổ làm theo kế hoạch 250 sản phẩm Bài 5: Hai công nhân làm chung công việc xong Nếu người thứ làm 20 phút người thứ hai làm 10 xong cơng việc Tính thời gian công nhân làm riêng xong công việc Hướng dẫn giải Gọi x (h) thời gian người thứ làm xong cơng việc ( x > 6) 1h người thứ làm 1/x (cv) y (h) thời gian người thứ hai làm xong cơng việc ( y > 6) 1h người thứ làm 1/y (cv) Trong 3h20' người thứ làm 10 (cv), x y Trong 10h người thứ hai làm 10 (cv) 1 1 x  y   ta có phương trình  Đặt ẩn phụ ta có hpt: 10   10    x y 1   u  v  u  10 (thỏa)   10 u  10v  v    15 Suy x = 10 ; y = 15 Kết luận Bài 6: Hai máy ủi làm việc vòng 12 san lấp khu đất 10 Nếu máy ủi thứ làm 42 nghỉ sau máy ủi thứ hai làm 22 hai máy ủi san lấp 25% khu đất Hỏi làm máy ủi san lấp xong khu đất cho ? Hướng dẫn giải Gọi x (giờ ) y (giờ ) thời gian làm máy thứ máy thứ hai để san lấp toàn khu đất (x > ; y > 0) Nếu làm máy ủi thứ san lấp san lấp khu đất, máy thứ x khu đất y Theo giả thiết ta có hệ phương trình : 12 12  x  y  10    42  22   x y  12u  12v   1  10 Đặt u  v  ta hệ phương trình:  x y  42u  22v   Giải hệ phương trình tìm u  1 , Suy ra:  x ; y    300; 200  ;v 300 200 Trả lời: Để san lấp toàn khu đất thì: Máy thứ làm 300 giờ, máy thứ hai làm 200 Bài 7: Tháng đầu, hai tổ sản xuất 900 chi tiết máy Tháng thứ hai, cải tiến kỹ thuật nên tổ I vượt mức 10% vả tổ II vượt mức 12% so với tháng đầu, vậy, hai tổ sản xuất 1000 chi tiết máy Hỏi tháng đầu tổ sản xuất chi tiết máy ? Hướng dẫn giải Gọi số chi tiết máy tháng đầu tổ x chi tiết ( x nguyên dương, x < 900) Gọi số chi tiết máy tháng đầu tổ y chi tiết ( y nguyên dương, y < 900)  x  y  900  x  400  (thoả mãn) 1,1x  1,12 y  1000  y  500 Theo đề ta có hệ  Đáp số 400, 500 Bài 8: Trong tháng niên Đoàn trường phát động giao tiêu chi đoàn thu gom 10kg giấy vụn làm kế hoạch nhỏ Để nâng cao tinh thần thi đua bí thư chi đoàn 10A chia đoàn viên lớp thành hai tổ thi đua thu gom giấy vụn Cả hai tổ tích cực Tổ thu gom vượt tiêu 30%, tổ hai gom vượt tiêu 20% nên tổng số giấy chi đoàn 10A thu 12,5 kg Hỏi tổ bí thư chi đồn giao tiêu thu gom kg giấy vụn? Hướng dẫn giải Gọi số kg giấy vụn tổ bí thư chi đồn giao x (kg) ( Đk : < x 0) Chu vi hình chữ nhật ban đầu 2010 cm ta có phương trình: 2( y  y )  2010  x  y  1005 (1) Khi tăng chiều dài 20 cm, tăng chiều rộng 10 cm kích thước hình chữ nhật là: Chiều dài: x  20 (cm), chiều rộng: y  10 (cm) Khi diện tích hình chữ nhật là: (x  20)(y  10)  xy 13300  10 x  20 y  13100  x  y  1310 (2)  x  y  1005  x  2t  1310 Từ (1) (2) ta có hệ:  Trừ vế hệ ta được: y = 305 (thoả mãn) Thay vào phương trình (1) ta x  700 được: Vậy chiều dài hình chữ nhật ban đầu là: 700 cm, chiều rộng 305 cm Bài 3: Cho mảnh đất hình chữ nhật có chiều rộng ngắn chiều dài 45 m Nếu giảm chiều dài lần tăng chiều rộng lên lần chu vi khơng đổi Tính diện tích mảnh đất Hướng dẫn giải Gọi chiều rộng, chiều dài ruộng tương ứng x, y Điều kiện x > 0, y > 0; đơn vị x, y mét y x (1) Vì chiều rộng ngắn chiều dài 45 m nên 45 y Chiều dài giảm lần, chiều rộng tăng lần ta hình chữ nhật có hai cạnh 3x   Theo giả thiết chu vi không thay đổi nên  x  y    3x   y  x  45  y 2( x  y )  2(3 x  )  Từ (1) (2) ta có hệ phương trình   x  15 (m)  y  60 (m) Giải hệ ta có  Vậy diện tích ruộng S  xy  900 (m2) y  2 (2) Bài tập tự luyện: cạnh đáy Nếu chiều cao tăng thêm dm cạnh đáy giảm dm diện tích tăng thêm 12 dm2 Tính chiều cao cạnh đáy tam giác Bài D.01 Một tam giác có chiều cao Bài D.02 Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi 48 m Nếu tăng chiều rộng lên bốn lần chiều dài lên ba lần chu vi khu vườn 162 m Hãy tính diện tích khu vườn ban đầu Bài D.03 Một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài chiều rộng có diện tích 1792 m2 Tính chu vi khu vườn Bài D.04 Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích 720 m2, tăng chiều dài thêm m giảm chiều rộng m diện tích mảnh vương khơng đổi Tính kích thước mảnh vườn Bài D.05 Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi 28m Đường chéo hình chữ nhật 10m Tính độ dài hai cạnh mảnh đất hình chữ nhật Bài D.06 Một hình chữ nhật Nếu tăng chiều dài thêm 2m chiều rộng m diện tích tăng 100 m2 Nếu giảm chiều dài chiều rộng 2m diện tích giảm 68 m2 Tính diện tích ruộng Dạng Các dạng tốn khác Ví dụ minh họa: Bài 1: Hai giá sách có tất 500 sách Nếu bớt giá thứ 50 thêm vào giá thứ hai 20 số sách hai giá Hỏi lúc đầu giá có cuốn? Hướng dẫn giải Gọi số sách lúc đầu giá thứ x (cuốn) Gọi số sách lúc đầu giá thứ hai y (cuốn) Điều kiện : x, y nguyên dương (x > 50) Số sách lại giá thứ sau bớt 50 (x – 50) Số sách lại giá thứ hai sau thêm 20 (y + 20) Theo ta có hệ phương trình:  x  y  500  x  50  y  20 Giải hệ phương trình ta : x = 285 y = 215 (tmđk) Vậy : Số sách lúc đầu giá thứ 285 Số sách lúc đầu giá thứ hai 215 Bài 2: Anh Bình đến siêu thị để mua bàn ủi quạt điện với tổng số tiền theo giá niêm yết 850 ngàn đồng Tuy nhiên, thực tế trả tiền, nhờ siêu thị khuyến để tri ân khách hàng nên giá bàn ủi quạt điện giảm bớt 10% 20% so với giá niêm yết Do đó, anh Bình trả 125 ngàn đồng mua hai sản phẩm Hỏi số tiền chênh lệch giá bán niêm yết với giá bán thực tế loại sản phẩm mà anh Bình mua bao nhiêu? Hướng dẫn giải Gọi số tiền mua bàn ủi với giá niêm yết x (ngàn đồng) ( < x < 850) Số tiền mua quạt điện với giá niêm yết y (ngàn đồng) ( < y < 850) Tổng số tiền mua bàn ủi quạt điện 850 ngàn đồng nên ta có phương trình: x  y  850 1 Số tiền thực tế để mua bàn ủi là: 90 x  x 100 Số tiền thực tế để mua quạt điện là: Theo ta có phương trình: 10 80 y y 100 10 9x y 9x y   850  125    725 10 10 10 10 Từ (1) (2) ta có hệ phương trình:  x  y  850  x  450   9 10 x  10 y  725  y  400 Số tiền thực tế mua bàn ủi là: 450  405 (ngàn đồng) 10 Số tiền thực tế mua quạt điện là: 400  320 (ngàn đồng) 10 Vậy số tiền chênh lệch giá bán niêm yết giá bán thực tế bàn ủi là: 450 – 405  45 (ngàn đồng) Vậy số tiền chênh lệch giá bán niêm yên giá bán thực tế quạt điện là: 400 – 320  80 (ngàn đồng) ĐS 45 80 (ngàn đồng) Bài 3: Số tiền mua dừa long 25 nghìn đồng Số tiền mua dừa long 120 nghìn đồng Hỏi giá dừa giá long ? Biết dừa có long có Hướng dẫn giải Gọi x, y (nghìn) giá dừa long Điều kiện : < x ; y < 25  x  y  25  5x  y  120 Theo ta có hệ phương trình Giải ta : x = 20, y = (thỏa mãn điều kiện tốn) Vậy : Giá dừa 20 nghìn Giá long nghìn Bài 4: Có hai can đựng dầu, can thứ chứa 38 lít can thứ hai chứa 22 lít Nếu rót từ can thứ sang cho đầy can thứ hai lượng dầu can thứ lại nửa thể tích Nếu rót từ can thứ hai sang cho đầy can thứ lượng dầu can thứ hai lại phần ba thể tích Tính thể tích can Hướng dẫn giải Gọi thể tích can thứ can thứ hai x y (lít) (x > 38, y > 22) Rót từ can sang cho đầy can 2, lượng rót y – 22 (lít), nên can 38 –  y – 22   60 – y (lít), nửa thể tích can x   60 – y  ⇔ x + 2y = 120 (1) Rót từ can sang cho đầy can 1, lượng rót x – 38 (lít), nên can 22 –  x – 38   60 – x (lít), phần ba thể tích can y   60 – x  ⇔ 3x + y = 180 (2)  x  y  120 , giải hệ ta có x = 48; y = 36 (tm) 3x  y  180 Từ (1) (2) ta có hệ phương trình  Vậy thể tích can thứ can thứ hai 48 lít 36 lít Bài tập tự luyện: Bài E.01 Hai giá sách có 450 Nếu chuyển 50 từ giá thứ sang giá thứ hai số sách giá thứu hai số sách giá thứ Tính số sách giá Bài E.02 Hai anh An Bình góp vốn kinh doanh Anh An góp 13 triệu đồn, anh Bình góp 15 triệu đồng Sau thời gian kinh doanh lãi triệu đồng Lãi chia theo tỉ lệ góp vốn Tính số tiền lãi mà anh hưởng Bài E.03 Một công nhân dự định làm 72 sản phẩm thời gian định Nhưng thực tê xí nghiệp lại giao 80 sản phẩm Mặc dù người làm thêm số sản phẩm so với dự kiến, thời gian hồn thành cơng việc chậm so với dự kiến 12 phút Tính số sản phẩm dự kiến làm người đó, biết gờ người làm khơng q 20 sản phẩm Bài E.04 Trên cánh đồng cấy 60 lúa giống 40 lúa giống cũ Thu hoạch tât 460 thóc Hỏi suất loại lúa bao nhiêu, biết trồng lúa thu hoạch trồng lúa cũ Bài E.05 Có hai phân xưởng, phân xưởng thứ I làm 20 ngày, phân xưởng thứ II làm 15 ngày 1600 dụng cụ Biết số dụng cụ phân xưởng thứ I làm ngày số dụng cụ phân xưởng I làm ngày Tính số dụng cụ phân xưởng làm Bài E.06 Trong kì thi hai trường A, B có tổng cộng 350 học sinh dự thi Kết hai trường 338 học sinh trúng tuyển Tính trường A có 97% trường B có 96% số học sinh trúng tuyển Hỏi trường có học sinh dự thi Bài E.07 Người ta trộn kg chất lỏng loại I với kg chất lỏng loại II hỗn hợp có khối lượng riêng 700 kg/m3 Biết khối lượng riêng chất lỏng loại I lớn khối lượng riêng chất lỏng loại II 200 kg/m3 Tính khối lượng riêng chất Bài E.08 Trong buổi liên hoan văn nghệ, phòng họp có 320 chỗ ngồi, số người tới dự hơm 420 người Do phải đặt thêm dãy ghế thu xếp để dãy ghế thêm người ngồi đủ Hỏi lúc đầu phòng có ghế Phần giải tốn cách lập hệ phương trình với tập phía giúp em định hướng phương pháp giải Tuy nhiên đề tuyển sinh vào 10, em gặp phải dạng toán phải giải theo phương pháp lập phương trình Các em nghiên cứu tiếp “chuyên đề số 4: Giải tốn cách lập phương trình” để thành thạo kiến thức, phương pháp giải dạng toán nhé! Chủ đề Chúc em học sinh học tập ôn luyện đạt kết tốt! GIẢI BÀI TỐN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI D GIẢI BÀI TỐN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI  KIẾN THỨC CẦN NHỚ Giải toán cách lập phương trình bậc hai gồm ba bước: Bước Lập phương trình tốn: - Chọn ẩn số đặt điều kiện cho ẩn số - Biểu diễn đại lượng chưa biết theo ẩn theo đại lượng biết - Lập phương trình bậc hai biểu thị mối quan hệ đại lượng Bước Giải phương trình bậc hai vừa tìm Bước Trả lời: Kiểm tra xem nghiệm phương trình, nghiệm thỏa mãn điều kiện ẩn, nghiệm không thỏa mãn, kết luận - Đối với giải tốn cách lập phương trình bậc hai ẩn tương tự cách giải toán cách lập phương trình bậc ẩn Tuy nhiên có tốn có có kết hợp giải hệ phương trình phương trình bậc hai mà em gặp chủ đề Vì việc lựa chọn ẩn số giải tốn em phân vân Vì nghiên cứu chủ đề 4: Giải tốn cách lập phương trình bậc hai (hệ phương trình đưa giải theo phương trình bậc hai) từ hình thành kỹ giải dạng tốn nhé!  PHÂN DẠNG TỐN Dạng Tốn quan hệ số  Số có hai, chữ số ký hiệu ab Giá trị số: ab  10a  b ; (Đk: 1 a  0 b  9, a,b N)  Số có ba, chữ số ký hiệu abc abc = 100a +10b + c, (Đk:  a   b, c  9; a, b, c  N)  Tổng hai số x; y là: x  y  Tổng bình phương hai số x, y là: x  y  Bình phương tổng hai số x, y là:  x  y   Tổng nghịch đảo hai số x, y là: 1  x y Ví dụ minh họa: Bài 1: Tìm hai số tự nhiên liên tiếp có tổng bình phương 85 Hướng dẫn giải Gọi số bé x ( x  N ) Số tự nhiên kề sau x + Vì tổng bình phương 85 nên ta có phương trình: x   x  1  85  x  x  x   85  x  x  84   x  x  42    b  4ac  12  4.1.(42)  169     169  13 1  13  (thoả mãn điều kiện) Phng trỡnh cú hai nghim: 1  13  7 (lo¹i) x2  x1  Vậy hai số phải tìm Bài 2: Một phân số có tử số bé mẫu số 11 Nếu bớt tử số đơn vị tăng mẫu số lên đơn vị phân số nghịch đảo phân số cho Tìm phân số Hướng dẫn giải Gọi tử số phân số phân số cần tìm x mẫu số phân số cần x  11 (đk: x  Z ; x  0, x  11 ) Phân số cần tìm x x  11 Khi bớt tử số đơn vị tăng mẫu số đơn vị ta phân số x7 x  15 (Điều kiện : x  15 ) x x  15  x  11 x  5 Giải PT tìm x  5 phân số cần tìm Theo ta có phương trình : Bài tập tự luyện: Bài A.01: Tìm hai số biết hai lần số thứ ba lần số thứ hai hiệu bình phương chúng 119 Bài A.02: Tìm hai số biết tổng chúng 17 tổng lập phương chúng 1241 Bài A.03: Tích hai số tự nhiên lien tiếp lớn tổng chúng 109 Tìm hai số Bài A.04: Cho số có hai chữ số Tổng hai chữ số chúng 10 Tích hai chữ số nhỏ số cho 12 Tìm số cho Dạng 2: Tốn chuyển động Tốn chuyển động có ba đại lượng: S  v.t Quãng đường  Vận tốc  Thời gian S: quãng đường v S t Vận tốc  Quãng đường : Thời gian v: vận tốc t S v Thời gian  Quãng đường : Vận tốc t: thời gian Các đơn vị ba đại lượng phải phù hợp với Nếu quãng đường tính ki-lơmét, vận tốc tính ki-lơ-mét/giờ thời gian phải tính + Nếu hai xe ngược chiều xuất phát gặp lần đầu: Thời gian hai xe nhau, Tổng quãng đường hai xe khoảng cách ban đầu hai xe + Nếu hai phương tiện chuyển động chiều từ hai địa điểm khác A B, xe từ A chuyển động nhanh xe từ B xe từ A đuổi kịp xe từ B ta ln có hiệu qng đường xe từ A với quãng đường xe từ B quãng đường AB Chuyển động với ngoại lực tác động: (lực cản, lực đẩy); (thường áp dụng với chuyển động dòng nước với vật ca nô, tàu xuồng, thuyền): Đối với chuyển động dòng nước Vận tốc nước đứng n = vận tốc riêng Vận tốc xi dòng = vận tốc riêng + vận tốc dòng nước Vận tốc ngược dòng = vận tốc riêng – vận tốc dòng nước Vận tốc dòng nước vận tốc vật trơi tự nhiên theo dòng nước (Vận tốc riêng vật 0) Đối với chuyển động có ngoại lực tác động lực gió ta giải tương tự tốn chuyển động dòng nước Ví dụ minh họa: Bài 1: Một người xe đạp từ A đến B cách 36 km Khi từ B trở A, người tăng vận tốc thêm km/h, thời gian thời gian 36 phút Tính vận tốc người xe đạp từ A đến B Hướng dẫn giải Gọi vận tốc người xe đạp từ A đến B x km/h, x  Thời gian người xe đạp từ A đến B 36 (giờ) x Vận tốc người xe đạp từ B đến A x+3 (km/h) Thời gian người xe đạp từ B đến A Ta có phương trình: 36 x 36  x3  36 x3 (giờ) 36 60  x  12 Giải phương trình hai nghiệm    x  15  loai  Vậy vận tốc người xe đạp từ A đến B 12 km/h Bài 2: Đi Hai người xe đạp xuất phát từ A để đến B với vận tốc quãng đường, người thứ bị hỏng xe nên dừng lại 20 phút đón tơ quay A, người thứ hai không dừng lại mà tiếp tục với vận tốc cũ để tới B.Biết khoảng cách từ A đến B 60 km, vận tốc ô tô vận tốc xe đạp 48 km/h người thứ hai tới B người thứ A trước 40 phút Tính vận tốc xe đạp Hướng dẫn giải Gọi x (km/h) vận tốc xe đạp, x  48 (km/h) vận tốc ô tô Điều kiện: x>0 Hai người xe đạp đoạn đường AC = AB = 40km Đoạn đường lại người thứ hai xe đạp để đến B là: CB  AB  AC  20 km Thời gian người thứ ô tô từ C đến A là: 40 x + 48 đến B là: (giờ) người thứ hai từ C 20 (giờ) x 20 40 20 40 Theo giả thiết, ta có phương trình: x + 48 + = x -  x + 48 +1 = x Giải phương trình trên: 40x + x  x + 48  = 20  x + 48  hay x + 68x - 960 = Giải phương trình ta hai nghiệm: x1 = -80 < (loại) x = 12 (t/m) Vậy vận tốc xe đạp là: 12 km/h Bài 3: Khoảng cách hai bến sông A B 48 km Một canô từ bến A đến bến B, quay lại bến A Thời gian (không tính thời gian nghỉ) Tính vận tốc canơ nước yên lặng, biết