Chuyên đề toán thực tế ôn thi vào lớp 10

T SÁCH LUY N THI CHUYÊN Đ TOÁN TH C T LUY N THI VÀO L P 10 CHUYÊN ĐỀ:CÁC BÀI TỐN THỰC TẾ HÌNH HỌC §1 ĐỊNH LÍ PYTHAGORE VÀ NHỮNG ỨNG DỤNG TRONG CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ A KIẾN THỨC LIÊN QUAN Định lí Pythagore định lí quan trọng tất định lí khoa học nói chung hình học nói riêng Định lý Pythagore đơn giản lí thú Nhiều nhà khoa học cam đoan có người sống hành tinh khác định lí hình học có giá trị mà họ tìm định lí Pythagore Đã có dự án đề nghị xây dựng cơng trình tường xanh tạo thành tam giác vng có ba cạnh 3, khổng lồ cánh đồng lớn để liên lạc với người Trái Đất Ngày 08 tháng 09 năm 1977, hai tàu thăm dò Voyager Mỹ phóng lên vũ trụ mang theo hình vẽ biểu diễn định lí Pythagore Pythagore nhà hiền triết người Hy Lạp sống khoảng 500 năm trước công nguyên Sau người ta phát định lí Pythagore biết đến trước từ lâu văn minh cổ đại giới Điển hình số nhà khảo cổ tìm thấy bảng đất sét nung văn minh Babilon nghìn năm trước Pythagore có hình vẽ khác tam giác vng có cạnh thể định lí Trong văn tự Ấn Độ cổ đại khoảng 1500 năm trước Công nguyên có phần quan trọng gọi Sulbasutras nói việc đo đạc thiết kế đền thờ Ở phần tìm thấy định lí b= a Pythagore dạng: Diện tích hình vng có cạnh cạnh huyền tam giác vng tổng diện tích hai hình vng a tổng diện tích hai hình vng có cạnh hai cạnh bên tam giác vng B VÍ DỤ MINH HOẠ ỨNG DỤNG TOÁN HỌC VÀO BÀI TOÁN THỰC TẾ PHƢƠNG PHÁP GIẢI - Sử dụng cơng thức Pythagore để tìm cạnh góc vng cạnh huyền từ hai cạnh lại: c - a2 b ( c cạnh huyền, a, b cạnh góc vng) Rút kết luận tốn Ví dụ Đỉnh Từ đỉnh có treo dây thả xuống đất thừa đoạn có độ dài d Nếu kéo căng dây đầu dây chạm đất khoảng cách b so với gốc Hãy tìm độ dài dây Nếu có độ dài a có tốn tính độ dài c cạnh huyền tam giác vuông có cạnh bên c c Gốc d b Liên hệ file word zalo: 039.373.2038 a c d b Theo định lí Pythagore ta có: (c d )2 b2 c2 Từ suy ra: c b2 d2 2d Ngọn t re Ví dụ Có tre có độ cao a Khi gãy tre chạm đất c khoảng cách b so với gốc tre Hãy tìm độ cao chỗ tre d Chỗ gãy c a Ta phải tính cạnh a tam giác vng có cạnh bên b cạnh huyền c d a Theo định lí Pythagore ta có: a Từ suy ra: a d2 b2 2d b2 (d a )2 Gốc t re b Ví dụ Có ao hình vng, cạnh dài 3, 33 m, ao có sậy nhơ lên khỏi mặt nước vừa 0, 33 m, kéo sậy vào bờ chọn vừa chạm mặt nước Hỏi độ sau A nước sậy cao bao nhiêu? Giả sử chiều rộng ao ED E 2a 3, 33 (m), c-b C D a C trung điểm ED nên: DC a b 1, 665 (m) c Chiều cao sậy mặt ao AB , phần nhô khỏi mặt nước AC 0, 33 (m) Mà AB BD , giả sử BD c , độ sâu nước BC BCD tam giác vuông Rõ ràng AC AB b , tam giác BC c b 0, 33 (m) B Độ dài AC hiệu đường huyền với cạnh dài góc vng Vậy tốn quy việc tính chiều dài cạnh huyền cạnh góc vng lớn tam giác vng biết cạnh góc vng bé hiệu cạnh huyền cạnh góc vng lớn Từ định lí Pythagore, ta có: a2 2bc a2 c2 b2 (c b)2 c2 b2 c2 b2 (c 2bc (c b)2 b2 ) 2b 2b(c b) Vì b a2 c Liên hệ file word zalo: 039.373.2038 (c b)2 2(c b) b (c (1) b) (2) Đem giá trị a, c b thay vào hai cơng thức (1) (2) dễ dàng tính độ sâu nước là: b 1, 6652 0, 332 2.0, 33 Độ cao sậy là: c 2, 772225 0,1089 0, 66 4, 035 0, 33 4, 035 (m) 4, 365 (m) C LỜI BÌNH Định lí Pythagore định lí hình học nói riêng khoa học nói chung có nhiều cách chứng minh Theo thống kê, đến có 385 cách giải Nhiều trị gia lỗi lạc Tổng thống Hoa kỳ James Garfiel tham gia tìm cách chứng minh định lí Ở bậc học cao hơn, người ta dùng Vật lí học để chứng minh định lí Pythagore Định lí Pythagore xuất mơn phi-Euclide, hình học giả Euclide, phương trình vi phân, Đại số tuyến tính, < Hầu lĩnh vực quan trọng người ta thấy bóng dáng định lí Pythagore Qua minh chứng tầm quan trọng định lí Pythagore lĩnh vực khoa học đời sống D BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài tốn Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác có cạnh 50, 50, 60 Bài tốn Dựng hình vng có diện tích diện tích hình chữ nhật cho trước E ĐÁP SỐ VÀ HƢỚNG DẪN GIẢI A Bài toán Theo định lí Pythagore, ta có: AD2 Do DC AC BC : AD 502 DC 30 , nên: 302 O D B 40 C Ta lại có: OC Do đó: OC DC (AD OA)2 DC AD 2ADOC DC AD2 2AD 302 402 2.40 OC 125 D Bài tốn E Cho hình chữ nhật ABCD Ta vẽ hình chữ vng ABKH M F W hình chữ nhật ABCD Sau xác định trung điểm E M DH CK C H Dựng hình vng AEFJ qua M Lấy J làm tâm vẽ đường tròn có bán kính JF