CHUYÊN Đề: các dạng tính nhanh phân số I.Dạng 1: Tính tổng của nhiều phân số có tử số bằng nhau và mẫu số của phân số liền sau gấp 2 lần mẫu số của phân số liền trước... Dạng 3: Tính tổn
Trang 1CHUYÊN Đề: các dạng tính nhanh phân số
I.Dạng 1: Tính tổng của nhiều phân số có tử số bằng nhau và mẫu số của phân số liền sau gấp 2 lần mẫu số của phân số liền trước
Ví dụ:
64
1 32
1 16
1 8
1 4
1
2
1
Cách giải:
Cách 1:
Bước 1: Đặt A =
64
1 32
1 16
1 8
1 4
1 2
1
Bước 2: Ta thấy:
2
1 1 2
1
;
4
1 2
1 4
1
;
8
1 4
1 8
1
;……
64
1 32
1
8
1 4
1 4
1 2
1 2
1 1
A =
64
1 32
1
8
1 4
1 4
1 2
1 2
1
A = 1 -
64
1
=
64
63 64
1 64
64
Cách 2:
Bước 1: Đặt A =
64
1 32
1 16
1 8
1 4
1 2
1
Bước 2: Ta thấy:
2
1
1
2
1
;
4
1 1 4
3 4
1 2
1
8
1 1 8
7 8
1 4
1 2
1
Bước 3: Vậy A =
64
1 32
1 16
1 8
1 4
1 2
1
64
1
=
64
63 64
1 64
64
II.Dạng 2: Tính tổng của nhiều phân số có tử số bằng nhau và mẫu số của phân số liền sau gấp n lần mẫu số của phân số liền trước (n > 1)
Ví dụ: A =
64
1 32
1 16
1 8
1 4
1 2
1
Cách giải:
Bước 1: Tính A x n (n = 2)
Ta có: A x 2 = 2 x
64
1 32
1 16
1 8
1 4
1 2 1
Trang 2=
64
2 32
2 16
2 8
2 4
2 2
2
32
1 16
1 8
1 4
1 2
1
Bước 2: Tính A x n - A = A x (n - 1)
32
1 16
1 8
1 4
1 2
1
64
1 32
1 16
1 8
1 4
1 2 1
A x (2 - 1) =
32
1 16
1 8
1 4
1 2
1
64
1 32
1 16
1 8
1 4
1 2
1
= 1 -
64
1
=
64
63 64
1 64
64
Ví dụ 2: B =
486
5 162
5 54
5 18
5 6
5 2
5
Cách giải:
Bước 1: Tính B x n (n =3)
486
5 162
5 54
5 18
5 6
5 2
5
=
162
5 54
5 18
5 6
5 2
5 2
15
Bước 2: Tính B x n - B
162
5 54
5 18
5 6
5 2
5 2
15
486
5 162
5 54
5 18
5 6
5 2 5
B x (3 - 1) =
162
5 54
5 18
5 6
5 2
5 2
15
486
5 162
5 54
5 18
5 6
5 2
5
B x 2 =
486
5 2
15
486
5
3645
486
3640
B = :2
486
3640
486
1820
243
910
Bài tập
Bài 1: Tính nhanh
a)
192
2 96
2 48
2 24
2 12
2
6
2
3
2
256
1 128
1 64
1 32
1 16
1 8
1 4
1 2
1
729
1 243
1 81
1 27
1
9
1
3
1
512
3 128
3 32
3 8
3 2
3
e) 3 +
625
3 125
3 25
3
5
3
g)
1280
1
40
1 20
1 10
1 5
1
h)
59049
1
81
1 27
1
9
1
3
1
III Dạng 3: Tính tổng của nhiều phân số có tử số là n (n > 0); mẫu số là tích của 2 thừa số có hiệu bằng n và thừa số thứ 2 của mẫu phân số liền trước là thừa số thứ nhất của mẫu phân số liền sau:
Trang 3Ví dụ: A =
6 5
1 5 4
1 4 3
1 3 2
1
x x
x
A =
6 5
5 6 5 4
4 5 4 3
3 4 3 2
2 3
x x
x x
=
6 5
5 6 5
6 5 4
4 5 4
5 4 3
3 4 3
4 3 2
2 3 2
3
x x
x x
x x
x
=
6
1 5
1 5
1 4
1 4
1 3
1 3
1 2
1
=
3
1 6
2 6
1 6
3 6
1 2
1
Ví dụ: B =
14 11
3 11 8
3 8 5
3 5 2
3
x x
x
14 11
11 14 11 8
8 11 8 5
5 8
5
2
2
5
x x
x x
B =
14 11
11 14
11
14 11
8
8 11 8
11 8
5
5 8 5
8 5 2
2 5
2
5
x x
x x
x x
x
=
14
1 11
1 11
1 8
1 8
1 5
1 5
1
2
1
7
3 14
6 14
1 14
7 14
1 2
1
Bài tập
Bài 1: Tính nhanh:
a
27 23
4 23 19
4 19
15
4 15 11
4 11 7
4
7
3
4
x x
x x
x
b.