vận tốc dòng nước km/h Hướng dẫn giải Gọi vận tốc canô nước yên lặng x (km/h, x  4) Vận tốc canơ nước xi dòng x  thời gian canơ chạy nước xi dòng 48 x4 Vận tốc canô nước ngược dòng x  thời gian canơ chạy nước ngược dòng 48 x4 Theo giả thiết ta có phương trình 48 48 5  x4 x4 pt  48( x   x  4)  5( x  16)  x  96 x  80  Giải phương trình ta x  0,8 (loại), x  20 (thỏa mãn) Vậy vận tốc canô nước yên lặng 20 km/h Bài 4: Một xe ô tô từ A đến B cách 180km Sau giờ, ô tô dừng lại để đổ xăng nghỉ ngơi 15 phút tiếp tục với vận tốc tăng thêm 20 km/h đến B định Tìm vận tốc ban đầu xe ô tô Hướng dẫn giải Gọi x (km/h) vận tốc ban đầu xe ô tô ( điều kiện: x > 0) Thì vận tốc lúc sau ô tô x + 20 (km/h) Quãng đường sau là: 2x (km) Quãng đường sau nghỉ ngơi là: 180 – 2x (km) Viết phương trình: 180 180  x  2  x x  20 Hay x  180 x –14400  Tìm x  60 (thỏa mãn) ; x  240 (loại) Vậy vận tốc ban dầu xe 60km/h Bài 5: Trên vùng biển xem phẳng chướng ngại vật Vào lúc có tàu cá thẳng qua tọa độ X theo hướng Từ Nam đến Bắc với vận tốc không đổi Đến tàu du lịch thẳng qua tọa độ X theo hướng từ Đông sang Tây với vận tốc lớn vận tốc tàu cá 12 km/h Đến khoảng cách hai tầu 60 km Tính vận tốc tàu Hướng dẫn giải Gọi vận tốc tàu cá là: x (km/h), điều kiện: x > Vận tốc tàu du lịch là: x  12 (km/h ) Đến hai tàu cách khoảng AB = 60 (km) lúc đó, thời gian tàu cá là: – = (giờ) thời gian tàu du lịch là: – = (giờ) Giả sử tàu cá đến điểm A, tàu du lịch đến điểm B Tàu cá đoạn XA = 2x (km) Tàu du lịch đoạn XB   x  12   x  12 (km) Vì XA  XB (do hai phương Bắc – Nam Đơng –Tây vng góc nhau) Nên theo định lý Pytago, ta có: XA2  XB  AB  (2 x)  ( x  12)2  602  x  24 x  3456   x1  28,8 ( L)   x2  24 (TM ) Vậy vận tốc tàu cá tàu du lịch là: 24 km/h 36 km/h Bài 6: Một ca nơ xi dòng từ bến sông A đến bến sông B cách 24 km ; lúc đó, từ A B bè nứa trơi với vận tốc dòng nước km/h Khi đến B ca nô quay lại gặp bè nứa địa điểm C cách A km Tính vận tốc thực ca nơ Hướng dẫn giải Do ca nô xuất phát từ A với bè nứa nên thời gian ca nô thời gian bè nứa:  (h) Gọi vận tốc ca nô x (km/h) (x>4) Theo ta có: 24 24  24 16 2  2  x4 x4 x4 x4 x   x  40 x     x  20 x  loại, x  20 thỏa mãn Vậy vận tốc thực ca nô 20 km/h Bài 7: Trên quãng đường AB, xe máy từ A đến B lúc xe ơtơ từ B đến A, sau hai xe gặp tiếp tục xe ơto đến A sớm xe máy đến B Tính thời gian xe hết quãng đường AB Hướng dẫn giải Gọi x (h) thời gian xe máy hết quãng đường AB (đk: x>4) Gọi y (h) thời gian ôtô hết quãng đường AB (đk: y>4 ) Trong xe máy được: (quãng đường) x Trong xe ô tô được: (quãng đường) y Trong hai xe được: 1 (1) x 4 y Mà thời gian xe ô tô đến A sớm xe máy đến B nên: x – y = (2) Từ (1) (2) ta có hệ phương trình: 1 1 1 1  x  14 x  24        ( điều kiện: x  ) x y  x x6   y  26 x  y   y  x   Giải phương trình x  14 x  24  được: x = 12 (thỏa mãn); x = (loại) Với x = 12, tìm y = Do đó, nghiệm hệ (12;6) Vậy thời gian xe máy hết quãng đường AB 12 giờ, ôtô hết quãng đường AB Bài 8: Cho quãng đường từ địa điểm A tới địa điểm B dài 90 km Lúc xe máy từ A để tới B Lúc 30 phút ngày, ô tô từ A để tới B với vận tốc lớn vận tốc xe máy 15 km/h (Hai xe chạy đường cho) Hai xe nói đến B lúc Tính vận tốc xe Hướng dẫn giải Xe máy trước ô tô thời gian : 30 phút - = 30 phút = h Gọi vận tốc xe máy x ( km/h ) ( x > ) Vì vận tốc ô tô lớn vận tốc xe máy 15 km/h nên vận tốc ô tô x + 15 (km/h) h 90 Thời gian xe máy hết quãng đường AB : x ( ) Thời gian ô tô hết quãng đường AB : Do xe máy trước ô tô 90 ( h) x  15 hai xe tới B lúc nên ta có phương trình: 90 90   x x  15  90.2.( x  15)  x( x  15)  90.2 x  180 x  2700  x  15 x  180 x  x  15 x  2700  b Ta có :   152  4.(2700)  11025  ;   11025  105 x1  15  105  60 ( không thỏa mãn điều kiện ) x2  15  105  45 ( thỏa mãn điều kiện ) Vậy vận tốc xe máy 45 ( km/h ) , vận tốc ô tô 45 + 15 = 60 ( km/h Bài tập tự luyện: Bài B.01: Một người xe máy từ A đến B với vận tốc 25km / h Lúc người với vận tốc 30km / h nên thời gian thời gian 20 phút Tính quãng đường AB Bài B.02: Một ô tô phải qua quãng đường AB dài 60 km thời gian định Xe nửa đầu quãng đường với vận tốc dự định 10 km/h nửa sau dự định km/h Biết ô tô đến dự định Tính thời gian người dự định qng đường AB Bài B.03: Lúc giờ, ô tô xuất phát từ A đến B với vận tốc trung bình 40 km/h Khi đến B, người lái xe làm nhiệm vụ giao nhận hang 30 phút cho xe quay trở A với vận tốc trung bình 30 km/h Tính qng đường AB biết tơ đến A lúc 10 ngày Bài B.04: Một ô tô chạy quãng đường AB Lúc ô tô chạy với vận tốc 35 km/h, lúc chạy với vận tốc 42 km/h, thời gian thời gian nửa Tính chiều dài quãng đường AB Toán chuyển động ngược chiều Bài B.05: Khoảng cách Hà Nội Thái Bình 110 km Một người xe máy từ Hà Nội Thái Bình với vận tốc 45 km/h Một người xe máy từ Thái Bình lên Hà Nội với vận tốc 30 km/h Hỏi sau họ gặp nhau? Bài B.06: Hai người khởi hành hai địa điểm cách 4,18 km ngược chiều để gặp Người thứ 5, km Người thứ hai 6, km xuất phát sau người thứ phút Hỏi người thứ hai gặp người thứ Bài B.07: Hai người xe đạp lúc, ngược chiều nhu từ hai địa điểm A B cách 42 km gặp sau Tính vận tốc người, biết người từ A nhanh người từ B km Bài B.08 Hai người xe đạp từ hai tỉnh A B cách 60 km ngược chiều gặp sau Tính vận tốc người biết người từ A nhanh người từ B km Toán chuyển động chiều Bài B.09: Hai xe máy khởi hành lúc sáng từ A để đến B Xe máy thứ chạy với vận tốc 30 km/h, xe máy thứ hai chạy với vận tốc lớn vận tốc xe máy thứ km/h Trên đường xe thứ hai dừng lại nghỉ 40 phút lại tiếp tục chạy với vận tốc cũ Tính chiều dài quãng đường AB, biết hai xe đến B lúc Bài B.10: Lúc sáng người xe đạp khởi hành từ A với vận tốc 10 km/h Sau lúc 40 phút, người khác xe máy từ A đuổi theo với vận tốc 30 km/h Hỏi hai người gặp lúc giờ? Bài B.11 Một đoàn tàu hỏa từ Hà Nội Thành phố Hồ Chí Minh, 48 phút sau, đoàn tàu hỏa khác khởi hành từ Nam Định Thành phố Hồ Chí Minh với vận tốc nhỏ vận tốc đoàn tàu thứ km/h Hai đoàn tàu gặp ( ga đó) sau 48 phút kể từ đồn tàu thứ khởi hành Tính vận tốc đoàn tàu, biết Ga Nam Định nằm đường từ Hà Nội Thành phố Hồ Chí Minh cách Ga Hà Nội 87 km Toán chuyển động dòng nước Bài B.12: Một ca nơ tuần tra xi dòng từ A đến B hết 20 phút ngược dòng từ B A hết Tính vận tốc riêng ca nơ, biết vận tốc dòng nước km/h Bài B.13: Quãng đường ca nơ xi dòng 2, lần quãng đường ca nô ngược dòng Hỏi vận tốc ca nơ xi dòng Biết vận tốc ca nơ nước yên tĩnh 15 km/h Bài B.14 Lúc sáng, ca nơ xi dòng từ bến A đến bến B, cách 36 km, quay trở đến bến A lúc 11 30 phút Tính vận tốc ca nơ xi dòng, biết vận tốc dòng chảy km/h Bài B.15 Một ca nô khởi hành từ bến A đến bến B dài 120 km từ B quay A tổng cộng 11 Tính vận tốc ca nơ Cho biết vận tốc dòng km/h vận tốc thật khơng đổi Dạng 3: Toán suất – Khối lượng cơng việc - % Có ba đại lượng: - Khối lượng công việc (KLCV) - Phần việc làm (chảy) đơn vị thời gian (năng suất) (NS) - Thời gian (t) KLCV  N t NS  t KLCV t KLCV NS Khối lượng công việc = Năng suất  Thời gian KLCV: Năng suất = Khối lượng công việc : Thời gian NS: Năng suất Thời gian = Khối lượng công việc : Năng suất t: thời gian Khi công việc không đo số lượng cụ thể, ta xem tồn cơng việc - Nếu đội làm xong công việc x (ngày) ngày đội làm (cơng việc) x - Nếu vòi chảy riêng đầy bể x (giờ) vòi chảy (bể) x Ví dụ minh họa: Bài 1: Một đoàn xe vận tải nhận chuyên chở 30 hàng Khi khởi hành bổ sung thêm xe nên xe chở 0,5 hàng Hỏi lúc đầu đồn xe có xe? Hướng dẫn giải Gọi số xe đoàn xe lúc đầu x (chiếc)  x     Số xe đoàn xe bổ sung thêm x  (chiếc) Lúc đầu, lượng hàng xe phải chở 30 (tấn) x 30 Do bổ sung thêm xe xe chở 0,5  hàng nên ta có phương trình : Lúc thêm xe, lượng hàng xe phải chở x  (tấn) 30 30   x  0, xnguyên   x x2  60  x    60 x  x  x    x  x  120   '  12   120   121  ,  '  121  11 x1  1  11  10 (nhận) ; x2  1  11  12 (loại) Vậy lúc đầu đồn xe có 10 Bài 2: Một tổ công nhân dự định làm xong 240 sản phẩm thời gian định Nhưng thực hiện, nhờ cải tiến kĩ thuật nên ngày tổ làm tăng thêm 10 sản phẩm so với dự định Do tổ hồn thành cơng việc sớm dự định ngày Hỏi thực hiện, ngày tổ làm sản phẩm? Hướng dẫn giải Gọi số sản phẩm tổ thực ngày x (sản phẩm) (ĐK: x>10; x Z) Do đó: Số sản phẩm tổ dự định làm ngày là: x  10 (sản phẩm) Thời gian tổ hồn thành cơng việc thực tế là: 240 x (ngày) ngày 240 Thời gian tổ hồn thành cơng việc theo dự định là: x  10do ta có phương trình: Vì tổ hồn thành cơng việc sớm dự định ngày, 240 240 120 120  2  1 x  10 x x  10 x  120 x  120 x  1200  x  10 x  x  40  x  10 x  1200  …    x  30 Với x = 40 thỏa mãn đk, x = -30 loại khơng thỏa mãn đk Vậy số sản phẩm tổ thực ngày 40 sản phẩm Bài 3: Lớp 9A lớp 9B lao động tổng vệ sinh sân trường sau hồn thành xong cơng việc Nếu làm riêng lớp 9A nhiều thời gian lớp 9B hồn thành xong cơng việc Hỏi làm riêng, lớp cần thời gian để hoàn thành xong công việc ? Hướng dẫn giải Gọi thời gian lớp 9A, 9B hồn thành xong cơng việc x; y (giờ) (ĐK : x  5; y  ) ( công việc x giờ, lớp 9A làm : ) giờ, lớp 9B làm : ( công việc ) y 1 giờ, lớp làm : ( công việc ).Ta có phương trình: 1   (1) x y Nếu làm riêng lớp 9A nhiều thời gian lớp 9B hoàn thành xong cơng việc Ta có phương trình: x  y  (2) Từ (1), (2) , ta có hệ phương trình: 6( y  5) y ( y  5)  6y      y ( y  5) y ( y  5) y ( y  5)  x  y5  1 1 1 1 1           x y  x y   y 5 y  x y 5  x  y5  x  y5      y  10 (tm) 6 y  y  30  y  y  y  y  30   y  10 (tm)       y  3 (l )   x  y 5  x  15 (tm)   x  y 5  x  y 5  Vậy, thời gian để lớp 9A hồn thành xong cơng việc 15 giờ, lớp 9B hồn thành xong cơng việc 10 Bài 4: Một đồn xe vận tải nhận chuyên chở 15 hàng Khi khởi hành xe phải điều làm cơng việc khác, nên xe lại phải chở nhiều 0,5 hàng so với dự định Hỏi thực tế có xe tham gia vận chuyển (biết khối lượng hàng xe chở nhau) Hướng dẫn giải Gọi số xe thực tế chở hàng x xe ( ĐK: x  N*) Thì số xe dự định chở hàng x  ( xe ) Theo dự định xe phải chở số là: 15 ( ) x 1 Nhưng thực tế xe phải chở số : Theo ta có PT : 15 ( ) x 15 15 0,5 1 x  x Giải phương trình ta : x1  6 ( loại ) ; x2  ( t/m) Vậy thực tế có xe tham gia vận chuyển hàng Bài 5: Hưởng ứng phong trào “Vì biển đảo Trường Sa” đội tàu dự định chở 280 hàng đảo Nhưng chuẩn bị khởi hành số hàng hóa dẫ tăng thêm so với dự định Vì đội tàu phải bổ sung thêm tàu mối tàu chở dự định hàng Hỏi dự định đội tàu có tàu, biết tàu chở số hàng nhau? Hướng dẫn giải Gọi x (chiếc) số tàu dự định đội( x  N *, x  140 ) Số tàu tham gia vận chuyển x  (chiếc) 280 Số hàng theo dự định: x(tấn) Số hàng thực tế: 280 Theo đề ta có pt: x  x  10 (t/m)   x  14 (l )  x286  286 (tấn) x 1  280  x  1  286 x  x  x  1  x  x –140   Vậy đội tàu lúc đầu 10 Bài tập tự luyện: Bài C.01: Một công nhân dự định làm 120 sản phẩm thời gian dự định Sau làm với suất dự kiến, người cải tiến thao tác hợp lý nên tang suất thêm sản phẩm người hồn thành kế hoạch sớm dự định 36 phút Hãy tính suất dự kiến Bài C.02: Một nhóm thợ đặt kế hoạch sản xuất 1200 sản phẩm Trong 12 ngày đầu họ làm theo kế hoạch đề ra, ngày lại họ làm vượt mức ngày 20 sản phẩm, nên hoàn thành sớm kế hoạch ngày Hỏi theo kế hoạch ngày nhóm thợ cần sản xuất sản phẩm Bài C.03: Một tổ sản xuất dự định sản xuất 360 máy nông nghiệp Khi làm tổ chức quản lí tốt nên ngày họ làm nhiều dự định máy, tổ hồn thành trước thời hạn ngày Hỏi số máy dự định sản xuất ngày bao nhiêu? Bài C.04: Một tổ may áo theo kế hoạch ngày phải may 30 áo Nhờ cải tiến kĩ thuật, tổ may ngày 40 áo nên hoàn thành trước thời hạn ngày, ngồi may thêm 20 áo Tính số áo mà tổ phải may theo kế hoạch Bài C.05: Một phân xưởng theo kế hoạch phải dệt 3000 thảm Trong ngày đầu họ thực theo kế hoạch, ngày lại họ dệt vượt mức ngày 10 nên hoàn thành kế hoạch trước ngày Hỏi theo kế hoạch ngày phân xưởng phải dệt Bài C.06: Tháng đầu hai tổ sản xuất làm 720 dụng cụ Sang tháng tổ làm vượt mức 12% , tổ vượt mức 15% nên hai tổ làm 819 dụng cụ Hỏi tháng tổ làm dụng cụ? Tốn cơng việc làm chung, làm riêng Bài C.07: Hai tổ sản xuất làm chung công việc hồn thành Hỏi làm riêng tổ phải hết thời gian hồn thành cơng việc, biết làm riêng tổ hoàn thành sớm tổ Bài C.08: Hai công nhân làm chung 12 hồn thành cơng việc Họ làm chung người thứ chuyển làm việc khác, người thứ hai làm nốt công việc 10 Hỏi người thứ hai làm hồn thành cơng việc Bài C.09: Hai người làm chung cơng việc 15 xong Hai người làm người thứ hất điều làm công việc khác, người thứ hai tiếp tục làm việc 21 xong cơng việc Hỏi làm người phải làm xong công việc Bài C.10 Hai người làm chung cơng việc 24 xong Năng suất người thứ suất người thứ hai Hỏi người làm cơng việc hồn thành sau bao lâu? Dạng 4: Tốn có nội dung hình học - Diện tích hình chữ nhật S  x y ( x chiều rộng; y chiều dài) - Diện tích tam giác S  x y ( x chiều cao, y cạnh đáy tương ứng) - Độ dài cạnh huyền: c  a  b (c độ dài cạnh huyền; a,b độ dài cạnh góc vng) - Số đường chéo đa giác n(n  3) (n số đỉnh) Ví dụ minh họa: Bài 1: Một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài lớn chiều rộng 3m diện tích 270m2 Tìm chiều dài, chiều rộng khu vườn Hướng dẫn giải Gọi x (m) chiều rộng khu vườn (ĐK: x > 0) Chiều dài khu vườn là: x  (m) Do diện tích khu vườn 270m2 nên ta có phương trình: x  x  3  270  x  3x  270  Giải phương trình ta được: x1  15 (thỏa mãn điều kiện), x2  18 (không thỏa mãn điều kiện) Vậy chiều rộng khu vườn 15 m, chiều dài khu vườn 18 m Bài 2: Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài chiều rộng m Tính kích thước mảnh đất, biết diện tích mảnh đất 150 m2 Hướng dẫn giải Gọi chiều rộng mảnh đất hình chữ nhật a (m), (điều kiện: a > 0) suy chiều dài mảnh đất a + (m) Vì diện tích 150 m2 nên ta có phương trình: a(a  5)  150 Giải phương trình ta a  10; (thỏa mãn) a  15 (loại ko thỏa mãn đk) Vậy chiều rộng 10 m, chiều dài 15 m Bài 3: Cạnh huyền tam giác vuông 13 cm Hai cạnh góc vng có độ dài cm.Tính độ dài cạnh góc vng tam giác vng Hướng dẫn giải Gọi x (cm) độ dài cạnh góc vng lớn (điều kiện :  x  13 )  độ dài cạnh góc vuông nhỏ : x  (cm) + Vì độ dài cạnh huyền 13 cm nên ta có phương trình: x   x    132 +Thực biến đổi thu gọn ta phương trình: x  x  60  + Giải phương trình ta : x1  12 ( tmđk) x2  5 (loại) Trả lời : Vậy độ dài hai cạnh tam giác vuông : 12cm 7cm Bài tập tự luyện: Bài D.01 Một ruộng hình tam giác có diện tích 180 m