cắt BM W Hình vng có cạnh BW có diện tích diện tích ABCD theo định lí Pythagore ta có: BW JW JF Liên hệ file word zalo: 039.373.2038 BJ KM A B J (JF BJ )(JF KM) AB.BC §2 HỆ THỨC GIỮA CÁC CẠNH VÀ CÁC GĨC CỦA MỘT TAM GIÁC VNG A A KIẾN THỨC LIÊN QUAN b c Trong tam giác vng, cạnh góc vng bằng: - Cạnh huyền nhân với sin góc đối hay nhân với cơsin góc kề.B - Cạnh góc vng nhân với tang góc đối hay nhân với a cơtang góc kề B VÍ DỤ MINH HOẠ ỨNG DỤNG TỐN HỌC VÀO BÀI TOÁN THỰC TẾ PHƢƠNG PHÁP GIẢI - Sử dụng hệ thức lượng tam giác vng cách thích hợp như: ( - sin canhdoi ; cos canhhuyen canhke canhhuyen tan canhdoi ; cotan canhke canhke canhdoi góc nhọn tam giác vng) Từ rút kết luận tốn Ví dụ Một cột điện có bóng mặt đất dài 7, m, tia sáng mặt trời tạo với mặt đất góc xấp xỉ 420 Tính chiều cao cột đèn Liên hệ file word zalo: 039.373.2038 C Gọi chiều cao cột đèn AB , bóng mặt đất AC 900 Ta có BAC 420 Theo giả thiết, ta có BCA Áp dụng tỉ số lượng giác tam giác ABC vuông A , ta có: AB AC tan BCA AB AC tan BCA 7, tan 420 6, 75 (cm) Vậy chiều cao cột đèn 6, 75 (cm) Ví dụ Ở độ cao 920 m, từ máy bay trực thăng người ta nhìn hai điểm D,C hai đầu cầu góc so với đường vng góc với 370 , mặt đất góc 310 Tính chiều dài CD cầu (hình vẽ) Gọi A vị trí trực thăng, B chân đường vng góc hạ từ A xuống mặt đất C D hai điểm đầu cầu Ta có BD AB tan BAD BD AB tan BAD 920.0, 754 920 tan 370 693, 68 (m) Mặt khác BC AB tan BAC BC AB tan BAC 920 tan 310 920.0, 552 (m) Vậy chiều dài cầu là: CD BD BC 693, 68 552 141, 68 (m) C LỜI BÌNH Hệ thức lượng tam giác vng chủ đề hay quan trọng chương trình tốn phổ thơng Nó có nhiều ứng dụng thực tế Bài viết cần trao đổi thêm? Mong chia sẻ bạn D BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài tốn Cho tam giác ABC vng A , đường cao AH Tính sin B, sin C ứng với trường hợp sau: a) AB 10cm; BH 6cm A b) BH 5cm, AH A 10 12 B 12cm H Liên hệ file word zalo: 039.373.2038 B H C Bài toán Cho tam giác vng ABC vng A Tính sin B, tan B trường hợp sau: a) AB BC 12 ; 13 b) AB AC 15 E ĐÁP ÁN VÀ HƢỚNG DẪN GIẢI Bài toán a) Ta có: AH AB Vậy AH (cm) 64 BH Do sin B AH AB 10 AH AB AC AC AH AB Ta có: 6400 36 Vậy AC 102 62 100 36 64 AB AH AH AB 80 102 82 102.82 36 6400 13, (cm) Theo định lí Pythagore, ta có: BC AB Suy BC AC 276, 89 13, 32 276, 89 16, 64 (cm) AB BC Vì vậy: sin C 102 10 16, 64 0, b) Áp dụng định lí Pythagore tam giác vng AHB vng H , ta có: AB AH Do AB 169 AH AC AH 52 144 25 169 13 (cm) AB Vậy AC 122 AH AB Suy ra: sin B Ta có BH 12 13 AC AB AH AH AB AB 24336 25 132 122 132.122 25 24336 31, (cm) Áp dụng định lí Pythagore tam giác AHC vng H : HC AC Vậy HC 829, 44 Ta có: BC BH Vậy: sin C AB BC AH 31, 22 122 829, 44 A 28, (cm) HC 28, 13 33, Liên hệ file word zalo: 039.373.2038 33, (cm) B H Bài tốn AB BC a) Ta có: cos B 12 13 Áp dụng công thức sin2 B cos2 B sin B , ta được: cos B Mặt khác, tan B b) AB AC 25 169 Từ đó, ta có: sin B 12 13 144 169 (do sin B 13 13 12 13 sin B cos B 15 25 169 0) 13 A C Ta có: cotanB AB AC H 15 B tan B cotanB 15 8 15 Theo công thức lượng giác, ta được: sin2 B cotan B Từ đây, suy ra: sin B 15 64 289 225 64 (do sin B 17 289 64 ) §3 ĐỊNH LÍ THALES TRONG CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ A KIẾN THỨC LIÊN QUAN Những kỷ cuối thiên niên kỉ thứ hai trước Công nguyên chứng kiến nhiều biến đổi kinh tế trị Một vài văn minh biến mất, quyền lực Ai Cập Babylon đến ngày suy tàn dân tộc người Do Thái, người Assiri, người Phenixi, người Hy Lạp vượt lên Thời đại đồ sắt bắt đầu kéo theo đổi thay chiến tranh nghề cần phải công cụ Đã phát minh vần chữ xuất tiền kim loại Thương mại khơng ngừng khuyến khích Liên hệ file word zalo: 039.373.2038 nhiều khám phá địa lý thực Thế giới sẵn sàng cho kiểu văn minh Nền văn minh xuất thành phố thương mại chạy dài dọc theo bờ biển Tiểu Á sau lãnh thổ Hy Lạp, vùng biển Italia Cái nhìn tĩnh phương đơng cổ đại trở nên phủ nhận bầu khơng khí phát triển chủ nghĩa lý, người ta bắt đầu hỏi Ở thời gian đầu, toán học lĩnh vực khác, người ta bắt đầu đặt câu hỏi có tính chất “Tại góc đáy tam giác cân lại nhau?” “Tại đường kính lại chia đơi đường tròn?” Những q trình thực nghiệm phương đơng cổ đại hồn tồn đủ để trả lời câu hỏi làm không đủ để trả lời câu hỏi có tính chất khoa học từ Ít nhiều cố gắng phương pháp chứng minh để tự khẳng định khía cạnh suy diễn mà