10 9
2 9 8
2
4 3
2 3 2
2 2 1
2 15 13
2 13 11
2 11 9
2 9 7
2 7
5
2
5
3
2
x x x
x x x
x x
x x
c.
100 93
77
23 16
77 16 9
77 9 2
77 10 9
3
6 5
3 5 4
3 4 3
3 3
2
3
2
1
3
x x
x x x
x x x x
d
15 12
4 12 9
4 9 6
4
6
3
4
x x
x
x
đ
21 17
7 17 13
7 13 9
7 9
5
7
5
1
7
x x
x x
e
110
1
42
1 30
1 20
1 12
1
6
1
2
1
g
340
1 138
1 154
1 88
1
40
1
10
1
Bài 2: Cho tổng:
1995
664
15 11
4 11
7
4
7
3
4
S
a) Tìm số hạng cuối cùng của dãy S b) Tổng S có bao nhiêu số hạng?
Trang 4Bài 3: Tính nhanh:
a)
90
89 72
71 56
55 42
41 30
29 20
19
12
11
6
5
b) Tính tổng của 10 phân số trong phép cộng sau:
110
109 90
89 72
71 56
55 42
41 30
29 20
19
12
11
6
5
2
1
42
1 , 30
1 , 20
1 , 12
1 , 6
1 , 2 1
a) Hãy tính tổng của 10 số hạng đầu tiên của dãy số trên
b) Số
10200
1
có phải là một số hạng của dãy số trên không? Vì sao?
Bài 5: Tính nhanh: A =
50
4 3 2 1
1
4 3 2 1
1 3
2 1
1 2 1
1
Bài 6: So sánh S với 2, biết rằng:
45
1
10
1 6
1 3
1
1
S
91
1 73
1 57
1 43
1 31
1 21
1 13
1 7
1 3
1
Bài 8: Điền dấu >,< hoặc = vào ô trống:
1000
1
25
1 16
1 9
1 4
1
IV.Dạng 4: Tính tổng của nhiều phân số có tử số là n, có mẫu số là tích của 3 thừa
số trong đó thừa số thứ 3 hơn thừa số thứ nhất n đơn vị và hai thừa số cuối của mẫu phân số liền trước là 2 thừa số đầu của mẫu phân số liền sau
Ví dụ: Tính: A =
13 11 9
4 11
9 7
4 9
7 5
4 7
5 3
4 5
3 1
4
x x x
x x x x x x
=
13 11 9
9 13 11 9 7
7 11 9 7 5
5 9 7 5 3
3 7 5
3
1
1
5
x x x
x x x x x x
x
=
13 11 9
9 13 11 9 7
7 11 9 7 5
5 9 7 5 3
3 7 5
3
1
1
5
x x x
x x x x x x
x
13 11 9
9 13
11 9
13 11
9 7
7 11 9 7 11
9 7 5
5 9 7 5
9 7
5 3
3 7 5 3
7 5
3 1
1 5
3
1
5
x x x
x x
x x
x
x x x x x x x x x
x x
x
=
13 11
1 11 9
1 11 9
1 9 7
1 9 7
1 7 5
1 7 5
1 5 3
1 5
3
1
3
1
1
x x
x x x
x x x x
=
13
11
1
3
1
1
x
x =
429
140 429
3 143 13 11 3
3 13 11
x x x
Trang 5Bài tập
Bài 1: Tính nhanh:
19 15 13
6 15
13 9
6 13
9 7
6 9
7 3
6 7
3
1
6
)
a
19 15 13
1 15
13 9
1 13
9 7
1 9
7 3
1 7
3
1
1
)
b
100 98 96
1
14 12 10
1 12
10 8
1 10
8 6
1 8
6 4
1 6
4
2
1
)
40 36 33
5
15 12 8
5 12
8 5
5 8
5
1
5
)
d