Tính chiều dài cạnh đáy ruộng, biết tăng cạnh đáy thêm m chiều cao giảm 1m diện tích khơng đổi Bài D.02 Một ruộng hình chữ nhật, tang chiều dài thêm m chiều rộng m diện tích tăng 100 m Nếu giảm chiều dài chiều rộng m diện tích giảm 68 m Tính diện tích ruộng Bài D.03 Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi 280 m Người ta làm lối xung quanh vườn( thuộc đất vườn) rộng m , diện tích lại 4256 m Tính kích thước khu vườn Bài D.04 Một tam giác vng có chu vi 30 m, cạnh huyền 13 m Tính cạnh góc vng tam giác Bài D.05 Một tam giác vng có chu vi 30 cm , độ dài hai cạnh góc vng cm Tính độ dài cạnh tam giác Dạng Các dạng tốn khác Ví dụ minh họa: Bài 1: Hưởng ứng phong trào thi đua “Xây dựng trường học thân thiện, học sinh tích cực”, lớp 9A trường THCS Hoa Hồng dự định trồng 300 xanh Đến ngày lao động, có bạn Liên Đội triệu tập tham gia chiến dịch an tồn giao thơng nên bạn lại phải trồng thêm đảm bảo kế hoạch đặt Hỏi lớp 9A có học sinh? Hướng dẫn giải Gọi x số học sinh lớp 9A ( x > 5, nguyên) Số bạn dự định trồng là: 300 (cây) x Sau bạn tham gia chiến dịch ATGT lớp lại: x  (học sinh) Do bạn lại phải trồng: Theo đề ta có phương trình: 300 (cây) x5 300 300 2 x x 5 Rút gọn ta được: x  x  750  Giải ta được: x  30 (thỏa mãn), x  25 (loại) Vậy lớp 9A có 30 học sinh Bài 2: Một phòng họp có 90 người họp xếp ngồi dãy ghế Nếu ta bớt dãy ghế dãy ghế lại phải xếp thêm người đủ chỗ Hỏi lúc đầu có dãy ghế dãy ghế xếp người? Hướng dẫn giải Gọi số dãy ghế có lúc đầu x (dãy) (ĐK: x nguyên dương x > 5) Thì dãy phải xếp 90 người x Sau bớt dãy số dãy ghế x - dãy 90 người Mỗi dãy phải xếp x  Theo ta có pt : 90 x - 90 =3 x  x  x  150  x1  15 (thỏa mãn) ; x2  10 (loại) Vậy lúc đầu phòng họp có 15 dãy ghế dãy có người Bài 3: Nhân ngày quốc tế thiếu nhi, 13 học sinh (nam nữ) tham gia gói 80 phần quà cho em thiếu nhi Biết tổng số quà mà học sinh nam gói tổng số quà mà học sinh nữ gói Số quà bạn nam gói nhiều số quà mà bạn nữ gói phần Tính số học sinh nam nữ Hướng dẫn giải Gọi x (HS) số HS nam (ĐK:  x  13, x nguyên.) Số HS nữ là: 13 – x ( HS) Số phần quà mà HS Nam gói được: Số phần quà mà HS nữ gói được: 40 ( phần) x 40 13 x (phần)  Theo tốn ta có phương trình: 40 40  3 x 13  x  40(13  x)  40 x  x(13  x)  520  40 x  40 x  39 x  3x  3x  119 x  520  Giải phương trình ta x = (thỏa mãn).; x  104 (không thỏa mãn) Vậy số học sinh nam 5, số học sinh nữ Bài tập tự luyện: Bài E.01 Một đoàn xe vận tải dự định điều số xe loại đề vận chuyển 40 hàng Lúc khởi hành đoàn xe giao them 14 hàng nữa, phải điều thêm xe loại xe chở them 0, hàng Tính số xe ban đầu biết số xe đội không 12 xe Bài E.02 Hai lớp A B có tổng cộng 94 học sinh biết 25% số học sinh lớp 8A đạt loại giỏi, 20% số học sinh lớp 8B tổng số học sinh giỏi hai lớp 21 Tính số học sinh lớp Bài E.03 Một tổ máy trộn bê tong phải sản xuất 450 m bê tông cho đập thủy lợi thời gian quy định Nhờ tăng suất ngày , m nên ngày trước thời hạn quy định tổ sản xuất 96% công việc Hỏi thời gian quy định ngày? Bài E.04 Tìm số học sinh hai lớp 8A 8B, biết chuyể học sinh lớp 8A sang lớp 8B số học sinh hai lớp nhau, chuyển học sinh từ lớp 8B sang lớp 11 8A số học sinh 8B số học sinh lớp 8A 19 Bài E.05 Người ta trộn 38 gam chất lỏng với gam chất lỏng khác có khối lượng g / cm để khối lượng riêng 0, g / cm3 Tìm khối lượng riêng nhỏ , riêng chất lỏng Chủ đề HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN E HÀM SỐ BẬC NHẤT  KIẾN THỨC CẦN NHỚ Định nghĩa Hàm số bậc hàm số cho công thức y  ax  b a; b số cho trước a  Đặc biệt, b  hàm có dạng y  ax Tính chất Hàm số bậc y  ax  b (a  0) xác định với giá trị x   và: - Đồng biến  a  0; - Ngịch biến  a  Đồ thị Đồ thị hàm số y  ax  b (a  0) đường thẳng: - Cắt trục tung điểm có tung độ b - Song song với đường thẳng y  ax b  trùng với đường thẳng y  ax b  Số a gọi hệ số góc, số b gọi tung độ gốc đường thẳng Góc tạo đồ thị hàm số bậc trục Ox Gọi  góc tạo đường thẳng y  ax  b (a  0) trục Ox Nếu a  tan   a (góc tạo góc nhọn) Nếu a  , ta đặt   180o   Khi tan   a (góc tạo góc tù) Tính  suy   180o   Vị trí tương đối hai đường thẳng, đường thẳng parabol  d  : y  ax  b (a  0) Cho đường thẳng Khi :  d  cắt  d  // (d ’)  a  a '  d  trùng (d ’)  a  a ' b  b ' (d ’) y  a ' x  b ' (a '  0) (d ’)  a  a ' b  b '  d  vng góc (d ’)  a.a '  1  BÀI TẬP Bài 1: Cho hàm số y  f ( x)  x  3 b) Tìm giá trị x để hàm số có giá trị 10; 7 a) Tính giá trị hàm số x  2;  0,5; 0; 3; Hướng dẫn giải a) Ta có: Khi x    f  2    2  3  4   1  1  1  f          1   2  2  2 x   f    2.0   x x   f  3  2.3      3 3 3 3  f    2   +) Để hàm số y  f  x   2x + có giá trị 10  2x + 3=10 x  b)  x  10   x   x  Vậy x  7 hàm số có giá trị 10 +) Để hàm số y  f  x   2x + có giá trị 7  x   7  x  7   x  10  x   Vậy x  5 hàm số có giá trị 7 Bài 2: Cho hàm số: y  2mx  m  1 y   m  1 x    a) Xác định m để hàm số 1 đồng biến, hàm số   nghịch biến b) Xác định m để đồ thị hàm số song song với c) Chứng minh đồ thị  d  hàm số 1 qua điểm cố định với giá trị m Hướng dẫn giải a) Hàm số 1 đồng biến hàm số   nghịch biến:  2m  m      m  m   m 1 b) c) Đồ thị hai hàm số song song với nhau: 2m  m  m  1    m  1  m 1   m 1 Viết lại hàm số 1 dạng y  m  x  1  Ta thấy với giá trị m, x   y  Vậy đồ thị  d  hàm số 1 qua điểm cố định điểm   M   ;1   Bài Cho hàm số y  (m  3) x  m  (*) a) Tìm m để đồ thị hàm số (*) cắt trục tung điểm có tung độ  b) Tìm m để đồ thị hàm số (*) song song với đường thẳng y  2 x  c) Tìm m để đồ thị hàm số (*) vng góc với đường thẳng y  x  Hướng dẫn giải a) Để đồ thị hàm số y  (m  3) x  m  cắt trục tung điểm có tung độ –  x = 0; y = - Ta có:    m  3  m   m   3  m  5 CÁC CHUYÊN ĐỀ TỐN Vậy với m  5 đồ thị hàm số cắt trục tung điểm có tung độ  Để đồ thị hàm số y  (m  3) x  m  song song với đường thẳng y  2 x  b) m   2   m   m  2    m   m    m  ( t/m)  m  1 Vậy với m  đồ thị hàm số y  (m  3) x  m  song song với đường thẳng y  2 x  Để đồ thị hàm số y  (m  3) x  m  vng góc với đường thẳng y  x  c)  a.a’  1  m  3  1  m   1  m   m = Vậy với m = đồ thị hàm số y  (m  3) x  m  vng góc với đường thẳng y  x  Bài 4: Trong hệ trục toạ độ Oxy cho hàm số y  x  m * 1) Tìm giá trị m để đồ thị hàm số qua: a) A   1;3 b) B  2; 5  2) Tìm m để đồ thị hàm số * cắt đồ thị hàm số y  3x  góc phần tư thứ IV Hướng dẫn giải 1) a) Để đồ thị hàm số y  x  m qua: A   1;3    1  m  3  2m  m5 Vậy với m  đồ thị hàm số y  x  m qua: A   1;3 b) Để đồ thị hàm số y  x  m qua: B  2; 5   5  2  m  m  7 Vậy với m  7 đồ thị hàm y  x  m qua: B  2; 5  2) Toạ độ giao điểm đồ thị hàm số y  x  m với đồ thị hàm số y  3x  nghiệm hệ phương trình  y = 2x + m 3x - = 2x + m 3x - 2x = m +    y = 3x -  y = 3x -  y = 3x -    x = m + x = m +     y =  m +  -  y = 3m + -  x = m+    y = 3m +4 Vậy toạ độ giao điểm đồ thị hàm số y  x  m với đồ thị hàm số y  3x   m+ ; 3m +4  Để đồ thị hàm số y  x  m cắt đồ thị hàm số y  3x  góc phần tư thứ IV : m >-2 m +2>0 x       y  3m + < m < - Vậy với 2  m    2  m   4 đồ thị hàm số y  x  m cắt đồ thị hàm số y  3x  góc phần tư thứ IV Bài 5: Cho hàm số y  (2m  1) x  m  (m tham số) có đồ thị đường thẳng (d) a) Tìm m để (d) qua điểm A(1; 2) b) Tìm m để (d) song song với đường thẳng (Δ) có phương trình: y  x  c) Chứng minh m thay đổi đường thẳng (d) ln qua điểm cố định Hướng dẫn giải a) Ta có (d) qua điểm A( 1; 2)   (2m  1)(1)  m    m   m   2m    m  m   b) Ta có (d )//( )   c) Giả sử M ( x0 ; y0 ) điểm cố định đường thẳng (d) Khi ta có: y0  (2m  1) x0  m  m  (2 x0  1)m  x0  y0   m  x0    x       x0  y0    y0    7   Vậy m thay đổi đường thẳng (d) qua điểm cố định M   ;  2 Bài 6: Tìm giá trị tham số k để đường thẳng d1 : y   x  cắt đường thẳng d : y  x   k điểm nằm trục hoành Hướng dẫn giải Ta thấy hai đường thẳng d1; d cắt (vì 1  ) + Đường thẳng d1 cắt trục hoành điểm A  2;  k 3  + Đường thẳng d cắt trục hoành điểm B  ;0    + Để hai đường thẳng d1; d cắt điểm trục hồnh Bài 7: k 3   k  Cho hai đường thẳng  d1  : y  x  ;  d  : y  –4 x  cắt I Tìm m để đường thẳng  d  : y   m  1 x  2m –1 qua điểm I ? Hướng dẫn giải 2  x  y  x    Tọa độ I nghiệm hệ    y  –4 x   y  11  11 2 Do  d  qua điểm I nên   m  1  2m –1  m  3 Vậy m  giá trị cần tìm Bài 8: Xác định hàm số y  ax  b, biết đồ thị  d  qua A  2;1,5  B  8; 3 Khi tính: a) Vẽ đồ thị hàm số  d  vừa tìm tính góc  tạo đường thẳng  d  trục Ox ; b) Khoảng cách h từ gốc toạ độ O đến đường thẳng  d  Hướng dẫn giải a) Vì  d  qua A  2;1,5  B 8; 3 nên toạ độ A B phải thoả mãn phương trình y  ax  b Thay x  2; y  1, lại thay x  8; y  3 vào phương trình y  ax  b ta hệ  1,5  2a  b a    phương trình:   3  8a  b  b  3 Vậy hàm số cần xác định y   x  P b) Vẽ đồ thị hàm số H Lập bảng x y A α x y   x  0 4Q Đồ thị hàm số (d) đường thẳng qua điểm P(0;3) Q (4;0) Xét ΔPOQ vng O có: tan Q1  OP   tan 36o52' OQ   36o52.' Suy Q Do   180  36o52'  143o8 b) Vẽ OH  PQ Tam giác OPQ vng O, có OH  PQ nên: 1 144 1 25    2, Do h  hay    2 25 h 144 OH OP OQ Bài 9: Vẽ đồ thị hàm số y  3x  (1) b) Gọi A , B giao điểm đồ thị hàm số (1) với trục tung trục hồnh Tính diện tích tam giác OAB Hướng dẫn giải y a) Vẽ đồ thị hàm số y  3x  Lập bảng x y  3x  2 A Đồ thị hàm số đường thẳng qua A  0,  B x -2  2  B ,0   b) Ta có OA = OB  2  Tam giác OAB vuông O 3 O SOAB  1 2 OA.OB   2 3 Bài 10: Viết phương trình đường thẳng  d  có hệ số góc qua điểm M  2;1 Hướng dẫn giải Gọi phương trình đường thẳng  d  y  ax  b a  a   Do đường thẳng  d  có hệ số góc qua điểm M  2;1 ta có  1  7.2  b b  13 Vậy y  x 13  BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài E01: Cho hàm số y   m   x  2m –10 a) Với giá trị m y hàm số bậc b) Với giá trị m hàm số đồng biến c) Tìm m để đồ thị hàm số qua điểm A(2; 3) d) Tìm m để đồ thị cắt trục tung điểm có tung độ e) Tìm m để đồ thị qua điểm 10 trục hồnh f) Tìm m để đồ thị hàm số song song với đồ thị hàm số y  x  g) Chứng minh đồ thị hàm số qua điểm cố định với m h) Tìm m để khoảng cách từ O tới đồ thị hàm số lớn Bài E02: Cho đường thẳng y   2m –1 x  – m  d  Xác định m để: a) Đường thẳng  d  qua gốc toạ độ b) Đường thẳng  d  song song với đường thẳng y  x  c) Đường thẳng  d  tạo với Ox góc nhọn d) Đường thẳng  d  tạo với Ox góc tù e) Đường thẳng  d  cắt Ox điểm có hồnh độ f) Đường thẳng  d  cắt đồ thị hàm số y  x – điểm có hồnh độ g) Đường thẳng  d  cắt đồ thị hàm số y   x  điểm có tung độ y = h) Đường thẳng  d  qua giao điểm hai đường thảng x  y   x  y   Bài E03: Cho hàm số y   2m  3 x  m  a) Vẽ đồ thị hàm số với m  b) Chứng minh họ đường thẳng qua điểm cố định m thay đổi c) Tìm m để đồ thị hàm số tạo với trục toạ độ tam giác vuông cân d) Tìm m để đồ thị hàm số tạo với trục hồnh góc 45o e) Tìm m để đồ thị hàm số tạo với trục hồnh góc 135o f) Tìm m để đồ thị hàm số tạo với trục hồnh góc 30o , 60o g) Tìm m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng y  3x  điểm 0y h) Tìm m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng y   x  điểm 0x Bài E04: Cho hàm số y   m   x  m  a) Tìm điều kiện m để hàm số luôn nghịch biến b) Tìm điều kiện m để đồ thị cắt trục hồnh điểm có hồnh độ c) Tìm m để đồ thị hàm số y   x  ; y  x – y   m   x  m  đồng quy d) Tìm m để đồ thị hàm số tạo với trục tung trục hồnh tam giác có diện tích Bài E05: Cho (d1) : y  4mx  (m  5) ; (d2) : y   3m  1 x  m  a) Tìm m để đồ thị (d1) qua M(2;3) b) Chứng minh m thay đổi d1 ln qua điểm A cố định, d2 qua B cố định c) Tính khoảng cách AB d) Tìm m để d1 song song với d2 e) Tìm m để d1 cắt d2 Tìm giao điểm m   Hướng dẫn số ý phụ Dạng tìm điểm cố định đồ thị hàm số Phương pháp giải: Để tìm điểm cố định đường thẳng y  ax  b phụ thuộc tham số ta làm sau: - Gọi tọa độ điểm cố định M ( xo ; yo ) ; - Tìm điều kiện để đẳng thức yo  ax0  b tham số thay đổi Dạng toán ba đường thẳng đồng quy Chủ đề Phương pháp giải: Để tìm điều kiện để ba đường thẳng đồng quy ta xác định giao điểm hai ba đường thẳng tìm điều kiện để giao điểm thuộc đường thứ HÀM SỐ BẬC HAI VÀ CÁC BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO VỚI ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC NHẤT F HÀM SỐ BẬC HAI  KIẾN THỨC CẦN NHỚ Hàm số y  ax với a  * Hàm số có tập xác định x   * Nếu a >0 hàm số nghịch biến x < đồng biến x > * Nếu a < hàm số nghịch biến x > đồng biến x < * Nếu a > y > x ≠ +) y = x = Giá trị nhỏ hàm số y = * Nếu a < y < x ≠ +) y = x = Giá trị lớn hàm số y =  Đồ thị hàm số y  ax (a  0) * Đồ thị hàm số y  ax (a  0) đường cong qua gốc tọa độ nhận trục Oy làm trục đối xứng Đường cong gọi Parabol với đỉnh O * Nếu a > đồ thị nằm phía trục hồnh , O điểm thấp đồ thị * Nếu a < đồ thị nằm phía trục hoành , O điểm cao đồ thị  Vị trí tương đối của đường thẳng parabol Cho đường thẳng (d): y  ax  b (a  0) parabol (P): y  kx (k  0)  Tìm số giao điểm (d) (P) Khi : Xét phương trình kx2  ax  b (1) - Nếu phương trình (1) vơ nghiệm (P) (d) khơng giao - Nếu phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt (P) (d) cắt hai điểm phân biệt - Nếu phương trình (1) có nghiệm kép (P) (d) tiếp xúc - Hoành độ giao điểm (hoặc tiếp điểm) (P) (d) nghiệm phương trình kx2  ax  b  Tìm tọa độ giao điểm (d) (P) - Giải phương trình (1) tìm giá trị x Khi giá trị x hồnh độ giao điểm (d) (P) Thay giá trị x vào công thức hàm số (d) (hoặc (P)) ta tìm tung độ giao điểm từ suy tọa độ giao điểm cần tìm Tọa độ giao điểm (d) (P) phụ thuộc vào số nghiệm phương trình (1)  Hàm số chứa tham số Tìm điều kiện tham số để tọa độ giao điểm thỏa mãn điều kiện cho trước - Xét phương trình hồnh độ giao điểm (d) (P) từ vận dụng biệt thức delta hệ thức Vi-et để giải toán với điều kiện cho sẵn  BÀI TẬP Bài 1: Cho hàm số y  f  x   x 1) Hãy tính f  2  ; f   ; f  5;   2 f       3 ;  có thuộc đồ thị hàm số không ?  