học giả ngày coi đặc trưng toán học thấy xuất Có thể tốn học có ý nghĩa từ này, đời không khí chủ nghĩa lý đô thị thương mại nằm vùng bờ biển phía tây Tiểu Á Theo lời truyền lại hình học chứng minh bắt đầu với Thales vùng Miletus, “bảy nhà thông thái” thời đại khoảng thời gian nửa đầu kỷ XV trước Công nguyên Theo nhà nghiên cứu lịch sử, phần đầu đời Thales nhà bn trở nên giàu có để qng đời sau đời dành cho việc nghiên cứu học tập du lịch Ông thiên tài nhiều mặt khách, người cố vấn, kỹ sư, doanh nghiệp, nhà triết học, toán học thiên văn học Thales người biết đến với khám phá tốn học Trong hình học ơng công nhận đưa kết sau đây: - Một đường tròn chia đơi đường kính - Hai góc đáy tam giác cân - Các góc đối đỉnh - Hai tam giác theo trường hợp góc cạnh góc Thales coi người đoán tượng nhật thực vào năm 585 B VÍ DỤ MINH HOẠ ỨNG DỤNG TOÁN HỌC VÀO BÀI TOÁN THỰC TẾ PHƢƠNG PHÁP GIẢI - Sử dụng tỉ số hai tam giác đồng dạng ABC - Rút kết luận tốn Ví dụ Làm đo độ cao kim tự tháp? Liên hệ file word zalo: 039.373.2038 ABC AB AC AB AC Kim tự tháp cơng trình kiến trúc cổ hùng vĩ phần mộ vua chúa Ai Cập cổ đại Hơn 2600 năm trước, có vương quốc Ai Cập muốn biết độ cao thực kim tự tháp bao nhiêu, chẳng đo Cho người trèo lên đỉnh tháp? Rõ ràng khơng thể tháp nghiêng, có trèo lên chẳng biết dùng cách để đo Thales cho người giúp Quốc Vương đo chiều cao kim tự tháp Thales chọn ngày đẹp trời, mời Quốc Vương quan trọng triều hành lễ đo tháp Người đến xem đông, chen chúc nhau, bàn tán vào sôi Nhưng thời gian trôi đi, mặt trời chiếu xuống Kim tự tháp đám người mà chưa thấy Thales có động tĩnh Mãi thấy bóng người chiều cao ơng, ơng phát lệnh đo tháp Lúc đó, người giúp việc đo độ dài bóng Kim tự tháp DB (hình vẽ trên) Sau đó, ơng đưa chiều cao Kim tự tháp cách chuẩn xác Thales làm để đo chiều cao Kim tự tháp? Ông phải chờ tới độ dài bóng người ơng độ cao ơng đo, lúc tia nắng mặt trời người ơng tạo thành góc 450 Tức CBA 450 ACB 900 , BAC 450 Lúc ấy, điểm đỉnh Kim tự tháp với điểm trung tâm Kim tự tháp điểm cuối bóng Kim tự tháp tạo thành tam giác vng cân, đương nhiên hai cạnh bên AC CB Nửa độ dài Kim tự tháp đoạn CD (đã ơng đo trước, độ dài đoạn bóng Kim tự tháp DB ơng nhờ trợ lý đo Cuối việc cộng lại hai đoạn CD DB lại chiều cao Kim tự tháp Ví dụ Làm để đo chiều cao cây? Cách (Phương pháp dùng gậy – nằm mặt đất) Liên hệ file word zalo: 039.373.2038 Xét ba đội bóng tuỳ ý, ln có đội bóng nhóm Như ba đội bóng bất kì, có hai đội thi đấu với Bài toán (Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên Kiên Giang 2012 – 2013) Một phòng họp có 360 chỗ ngồi chia thành dãy có số chỗ ngồi Nếu thêm cho dãy chỗ ngồi bớt dãy số chỗ ngồi phòng khơng thay đổi Hỏi ban đầu số chỗ ngồi phòng họp chia thành dãy? Gọi x (dãy) số ghế lúc đầu chia từ số chỗ ngồi phòng họp N * x Điều kiện: x 360 (chỗ) x Số chỗ ngồi dãy lúc đầu: Do thêm cho dãy chỗ ngồi va bớt dãy số chỗ ngồi phòng khơng thay đổi nên ta có phương trình: 360 x (x 3) x2 360 3x 270 x x 18 15 Vậy lúc đầu số chỗ ngồi phòng họp chia thành 18 dãy §3 CÁC ĐỀ THI NĂM HỌC 2013 – 2014 Bài toán (Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT, Tỉnh Ninh Bình 2013 – 2014) Giải tốn sau cách lập phương trình: Quãng đường từ A đến B dài 90 km Một người xe máy từ A đến B Khi đến B , người nghỉ 30 phút quay trở A với vận tốc lớn vận tốc lúc km/h Thời gian kể từ lúc bắt đầu từ A đến lúc trở đến A h Tính vận tốc xe máy lúc từ A đến B Gọi vận tốc xe máy lúc từ A đến B x (km/h) Vận tốc xe máy từ B đến A là: x (km/h) Thời gian xe máy từ B đến A là: 90 : x 90 (h) x Tổng thời gian xe máy từ A đến B , từ B A (không kể thời gian nghỉ) là: - 30 phút (giờ) Ta có phương trình: 90 x 90 9 20(x 9) 20x 20x 180 x x2 31x 961 Vậy x1 31 41 10 x 720 x x(x 9) x2 9x 20x 180 10 1681, 36 (nhận), x 2 41 31 41 (loại) Vậy vận tốc xe máy lúc từ A đến B 36 km/h Liên hệ file word zalo: 039.373.2038 Bài toán (Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT, Tỉnh Quảng Ninh 2013 - 2014) Một tổ công nhân dự định làm xong 240 sản phẩm thời gian định Nhưng thực hiện, nhờ cải tiến kĩ thuật nên ngày tổ làm tăng thêm 10 sản phẩm so với dự định Do tổ hồn thành sớm cơng việc sớm dự định ngày Hỏi thực hiện, ngày tổ làm sản phẩm? Gọi số sản phẩm ngày tổ làm x (sản phẩm) (Điều kiện x Số sản phẩm ngày tổ dự định làm x 0, x N ) 10 (sản