V.Dạng 5: Tính tích của nhiều phân số trong đó tử số của phân số này có quan hệ
về tỉ số với mẫu số của phân số kia
Ví dụ:
997
995 1993
1994 1992
1993 1991
1992 1990
1991
= 1991 1992 1993 1994 995 1992 1994 995
1990 1991 1992 1993 997 1990 1992 997
997
995 1990
1994
997
995 995
997
= 1
Bài tập
Bài 1: Tính nhanh:
a)
468
164 984
432 164
435 432
468
435
328
b)
2000
2006 2004
2003 2002
2001 2003
2002
2001
2000
Bài 2: Tính nhanh:
a)
151515
424242 143143
165165
2121
1313
b)
95 1995199519
93 1993199319 19931993
19961996
1995
1995
Bài 3: Tính nhanh:
5
1 1 4
1 1 3
1 1
2
1
1
100
3 1 97
3 1
13
1 1 10
3 1 7
3 1 4
3
99
2 1 97
2 1
11
2 1 9
2 1 7
2 1
5
2
1
Bài 4: Cho:
M =
39
37
15
13 11
9 7
5
3
1
37
39
13
15 9
11 5
7
Hãy tính M N
Bài 5: Tính tích của 10 hỗn số đầu tiên trong dãy các hỗn số sau:
Trang 61
1
8
1
35
1 1 24
1 1 15
1
VI.Dạng 6: Vận dụng 4 phép tính để tách, ghép ở tử số hoặc mẫu số nhằm tạo ra thừa số giống nhau ở cả tử số và mẫu số rồi thực hiện rút gọn biểu thức
Ví dụ 1:
1004 999
2004
999 2003 1999
2003
2003 1 999 1004 2003 999 (999 1004)
2003 1000 2003 1000
1
2003 999 2003 2003 1000
Ví dụ 2:
1994 1996
1000
996 1995 1996
1000 1994
1996
Ví dụ 3:
232323
242424 373737
535353 48
23 53
37
37 23 53 10101 24 10101 37 23 53 24
53 48 37 10101 23 10101 53 48 37 23
1
Bài tập
Bài 1: Tính nhanh:
a)
1996 1997
1995
1 1996 1997
b) 254 399 145
254 399 253
c) 1997 1996 995
1995 1997 1002
5392 6001 69
e)
1994 1995
1996
1 1997 1995
Bài 2: Tính nhanh:
a)
1996 1995
1996 1997
1985 1997
1996 1988
b)
1996 7
1994 1993
1992
1993 1992
1993 1994
c)
1995 1991 1996
1995
399 55 45 399
d)
2006 2005
) 5 , 7 : 3 4 , 0 ( 2006
e)
1979 1978 1979
1980
1985 21 1980 1979
1978
g)
37 , 5 55 3 , 3 5 , 4 9 , 28 55 1 , 20 45
1230 3 , 24 12300 43
, 2
h)
1997 1997
1999 1997
3 1998 1997 1996
i)
2002 504
503 2002 2002
2002 2001 1988
14 2003
Trang 7Bài 3: Tính nhanh:
4 , 10 5 , 11 6 , 12 4 , 13 3 , 12
2
,
11
8 , 7 6 , 4 8 , 4 8 , 7 2 , 16 7 , 5 7
,
3
2
,
16
)
334 18 102 334 334 201 321
334
2004 59
2004 2
2004 37
2004
)
60 155 46 215 48