4  2) Các điểm A  2;  , B  2;3 , C  4; 24  , D  Hướng dẫn giải 3 27 f  3  32   ; 2 2  3 15 2  2 f    ; f          2 2     2) +) Thay toạ độ điểm A  2;  vào công thức hàm số y  f  x   x2 Ta có    ( thỏa mãn) Vậy điểm A  2;  thuộc đồ thị hàm số y  f  x   x2 +) Thay toạ độ điểm C  4; 24  vào công thức hàm số y  f  x   x2 Ta có 24   4   24  24 ( vơ lí) 1) Ta có: 3 f  2    2    ; 2     Vậy điểm C  4; 24  không thuộc đồ thị hàm số y  f  x   x2   +) Thay toạ độ điểm B  2;3 vào công thức xác định hàm số y  f  x   x2     23 ( thỏa mãn) Vậy điểm B   2;3 thuộc đồ thị hàm số y  f  x   x Ta có   2  3 ;  vào công thức xác định hàm số y  f  x   x 2  4 +) Thay toạ độ điểm D  3  Ta có     Vậy điểm D     2  3  (thỏa mãn) 4 3 ;  thuộc đồ thị hàm số y  f  x   x 2 4 Trong hệ toạ độ Oxy, cho hàm số y  f  x    m   x Bài 2: * 1) Tìm m để đồ thị hàm số * qua điểm : a) A  1;3 b) B   2; 1 2) Thay m = Tìm tọa độ giao điểm đồ thị hàm số * với đồ thị hàm số y  x  Hướng dẫn giải 1) a) Để đồ thị hàm hàm số y  f  x    m   x Ta có: * qua điểm A  1;3   m    1   m   m  Vậy với m = đồ thị hàm số * qua điểm A  1;3 b) Để đồ thị hàm số y  f  x    m   x * qua điểm B Ta có: 1   m    2   2; 1  1   m    2m   1  2m  5  m   5 đồ thị hàm số * qua điểm B 2; 1 2) +) Thay m = vào công thức hàm số y  f  x    m   x * ta có: y  f  x   x  Vậy với m    - Toạ độ giao điểm đồ thị hàm số y  f  x   x với đồ thị hàm số y  x  nghiệm  y  x  y  x  y  x2   hệ phương trình:     x  x    x  x   y  x 1 - Giải phương trình   x2  x   1  2 Ta có: a + b + c = + (-1) + (-1) = nên phương trình   có nghiệm phân biệt x1  ; x2   (hoặc giáo viên cho HS phân tích vế trái thành dạng tích giải phương trình tích) +) Với x1   y1  2.12   M 1;  1  1  1  y1        N   ;   2  2 Vậy với m = đồ thị hàm số y  x đồ thị hàm số y  x  cắt điểm  1 phân biệt M 1;  N   ;   2 +) Với x2   Bài 3: a) Vẽ đồ thị hàm số y  x (P) đường thẳng y   x   d  mặt phẳng toạ độ Oxy b) Tìm toạ độ giao điểm (P )  d  phép tính Hướng dẫn giải a) Vẽ đồ thị hàm số y  x (P) Lập bảng giá trị tương ứng x y x -3 -2 -1 yx 1 Đồ thị hàm số y  x (P) Parabol có bề lõm quay xuống phía qua điểm có toạ độ O  0;  ; A 1;1 ; A '  1;1 ; B  2;  ; B '  2;  ; C  3;9  ; C '  3;9  +) Đường thẳng y   x   d  Cho x =  y =  D  0;   Oy y =  x =  E  2;   Ox  Đường thẳng y  x   d  qua điểm D (0; 2) E (2; 0) b) Toạ độ giao điểm đồ thị hàm số y  x (P) đường thẳng y   x   d  nghiệm 1  y  x  y  x  y  x2   hệ phương trình:     x   x   y  x   x  x     - Giải phương trình: x  x     Ta có a + b + c = + + (- 2) = nên phương trình (2) có hai nghiệm x1  ; x2  2 (hoặc giáo viên cho HS phân tích vế trái thành dạng tích giải phương trình tích) +) Với x1  1 y1  12   M 1; 1 +) Với x2  2  y2   2    N   2;  - Vậy đồ thị hàm số y  x (P) đường thẳng y   x  (d) cắt điểm M 1; 1 N   2;  Sự tương giao đường thẳng đồ thị hàm số bậc hai Bài 4: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ , cho parabol ( P) : y  x2 đường thẳng (d ) : y  x a) Vẽ đồ thị ( P ) b) Gọi A  x1; y1  B  x2 ; y2  giao điểm P) với (d ) Tính giá trị biểu thức T  x1  x2 y1  y2 Hướng dẫn giải a) HS tự vẽ x  x  3   x   y   A(2; 2) 2  x x   T  Vậy     x    y   B y1  y2 25  ;  2   8 b) Phương trình hoành độ giao điểm P) (d ) : Bài 5: Cho Parabol ( P) : y  x2 đường thẳng d : y  (2m  1) x  m  ( m tham số) a) Chứng minh với m đường thẳng d ln cắt P) hai điểm phân biệt b) Tìm giá trị m để đường thẳng d cắt P) hai điểm phân biệt A  x1; y1  B  x2 ; y2  thỏa x1 y1  x2 y2  Hướng dẫn giải a) Phương trình hồnh độ giao điểm x2  (2m 1) x  m   x  (2m 1) x  m   0(*) Ta có   (2m 1)2  4.1 (m  2)  4m2  8m   4(m 1)2    Vậy Parabol luông cắt đường thẳng hai điểm phân biệt  x1  x2  2m   x1 x2  m  b) Vì nghiệm phương trình nên theo hệ thức Vi-et ta có:   y1  x12 Mặt khác   y2  x2 Ta có x1 y1  x2 y2   x13  x23    x1  x2   x12  x1 x2  x22     2m   m  x1  x2      2   x1  x1 x2  x2   x1  x2   3x1 x2   4m  7m   (vn) Vậy m  Bài 6: Cho parabol ( P) : y  x2 đường thẳng (d ) : y  2ax  4a (với a tham số ) a) Tìm tọa độ giao điểm (d ) P) a   b) Tìm tất giá trị a để đường thẳng (d ) cắt P) taị hai điểm phân biệt có hồnh độ x1; x2 thỏa mãn x1  x2  Hướng dẫn giải a) Phương trình hồnh độ (d ) P) x  2ax  4a  Khi a   phương trình trở thành x  x   Có a  b  c  nên phương trình có nghiệm x  1 ; x  b) Phương trình hồnh độ (d ) P) x  2ax  4a  (*) để đường thẳng (d ) cắt P) hai điểm phân biệt phương trình (*) phải có nghiệm a  a  phân biệt   '  a(a  4)    a   x  x  2a Với  theo Viét ta có  a   x1 x2  4a Vì x1  x2    x1  x2  2    x1  x2   x1 x2  x1 x2   4a  8a | 8a | Với a  : 4a  8a  | 8a |  4a  16a    a   a  2 Với a  : 4a  8a  | 8a |  4a    a   1  dk 3  dk 2 Vậy a   Cho hai hàm số y  x2 y  mx  , với m tham số Bài 7: a) Khi m  , tìm tọa độ giao điểm hai đồ thị hàm số b) Chứng minh với giá trị m, đồ thị hai hàm số cho cắt hai điểm phân biệt A1  x1; y1  A2  x2 ; y2  Tìm tất giá trị m cho  y1    y2   72 Hướng dẫn giải a) Phương trình hồnh độ giao điểm y  x2 y  mx  x  mx   (1) Thay m  vào phương trình (1) ta có: x  3x   Ta có: a  b  c   (3)  (4)   x  1 Vậy phương trình x  3x   có hai nghiệm  x  Với x  1  y   A(1;1) Với x   y  16  B(4;16) Vậy với m  hai đồ thị hàm số giao điểm A(1;1) B(4;16) b) Ta có số giao điểm hai đồ thị hàm số cho số nghiệm phương trình (1) Phương trình (1) có:   m2   (4)  m2  16  0m  Do (1) ln có hai nghiệm phân biệt x1; x2 Vậy đồ thị hai hàm số cho cắt hai điểm phân biệt A1  x1; y1  A2  x2 ; y2  với m  x1  x2  m  x1  x2  4 Theo hệ thức Vi-et ta có:   y1  x12 Ta lại có:   y2  x2 Theo đề, ta có: y12  y22  2 2 2 2   x12    x22   49   x1  x2   x1 x2    x1 x2   49   m2  2.(4)    4   49    (m2  8)2  81  m    m  1 (trường hợp m   9 vơ nghiệm m2  ) 2 Vậy với m  1; m  1  y1    y2   72 Bài 8: Cho hàm số y   x2 có đồ thị ( P ) a) Vẽ đồ thị ( P ) hàm số b) Cho đường thẳng y  mx  n () Tìm m, n để đường thẳng (  ) song song với đường thẳng y  2 x  (d ) có điểm chung với đồ thị ( P ) Hướng dẫn giải a) HS tự vẽ đồ thị hàm số m  2 n  b)  song song với y  2 x  suy  Phương trình hồnh độ giao điểm  (P):  x2  2 x  n  x  x  2n  (*) Để  ( P ) có điểm chung phương trình (*) có nghiệm     2n   n  (thỏa mãn) Vậy m  2; n  Bài 9: Cho đường thẳng (d ) có phương trình y  x  parabol ( P ) có phương trình y  x2 a) Vẽ đường thẳng (d ) parabol ( P ) hệ trục tọa độ Oxy b) Đường thẳng (d ) cắt ( P ) hai điểm A B (với A có hồnh độ âm, B có hồnh độ dương) Bằng tính tốn tìm tọa độ điểm A B Hướng dẫn giải a) HS tự vẽ đồ thị hàm số (d) (P) b) Phương trình hồnh độ giao điểm (d) (P): x2  x   x  x    ( x  2)( x  1)   x  x  1 Với x   y   B(2; 4) (vì B có hồnh độ dương) Với x  1  y   A(1;1) (vì A có hồnh độ âm) Vậy A(1;1) ; B (2; 4) Bài 10: Cho hai hàm số y  x2 đồ thị hàm số ( P ) y  x  có đồ thị (d ) a) Vẽ đồ thị ( P ) b) Gọi A, B giao điểm hai đồ thị ( P ) (d ) Biết đơn vị đo trục tọa độ xentimét, tìm tất điểm M tia Ox cho diện tích tam giác MAB 30 cm2 Hướng dẫn giải a) Vẽ đồ thị: HS tự vẽ b) Xét phương trình hồnh độ giao điểm (P) (d) là: x  x   x2  x     (1)2  (8)   Phương trình có nghiệm phân biệt: x  4; x  2 Với x  2 ta có y   A( 2; 2) Với x  ta có y   B(4;8) Gọi M (m; 0) thuộc tia Ox(m  0) Gọi C (2;0), D(4; 0) Xét hai trường hợp: Trường hợp 1: M thuộc đoạn OD: Ta có S AMB  S ABDC  S ACM  SBDM Có ABDC hình thang, AC  2cm, BD  8cm, CD  6cm ⇒ S ABDC  (2  8)   30 cm2   Suy S AMB  30 cm2 (loại) Trường hợp 2: M thuộc tia Dx ( M  D)  m  Ta có : S AMB  S ABDC  S ACM  SBDM Có S ABCD  30cm2 , MC  m  2(cm), MD  m  4(cm) Suy 1 AC.CM  2.(m  2)  m  2(cm2 ) 2 1 SBDM  BD.DM  8.(m 4)  4(m 4)(cm2 ) 2  S AMB  30cm  S ACM  S BDM  m   4(m  4)  m  S ACM  m = (thỏa mãn) Vậy M (6;0) điểm cần tìm Bài 11: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d ) : y  3x  m  parabol ( P) : y  x2 a) Chứng minh (d) cắt (P) hai điểm phân biệt với m b) Gọi x1 , x2 hoành độ giao điểm (d ) (P) Tìm m để  x1  1 x2  1  Hướng dẫn giải a) Xét phương trình hồnh độ giao điểm (d ) ( P ) x2  3x  m2 1  x2  3x  m2   0(*)    m    m  0m Suy phương trình (*) ln có hai nghiệm phân biệt với m hay (d ) cắt ( P ) hai điểm phân biệt với m b) Ta có:  x1  1 x2  1   x1 x2   x1  x1   (**)  x1  x2   x1 x2   m  Áp dụng hệ thức Vi-et cho (*):  (**)  m2     m2   m  2 Vậy m  2 Bài 12: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho parabol ( P) : y   x a) Vẽ parabol ( P ) b) Xác định toạ độ giao điểm A, B đường thẳng (d ) : y   x  ( P ) Tìm toạ điểm M ( P ) cho tam giác MAB cân M Hướng dẫn giải a) HS tự vẽ đồ thị hàm số b) Viết phương trình đường trung trực  d ' AB , tìm giao điểm  d ' ( P ) ta tìm giao điểm M Hồnh độ giao điểm A, B đường thẳng (d ) : y   x  (P) nghiệm phương trình:  x   x   x  x    x  1 x  + Với x  1 , thay vào ( P ) ta có: y  (1)2  1 , ta có: A(1; 1) + Với x  , thay vào ( P ) ta có: y  (2)2  4 , ta có: B (2; 4)  5  Suy trung điểm AB là: I  ;  2  Đường thẳng  d ' vng góc với (d) có dạng: y  x  b Vì  d ' qua I nên: 5   b  b  3 2 Vậy  d ' : y  x  Phương trình hoành độ  d ' (P) là: x  x    x  + Với x  1  13 7  13 y 2 1  13 + Với x  1  13 7  13 y 2  1  13 7  13   1  13 7  13  ; ;    2 2     Vậy có hai điểm M cần tìm là:  Bài 13: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d ) : y  x  m  parabol ( P) : y  x2 a) Tìm m để (d ) qua điểm A(0;1) b) Tìm m để đường thẳng (d ) cắt parabol ( P ) hai điểm phân biệt có hồnh độ lần 1 1    x1 x2    x1 x2  lượt x1 x2 thỏa mãn:  Hướng dẫn giải a) Thay x  0; y  vào phương trình đường thẳng (d ) ta được: m  b) Phương trình hồnh độ giao điểm (d ) ( P ) là: x2  x  (m 1)  0(*) Để (d ) cắt parabol ( P ) hai điểm phân biệt phương trình (*) phải có nghiệm phân biệt    4m    m   x1  x2   x1 x2  (m  1) Khi theo định lý Vi-ét ta có:  1 1 x x  m2     x1 x2       x1 x2    m   x1 x2   x1.x2  Theo đề bài:   m  m   ( Điều kiện: m  )  m  3 (loại) m  (thỏa mãn) Vậy m  giá trị cần tìm Bài 14: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol ( P) : y   x đường thẳng (d ) : y  3mx  (với m tham số) a) Tìm m để đường thẳng (d ) qua điểm A(1;3) b) Xác định giá trị m để (d ) cắt ( P ) hai điểm phân biệt cho tổng tung độ hai giao điểm 10 Hướng dẫn giải a) Đường thẳng (d ) qua A(1;3) nên  3m 1   m  116 b) Phương trình hồnh độ giao điểm đường thẳng (d ) Parabol ( P ) là:  x2  3mx   x  3mx   0(*) Ta có   9m  12  , với m nên phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt Do đó, đường thẳng (d ) Parabol ( P ) cắt hai điểm  x1; y1   x2 ; y2  Theo định lý Vi-ét ta có: x1  x2  3m; x1  x2  3 Theo ta có: y1  y2  10   x12  x22  10   x1  x2   x1 x2  10  9m   10 m Vậy m   giá trị cần tìm Bài 15: Cho parabol ( P) : y  x2 đường thẳng (d ) có phương trình: y  2(m  1) x  3m  a) Tìm tọa độ giao điểm ( P ) (d ) với m  b) Chứng minh ( P ) (d ) cắt điểm phân biệt A B với m c) Gọi x1; x2 hoành độ giao điểm A B Tìm m để x12  x22  20 Hướng dẫn giải a) Thay m  ta (d ) : y  x  Phương trình hồnh độ giao điểm ( P ) (d ) m  x2  8x   x2  8x   Giải phương trình ta x1  1; x2  Với x1   y1  1; x2   y2  49 Tọa độ giao điểm ( P ) (d ) (1;1);(7; 49) b) Xét phương trình hoành độ giao điểm ( P ) (d ) là: x2  2(m  1) x  3m   (1)  11    m  2m   3m   m  m    m     0m 2  Nên phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt m suy ( P ) (d ) cắt điểm phân biệt A, B với m c) Ta có: x1; x2 nghiệm phương trình (1)   m Theo Vi-et ta có:  x1  x2  2m    x1 x2  3m  2 x12  x22  20   x1  x2   x1 x2  20  (2m  2)  2(3m  2)  20 m   2m  m    (m  2)(2m  3)    m  3  Vậy m  m  Bài 16: 3 giá trị cần tìm Cho parabol ( P) : y  x2 đường thẳng (d ) : y  2(m  3) x  2m  ( m tham số) a) Với m  5 , tìm tọa độ giao điểm parabol ( P ) đường thẳng (d ) b) Chứng minh rằng: với m parabol ( P ) đường thẳng (d ) cắt hai điểm phân biệt Tìm m cho hai giao điểm có hồnh độ dương c) Tìm điểm cố định mà đường thẳng (d ) qua với m Hướng dẫn giải a) Với m  5 (d ) có phương trình y  4 x  12 Hồnh độ giao điểm ( P ) (d ) nghiệm phương trình:  x  6 x  4 x  12  x  x  12   ( x  6)( x  2)    x   x  6  y  36 x   y  Vậy với m  5 ( P ) (d ) cắt hai điểm (6;36), (2; 4) b) Hoành độ giao điểm ( P ) (d ) nghiệm phương trình: x2  2(m  3) x  2m   x2  2(m  3) x  2m   0(1)   (m  3)2  (2m  2)  m2  4m  11  (m  2)2   0m Do (1) có hai nghiệm phân biệt với m suy ( P ) (d ) cắt hai điểm phân biệt x1; x2 hai nghiệm phương trình (1), áp dụng định lý Viet ta có:  x1  x2  2(m  3)   x1 x2  2m  Hai giao điểm có hoành độ dương  x1  x2  2(m  3)   m  3    m 1   2m   m   x1 x2  Vậy với m  ( P ) (d ) cắt hai điểm phân biệt với hoành độ dương c) Gọi điểm cố định mà đường thẳng (d ) qua với m  x0 ; y0  ta có: y0  2(m  3) x0  2m  m  m  x0    x0  y0   m 2 x   x    6 x0  y0    y0  Vậy với m đường thẳng (d ) qua (1;8) Bài 17: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d ) : y  mx  tham số m Parabol ( P) : y  x2 a) Tìm m để đường thẳng (d ) qua điểm A(1;0) b) Tìm m m để đường thẳng (d )  d  cắt Parabol (P) hai điểm phân biệt có hồnh độ x1; x2 thỏa mãn x1  x2  Hướng dẫn giải a) Đường thẳng (d ) qua điểm A(1;0) nên có  m 1   m  b) Xét phương trình hồnh độ giao điểm (d ) ( P) : x  mx   Có   m2  12 (d ) cắt P) hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 m    m  12   m  12    m  2  x1  x2  m  x1 x2  Áp dụng hệ thức Vi – Ét ta có:  Theo ta có 2 x1  x2    x1  x2     x1  x2   x1 x2   m2  4.3   m  16  m  4 Vậy m  4 giá trị cần tìm Bài 18: Cho hàm số y  ax có đồ thị ( P ) đường thẳng (d ) : y  mx  m  a) Tìm a để đồ thị P) qua điểm B (2; 2) Chứng minh đường thẳng (d ) cắt đồ thị ( P ) hai điểm phân biệt C D với giá trị m b) Gọi xC xD hoành độ hai điểm C D Tìm giá trị m cho xC2  xD2  xC xD  20  Hướng dẫn giải a) ( P ) qua điểm B (2; 2) nên ta có: 2  a.22  a  Vậy ( P ) : y  1 1 x b) Phương trình hồnh độ giao điểm ( P ) (d ) là: 1 x  mx  m   x  2mx  2m   (*)   m2  (2m  6)  m2  2m   (m  1)   m Do đó, đường thẳng (d) cắt đồ thị (P) hai điểm phân biệt C D với giá trị m  xC  xD  2m  xC xD  2m  b) Áp dụng định lí Vi-ét ta có:  Theo giả thiết xC2  xD2  xC xD  20    xC  xD   xC xD  20   (2m)2  4(2m  6)  20   4m2  8m    4(m  1)   m  Vậy với m  thỏa mãn yêu cầu toán  PHẦN BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài F.01 Cho hàm số y  ax  a   có đồ thị parabol ( P) a) Xác định a để ( P) qua điểm A( ; 4 ) b) Với giá trị a vừa tìm hãy: i) Vẽ ( P) mặt phẳng tọa độ; ii) Tìm điểm ( P) có tung độ -2; iii) Tìm điểm ( P) cách hai trục tọa độ Bài F.02 Cho hàm số y  ( m  1) x m  1 có đồ thị ( P) a) Xác định m để ( P) qua điểm A( ;1) ; b) Với giá trị m vừa tìm trên, hãy: i) Vẽ ( P) mặt phẳng tọa độ; ii) Tìm điểm ( P) có hồnh độ 1; iii) Tìm điểm ( P) có tung độ gấp đơi hồnh độ Cho hàm số y  ax  a   có đồ thị parabol ( P) Bài F.03 a) Tìm hệ số a biết ( P) qua điểm M(2; ) b) Viết phương trình đường thẳng d qua gốc tạ độ điểm N(2;4) c) Vẽ ( P) d tìm câu a) b) hệ trục tọa độ d) Tìm tọa độ giao điểm ( P) d câu a) b) Cho ( P ) : y  x d : y  Bài F.04 x a) Vẽ ( P) d hệ trục tọa độ; b) Xác định tọa độ giao điểm ( P) d ; c) Dựa vào đồ thị, giải bất phương trình x  x (d ) : y  x  Cho Parabol ( P) : y  x đường thẳng Bài F.05 a) Vẽ đồ thị ( P) b) Viết phương trình đường thẳng  d1  biết  d1  song song với đường thẳng (d)  d1  tiếp xúc ( P) Bài F.06 Cho parabol ( P) : y  x đường thẳng d : y  x  a) Vẽ parabol P) đường thẳng (d) trục tọa độ b) Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng d qua A(1; 2) Bài F.07 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho parabol ( P) : y  x đường thẳng (d ) : y  x  a) Vẽ đồ thị ( P) b) Gọi A  x1 ; y1  B  x2 ; y2  giao điểm  P  với  d  Tính giá trị biểu thức T  Bài F.08 x1  x2 y1  y2 Cho parabol ( P) : y  x đường thẳng (d) y  2ax  4a (với a tham số ) a) Tìm tọa độ giao điểm (d ) ( P) a   b) Tìm tất giá trị a để đường thẳng (d ) cắt ( P) taị hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 ; x2 thỏa mãn x1  x2  Cho hai hàm số y  x y  mx  , với m tham số Bài F.09 a) Khi m  , tìm tọa độ giao điểm hai đồ thị hàm số b) Chứng minh với giá trị m, đồ thị hai hàm số cho cắt hai điểm phân biệt A1  x1 ; y1  A2  x2 ; y2   y1    y2  Bài F.10 Tìm tất giá trị m cho  72 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol ( P) có phương trình y  x hai điểm A, B thuộc ( P)  P  có hồnh độ xA  1, xB  a) Tìm tọa độ hai điểm A, B b) Viết phương trình đường thẳng (d) qua hai điểm A, B c) Tính khoảng cách từ điểm O (gốc tọa độ) tới đường thẳng (d) Bài F.11: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol ( P) có phương trình y  x hai điểm A, B thuộc ( P)  P  có hoành độ xA  1, xB  a) Tìm tọa độ hai điểm A, B b) Viết phương trình đường thẳng (d) qua hai điểm A, B c) Tính khoảng cách từ điểm O (gốc tọa độ) tới đường thẳng (d) Bài F.12: Cho hàm số y  x có đồ thị ( P) hàm số y   x  có đồ thị (d) a) Vẽ (P) (d) mặt phẳng tọa độ Oxy b) Bằng phép tính, tìm tọa độ giao điểm A, B (P) (d) ; (hoành độ A nhỏ hoành độ B) Gọi C D hình chiếu vng góc A B trục hồnh, tính diện tích tứ giác ABC Bài F.13: Cho hàm số y   x có đồ thị (P) a) Vẽ đồ thị (P) hàm số b) Cho đường thẳng y  mx  n() Tìm m, n để đường thẳng () song song với đường thẳng y  2 x  5(d ) có điểm chung với đồ thị ( P) Bài F.14: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho parabol ( P) : y   x a) Vẽ parabol ( P) b) Xác định toạ độ giao điểm A, B đường thẳng (d ) : y   x  ( P) Tìm toạ điểm M (P) cho tam giác MAB cân M Bài F.15: Cho parabol (P): y  x đường thẳng (a) : y  2 x  a) Vẽ (P) (a) hệ trục toạ độ b) Xác định đường thẳng (d ) biết đường thẳng (d ) song song với đường thẳng (a ) Chủ đề cắt parabol (P) điểm có hồnh độ 2 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN HỆ THỨC VI-ET VÀ ỨNG DỤNG G PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN HỆ THỨC VI-ET VÀ ỨNG DỤNG Dạng 1: Giải phương trình phương trình quy phương trình bậc hai 1.1 Giải phương trình bậc hai Đối với đề tốn giải phương trình với phương trình phương trình bậc hai đơn giản (có dạng tổng qt ax  bx  c  ), học sinh sử dụng phương pháp đưa giải phương trình tích, sử dụng cơng thức nghiệm (hoặc cơng thức nghiệm thu gọn) sử dụng cách nhẩm nghiệm để giải tốn Định nghĩa Phương trình bậc hai ẩn phương trình có dạng ax  bx  c  , x ẩn; a, b, c số cho trước gọi hệ số a  Cơng thức nghiệm phương trình bậc hai Đối với phương trình bậc hai ax  bx  c  (a  0) biệt thức   b2  4ac :  Nếu  > phương trình có nghiệm phân biệt x1  b   ; x2  b   2a  Nếu  = phương trình có nghiệm kép x1  x2   2a b 2a  Nếu  < phương trình vơ nghiệm Chú ý: Nếu phương trình có a c trái dấu  > Khi phương trình có nghiệm phân biệt Cơng thức nghiệm thu gọn Đối với phương trình bậc hai ax  bx  c  (a  0) b  2b ,   b2  ac :  Nếu  > phương trình có nghiệm phân biệt x1   b    b   ; x2  a a b a  Nếu  = phương trình có nghiệm kép x1  x2    Nếu  < phương trình vơ nghiệm Bài 1: Giải phương trình: a) x  x   b) x  x   Hướng dẫn giải a) Cách 1: Đưa giải phương trình tích phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử 3x  x    3x  x  x    3x( x  2)  ( x  2)   x 3 x     (3 x  1)( x  2)      x    x  2 Vậy tập nghiệm phương trình S  2;   3 Cách 2: Sử dụng cơng thức nghiệm để giải phương trình bậc hai Ta có a  3; b = 5; c = -2 ;   b2  4ac  52  4.3.(2)  25  24  49  Vậy phương trình cho có nghiệm phân biệt: x1  b   5  49 5      2a 2.3 6 x2  b   5  49 5  12     2 2a 2.3 6 Vậy tập nghiệm phương trình S  2;   3 b) Phương pháp 1: Đưa giải phương trình tích phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử: x  x    x  x  x    x( x  1)  ( x  1)   x 5 x     (5 x  1)( x  1)       x 1  x  1 Vậy tập nghiệm phương trình S  1;   5 Phương pháp 2: Sử dụng công thức nghiệm thu gọn ( cơng thức nghiệm tổng qt) để giải: Ta có a  5; b =   b' = b 6 = = -3; c = 2  '  b2  ac  (3)  5.1     Vậy phương trình cho có nghiệm phân biệt: x1  b '  ' (3)      1; a 5 x2  b '  ' (3)      a 5 Phương pháp 3: Giải cách nhẩm nghiệm Ta có a  5; b =  6; c = a  b  c   (6)   Vậy phương trình cho có c a nghiệm phân biệt x1  x2   1.2 Giải phương trình quy phương trình bậc hai 1.2.1 Phương trình trùng phương Cho phương trình: ax  bx  c  ( a  ) (1) Phương pháp 1: Đặt ẩn phụ: Đặt t  x (t  0) Ta phương trình: at  bt  c  (2) Nếu phương trình (2) (phương trình trung gian) có nghiệm dương phương trình trùng phương có nghiệm Nếu phương trình trung gian có nghiệm dương, nghiệm âm có nghiệm kép dương phương trình trùng phương có nghiệm Nếu phương trình trung gian có nghiệm âm vơ nghiệm phương trình trùng phương vơ nghiệm Cụ thể: Phương trình (1) có nghiệm phân biệt  phương trình (2) có hai nghiệm dương phân   biệt   P  S   Phương trình (1) có nghiệm phân biệt  phương trình (2) có nghiệm dương   nghiệm   P  S   Phương trình (1) có nghiệm phân biệt  phương trình (2) có một nghiệm kép        dương có hai nghiệm trái dấu  S    S       a.c     P  Phương trình (1) có nghiệm  phương trình (2) có nghiệm kép có nghiệm khơng nghiệm lại âm     S    P      P     S  Phương trình (1) có vơ nghiệm  phương trình (2) vơ nghiệm có hai nghiệm âm        P     S  Nếu phương trình có nghiệm tổng nghiệm ln tích nghiệm ln c a Phương pháp 2: Giải trực tiếp phương trình trùng phương cách đưa giải phương trình tích: A  B  Biến đổi đưa dạng phương trình tích : A.B    Giải phương trình: x  13 x  36  (1) Bài 1: Hướng dẫn giải Cách 1: Đặt t  x ( điều kiện: t  ) phương trình (1) có dạng : t  13t  36  Ta có a  1; b  13; c  36   b  4ac  (13)2  4.1.36  25      t1  t2  b   (13)    (thỏa mãn điều kiện t  ) 2a b   (13)    (thỏa mãn điều kiện t  ) 2a Với t1   x   x    x  3 Với t2   x2   x    x  2 Vậy phương trình (1) có nghiệm : x1  2 ; x2  3; x3  2; x4  Cách 2: x  13 x  36  (1)  ( x  12 x  36)  x   ( x  6)2  x   ( x   x)( x   x)   x2   x   x   x  Giải phương trình: x – x –  ta nghiệm: x1  2; x2  Giải phương trình: x  x –  ta nghiệm: x3  2; x4  3 Vậy phương trình (1) có nghiệm: x1  3; x2  2; x3  2; x4  Giải phương trình: x  x –  (1) Bài 2: Hướng dẫn giải Đặt t  x ( điều kiện: t  ) phương trình (1) có dạng : 5t  3t   Ta có a  5; b  3; c  2   b  4ac  (3)2  4.5.(2)  49      t1  t2  b   3    (thỏa mãn điều kiện t  ) 2a 2.5 b   3    1 (không thỏa mãn điều kiện t  ) 2a 2.5 Với t1  2  x2   x   5 Với t2  1 (loại) Vậy phương trình (1) có nghiệm : x1  ; x2   Bài 3: Giải phương trình: x  x   (1) Hướng dẫn giải Đặt t  x (điều kiện: t  ) phương trình (1) có dạng : t  5t   Ta có a  1; b  5; c    b  ac   4.1.6       t1  t2  b   5    2 (loại khơng thỏa mãn điều kiện t  ) 2a 2.1 b   5    3 (loại khơng thỏa mãn điều kiện t  ) 2a 2.1 Vậy phương trình (1) vơ nghiệm 1.2.2 Giải phương trình chứa ẩn mẫu Cách giải: Thực bước sau: Bước 1: Tìm điều kiện xác định phương trình Bước 2: Quy đồng mẫu thức hai vế khử mẫu thức Bước 3: Giải phương trình vừa nhận Bước 4: Trong giá trị tìm ẩn, loại giá trị không thoả mãn điều kiện xác định, giá trị thoả mãn điều kiện xác định nghiệm phương trình cho Giải phương trình: Bài 1: 2x x2  x   b x  (x  1)(x  4) 14 a   x 9 3 x Hướng dẫn giải a 14  1 x 9 3 x ĐKXĐ : x  3  14  1 ( x  3)( x  3) x 3  14 ( x  3)( x  3)  ( x  3)  ( x  3)( x  3) ( x  3)( x  3)  14   x – 3 x  3   x  3  x –  x  – 14   x  x – 20  Ta có: a  1; b  1; c  20   b – ac  – 4.1  –20   81     81   Phương trình có nghiệm có nghiệm phân biệt : x1  b   1    (thỏa mãn điều kiện) 2a 2.1 x2  b   1    5 (thỏa mãn điều kiện) 2.a 2.1 Vậy phương trình cho có nghiệm: x1  ; x2  –5 2x x2  x   b x  (x  1)(x  4) ĐKXĐ: x  –1 x  2x x2  x   x  (x  1)(x  4)  x( x  4) x2  x   ( x  1)( x  4) ( x  1)( x  4)  x  x – 4  x2 – x   2x2 – 8x – x2  x –   x2 – x –  Ta có: a  1; b  7; c  8 a – b  c  1–  –7    –8   Phương trình có nghiệm : x  –1 (loại khơng thỏa mãn ĐKXĐ) c x   (thỏa mãn a ĐKXĐ) Vậy phương trình cho có nghiệm: x 1.2.3 Giải phương trình đưa phương trình tích Phương pháp: Biến đổi phương trình ban đầu dạng phương trình tích sau giải phương trình A  B  Tổng quát: A.B    Giải phương trình Bài 1: a) ( x  3)( x  3x  1)  b) x  x – x   c)  x  3 –10 x3 –15x  d) x  13 x  36  Hướng dẫn giải a) ( x  3)( x  3x  4)   x   x  x   +) x    x1  +) x  x   (1) Ta có a  1; b  3, c  4 a  b  c    ( 4)  Phương trình (1) có hai nghiệm: x2  1; x3  c  4 a Kết luận: Vậy phương trình cho có nghiệm là: x1  3; x  1; x3  4 b) x  x – x –   x  x  3 –  x  3    x  3  x –    x   x –  +) x    x1  3 +) x –   x   x2  x3   Vậy phương trình cho có nghiệm: x1  3 ; x2  2; x3   2 c  x  3 –10 x3 –15x    x2  3 – 5x  x  3   2x  3 x  – x   2x2   x – x   +) x    x  –3  x  1,5 (vô nghiệm) +) x – x   Có a  2; b  5; c  a  b  c  –   Phương trình có nghiệm: x1  ; x2  c  a Vậy phương trình cho có nghiệm: x1  ; x2  d) x  13 x  36  (1)  ( x  12 x  36)  x   ( x  6)2  x   ( x   x)( x   x)   x2  x    x  x   Giải phương trình: x – x –  ta nghiệm: x1  2; x2  Giải phương trình: x  x –  ta nghiệm: x3  2; x4  3 Vậy phương trình (1) có nghiệm: x1  3; x2  2; x3  2; x4  1.2.4 Giải phương trình chứa bậc hai a) Phương trình chứa bậc hai đơn giản (quy phương trình bậc hai) Phương pháp: Đặt ẩn phụ biến đổi phương trình ban đầu trở thành phương trình có dạng ax2  bx  c  Bài 1: Giải phương trình: a) x  29 x  52  b) x  x    Hướng dẫn giải a) x  29 x  52  Điều kiện x  Đặt x  t (điều kiện: t  ), Khi phương trình cho trở thành: 4t  29t  52  (1) có a  4; b  29; c  52   b2  4ac   29   4.4.52   ;   Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt: t1  b   29    (thỏa mãn điều kiện t  ); 2a 2.4 t2  b   29  13   (thỏa mãn điều kiện t  ); 2.4 2a Với t1   x   x  16 (t/m) Với t2  13 13 169  x  x (t/m) 4 16 KL: Vậy phương trình cho có nghiệm x1  16 ; x2  169 16 b) x  x    Điều kiện: x    x  1 x  x      x  1  x    Đặt t  x  , điều kiện: t  Phương trình cho trở thành: t  2t   (1) có a  1; b  2; c  8 ;  '  b '2  ac     ;  '  Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt: (thỏa mãn điều kiện t  ) t2  b '     2 (loại khơng thỏa mãn điều kiện t  ) a Với t   x    x   16  x  15 (t/m) Vậy phương trình cho có nghiệm x  15 b) Phương trình vơ tỉ Phương pháp chung bình phương hai vế để khử dấu Cần thử lại để loại trừ nghiệm ngoại lai (ngồi dùng cách đặt ẩn phụ đưa phương trình khơng có dấu giống phần a – dạng ý b toán 1) Đặc biệt phương trình: B( x )  A( x )  B( x )    A( x )   B( x ) Ta đem bình phương hai vế để giải toán tương đương hai vế dương Bài 1: Giải phương trình: a) x  x   c) 25  x  x  b)  x  x  x  d) x    x   x Hướng dẫn giải x  x   2 x   x x  2x   a) x  x    x   x   x    x  Vậy phương trình cho có nghiệm x   x  1 hc x  b)  x  x  x  x   x  x    x 3    2  x  hc x  4  x  x  ( x  2)  x  3x  c) 25  x  x  x 1  x  x      x4 2  x  hc x  3 25  x  ( x  1) 2 x  x  24  d) x    x   x  x    2x   x 1    4  x   4  x  2    x    x  (1  x)(1  x )   x  (1  x)(1  x)  x     4  x     x    2  x     x0  x   x   (1  x)(1  x)  x  x     1.2.5 Giải phương trình chứa dấu GTTĐ - Ta thường xét dấu biểu thức dấu giá trị tuyệt đối để khử dấu giá trị tuyệt đối khoảng Giải phương trình khoảng - Có thể đặt ẩn phụ Giải phương trình Bài 1: a) x  x   b) x   x  x  Hướng dẫn giải a) x  x    x 1   x2 1  x   1  x  1  x  x        x    x    x  hc x    x   x   (1  x )    x  hc x  2 x     x     Vậy phương trình có nghiệm: x1  1; x2  b) x   x  x   x   x  5x   x  x  15  x      x  2   x    x  5x   x  4x   Vậy phương trình có nghiệm: x1  1; x2  Dạng 2: Hệ thức Vi-et ứng dụng a) Nếu x1; x2 hai nghiệm phương trình ax  bx  c   a   x1  x2  x1.x2  c a b a b) Muốn tìm hai số u v , biết u  v  S; uv  P , ta giải phương trình: x  Sx  P  (Điều kiện để có u v S  P  ) c) Nếu a  b  c  phương trình ax  bx  c   a   có hai nghiệm x1  1; x2  c a Nếu a  b  c  phương trình ax  bx  c   a   có hai nghiệm x1  1; x2  c a Sử dụng hệ thức Vi-et, biến đổi biểu thức cho suất tổng tích nghiệm từ tính giá trị biểu thức Các hệ thức thường gặp: x12  x2   x12  x1.x2  x2   x1.x2   x1  x2   x1.x2  S  P x1  x2    x1  x2   x1 x2   S  P x2  x1    x1  x2   x1 x2   S  P x12  x2   x1  x2  x1  x2     x1  x2   x1  x2   x1 x2   S S  P x13  x23   x1  x2   x12  x1.x2  x2    x1  x2   x1  x2   3x1.x2   S  S  3P    2 2 x14  x2   x12    x2    x12  x2   x12 x2   x1  x2   x1 x2   x12 x22     S  2P   2P2 1 x1  x2 S    x1 x2 x1 x2 P 1 x2  x1    x1 x2 x1 x2  x1  x2  x1 x2  x1 x2 S  4P  P  x1  x2  x1 x2 x12  x2  x1  x2  x1  x2      x2 x1 x1 x2 x1 x2  x1  x2   x1 x2 x1 x2 x13  x23   x1  x2   x12  x1.x2  x2    x1  x2   x1  x2   x1.x2     S S  4P P     x1  x2    x1 x2  x1  x2   x1.x2        S  P  S  P   x14  x2   x12    x2    x12  x2  x12  x2     S  P  S S  4P  … Bài 1: Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình: x2  x    Khơng giải phương trình, tính giá trị biểu thức sau: A 1  ; x1 x2 C  x1  x2 ; B  x12  x2 ; D  x13  x23 Hướng dẫn giải Ta có a  1; c      Và a.c  nên phương trình ln có hai nghiệm phân biệt  b  S  x1  x2   1  a Theo Vi-et có:   c   P  x1 x2   2   a A x  x1 1 1    x1 x2 x1 x2 2    B  x12  x2   x1  x2   x1 x2   2    C  x1  x2   x1  x2    x1  x2   x1 x2    1 2     2   2 1   2  2 1  2 1  D  x13  x23   x1  x2   3x1 x2  x1  x2   1  2   7  Bài 2: Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình: x  3x   Khơng giải phương trình a) Tính giá trị biểu thức sau: A 1 B  x12  x2  x1  x2  C  x1  x2 D  x13  x23 137 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN F  3x1  x2 3x2  x1  E  x14  x2 b) Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm 1 x1  x2  Hướng dẫn giải a) Ta có a  1; c  7 Và a.c  nên phương trình ln có hai nghiệm phân biệt  b  S  x1  x2  3   a Theo hệ thức Vi-et ta có:   c  P  x1 x2   7   a A x2  x1  1    x1  x2  x1 x2   x1  x 2  9 B  x12  x2   x1  x2   x1 x2  23 C  x1  x2   x1  x2    x1  x2   x1 x2  37 2 D  x13  x23   x1  x2   3x1 x2  x1  x2   72 E  x14  x2   S  P  P  527 F  3x1  x2 3x2  x1   10 x1 x2  3 x12  x22   1  x2  x1  1   S      x1  x2 1 x1 x2   x1  x 2  9 b) Ta có:   P    x1 1 x2 1 9   Vậy phương trình bậc hai có hai nghiệm 1 1 là: X  X   9 x1  x2  Bài 3: Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình: x  x   Khơng giải phương trình, tính giá trị biểu thức sau: A  3x1  x2 3x2  x1  B x2 x  x1 1 x2 1 138 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN D C  x1  x2 x1  x2   x1 x2 Hướng dẫn giải Ta có a  3; c  6 Và a.c  nên phương trình ln có hai nghiệm phân biệt  b 5  S  x1  x2     a Theo Vi-et có:   c  P  x1 x2   2   a A  3x1  x2 3x2  x1   13x1 x2   x12  x22   13P   S  P  200  x2  x1   x1 x2   x2  x1   38 x x B    x1  x2  x1 x2   x1  x 2  C  x1  x2   x1  x2    x1  x2   x1 x2  D 97 x1  x2  2 x1 x2   x1  x2  11    x1 x2 x1 x2 Bài 4: Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình: x  x   Khơng giải phương trình lập phương trình bậc hai ẩn y có hai nghiệm y1 ; y2 thỏa mãn: y1  x1  x2 y2  x2  x1 Hướng dẫn giải Xét phương trình x  x   có a.c  3.