phẩm) Thời gian tổ hồn thành cơng việc theo dự định là: 240 : (x 240 (ngày) x 10 10) 240 (ngày) x Thời gian tổ hồn thành cơng việc theo thực tế là: 240 : x Theo giả thiết, ta có phương trình: 240 240 x 10 x 240x 240(x 10) 2x(x 10) 240x 2400 2x 20x 240x 2x x2 20x 10x 25 Vậy x1 35 2400 1200 1200 0 1225, 35 40 (sản phẩm), x 35 30 (loại) Vậy số sản phẩm ngày tổ làm 40 sản phẩm Bài toán (Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT, Tỉnh Nghệ An 2013 - 2014) Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi 100 m Nếu tăng chiều rộng m giảm chiều dài m diện tích mảnh vườn giảm xuống m Tính diện tích mảnh vườn Gọi chiều rộng mảnh vườn x (m) (điều kiện Chiều dài mảnh vườn là: 100 : x x 25 ) x (m) 50 x ) (m ) Diện tích mảnh vườn là: x (50 Chiều rộng mảnh vườn tăng thêm m là: x Chiều dài mảnh vườn giảm m là: 50 x Diện tích mảnh vườn là: (x 3)(46 (m) 46 x (m) x ) (m ) Theo giả thiết ta có phương trình: x x(50 x) (x 50x x2 46x x2 7x 140 x 20 3)(46 x) 138 3x 20 thỏa mãn điều kiện Vậy chiều rộng mảnh vườn 20 (m) Chiều dài mảnh vườn là: 50 20 Diện tích mảnh vườn là: 20.30 Liên hệ file word zalo: 039.373.2038 30 (m) 600 (m ) Bài toán (Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT, Chuyên toán PTNK ĐHQG TP HCM 2013 - 2014) Có hai vòi nước A, B cung cấp cho hồ cạn nước vòi C (đặt sát đáy hồ) lấy nước từ hồ cung cấp cho hệ thống tưới Đúng vòi A B mở; đến vòi C mở; đến sống vòi B vòi C ; đến 10 45 phút hồ đầy nước Người ta thấy đóng vòi B từ đầu phải đến 13 hồ đầy Biết lưu lượng vòi B trung bình cộng vòi A vòi C , hỏi vòi C tháo cạn hồ nước đầy bao lâu? 43 (giờ) 10 45 phút Gọi thời gian để vòi A, B chảy riêng vào đầy bể x (giờ), y (giờ), thời gian để vòi C tháo cạn hồ nước đầy z (giờ) (Điều kiện x, y, z ) 1 (hồ), vòi B chảy vào (hồ), vòi C tháo (hồ) y z x Trong vòi A chảy vào Đúng giờ, A B mở, đến C mở, đến đóng B,C , đến 10 45 phút hồ đầy Ta có: 43 x (9 6) y (9 7) z 19 4x y z (1) Nếu đóng B từ đầu đến 13 (h) hồ đầy nên (13 6) x (9 7) z x z (2) Lưu lượng vòi B trung bình cộng lưu lượng vòi A vòi C nên: y 1 x 19 4x z (3) Từ (1), (2), (3) ta có: 19 4x y x z y y x z z 1 x z 1 2 x z z x z 1 1 y x z 25 4x 2z 4x 2z 1 y x 1 z 12 Vậy vòi C tháo cạn hồn nước đầy 12 Bài toán (Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT, Chuyên toán tỉnh Bắc Ninh 2013 - 2014) Một người xe đạp từ A đến B cách 36 km Khi từ B trở A , người tăng vận tốc thêm km/h, thời gian thời gian 36 phút Tính vận tốc người xe đạp từ A đến B Gọi x (km/h) vận tốc người xe đạp từ A đến B (x Thời gian người xe đạp từ A đến B Liên hệ file word zalo: 039.373.2038 36 x 0) Vận tốc người xe đạp từ B đến A x Thời gian người xe đạp từ B đến A Theo giả thiết ta có phương trình: 36 x Giải phương trình ta hai nghiệm 36 x x 36 x 36 60 x 12 15(loai ) Vậy vận tốc người xe đạp từ A đến B 12 (km/h) Bài toán (Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT, Chun tốn tỉnh Bình Thuận 2013 - 2014) Trên quãng đường AB dài 60 km, người thứ xe máy từ A đến B , người thứ hai xe đạp từ B đến A Họ khởi hành lúc gặp C sau khởi hành 20 phút Từ C người thứ tiếp đến B người thứ hai tiếp đến A Kết người thứ đến nơi sớm người thứ hai Tính vận tốc người, biết suốt quãng đường hai người với vận tốc không đổi Gọi vận tốc người thứ x km/h, (x Gọi vận tốc người thứ hai y km/h, (y Đổi 20 phút (x y) x x Giải hệ phương trình ta được: x 30, y 0) x 60 Theo giả thiết ta có hệ phương trình: 60 0) y y 45 45 60 y 15 Vậy vận tốc người thứ 30 (km/h), vận tốc người thứ hai 15 (km/h) Bài toán (Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT, Chuyên toán PTNK ĐHQG TP HCM 2013 - 2014) Trong kì thi, 60 thí sinh phải giải tốn Khi kết thúc kì thi, người ta nhận thấy rằng: với hai thí sinh ln có tốn mà hai thí sinh giải Chứng minh rằng: a) Nếu có tốn mà thí sinh khơng đạt giải phải có tốn khác mà thí sinh giải b) Có tốn mà có nhấ 40 thí sinh giải Gọi ba toán A, B,C a) Khơng tính tổng qt, giả sử thí sinh khơng giải tốn A - Nếu thí sinh khơng giải tốn B từ giả thiết ta có thí sinh giải toán C - Nếu thí sinh giải tốn B tốn C ta có thí sinh giải toán B , toán C - Nếu có thí sinh giải toán, giả sử giải toán B Xét học sinh với tất học sinh lại Theo giả thiết, có thí sinh giải tốn B Vậy có tốn mà thí sinh khơng giải phải có tốn khác mà thí sinh giải Liên hệ file word zalo: 039.373.2038 