215
35 , 352 18 , 453 65
, 432
82
,
546
)
c
b
a
Bài 4: Tính nhanh:
151515
424242 143143
165165 2121
1313
)
95 1995199519
31 1931193119 19311931
19961996 1996
1995
)
b
a
2525 2424
2323 2222
2121 2020
1919 1818
1717 1616
1515 1414
)
127
3 17
3 7 3
127
2 17
2 7 2
124
3 24
3 4 3
124
1 24
1 4
1 )
d c
Bài 5: Tính nhanh
5 125 , 0 : 6 , 6 5 , 0 : 88 , 88 3 , 3
23 , 0 : 2 , 13 2 44 , 44 2 , 0 : 8 , 19 ) 10
25 , 0 : 25 ,
1
12
,
3
2
2 4 25 , 6 5
,
0
:
48
,
12
)
b a
Bài 6: Tính nhanh:
15151515
31313131
454545
989898
40404
5 30303
5 20202
5 10101 5
Bài 8: Tính nhanh:
156 129
8 2 1
25 , 0 20 2 , 0 5 40 5 , 0 4 ,
25
)
6 5 125 , 0 : 7 , 7 5 , 0 : 8 , 30
25 , 0 : 4 , 15 2 4 , 15 2 , 0 6
,
9
)
25 8 4 25 , 1
275 , 0 725 , 0 25 25 , 1 4 , 0 8
,
0
)
c
b
a
125 25 , 0 8 1 , 0 4
8 4 , 0 125 3478 , 0 6524 , 10 )
4 8 5 , 2 25 , 1
8003 , 0 08 , 0 5 , 0 5 , 12 5 , 2 1997 , 0 )
) 4 : 52 4 ( 16 8 : 128
10 25 , 0 1 , 0 8 20 5 , 0 40 5 , 0 )
g e d
* Một số bài tính nhanh luyện tập Bài 1: Tính nhanh:
a)
1 10 2 9 3 8
8 3 9 2 10
1
55 45
10 6 3 1
b)
) 20 19
4 3 3 2 2 1 ( ) 20 19
4 3 2 1 ( 20
1 20 2 19 3 18
17 4 18 3 19 2 20 1
Trang 8Bài 2: Tính nhanh:
1000
99 1000
87
1000
49 1000
37 1000
25 1000
13 1000
1
Bài 3: Tính nhanh:
3
2 :
7
5
7
5
:
3
2
3
:
1
5
:
1
3
1
:
5
1
c) (30 : 7
2
1
+ 0,5 x 3 - 1,5) x
2
9 2
1
4 : (14,5 x 100)
8
7 5 8
7
5
8
7
e) (1999 x 1998 + 1998 x 1997) x
3
1 1 2
1 1 : 2
1 1
2009
1 1 2008
1 1 2007
1 1 2006
1 1 2005
1 1
Bài 5: Tính nhanh:
2001
1001 2006
2004 2002
2008 2004
2001
2008
2006
)
5
7 2000 1999
1998
1 2001
1999
)
b
a
Bài 6: Tính nhanh:
A =
100
3 2 1
3
4 3 2 1
3 3
2 1
3 2 1
3 1
3
Bài 7: Tính nhanh:
S =
33
1 28
1 24
1 22
1 18
1 15
1 14
1 12
1 11
1 10
1 9
1 8
1 7
1
Bài 8: Nếu phép cộng của tổng sau cứ kéo dài mãi mãi: ;
64
1
; 32
1
; 16
1
; 8
1
; 4
1
; 2 1
thì giá trị của tổng bằng bao nhiêu?
Bài 9: Nếu phép cộng của tổng sau cứ kéo dài mãi mãi: ;
729
1
; 243
1
; 81
1
; 27
1
; 9
1
; 3
1
Thì giá trị của tổng bằng bao nhiêu?
Bài 10: Hãy chứng tỏ rằng:
100
99
4
3 3
2 2
1 100
1
3
1 2
1 1