(6)  nên phương trình cho có hai nghiệm phân biệt  b 5   x1  x2    a Theo Vi-et ta có:    x x  c  2  a   5  S  y1  y2  x1  x2  x2  x1  x1  x2       P  y y  2 x  x 2 x  x   x x   x  x 2  x x    212 2 1 2 2     Vậy phương trình bậc hai có hai nghiệm y1 ; y2 : Y  Y  212 0 139 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN x1 , x2 hai nghiệm phương trình: x  3x 1  Không giải Gọi phương trình lập phương trình bậc hai ẩn y có hai nghiệm y1 ; y2 thỏa mãn:   x12   y  x2  b)   x2   y2  x1    y1  x1    y2  x2  a)   Hướng dẫn giải Xét phương trình x  3x 1  có a.c  3.(6)  nên phương trình cho có hai nghiệm  b   x1  x2    a phân biệt Theo hệ thức Vi-et ta có:    x x  c  1  a   11  S  y1  y2   a) Ta có:   13   P  y1 y2   11 Vậy phương trình bậc hai có hai nghiệm y1 ; y2 : Y  Y  13 0   S  y1  y2   b) Ta có:    P  y y  1   Vậy phương trình bậc hai có hai nghiệm y1 ; y2 : Y  Y   Dạng 3: Phương trình chứa tham số Các điều kiện để phương trình có nghiệm thỏa mãn đặc điểm cho trước: a) Tìm điều kiện tổng quát để phương trình ax  bx  c   a   có: Có nghiệm (có hai nghiệm)    Vô nghiệm    140 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN Nghiệm (nghiệm kép, hai nghiệm nhau)    b  ) (Nếu a  Có hai nghiệm phân biệt (khác nhau)    Hai nghiệm dấu    P  Hai nghiệm trái dấu    P  (hoặc a.c  ) Hai nghiệm dương (lớn 0)    ; S  P  Hai nghiệm âm (nhỏ 0)    ; S  P  Hai nghiệm đối    S  10 Hai nghiệm nghịch đảo    P  11 Hai nghiệm trái dấu nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn  a.c  S 0 12 Hai nghiệm trái dấu nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn  a.c  S 0 b) Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt cho x1  px2  3 (với p số thực) 1- Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt 2- Áp dụng định lý Vi – ét tìm: x1  x2  b c (1) x1.x2  (2) a a b   x1  x2  3- Kết hợp (1) (3) giải hệ phương trình:  a  x1 ; x2  x1  px2 4- Thay x1 x2 vào (2)  Tìm giá trị tham số c) Điều kiện để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện: x1  x2  k  k  R  2 - Bình phương trình hai vế:  x1  x2   k    x1  x2   x1 x2  k - Áp dụng định lý Vi-ét tính x1  x2 x1 x2 thay vào biểu thức  kết luận d) Hệ thức liên hệ hai nghiệm khơng phụ thuộc vào m ; - Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt 141 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN - Áp dụng định lý Vi-ét tìm x1  x2  b c (1) x1.x2  (2) a a - Biến đổi kết không chứa tham số 4) So sánh nghiệm phương trình bậc hai với số bất kỳ: Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm (   ) Bước 2: Áp dụng Vi-ét tính x1  x2 x1 x2 (*) +/ Với toán: Tìm m để phương trình có hai nghiệm    x1      x2       x1     x2     Thay biểu thức Vi-ét vào hệ để tìm m +/ Với tốn: Tìm m để phương trình có hai nghiệm    x1      x2        x1     x2     Thay biểu thức Vi-ét vào hệ để tìm m +/ Với tốn: Tìm m để phương trình có hai nghiệm, có nghiệm x1   , nghiệm x2     x1     x2     Thay biểu thức Vi-ét vào hệ để tìm m Bài 1: Cho phương trình x   2m  1 x  m2   ( x ẩn số) a) Tìm điều kiện m để phương trình cho có hai nghiệm phân biệt b) Định m để hai nghiệm x1 , x2 phương trình cho thỏa mãn:  x1  x2   x1  3x2 Hướng dẫn giải a)    2m  12   m  1   4m Phương trình có hai nghiệm phân biệt     4m   m  b) Phương trình có hai nghiệm  m   x1  x2  2m  (*) Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có:   x1 x2  m  Theo đề bài:  x1  x2   x1  3x2 142 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN   x1  x2   x1 x2  x1  3x2   2m  1   m  1  x1  x2  x1  3x2   4m (**) m 1  x1   x  x  m   Từ (*) (**) ta có hệ phương trình:    x1  x2   4m  x  3(m  1)  2 Mặt khác ta có: x1 x2  m   m  3(m  1)   m2  2   m2  1   m  1  m    m  1 Kết hợp với điều kiện m   m  1 (thỏa mãn) giá trị cần tìm Vậy với m  m  1 phương trình cho có nghiệm x1 , x2 thỏa mãn:  x1  x2   x1  3x2 Phân tích: Đối với yêu cầu đề toán, sau ta từ hệ thức Vi-et ta phương trình liên hệ x1, x2 ta lập hệ phương trình từ giải hệ phương trình c a với ẩn x1; x2 ta tìm x1; x2 Thay vào phương trình x1.x2  ta giải tham số cần tìm Bài 2: Tìm m để phương trình x  x  3m   ( x ẩn số, m tham số) có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x13  x23  3x1 x2  75 Hướng dẫn giải   52  4.1  3m  1  29  12m Để phương trình có hai nghiệm     29  12m  m  29 12 143 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN  x1  x2  5  x1 x2  3m  Áp dụng hệ thức Vi-ét  Ta có: x13  x23  3x1 x2  75     x1  x2   x1  x2   x1 x2  3x1 x2  75   x1  x2  25  x1 x2   3x1 x2  75   x1  x2   75  3x1 x2  25  x1 x2    x1  x2   78  9m 75  3(3m  1)   x1  x2   26  3m  25  (3m  1)   x1  x2   3(26  3m)  x1  x2  26  3m Kết hợp x1  x2  5 suy x1  1; x2  4 Thay vào x1x2  3m  suy m  m (thỏa mãn 29 ) 12 Vậy m  giá trị cần tìm Bài 3: Cho phương trình x  10mx  9m  ( m tham số) a) Giải phương trình cho với m  b) Tìm giá trị tham số m để phương trình cho có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa điều kiện x1  x2  Hướng dẫn giải a) Với m  phương trình cho trở thành x  10 x   x Ta có a  b  c  nên phương trình có hai nghiệm phân biệt   x2   2 b)  '   5m   1.9m  25m  9m Điều kiện phương trình cho có hai nghiệm phân biệt  '   25m2  9m  (*) 144 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN Theo hệ thức Vi-ét ta có:  x1  x2  10m (*)  (**)  x1 x2  9m  x1  x2  10m 10 x2  10m  x2  m    x1  x2   x1  x2  x1  9m từ (*) giả thiết x1  x2  ta có hệ phương trình:  m  m  Thay vào phương trình (**) ta có: x1x2  9m 9m2  9m  9m(m  1)    Với m  ta có  '  25m  9m  khơng thỏa mãn điều kiện phương trình có nghiệm phân biệt Với m  ta có  '  25m  9m  16  thỏa mãn điều kiện để phương trình có nghiệm phân biệt Kết luận: Vậy với m  phương trình cho có nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa điều kiện x1  x2  Bài 4: Cho phương trình x2  2(m  1) x  m2  m 1  ( m tham số) a) Giải phương trình cho với m  1 b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn điều kiện   x1 Hướng dẫn giải a) Với m  , phương trình cho trở thành: x  x    '  ; x1,2   Vậy với m  nghiệm phương trình cho x1,2   b)  '  m  Phương trình cho có hai nghiệm phân biệt     m    m  2  x1  x2  2( m  1) Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có:   x1 x2  m  m  Do đó: x2 145 CÁC CHUN ĐỀ TỐN x x 1 2( m  1)  4 4 4 x1 x2 x1 x2 m  m 1 m  m  m   m  m      m   m   2(m  m  1) 2m  m    Kết hợp với điều kiện  m  1;   giá trị cần tìm 2  Bài 5: Cho phương trình x  mx  m2  4m   ( m tham số) 2 a) Giải phương trình cho với m  1 1 b) Tìm m để phương trình cho có hai nghiệm thỏa mãn   x1  x2 x1 x2 Hướng dẫn giải a) Với m  1 phương trình trở thành x  x    x2  x   2  '  10  Phương trình cho có nghiệm phân biệt x1  1  10; x2  1  10 b) Để phương trình cho có hai nghiệm phân biệt   1     m    m  4m  1   8m    m  2  Để phương trình có nghiệm khác  m2  4m    m1  4    m2  4   x1  x2  2m Áp dụng hệ thức Vi-et ta có   x1 x2  m  8m  Theo có  x1  x2  1   x1  x2   x1  x2  x1 x2  1    x1 x2  x1 x2   m   2m     m  4  19 m  8m    m  4  19 146 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN Kết hợp với điều kiện m  ; m1  4  2; m2  4  ta m  0; m  4  19 Vậy m  0; m  4  19 giá trị cần tìm Cho phương trình x2  2(m 1) x  m2   ( m tham số) Bài 6: a) Tìm m để phương trình cho có nghiệm b) Tìm m để phương trình cho có hai nghiệm cho nghiệm ba lần nghiệm Hướng dẫn giải a) Phương trình cho có nghiệm  '      m  1    m2  3   2 m   m2 Vậy m  phương trình cho có nghiệm b) Với m  phương trình cho có hai nghiệm Gọi nghiệm phương trình cho a nghiệm 3a Theo hệ thức Vi-ét, a  3a  2m  (1)  a.3a  m  (2) ta có:  m 1 Từ phương trình (1)  a  vào phương trình (2) ta có 2  m 1  3   m 3    m  6m  15  có  '  24  Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt: m2  3  6; m2  3  (thỏa mãn điều kiện m  ) Vậy m  3  giá trị cần tìm Bài 7: Cho phương trình x  x  m   ( m tham số) a) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với m b) Tính tổng tích hai nghiệm phương trình theo m c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm thỏa: x1  3x2 147 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN Hướng dẫn giải a) Ta có  '  12   m  1   m   m   , với m Vì  '  , với m nên phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với m b) Với m , phương trình ln có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa hệ thức Vi-ét: b 2  S  x  x    2  a   P  x x  c  m   m2  1  a c) Ta có x1  x2  2 (do trên) x1  3x2 nên ta có hệ phương trình sau:  x  x  2  x  x  2  x1  x2  2      x1  x2   x1  x2   x1  3 x2  x   2  x  3  x  x  2     x2  2 x2  2  x2   * Thay * vào biểu thức x1 x2  m  ta được:  3  m2   m2   m   Vậy m   giá trị cần tìm Bài 8: Cho phương trình x2  2(m 1) x  m   ( m tham số) a) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt b) Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm phương trình cho mà khơng phụ thuộc vào m c) Tìm giá trị nhỏ P  x12  x22 (với x1 , x2 nghiệm phương trình cho) Hướng dẫn giải a)      m  1    m  3  m  3m    m     , m 2  ' 2 Vậy phương trình cho ln có hai nghiệm phân biệt  x1  x2  2(m  1)  x1  x2  2m    x1 x2  m  2 x1 x2  2m  b) Theo hệ thức Vi-ét, ta có:  148 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN  x1  x2  x1 x2   không phụ thuộc vào m 2 c) P  x12  x22   x1  x2   x1 x2   m  1   m  3  4m  8m   2m   15 15   4m  10m  10   2m     , m 2 4  Do Pmin  Vậy Pmin  Bài 9: 15 5 dấu "  " xảy 2m    m  4 15 với m  4 Cho phương trình x   2m   x  2m  ( m tham số) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1  x2  Hướng dẫn giải Phương trình x   2m   x  2m   x   m  1 x  2m  Điều kiện PT có nghiệm khơng âm x1 , x2 m    '     x1  x2   2(m  1)   m  x x   2m     x  x   m  1 Theo hệ thức Vi-ét:   x1 x2  2m Ta có x1  x2   x1  x2  x1 x2   2m   2m   m  (thoả mãn) Vậy m  giá trị cần tìm Bài 10: Cho phương trình x   m  1 x  2m   ( m tham số) a) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với m b) Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1   x2 Hướng dẫn giải 149 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN a) Ta có    2  m  1   4.1  2m  5  4m2  12m  22 2   2m   2.2m.3   13   2m  3  13  , m Phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với m  x1  x2  2m  (I)  x1 x2  2m  b) Theo hệ thức Vi-ét, ta có   x1     x1  1 x2  1   x1 x2   x1  x2    (II) x    Theo giả thiết x1   x2   Thay (I) vào (II) ta có:  2m  5   2m      0.m   , với m Vậy với m phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1   x2 Cho phương trình x  mx   (1) ( m tham số) Bài 11: a) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm trái dấu b) Gọi x1 , x2 nghiệm phương trình (1): Tính giá trị biểu thức: P  x12  x1  x22  x2   x1 x2 Hướng dẫn giải a) Ta có a.c   1  1  , với m nên phương trình (1) ln có nghiệm trái dấu với m b) Ta có x1; x2 nghiệm phương trình (1) nên ta có: x12  mx1   x22  mx2    x  mx1  hay  12  x2  mx2  x12  x1  x22  x2  mx1   x1  mx2   x2     Do P  x1 x2 x1 x2  x1  m  1 x1  Vậy P  x2  m  1 x2   m  1   m  1  x1 , x2  150 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN Bài 12: Xác định giá trị m phương trình x  x  m  để  nghiệm phương trình Với m vừa tìm được, phương trình cho nghiệm Tìm nghiệm lại Hướng dẫn giải Do  nghiệm phương trình nên thỏa mãn phương trình: 4  3   8 4  m   m  13   m  13 Thay m  13 vào phương trình ta phương trình: x  x  13  *  '   4   1.13   x1   Phương trình * có hai nghiệm phân biệt là:   x2   Vậy x   giá trị cần tìm Bài 13: Cho phương trình x  x  m   ( m tham số) a) Tìm m để phương trình có nghiệm x  1 Tính nghiệm lại b) Tìm m để hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn hệ thức x13  x23  Hướng dẫn giải a) Vì phương trình x  x  m   có nghiệm x  1 nên ta có: (1)2  2.(1)  m    m    m  6 Ta có phương trình: x2  2x  (6)    x2  2x   Ta có a  b  c  nên phương trình có hai nghiệm: x1  1 ; x2  Vậy m  nghiệm lại x  b)  '  12  1. m  3  m  Phương trình có hai nghiệm phân biệt   '   m  2  x1  x2   x1 x2  m  Theo hệ thức Vi-ét, ta có:  c 3 a 151 art CÁC CHUN ĐỀ TỐN Ta có x13  x23   ( x1  x2 )3  x1 x2 ( x1  x2 )   23  3.