b) Theo giả thiết ta có thí sinh giải tốn Nếu có thí sinh giải toán, xét học sinh với tất học sinh lại, ta có thí sinh giải tốn Ta xét trường hợp mà thí sinh giải hai tốn Gọi số thí sinh giải A, B mà không giải C x , số thí sinh giải B,C mà khơng giải A y , số thí sinh giải A,C mà không giải B z , số thí sinh giải A, B,C (x, y, z, t Ta có: x y z t 60 N) (1) Cách Giả sử có điều trái với kết luận tốn Ta có: x z Do đó: x t z 2(x 40; x t y x z Kết hợp (1) có t y y t) t t t 40; y y z z t t 40 40 40 40 120 Điều vơ lí! Điều giả sử sai Vậy có tốn mà có 40 thí sinh giải Cách Ta có số học sinh không giải A y , không giải B z , không giải C x Nếu x 20, y 20, z 20 x y z 60 Mâu thuẫn (1) Do ba số x, y, z phải có số khơng vượt q 20 Như có tốn mà có nhiều 20 thí sinh khơng giải Do tốn có 40 thí sinh giải Vậy có tốn mà có 40 thí sinh giải §3 CÁC ĐỀ THI NĂM 2014 - 2015 Bài toán (Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT, Tỉnh Nghệ An 2014 - 2015) Một ô tô xe máy hai địa điểm A B cách 180 km, khởi hành lúc ngược chiều gặp sau Biết vận tốc ô tô lớn vận tốc xe máy 10 km/h Tính vận tốc xe Gọi vận tốc ô tô x (km/h) Vận tốc xe máy y (km/h) (Điều kiện: x Ta có phương trình: x y 10 y 0, x 10 ) (1) Sau gờ ô tô quãng đường 2x (km) Sau xe máy quãng đường 2y (km) chúng gặp nhau, ta có phương trình: 2x 2y 180 hay x y 90 (2) Từ (1) (2) ta có hệ phương trình: x y 10 x 50 x y 90 y 40 Vậy vận tốc ô tô 50 km/h vận tốc xe máy là: 40 km/h Bài toán (Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT, Thành phố Hà Nội 2014 - 2015) Liên hệ file word zalo: 039.373.2038 Một phân xưởng theo kế hoạch cần phải sản xuất 1100 sản phẩm số ngày quy định Do ngày phân xưởng sản xuất vượt mức sản phẩm phân xưởng hoàn thành kế hoạch sớm thời gian quy định ngày Hỏi theo kế hoạch, ngày phân xưởng phải sản xuất sản phẩm? Gọi số sản phẩm phân xưởng làm ngày theo kế hoạch x (sản phẩm) (Điều kiện: x N *) Số sản phẩm phân xưởng làm ngày theo thực tế x (sản phẩm) Theo kế hoạch phân xưởng sản xuất 1100 sản phẩm 1100 (ngày) x 1100 : x Thực tế phân xưởng hoàn thành kế hoạch trong: 1100 : (x 1100 (ngày) x 5) Theo giả thiết, ta có phương trình: 1100 x 1100 x 25 550(x 11020 5) 550x 11025, Giải phương trình ta x1 105 5) 105 50 (nhận); x2 x (x 105 55 (loại) Vậy theo kế hoạch ngày phân xưởng làm 50 sản phẩm Bài toán (Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT, Tỉnh Bình Phước 2014 - 2015) Cho mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích 360 m Nếu tăng chiều rộng m giảm chiều dài m diện tích khơng thay đổi Tính chu vi mảnh vườn lúc ban đầu Gọi chiều rộng mảnh vườn x (m) (điều kiện x 0) 360 (m) x Chiều dài mảnh vườn là: 360 : x Chiều rộng mảnh vườn sau tăng m là: x Chiều dài mảnh vườn sau giảm m là: (m) 360 x (m) Diện tích mảnh vườn tăng chiều rộng m giảm chiều dài m là: (x (m ) Theo giả thiết ta có phương trình: (x 2) Vậy x1 360 x 120 11 360 121, 6x 720 x2 11 10 (nhận), x Liên hệ file word zalo: 039.373.2038 12x 11 12 (loại) 2x 120 2)( 360 x 6) Chiều rộng mảnh vườn 10 m 360 10 Chiều dài mảnh vườn Chu vi mảnh vườn là: (10 36 (m) 36).2 92 (m) Bài toán (Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT, Chuyên ĐHSP Hà Nội 2014 - 2015) Cho quãng đường AB dài 120 km Lúc sáng, xe máy từ A đến B Đi quãng đường xe bị hỏng phải dừng lại sửa 10 phút tiếp đến B với vận tốc nhỏ vận tốc lúc đầu 10 km/h Biết xe máy đến B lúc 11 40 phút trưa ngày Giả sử vận tốc xe máy quãng đường ban đầu không thay đổi vận tốc xe máy quãng đường lại 4 không thay đổi Hỏi xe máy bị hỏng lúc giờ? Gọi C vị trí xe máy bị hỏng Quãng đường AC dài là: 120 Quãng đường CB dài là: 120 90 (km) 90 30 (km) Gọi vận tốc xe máy quãng đường AC là: x (km/h) (Điều kiện x Vận tốc xe máy quãng đường CB x 10 ) 10 (km) Thời gian xe máy quãng đường AC 90 : x 90 x Thời gian xe máy quãng đường CB 30 : (x Đổi 10 phút 30 (h) x 10 10) (h) Thời gian xe máy từ A đến B (kể thời gian sửa xe) là: 14 (h) 11 40 phút - Theo giả thiết, ta có phương trình: 90 x 30 x 10 3x 110x 3025 x1 55 14 600 1800 35 1225, 30 (nhận), x 35 55 35 20 (loại) Vận tốc xe máy quãng đường AC 30 (km/h) Thời gian xe máy từ A đến C Vậy xe máy bị hỏng lúc: 90 30 (h) 10 (h) (trưa ngày) Bài toán (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 (chung) chuyên khiếu TP HCM 2014 - 2015) Liên hệ file word zalo: 