(m  3).2   6(m  3)   m3  m  3 (thỏa mãn điều kiện) Vậy m  3 giá trị cần tìm Cho phương trình x  2mx  m2   ( m tham số) Bài 14: a) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với giá trị m b) Tìm m để hai nghiệm phương trình có giá trị tuyệt đối c) Tìm m để hai nghiệm số đo cạnh góc vng tam giác vng có cạnh huyền Hướng dẫn giải 1 a)  '    m 2   m     , m  2 Nên phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với giá trị m  b) Hai nghiệm phương trình  x1  m    x2  m   Theo đề ta có m  2 2 2 1  m  m  m   m  m   2m   m  2 2 c) Giả sử phương trình có hai nghiệm x1; x2 Theo đề số đo cạnh góc vng tam giác vng có cạnh huyền nên ta có x12  x22  32  Vậy ta có: 2  m  2  2 2  m     m     2m    m         m  2  152 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN m  Vậy  giá trị cần tìm  m  2 Cho phương trình x  x  m   ( m tham số) Bài 15: a) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với m b) Tính tổng tích hai nghiệm phương trình theo m c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm thỏa: x1  3x2 Hướng dẫn giải a) Ta có  '  12   m  1   m   m   , với m Vì  '  , với m nên phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với m b) Với m , phương trình ln có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa hệ thức Vi-ét: b 2   S  x1  x2  a   2   P  x x  c  m   m2  1  a c) Ta có x1  x2  2 (do trên) x1  3x2 nên ta có hệ phương trình sau:  x1  x2  2  x  x  2  x  x  2     x1  x2    x1  x2   x1  3 x2  x  x  2  x   2  x  3     x2   x2  2 x2  2  * Thay * vào biểu thức x1 x2  m  ta được:  3  m2   m2   m   Vậy m   giá trị cần tìm Bài 16: Tìm tất số tự nhiên m để phương trình x  m x  m   ( m tham số) có nghiệm nguyên Hướng dẫn giải    m2   4.1  m  1  m4  4m  Phương trình có nghiệm ngun   m  4m  số phương 153 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN m  Nếu    (loại) m  Nếu m     22 (nhận) Nếu m  2m  m     2m2  4m       2m  4m        4m   m  2m     m   m2  1     m2   không số phương Vậy m  giá trị cần tìm Cho phương trình: x   m   x  m   Bài 17: a) Chứng minh phương trình ln có nghiệm phân biệt với giá trị m b) Tính theo m biểu thức A  1 tìm m   để A  x1 x2 Hướng dẫn giải a) Ta có:  '     m      m    '   m  4  m   '  m  8m  16  m   '  m2  9m  22 9   '   m     0, m 2  Do  '  0, m nên phương trình ln có nghiệm phân biệt với giá trị m b) Theo câu a,  '  0, m nên phương trình ln có hai nghiệm x1, x2 thỏa hệ thức Vi-ét: b  x  x     2  m      m    2m   a   x x  c  m   a 154 CÁC CHUN ĐỀ TỐN Có: A   1 x1  x2 2m   m    12      x1 x2 x1.x2 m6 m6  m  6   m  6 4    2 m6 m6 m6 m6 Để A   suy 4  m   hay m   Ư(4)= 4; 2; 1;1; 2; 4 m6 Lập bảng: m6 4 2 1 m 10 Vậy m 2; 4;5;7;8;10 A Bài 18: Cho phương trình: x   m   x  2m  1 với x ẩn số a) Chứng tỏ phương trình ln có nghiệm phân biệt x1, x2 b) Tìm giá trị m để hai nghiệm phương trình thỏa hệ thức x2  x1  x12 Hướng dẫn giải 2 a) Ta có:  '    m     2m    m    2m  m  4m   2m  m2  2m    m  1   0, m Do  '  0, m nên phương trình ln có nghiệm phân biệt với giá trị m b) Theo câu a,  '  0, m nên phương trình ln có hai nghiệm x1, x2 thỏa hệ thức Vi-ét: b   S  x1  x2  a    2  m      m    2m    P  x x  c  2m  a Có x1 nghiệm phương trình nên ta có x12   m   x1  2m   x12   m   x1  2m Theo đề toán: x2  x1  x12  x2  x1   m   x1  2m  2m   x1  x1   m   x1  2m  4  x1   2m   x1 155 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN  x1   x1   2m 1 m Thay x1   1  m  2    vào 1 ,ta được:    m  2     2m  1 m 1 m  1 m    m  1  m  1  m   2m 1  m  1  m  2 0     m  3m    2m 1  2m  m     4m2  12m   2m  4m  2m3   2m3  8m2  14m  12   m3  m  m     m    m  2m  3   m  Vậy m  giá trị cần tìm Bài 19: Cho phương trình: x  x  2m  1 với x ẩn số a) Chứng minh phương trình ln có nghiệm phân biệt với m b) Tìm giá trị m để hai nghiệm phương trình thỏa hệ thức x12  x22 Hướng dẫn giải a) Ta có:  '   12   2m    2m  0,  m Do  '  0, m nên phương trình ln có nghiệm phân biệt với giá trị m b) Theo câu a,  '  0, m nên phương trình ln có hai nghiệm x1, x2 thỏa hệ thức Vi-ét: b   S  x1  x2  a    2     P  x x  c  2 m    a  x1  x2  x1  2 x2 Có: x12  x22   156 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN  x1   x  x   TH1:  thay vào   Ta được:   2m2 (vô lý)  3  x1  x2  x  2   x1  2 x2  x1   thay vào   Ta được:  2   2m2  m2   m  2 x  x  x     TH2:  Vậy m  2 giá trị cần tìm Bài 20: Cho phương trình: x – x  m  1 ( m tham số) a) Giải phương trình m  b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: x1  x2  Hướng dẫn giải a) Với m  phương trình 1 trở thành x – x   *   25 – 4.6   Suy phương trình có hai nghiệm: x1  3; x2  b) Ta có:   25  4m Để phương trình cho có nghiệm x1, x2    m  25 Kết hợp với hệ thức Vi-ét, ta có :  x1  x2    x1 x2  m   x1  x2  1   Giải hệ 1 ,  3 :  3   x1  x2   x1  x2   x1  x2    x  x  x1  x2     x1  x2   x1   3  x2    x  5   3   x2  5  4 Từ     suy ra: m  Thử lại thoả mãn Vậy m  giá trị cần tìm Bài 21: Cho phương trình x4  (m2  4m) x2  7m   Định m để phương trình có nghiệm phân biệt tổng bình phương tất nghiệm 10 Hướng dẫn giải Đặt X  x  X   Phương trình trở thành X  (m2  4m) X  7m 1  (1) Phương trình có nghiệm phân biệt  (1) có nghiệm phân biệt dương 157 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN     S  P   (m  4m)  4(7m  1)     m  4m  (I) 7 m    Với điều kiện (I), (1) có nghiệm phân biệt dương X1 , X  Phương trình cho có nghiệm x1,2   X ; x3,4   X  x12  x22  x32  x42  2( X  X )  2(m  4m) m   m  5 Vậy ta có 2(m2  4m)  10  m2  4m     Với m  , (I) thỏa mãn Với m  5 , (I) không thỏa mãn Vậy m  giá trị cần tìm Bài 22: Cho phương trình: x   2m  1  m2  m   * a) Tìm m để phương trình * có hai nghiệm b) Tìm m để phương trình có nghiệm âm c) Tìm m để phương trình * có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x13  x23  50 Hướng dẫn giải a)    2m  12   m  m    25   25  với giá trị m Vậy phương trình * ln có hai nghiệm phân biệt với m b) Theo Vi-et ta có:  x1 x2  m  m   x1  x2  2m  158 CÁC CHUN ĐỀ TỐN Để phương trình  * có hai nghiệm âm  x1.x2   x1  x2  thì:  m  m    2m   m  3 hc m    m  3  m   Vậy với m  3 phương trình * ln có hai nghiệm âm c) Với   25 suy x1  m  2; x2  m  3 Theo giả thiết, ta có: x13  x23  50   m     m  3  50   3m2  3m    50  1   m1   m2  m         m2   Cho phương trình: 2x   2m  1 x  m   Bài 23: a) Giải phương trình m  b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x thỏa mãn 3x1  4x  11 c) Tìm đẳng thức liên hệ x1; x không phụ thuộc vào m d) Với giá trị m x1; x dương Hướng dẫn giải a) Với m  phương trình trở thành x  3x   Ta có a  b  c     Vậy phương trình có nghiệm x1  1; x2  c 1  a Vậy phương trình có tập nghiệm S  1;    2 b) Ta có   b2  4ac   2m  1  4.2  m  1  4m  12m    m   2 Vì  m  3  với m nên   với m 159 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN phương trình ln có hai nghiệm x1; x với m Theo hệ thức Vi-et ta có :  2m   x1  x   x x  m   2 1 2 Kết hợp 3x1  4x  11 (1) ta có hệ 13  4m 13  4m    2m x1  x1      x1  x  4 x1  x  1  m  7     3x1  x  11 3x1  x  11  x  x   2m  x  19  6m 2   14 Thay x1; x vào pt (2) ta có x1.x   m 1 13  4m 19  6m m   14  24 m  51m  198   8m  17m  66   m  2 33    TM  Vậy m   2;   33 m  8   c) Theo Vi-et ta có:  2m   x1  x  2  x1  x    2m 2  x1  x    2m    2 x1x  m   x1x  2m  x x  m   2   x1  x   x1x  1 Vậy hệ thức liên hệ  x1  x   4x1x  1 có giá trị không phụ thuộc vào m d) Theo câu b phương trình ln có nghiệm với m Để phương trình có hai nghiệm dương 1  m 0   x  x   1  2m  m  2     m   m    x1 x   m 1  m   Vậy khơng có giá trị m để phương trình có hai nghiệm dương Cho phương trình bậc hai: x  2(m  1) x  (m  1)  1 Bài 24: a) Tìm giá trị m để phương trình 1 có nghiệm lớn nghiệm nhỏ b) Tìm giá trị m để phương trình 1 có hai nghiệm nhỏ Hướng dẫn giải a) Ta có:  '  (m 1)2  m   (m  )   0, m Nên phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt với m Theo hệ thức Vi- ét ta có  x1  x2  2  m  1   x1 x2    m  1 Để phương trình (1) có nghiệm lớn hơn1 , nghiệm nhỏ  x1  1 x2  1   x1x   x1  x2       m  1   m  1   m2 Cách 2: Đặt y  x   x  y  phương trình (1) trở thành:  y + 1  2(m   y + 1  (m  1)   y  2m y + m)   (2) Để phương trình (1) có nghiệm x1 lớn hơn1 , nghiệm x2 nhỏ phương trình (2) có hai nghiệm y1; y2 trái dấu  m    m  b) Để phương trình có hai nghiệm   x1   x    x1x2   x1  x    m    m    x1   x   x1  x  m  1 nhỏ Cho phương trình x2  (2m  3) x  m2  3m   Bài 25: a) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt b) Xác định m để phương trình có nghiệm Tìm nghiệm lại c) Xác định m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn 3  x1  x2  d) Xác định m để phương trình có nghiệm bình phương nghiệm Hướng dẫn giải a) Ta có:   (2m  3)2  4.1.(m2  3m  2)  4m2  12m   4m  12m  1 Phương trình cho ln có hai nghiệm phân biệt với m b) Vì phương trình có nghiệm nên ta thay x  vào phương trình có: 22  (2m  3)2  m2  3m     4m   m2  3m    m2  m   m(m  1)  m   m   x1  x2  2m  Theo hệ thức Vi-et ta có:   x1 x2  m  3m    x2  2m  thay x1  :   2.x2  m  3m    x2   x2   2.x2  Với m  thay vào ta có:  2  x2   x2  2.x2  Với m  thay vào ta có:   x1  x2  2m  c) Theo phương trình cho ln có hai nghiệm phân biệt thỏa:   x1 x2  m  3m  Vì 3  x1  x2 0  x1   x2    x1  x2   x1   x2   3  x1  x2  nên  ( x1  3)  ( x2  3)   x1  x2   ( x  3)( x  3)   x x  3.( x  x )     2   ( x1  6)  ( x2  6)   x1  x2  12  ( x1  6)( x2  6)   x1.x2  6( x1  x2 )  36  9  m   2m     2m      m  3m   3(2m  3)   m  9m  20  (m  4)(m  5)     2m   12   2m   m  m2  3m   6(2m  3)  36  m  9m  20     (m  4)(m  5)   9   m     m  5   m  4    4  m  m    m4    m  Vậy 4  m  Cách 2: Ta tính     Phương trình ln có hai nghiệm phân biệt : 2m    m2 2m    m 1 x1  x2  Vì 3  x1  x2  nên 3  m   m   m   3 m  4    4  m  m   m  d) Phương trình có nghiệm bình phương nghiệm : Phương trình ln có hai nghiệm phân biệt : x1  2m   2m    m  ; x2   m2 2 Theo u cầu đề tốn : nghiệm bình phương nghiệm : x2  x12  m   (m  1)2  m   m  2m   m2  m   m 1  Trường hợp : x1  x2 2  m  1   m   (*)  m  4m   m    m  3m      Phương trình (*) vơ nghiệm Kết luận: m  Bài 26: 1  giá trị cần tìm Cho phương trình mx2  2(m  2) x  m   a) Xác định m để phương trình có hai nghiệm trái dấu b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm trái dấu nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn c) Tìm hệ thức liên hệ nghiệm không phụ thuộc vào m d) Tìm giá trị nhỏ biểu thức x12  x22 Hướng dẫn giải a) Để phương trình có hai nghiệm trái dấu m  a.c   m(m  3)   m   m    m   m     0m3  m   m     m    m  b) Để phương trình có hai nghiệm trái dấu nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn m  m  m   m    m  2 4(m  2)  4m(m  3)    m  4m   m  3m    2(m  2)      m  m     0 S  m m    m    P  m   0 0  m   0  m   m 2  m  c) Để phương trình cho có nghiệm x1, x2 m     m  m  2(m  2) 12    2  3( x1  x2 )  6   x1  x2    m m m Khi theo Vi-ét ta có:    x x  m    4 x x   12   m m m  3( x1  x2 )  x1 x2  2 Đây hệ thức liên hệ nghiệm không phụ thuộc vào m d) Với m  m  phương trình ln có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn 2(m  2)   x1  x2  m   x x  m   m Ta có: A  x12  x22  ( x1  x2 )2  x1 x2 m3  2( m  2)     m m    4(m2  4m  4) 2m   m2 m 4m2  16m  16  2m2  6m  m2  2m2  10m  16 m2  2 10 16   25        m m m 16 16 m 7  5       m  16 16 Amin  16 Dấu “=” xảy   m  (tm) 16 m Vậy GTNN x12  x22 Bài 27: 16 xảy m  16 Cho phương trình bậc hai mx  (5m  2) x  6m   a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm đối b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm nghịch đảo Hướng dẫn giải a) Xét phương trình mx   5m   x  6m   Để để phương trình có hai nghiệm đối thì:  m  a       5m    4.m  6m      x  x   5m    0  m m     m   (luôn với m )  m  (thỏa mãn) 5m    Vậy m  phương trình có hai nghiệm đối b) Xét phương trình mx   5m   x  6m   Để để phương trình có hai nghiệm nghịch đảo thì:  m  a        5m    4.m  6m     x x   6m    1  m m     m   (luôn với m )  m  (thỏa mãn) 6 m   m  Vậy m  phương trình có hai nghiệm nghịch đảo Bài 28: Tỉm giá trị m để phương trình: a) x  mx  m   có nghiệm trái dấu nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn nghiệm dương b) x2  2(m 1) x  m   có nghiệm trái dấu giá trị tuyệt đối Hướng dẫn giải a) Xét phương trình x  mx  m   để phương trình có hai nghiệm trái dấu thì: a.c   2.(m  3)   m  1 Với m  , áp dụng hệ thức Vi – ét ta có: b m    x1  x2  a  x1  x2     x x  c  x x  m   2 a  Có nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn nghiệm dương suy : x1  x2 x1  ; x2  nên  x1  x2  x1  x2   m   m  2 Từ 1   suy  m  Vậy  m  phương trình có hai nghiệm trái dấu nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn nghiệm dương Chú ý: Đề có nghĩa tìm điều kiện để phương trình có nghiệm trái dấu tổng hai nghiệm âm b) x2  2(m 1) x  m   có hai nghiệm trái dấu giá trị tuyệt đối Xét phương trình: x2  2(m 1) x  m   (2) có: ( a  1; b  2(m  1); c  m  ) PT (2) có nghiệm trái dấu giá trị tuyệt đối    1  a  a     m   m     m 1   P   a.c   1.