039.373.2038 Tổng kết học kì II, trường trung học sở N có 60 học sinh khơng đạt học sinh giỏi, có em đạt học sinh giỏi học kì I; số học sinh giỏi học kì II 40 số học sinh giỏi học kì I có 37 8% số học sinh trường khơng đạt học sinh giỏi học kì I đạt học sinh giỏi học kì II Tìm số học sinh giỏi học kì II trường biết số học sinh trường không thay đổi suốt năm học Gọi x số học sinh trường (x N, x 60) Khi đó, số học sinh giỏi học kì II x 60 Số học sinh giỏi học kì I x 8%x 60 23 x 25 54 Theo giả thiết, ta có phương trình: x 60 40 23 x 37 25 x 185 54 Vậy số học sinh giỏi học kì II là: 300 60 60 37 x 300 (thỏa) 240 (học sinh) Bài toán (Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT, Chuyên tỉnh Long An 2014 - 2015) Kì thi tuyển sinh vào trường THPT chuyên Long An năm có 529 học sinh đến từ 16 địa phương khác tham dự Gỉa sử điểm thi mơn Tốn học sinh số nguyên dương lớn bé 10 Chứng minh ln tìm học sinh có điểm mơn Tốn giống đến từ địa phương Ta có 529 học sinh có điểm thi điểm đến 10 điểm Theo nguyên lí Dirichlet ta có 89 học sinh có điểm thi (từ điểm đến 10 điểm) Ta có 89 học sinh có điểm thi đến từ 16 địa phương Theo ngun lí Dirichlet tìm em có điểm thi mơn tốn đến từ địa phương Bài toán (Đề thi tuyển sinh lớp 10 - Thành phố Huế 2014 - 2015) Một xơ I - nốc có dạng hình nón cụt (độ dày thành xơ nhỏ khơng đáng kể) đựng hóa chất đặt vào bên thùng hình trụ, có miệng xơ trùng khít với miệng thùng Đáy xơ dát với đáy thùng có bán kính bán kính đáy thùng Biết rằng, thùng có nhiều cao đường kính đáy diện tích xung quanh (dm ) Hỏi xơ chứa đầy hóa chất dung tích 3,14 kết làm tròn đến chữ số thập lít? (cho phân thứ nhất) Gọi R (dm) bán kính đáy thùng Thùng hình trụ có bán kính đáy R chiều cao h diện tích xung quanh là: Sxq Nên R2 R2 R R.2R R (dm) R2 (dm) Từ ta có chiều cao xô là: h Liên hệ file word zalo: 039.373.2038 R 2R 2R nên R (dm ) Xơ có đáy hình nón cụt có hai đáy là: R1 2 (dm) 2 (dm) Nên V 2 ( 2)2 2 2 2 10, (dm ) Vậy xơ chứa đầy hóa chất dung tích 10, (lít) CÁC ĐỀ THI NĂM HỌC 2015 - 2016 Bài toán (Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT, Tỉnh Long An 2015 - 2016) Một đội xe cần chở 36 hàng Trước làm việc, đội bổ sung thêm nên xe chở hàng so với dự định Hỏi lúc đầu đội có xe, biết khối lượng hàng chở xe Gọi số xe ban đầu xe có x (xe) (Điều kiện x Số xe lúc sau có x N * ) (xe) 36 (tấn) x Lúc đầu xe dự định chở là: 36 : x Lúc sau xe chở là: 36 : (x 36 3) x Theo giả thiết ta có phương trình: (tấn) 36 x 36 x Phương trình tương đương với 36(x 3) 36x x(x 3) 36x 108 36x x2 3x x2 3x Vậy x1 21 108 432 441, (nhận); x 441 21 21 12 (loại) Bài toán (Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT, Tỉnh An Giang 2015 - 2016) Với phát triển khoa học kỹ thuật nay, người ta tạo nhiều mẫu xe lăn đẹp tiện dụng cho người khuyết tật Công ty A sản xuất xe lăn cho người khuyết tật với số vốn ban đầu 500 triệu đồng Chi phí sản để sản xuất xe lăn 2.500.000 đồng Gía bán 3.000.000 đồng a) Viết hàm số biểu diễn tổng số tiền đầu tư đến sản xuất x xe lăn (gồm vốn ban đầu chi phí sản xuất) hàm số biểu diễn số tiền thu bán x xe lăn b) Công ty A phải bán xe thu hồi vốn ban đầu a) Tổng chi phí vốn cố định vốn sản xuất x xe lăn (đơn vị triệu đồng): y 500 2, 5x A Hàm số biểu diễn số tiền thu bán x xe lăn là: y 3x b) Để số tiền bán số vốn đầu tư ban đầu nhau, ta có: 500 2, 5x 3x 0, 5x 500 x 1000 Liên hệ file word zalo: 039.373.2038 B X Vậy công ty A phải bán 1000 xe lăn thu hồi vốn ban đầu Bài toán (Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT, Tỉnh Bình Định 2015 - 2016) Trên vùng biên xem thẳng khơng có chướng ngại vật Vào lúc có tàu cá thẳng hàng qua tọa độ X theo hướng từ Nam tới Bắc với vận tốc không đổi Đến tàu du lịch dũng thẳng qua tọa độ X theo hướng từ Đông sang Tây với vận tốc lớn vận tốc tàu cá 12 km/h Đến khoảng cách hai tàu 60 km/h Tính vận tốc tàu Gọi vận tốc tàu đánh cá x (km/h) (Điều kiện x Vận tốc tàu du lịch x ) 12 (km/h) Giả sử tàu đánh cá đến điểm A , tàu du lịch đến điểm B Theo giả thiết, khoảng cách AB 60 km Tàu đánh cá đi: (giờ) Khoảng cách XA dài 2x (km) Tàu du lịch đi: (giờ) Khoảng cách XB dài là: (x 12).1 x 12 (km) Theo giả thiết, ta có tam giác XAB vng X Do XA2 XB AB (định lí Pythagore) Ta có phương trình: (2x )2 (x 12)2 4x x2 24x 5x 24x 144 Xét biệt thức x1 12 132 3456 17280 602 144 3600 17424 132 12 24 (nhận); x 132 28, (loại) Vậy vận tốc tàu đánh cá 24 (km/h) Vận tốc tàu du lịch là: 24 12 36 (km/h) Bài toán (Đề thi tuyển sinh lớp 10 THP, Tỉnh Quảng Ngãi 2015 - 2016) Hai cơng nhân làm chung xong đường Nếu đội làm riêng để xong đường thời gian đội thứ đội thứ hai Hỏi làm riêng đội làm xong đường thời gian bao lâu? Gọi thời gian đội thứ làm riêng xong công việc x (giờ) (Điều kiện x Thời gian đội thứ hai làm riêng xong công việc x (giờ) Trong giờ: Đội thứ làm riêng được: : x Đội thứ hai làm riêng được: : (x Liên hệ file word zalo: 039.373.2038 (công việc) x 6) x (công việc) ) (công việc) Hai đội làm chung được: : Ta có phương trình: x x 4x 4x 24 Vậy x1 24 4x 4(x 6) x (x 6) x2 6x x2 2x 24 25, (nhận); x 5 (loại) Thời gian đội thứ làm riêng xong công việc Thời gian đội thứ hai làm riêng xong công việc là: 6 12 (giờ) Bài toán (Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT, TP Hà Nội 2015 - 2016) Một tàu tuần tra chạy ngược dòng 60 km, sau chạy xi dòng 48 km dòng sơng có vận tốc dòng nước km/giờ Tính vận tốc tàu tuần tra nước n lặng, biết thời gian xi dòng thời gian ngược dòng Gọi vận tốc tàu tuần tra nước yên lặng x (km/giờ) (Điều kiện x Tàu tuần tra xi dòng với vận tốc x ) (km/giờ) ngược dòng với vận tốc x (km/giờ) Thời gian tàu tuần tra chạy xi dòng là: 48 : (x 48 2) x (giờ) Thời gian tàu tuần tra chạy ngược dòng là: 60 : (x 60 2) x (giờ) Theo giả thiết, ta có phương trình: 60 x 48 x 60x x2 120 12x 36 Ta có x1 16 1 60(x 48x 96 220 220 x2 2) (x 2)(x 2) 256, 22 (nhận), x 48(x 2) 16 16 10 (loại) Vậy vận tốc tàu tuần tra nước yên lặng 22 km/giờ Bài toán (Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT, Tỉnh Phú Thọ 2015 - 2016) Số tiền mua dừa long 25 nghìn đồng Số tiền mua dừa long 120 nghìn đồng Hỏi giá dừa long bao nhiêu? Biết dừa có long có Gọi giá tiền mua dừa x (nghìn đồng), giá tiền mua long y (nghìn đồng) (Điều kiện: x, y ) Mua dừa long hết 25 nghìn đồng, ta có phương trình: x Liên hệ file word zalo: 039.373.2038 y 25 (1) Mua dừa long hết 120 nghìn đồng, ta có phương trình: 5x 4y 120 (2) Từ (1) (2) ta có hệ phương trình: x 125 x y 25 x 5x 4y 120 25 y y 120 y) 5(25 x y x 4y y 25 y 25 x y 120 5y 125 y 25 4y 120 20 Vậy giá tiền dừa 20 nghìn đồng, giá tiền long nghìn đồng Bài toán (Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT, Tỉnh Thái Bình 2015 - 2016) Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích 168m Nếu giảm chiều dài 1m tăng chiều rộng thêm 1m mảnh vườn trở thành hình vng Tính chiều dài, chiều rộng mảnh vườn Gọi chiều rộng mảnh vườn x (m) (Điều kiện x 168 (m) x Chiều dài mảnh vườn 168 x Nếu giảm chiều dài 1m cạnh là x 0) (m), tăng chiều rộng thêm 1m cạnh (m), mảnh vườn trở thành hình vng nên ta có phương trình: 168 x x Do ta có: 168 x (x Vậy x1 13 x2 2) 168 2x 168 169, 13 12 (nhận), x 13 14 (loại) Vậy mảnh vườn có chiều rộng 12 m, chiều dài 168 12 14 (m) Bài toán (Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT, TP Hồ Chí Minh 2015 - 2016) Một người vận động viên tham gia thi đấu quần vợt Cứ hai người họ chơi với trận Người thứ thắng x trận thua y1 trận, người thứ hai thắng x trận thua y trận, , người thứ mười thắng x 10 trận thua y10 trận Biết trận đấu quần vợt khơng có kết hòa Chứng minh rằng: x12 x 22 x10 y12 y22 y10 Mỗi người chơi trận với người khác khơng có trận hòa Do đó: x1 y1 x2 y2 x10 y10 Mà tổng số trận thắng tổng số trận thua, đó: x1 x2 x10 y1 y2 y10 Ta có: (x12 x 22 (x12 y12 ) (x 22 Liên hệ file word zalo: 039.373.2038 x10 ) y22 ) (y12 y22 (x10 y10 ) y10 ) Vậy x12 x 22 9(x1 y1 ) 9(x1 y1 x2 9[(x1 x2 y12 y22 x10 9(x y2 ) y2 x10 ) 9(x10 x10 (y1 y10 ) y10 ) y2 y10 )] y10 Bài toán (Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT, Trường chuyên ĐHSP TP Hồ Chí Minh 2015 - 2016) Một xe tải từ A đến B với vận tốc 40 km/h Sau xe tải xuất phát thời gian xe khách xuất phát từ A với vận tốc 50 km/h khơng có thay đổi đuổi kịp xe tải B Nhưng sau nửa quãng đường AB , xe khách tăng vận tốc lên 60 km/h nên đến B sớm xe tải 16 phút Tính quãng đường AB Gọi quãng đường AB dài x (km), thời gian từ lúc xe tải xuất phát đến lúc xe khách xuất phát y (giờ) (Điều kiện x, y ) 15 Đổi 16 phút Thời gian xe tải từ A đến B x (h), thời gian xe khách từ A đến B với vận tốc 50 40 km/h x (h), ta có phương trình: 50 x 40 x 50 y (1) Thời gian thực tế xe