(m  3)    m   m  S   b  2(m  1)   0  0  a Vậy với m = pt cho có hai nghiệm trái dấu giá trị tuyệt đối Bài 29: Cho phương trình: x   m  1 x  m2  3m  (1) a) Giải phương trình m  1 b) Tìm m để pt (1) có nghiệm 1 c) Tìm m để (1) có hai nghiệm x1 , x thỏa mãn   1 x1 x2 Hướng dẫn giải a) Thay m  1 vào (1) ta có: x  x     x     x  2 Vậy với m  1 phương trình có nghiệm x  2 b) Ta có:  '  m  Để pt (1) có nghiệm  '   m    m  1 Vậy với m  1 pt (1) có nghiệm c) Áp dụng hệ thức Viet ta có: x1  x2   m  1 ; x1 x2  m2  3m 1   1 x1 x2  x1  x2  x1 x2 0  2m   m2  3m   m2  m  0  2 Ta có: a  b  c    1   Phương trình (2) có hai nghiệm m1  1;m2  1 Vậy với m  {  1; 2} pt (1) có hai nghiệm x1 , x thỏa mãn   1 x1 Bài 30: Cho phương trình x   m  1 x  4m  x2 a) Xác đinh m để phương trình có nghiệm kép Tìm nghiệm kép b) Xác định m để phương trình có nghiệm Tính nghiệm lại c) Với điều kiện m phương trình có hai nghiệm dấu (trái dấu) d) Với điều kiện cửa m phương trình có hai nghiệm dương (cùng âm) e) Định m để phương trình có hai nghiệm x ; x cho nghiệm2này x  xgấp  đôi nghiệm thỏa mãn f) Định m để phương trình có hai nghiệm g) Định m để PT có hai nghiệm x1; x2 cho A  x12  x2  x1 x2 nhận giá trị nhỏ Hướng dẫn giải a)  '   m  1  1.4m  m  2m    m  1 Để PT có nghiệm kép   '   m    m  b) x  nghiệm phương trình nên ta có  42   m  1  4m   4 m    m  Với m  phương trình trở thành x2  x     x   x    x   x    x   x  Vậy nghiệm lại phương trình x  c)  '   m  1  m Phương trình có hai nghiệm x1; x2 Áp dụng đinh lý Vi-et: x1  x2  2m  x1.x2  4m - Để phương trình có hai nghiệm dấu  4m   m  - Để phương trình có hai nghiệm trái dấu  4m   m  d) với m  PT có hai nghiệm dấu TH1: x1; x2 dấu dương  m    m  1 Kết hợp m  1 với điều kiện m   m  TH2: x1; x2 dấu âm  2m    m  1 m  1 với điều kiện m  Vậy khơng có giá trị m để phương trình có hai nghiệm dấu âm e) Áp dụng đinh lý Vi-et: x1  x2  2m  (*) x1.x2  4m (**) Không tính tổng quát ta giả sử: x1  2x2  x1  2x2  2m   2m  x2     x  x  2m  x   Kết hợp với (*) ta có hệ phương trình:    x  x  m 4   x1  x2 x   Thay vào phương trình (**) ta có x1.x2  4m  2(m  1).4(m 1)  4m  2(m  1)2  9m  2m  5m   m1  2; m2  Thỏa mãn Vậy với m1  2; m2  phương trình cho có nghiệm thỏa mãn nghiệm hai lần nghiệm f) Định m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn x1  x2  2 (1) 2 x1  x2  2   x1  x2  2m  (2)  (3)  x1 x2  4m 2m  x1   3 x1  2m     x2  x1   x2  4m   Thay vào phương trình (3) ta có: 2m 4m   4m 3  m2  3m  m   m  m  3    (thỏa mãn) m  Vậy với m = m  phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn x1  x2  2 g) A  x12  x2  x1 x2   x12  x22   x1 x2   x1  x2   x1 x2   2m    5.4m  8m  4m   15 15    m     m 4 2   Amin  15 Dấu "  " xảy  m  (tm) Vậy m  để A đạt giá trị nhỏ  BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Giải phương trình: a)  x  x  1 x  x    40 ;  b)  x  x  Bài 2: 1     2 x     x   Cho phương trình: x   m  5 x   m    1 a) Chứng minh phương trình 1 ln có nghiệm x1  với giá trị m ; b) Tìm m để phương trình 1 có nghiệm kép; c) Tìm m để phương trình 1 có nghiệm x2   Bài 3: Không giải phương trình, tính tổng bình phương hiệu bình phương nghiệm phương trình: a) x  x   ; b) x  x   Bài 4: a) Khơng giải phương trình, xét dấu nghiệm phương trình sau: 1   x  7x    ; b) x  x   ; c) x  2 x   Bài 5: Cho phương trình  m   x   m  3 x   1 a) Chứng minh phương trình 1 ln có nghiệm với m ; b) Tìm m để phương trình có nghiệm Khi tìm nghiệm thứ hai phương trình Bài 6: Cho phương trình x   m  1 x  2m  1 a) Chứng tỏ phương trình 1 ln có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 với giá trị m ; b) Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm x1 , x2 không phụ thuộc vào m , từ biểu thị x2 theo x1 ; c) Tính giá trị nhỏ biểu thức A  x12  x22 Bài 7: Cho phương trình mx   2m  5 x  m   1 a) Xác định m để phương trình 1 có nghiệm; b) Xác định m để phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 cho  x1  1 x2  1  2 Bài 8: Cho phương trình x  10 x  m  Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 cho: a) x1  x2 ; b) x13  x23  370 Bài 9: Cho phương trình x  2mx  2m   Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1  3x2  14 x  m  x  m2  4m  13  a) Xác định m để phương trình 1 có nghiệm; Chủ đề b) Xác định m để phương trình 1 có nghiệm âm BẤT ĐẲNG THỨC Kỹ thuật chọn điểm rơi toán bất đẳng thức H BẤT ĐẲNG THỨC  KIẾN THỨC LÍ THUYẾT Định nghĩa bất đẳng thức Ta gọi hệ thức dạng a  b (hay a  b; a  b; a  b) bất đẳng thức Tính chất bất đẳng thức a  b  b  a a  b; b  c  a  c a  b  a  c  b  c a  b  a.c  b.c  c   a  b  a.c  b.c  c    Cộng vế hai bất đẳng thức chiều bất đẳng thức chiều  Trừ vế hai bất đẳng thức khác chiều bất đẳng thức chiều với bất đẳng thức thứ  Nhân vế hai bất đẳng thức chiều mà hai vế không âm, ta bất đẳng thức chiều Đặc biệt: a  b   a  b2 ; a  b  a 2n  b2n a  b  a n1  b n1  8.Nếu a  b  1  a b Một số bất đẳng thức hay dùng  Nếu a b hai số dấu  Nếu a, b  a b   (dấu = xảy  a  b ) b a 1   (dấu  xảy  a  b ) a b ab  a  b  a  b (dấu  xảy a.b  )  a  b  a  b (dấu  xảy a  b  a  b  )  Bất đẳng thức Cô-si Với a, b  ab  ab hay a  b  ab (dấu  xảy a  b ) Vài dạng khác bất đẳng thức Cô-si  ( a, b  0) ) ab a  b 2  a b  2    ab;  a  b   4ab; a  b  2ab   2  ab a b ab       Phương pháp chứng minh bất đẳng thức Phương pháp dùng định nghĩa bất đẳng thức: Muốn chứng minh a  b , ta chứng minh a  b  Muốn chứng minh a  b, ta chứng minh a  b  Phương pháp biến đổi tương đương: A  B  A1  B2  A2  B2    C  D Nếu bất đẳng thức cuối bất đẳng thức đầu Phương pháp vận dụng tính chất bất đẳng thức vận dụng bất đẳng thức quen thuộc: Từ bất đẳng thức biết ta dùng tính chất bất đẳng thức để suy bất đẳng thức cần chứng minh Phương pháp phản chứng: Muốn chứng minh A  B, ta giả sử A  B suy điều vơ lí (mâu thuẫn với điều cho biết), từ suy điều giả sử sai, điều phải chứng minh  BÀI TẬP Bài 1: Cho số thực dương a, b, c Chứng minh rằng: a  b b  c c  a   8abc Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức AM - GM, ta có: a  b b  c c  a   ab bc ac  8abc (đpcm) Bài 2: Cho số thực dương a, b, c, d Chứng minh rằng: ac  bd  a  b c  d  Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức AM - GM, ta có: ac  bd a  b c  d     ac  bd  a c  a  b  c  d  b d a  b  c  d  1 a c  1 b d  1ab cd           1 2ab cd  2ab cd  2ab cd  a  b c  d  (đpcm) a  c b  c Bài 3: Cho số thực dương a, b, c thỏa  Chứng minh c a  c   cb  c   ab Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức AM - GM, ta có: ca  c   cb  c  ab  c a  c  c b  c   a b a b  1c ac 1c bc       2b a  2a b   1c c 1c c  1    1   2b a 2a b  c a  c   cb  c   ab (đpcm) a  Chứng minh rằng: a b   b a   ab b  Bài 4: Cho số thực dương a, b thỏa  Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức AM - GM, ta có: a b   a ab  a  Tương tự: b a   a  ab  a   ab (1) 2 ab (2) Cộng theo vế (1) (2), ta được: a b   b a   ab (đpcm) Bài 5: Cho số thực dương a, b Chứng minh rằng: 16aba  b 2  a  b 4 Hướng dẫn giải 2 16aba  b   4.4ab a  b  2  4ab  a  b 2   a  b 2   4.   4.   a  b  (đpcm)     Bài 6: Cho số thực dương a, b Chứng minh rằng: ab  a b   a  b 1 b a Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức AM - GM, ta có: ab  a b  ab a   ab b   a b          b a  2b   2a   2b 2a  2 ab a ab b a b 2 2  a  b 1 2b 2a 2b 2a (đpcm) Bài 7: Chứng minh rằng: a Vì a,b  nên b  0, a b   , a,b  b a Hướng dẫn giải b 0 a Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có: a b a b  2 2 b a b a (đpcm) a Bài 8: Chứng minh rằng:  , a  a 1 Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có: a 1  a 1   a  1     (đpcm) a 1 a 1 a 1 Bài 9: Chứng minh rằng: a2  a2 1  , a  R Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có: a2  a2 1  a2 11 a2 1  a2 1  a2 1 2 a2 1 a2 1  (đpcm) Bài 10: Chứng minh rằng: 3a  , a   9a Hướng dẫn giải Với a  , áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có: 3a 1 1     (đpcm) 4 1 9a  9a  3a 2 3a 2  2 3a 3a 3a 3a 2  a2    , a  1 Bài 11: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A  a  1    a 1  Hướng dẫn giải  a  2a    A  a  1   a     a  12  1  a  1     a 1  2    a  1   a    a 1  2  2a  1  Cauchy a  1 2  2a  1 a  12 Dấu “=” xảy 2a  12  22 22 24 hay a  a  12 Vậy GTNN A  2  Bài 12: Chứng minh rằng: a   , a  b  b( a  b) Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có: a 1  b  a  b    33 b.a  b  3 ba  b  ba  b  ba  b  Bài 13: Cho ba số thực dương a, b, c CMR: bc ca ab    abc a c b Hướng dẫn giải Ta có: bc ca ab  bc ca   ca ab   ab bc              a b  2 b c  2 c b c 2 a a  bc ca ca ab ab bc    abc b c c a a b Bài 14: Cho ba số thực abc  CMR: a2 b2 c2 b c a      b2 c2 a2 a b c Hướng dẫn giải Ta có: a2 b2 c2  a2 b2      b c a 2  b c    b2 c2     a  2c   c2 a2     b  2a    a2 b2 b2 c2 c2 a2 b c a b c a         2 2 a b c a b c b c c a a b Bài 15: Cho ba số thực dương a, b, c thỏa abc  CMR bc ca ab    a  b  c 3 a b c Hướng dẫn giải  bc b  c c  a a  b bc ca ab ca ab            b c  a b c a b c  a  bc ca   ca ab   ab bc              b   b c   c a   a bc ca 2 a b 2 2  ca ab 2 b c   a b c  ab bc c a   a b c  a b c   a  b  c  33 a b c  a  b  c  Vậy bc ca ab    a  b  c 3 a b c Bài 16: Cho ba số thực dương a, b, c CMR: bc ca ab   6 b a c Hướng dẫn giải Ta có: bc ca ab  bc  ca  ab    1    1    1  3 a b c a   b   c   abc bca cab 3    a b c 1 1  a  b  c         a b c  Kỹ thuật chọn điểm rơi toán cực trị xảy biên Xét toán sau: Bài 1: Cho số thực a  Tìm giá trị nhỏ (GTNN) A  a  a Sai lầm thường gặp là: A  a  1  a  Vậy GTNN A a a Nguyên nhân sai lầm: GTNN A  a   a  vô lý theo giả thuyết a a  Lời giải đúng: A  a  a 3a a 3a 3.2    2   1  a a 4 a Dấu “=” xảy  a  hay a  a Vậy GTNN A Vì lại biết phân tích lời giải Đây kỹ thuật chọn điểm rơi bất đẳng thức Quay lại toán trên, dễ thấy a tăng A tăng Ta dự đốn A đạt GTNN a  Khi ta nói A đạt GTNN “Điểm rơi a  ” Ta áp dụng bất CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN đẳng thức AM - GM cho hai số a tách a khơng thỏa quy tắc dấu “=” Vì ta phải a để áp dụng bất đẳng thức AM - GM thỏa quy tắc dấu “=” Giả sử a  a 1 ta sử dụng bất đẳng thức AM - GM cho cặp số  ,  cho “Điểm rơi a  ”  a  a     , ta có sơ đồ sau: a         a  1   a a Khi đó: A  a  a 3a    ta có lời giải a 4 a  a 1 Lưu ý: Để giải tốn trên, ngồi cách chọn cặp số  ,  ta chọn các cặp số sau:  a  1       a,   a,   a,  a   a  a  Bài 2: Cho số thực a  Tìm giá trị nhỏ A  a  a2 Sơ đồ điểm rơi: a    a 2    8  1 1  a Sai lầm thường gặp là: A  Dấu “=” xảy  a  Vậy GTNN A a 7a a 7a   2   a a 8 7a   2a 7.2   2.2 Nguyên nhân sai lầm: Mặc dù GTNN A là đáp số cách giải mắc sai lầm đánh giá mẫu số: “ a    2a Lời giải đúng: A  sai” 2.2 a a 6a a a 6a 6.2     3.3     8 8 a 8 a Dấu “=” xảy  a  Vậy GTNN A Bài 1: Cho số thực dương a, b thỏa a  b  Tìm GTNN A  ab  Phân tích: Ta có: ab ab       Sơ đồ điểm rơi:  ab   1  4 ab      4  4 16 1 4  ab Giải: Ta có: ab ab        ab   A  16ab  17 1  15ab  16ab  15ab   15  4 ab ab ab Dấu “=” xảy  ab  Vậy GTNN A 1 ab 17 Bài 2: Cho số thực a  Tìm GTNN A  a  18 a Phân tích: Ta có : A  a  18 9  a2   a a a Dễ thấy a tăng A tăng Ta dự đốn A đạt GTNN a  Ta có sơ đồ  a 36   36     24 điểm rơi: a        9    a Giải: Ta có: A a 9 23a a 9 23a 23.36     33     39 24 a a 24 24 a a 24 24 Dấu “=” xảy  a2  a6 24 a Vậy GTNN A 39 Bài 3: Cho số thực dương a, b, c thỏa a  2b  3c  20 Tìm GTNN A  a  b  c    a 2b c Phân tích: Dự đốn GTNN A đạt a  2b  3c  20 ,tại điểm rơi a  2, b  3, c  Sơ đồ điểm rơi: a    a 2      3   a b     3 b 3     2  9 3  2b c     c4  1    4   c Giải:  3a   b   c A       a   2b   c  a b 3c     4 3a b c a  2b  3c 2 2  a 2b c      13 2 Dấu “=” xảy  a  2, b  3, c  Vậy GTNN A 13 ab  12 bc  Bài 4: Cho3 số thực dương a, b, c thỏa  1  121       ab bc ca  abc 12 Chứng minh rằng: a  b  c   2 Phân tích: ab  12 , điểm rơi a  3, b  4, c  bc  Dự đoán GTNN A đạt  Giải: a b a b    33  18 24 ab 18 24 ab a c a c    33 1 ca ca b c b c    33  16 bc 16 bc a c b a c b     44  12 abc 12 abc 13a 13b 13a 13b 13 13 13 12   2 2 18 24 18 24 24 18 13b 13c 13b 13c 13 13 13   2 2 48 24 48 24 48 24 Cộng theo vế bất đẳng thức ta được: 1  121  a  b  c   2      ab bc ca  abc 12  (đpcm)  Kỹ thuật chọn điểm rơi toán cực trị đạt tâm Xét toán sau: Bài toán: Cho số thực dương a, b thỏa a  b  Tìm GTNN A  a  b   a Sai lầm thường gặp là: A  a  b  1 1   4 a.b  Vậy GTNN A a b a b Nguyên nhân sai lầm: GTNN A  a  b  trái giả thuyết b 1   a  b  Khi a  b   a b Do A biểu thức đối xứng với a, b nên ta dự đoán GTNN A đạt a  b  a b   1  Sơ đồ điểm rơi: a  b     2   2  2 1    a b   Lời giải đúng: A   4a  4b  Dấu “=” xảy  a  b  Bài 1: 1 1    3a  3b  44 4a 4b  3a  b     a b a b Vậy GTNN A Cho số thực dương a, b, c thỏa a  b  c  Tìm GTNN A  a  b  c  1   a b c Phân tích: Do A biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán GTNN A đạt abc Sơ đồ điểm rơi: a b c     1    2 abc    2  2 1     a b c Giải: 1 1  A   4a  4b  4c      3a  3b  3c a b c  1  66 4a.4b.4c  3a  b  c  a b c 13  12   2 Dấu “=” xảy  a  b  c  Bài 2: 13 Vậy GTNN A 2 Cho số thực dương a, b, c thỏa a  b  c  Tìm GTNN A  a  b  c  1   a b c Phân tích: Do A biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán GTNN A đạt abc  a  b2  c2   1  Sơ đồ điểm rơi: a  b  c       8  1    a b c  Giải: 1 1 1 3  A  a2  b2  c2          8a 8b 8c 8a 8b 8c  4a 4b 4c  1 1 1 31 1      8a 8b 8c 8a 8b 8c  a b c  9 9 27        4 abc 4 a  b  c 4  99 a b c Dấu “=” xảy  a  b  c  Vậy GTNN A Bài 3: 27 Cho số thực dương a, b Tìm GTNN A  ab ab  ab ab Phân tích: Do A biểu thức đối xứng với a, b nên ta dự đoán GTNN A đạt a  b Sơ đồ điểm rơi: 2a  ab  ab  a    ab       ab  a   a  b 2a Giải:  ab ab  3a  b  ab ab 3.2 ab   2   1  A    2 ab a  b ab  ab a  b  ab Dấu “=” xảy  a  b Vậy GTNN A Bài 4: Cho số thực dương a, b, c Tìm GTNN A  a b c bc ca ab      bc ca ab a b c Phân tích: Do A biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán GTNN A đạt a  b  c Sơ đồ điểm rơi: b c  a     b  c c  a a  b 2 abc      b  c  c  a  a  b   a b c  Giải: b c bc ca a b 3bc c a a b  a        A    4a 4b 4c   a b c  bc c  a ab  66 a b c bc ca ab 3b c c a a b         b  c c  a a  b 4a 4b 4c 4a a b b c c b c c a a b 15   6.6    a a b b c c 2 Dấu “=” xảy  a  b  c Vậy GTNN A Bài 5: 15 Cho số thực dương a, b thỏa a  b  Tìm GTNN : A  1  2ab a b Phân tích: Do A biểu thức đối xứng với a, b nên ta dự đoán GTNN A đạt a  b    a  b  Sơ đồ điểm rơi: a  b     2        2  2ab Giải: A 1  2 2ab a b 1  2  4 2 a  b 2ab a  b  2ab a  b 2   a  b  2ab Dấu “=” xảy   a  b  ab Vậy GTNN A Bài 6: Cho số thực dương a, b thỏa a  b  Tìm GTNN A  1 a  b  2ab Phân tích: Do A biểu thức đối xứng với a, b nên ta dự đoán GTNN A đạt a  b    2  2    3 Sơ đồ điểm rơi: a  b   1  a  b     2ab  Giải: A 1 a  b 2   2  1  6ab 3ab 1   a  b 6ab 3ab   1    2  a  b  6ab 3ab a  b    4ab 3ab 2 a  b 2   4 a  b     4  2 2a  b   3a  b   ab 3    2   Do ab   a  b           4   2.1  3.1 1  a  b  6ab  ab Dấu “=” xảy  a  b a  b   Vậy GTNN A Bài 7: Cho số thực dương a, b thỏa a  b  Tìm GTNN A  1   4ab a b ab Phân tích: Do A biểu thức đối xứng với a, b nên ta dự đoán GTNN A đạt a  b    a  b   2   Sơ đồ điểm rơi: a  b       ab  4ab  1  ab  1         ab  Giải: 1 1   4ab   2ab 4ab 4ab a b 1 2  4ab  2 4ab 4ab a  b 2ab A    2 a  b  2ab 2  2 4ab a  b  4ab 2   Do ab   a  b       2 2 a  b ab 4      a  b 2     2 27 a  b  2ab  4ab  1 Dấu “=” xảy   ab 4ab a  b  a  b  Vậy GTNN A  BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Cho x  , chứng minh rằng: a) x  x1 1 ; b) x5 x4 2 Bài 2: Cho a , b, c  , chứng minh rằng: a)  a  b  b  c  c  a   8abc ; b) a 2b  3c 1  2b  3c 4a Bài 3: Chứng minh rằng: 200      10  2 200 Bài 4: Chứng minh rằng: S  1  3  5   79  80 4 Bài 5: Cho a  , b  Chứng minh rằng: a b   b a   ab Bài 6: Cho a , b, c  thỏa mãn điều kiện a  c ; b  c Chứng minh c  a  c   c  b  c   ab HẾT ... 94 E HÀM SỐ BẬC NHẤT 95 95  BÀI TẬP 96  BÀI TẬP TỰ LUYỆN 102 F HÀM SỐ BẬC HAI 104  KIẾN THỨC CẦN NHỚ 104  BÀI... 3)  a 3 a 3 a 9 a 2 11  a 9 a  3)( a  3) 11  Z  11 ( a  9)  ( a  9)  U (11) a 9 Để B  Z  U (11)  1;11; 1; 11 Khi ta có bảng giá trị a 9 -11 -1 11 a -2 10 20 Không thoả...  4 5 6   6  5 2 6 2 6 52 c) C    1 1     1 2 3 99  100   1    3        100  99  d) D  1  74   44 3   (2  3) 2 2 2  2 2 2  2  2