khách x x 40 x 40 x 50 x 60 15 y x (h), ta có phương trình: 60 11x 600 y (2) 15 Từ (1), (2) ta có hệ phương trình: x 40 x 40 y y x 50 11x 600 15 x 600 15 x x y 40 50 x y 160 (thỏa mãn) 0, Vậy quãng đường AB dài 160 km Bài toán 10 (Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT, Trường chuyên ĐHSP Hà Nội 2015 - 2016) Một xe tải có chiều rộng 2, 4m chiều cao 2, 5m muốn qua cổng có hình parabol Biết khoảng cách hai chân cổng 4m khoảng cách từ đỉnh cổng (đỉnh parabol) tới chân cổng 5m (bỏ qua độ dày cổng) 1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy gọi parabol (P ) y muốn qua Chứng minh a ax với a hình biểu diễn cổng mà xe tải 2) Hỏi xe tải qua cổng có khơng? Tại sao? 1) Đỉnh cổng đỉnh parabol y ax (a Gọi hai chân cổng A, B AB cắt Oy H Ta có: AH HB AB ,OA Liên hệ file word zalo: 039.373.2038 OB 0) , đỉnh cổng O(0; 0) ( A, B, H nằm trục hồnh) HOA vng H Suy OH AH OA2 (định lí Pythagore) OH (2 5)2 22 16 OH Do H (0; 4) Nên A( 2; 4), B(2; 4) A (P ) nên a( 2)2 a 2) Gọi giao điểm đường thẳng qua điểm cao xe tải, song song với trục hoành với (P ) C , D,CD cắt Oy M A Phương trình đường thẳng CD y 1, 258m Phương trình hồnh độ giao điểm (P ) CD 120m x Do CD x 1, Mà B 2, 218m C H lớn 2, 4m Tại độ cao 2, m chiều rộng cổng là chiều rộng xe tải Như xe tải qua cổng Bài toán 11 (Đề thi tuyển sinh lớp 10 Trường PTNK ĐHQG, TP HCM 2015 - 2016) Bạn An dự định khoảng thời gian từ ngày 1/3 đến ngày 30/4 giải ngày toán Thực kế hoạch thời gian, vào khoảng cuối tháng (tháng có 31 ngày) An bị bênh, phải nghĩ giải toán nhiều ngày liên tiếp Khi hồi phục, tuần đầu An giải 16 bài; sau An cố gắng giải ngày đến 30/4 An hồn thành kế hoạch định Hỏi bạn An phải nghỉ giải tốn ngày? Gọi số ngày An giải toán trước bệnh x (ngày) (Điều kiện x An nghỉ giải toán y (ngày) (Điều kiện y N *, x 31 ) số ngày N) Thời gian từ ngày 1/3 đến ngày 30/4 31 30 Do số toán An dự định giải 3.61 61 (ngày) 183 (bài toán) Theo giả thiết, ta có phương trình: 3.x 16 4y Mà x 4.(61 49 x 31 Do y x y 7) x 49 y 49 31 183 x 4y 232 183 4y 29 4, Khi x 49 Vậy bạn An phải nghỉ giải tốn ngày Bài tốn 12 (Đề thi tuyển sinh lớp 10 Trường PTNK ĐHQG, TP HCM 2015 - 2016) Để khuyến khích phong trào học tập, trường THCS tổ chức đợt thi cho học sinh Ở đợt thi, có học sinh chọn để trao giải Sau tổ chức xong đợt thi, người ta nhận thấy với hai đợt thi ln có học sinh trao giải hai đợt thi Chứng minh rằng: a) Có học sinh trao giải bốn lần Liên hệ file word zalo: 039.373.2038 b) Có học sinh trao giải tất đợt thi a) Xét đợt thi thứ Theo giả thiết có học sinh trao giải hai đợt thi bất kì, đợt thi lại, ba học sinh trao giải đợt thi thứ có học sinh trao giải lần (vì : (dư )) Vậy có học sinh trao giải bốn lần b) Từ a) giả sử A học sinh trao giải bốn đợt thi Xét đợt thi bốn đợt thi lại Vì có học sinh trao giải hai đợt thi Do đợt thi này, bốn đợt thi đợt thi có học sinh trao giải Như học sinh phải A (nếu khơng A đợt có đến bốn học sinh trao giải) Vì xét đợt thi nên A trao giải bốn đợt thi lại A trao giải tất đợt thi Vậy có học sinh trao giải tất đợt thi Bài toán 13 (Đề thi tuyển sinh lớp 10 Chuyên, Tỉnh Bình Định 2015 - 2016) Trong phòng có 80 người họp, xếp ngồi dãy ghế có chỗ ngồi Nếu ta bớt dãy ghế dãy ghế lại phải xếp thêm người vừa đủ chỗ Hỏi lúc đầu có dãy ghế dãy ghế xếp chỗ ngồi Gọi số dãy ghế lúc đầu x (dãy ghế) (Điều kiện x Mỗi dãy ghế xếp số chỗ ngồi Nếu bớt dãy ghế x N *, x 80 (chỗ ngồi) x (dãy ghế) dãy ghế xếp chỗ ngồi ngồi) Theo giả thiết, ta có phương trình 80 x 80 x Ta có 40x 40(x 2) x(x 40x 40x 80 x2 x 2x Vậy x1 80 80 2) 2x 81, 10 (nhận), x 81 9 (loại) Vậy số dãy ghế lúc đầu 10 dãy Mỗi dãy ghế xếp số chỗ ngồi Liên hệ file word zalo: 039.373.2038 2) 80 10 (chỗ ngồi) 80 x (chỗ ... cần thơi số lượng tốn thực tế chứng minh bất đẳng thức phong phú Mỗi toán thực tế khác mang lại cho nhiều cảm nhận thật thú vị, bổ ích Tốn học thật có nghĩa Những toán thực tế minh chứng điều Tốn... Đối với nhiều toán trồng khác, vấn đề trở nên phức tạp Để giải hiểu chúng cần suy nghĩ nhiều Liên hệ file word zalo: 039.373.2038 B VÍ DỤ MINH HOẠ ỨNG DỤNG TOÁN HỌC VÀO BÀI TOÁN THỰC TẾ PHƢƠNG PHÁP... lại Trong viết này, nghiên cứu vấn đề khác đối xứng trục, dùng đối xứng trục chứng minh tốn thực tiễn B VÍ DỤ MINH HOẠ ỨNG DỤNG BÀI TOÁN HỌC VÀO BÀI TOÁN THỰC TẾ PHƢƠNG PHÁP GIẢI - Lấy đối xứng