Hệ thống lại lý thuyết, đưa ra các phương pháp giải và các ví dụ minh họa theo từng chuyên đề
MỤC LỤC NỘI DUNG Trang A – Mở đầu B – Nội dung Phần I: Tóm tắt lý thuyết Phần II: Các phương pháp giải toán chia hết Phương pháp sử dụng dấu hiệu chia hết Phương pháp sử dụng tính chất chia hết Phương pháp sử dụng xét tập hợp số dư phép chia Phương pháp sử dụng phương pháp phân tích thành nhân tử 10 Phương pháp biến đổi biểu thức cần chứng minh dạng tổng 11 Phương pháp quy nạp toán học 13 Phương pháp sử dụng đồng dư thức 14 Phương pháp sử dụng nguyên lý Dirichlet 16 Phương pháp phản chứng 18 PHẦN I: TÓM TẮT LÝ THUYẾT I ĐỊNH NGHĨA PHÉP CHIA Cho số nguyên a b b ta ln tìm hai số nguyên q r cho: a = bq + r Với r b Trong đó: a số bị chia, b số chia, q thương, r số dư Khi a chia cho b xẩy b số dư r {0; 1; 2; …; b} Đặc biệt: r = a = bq, ta nói a chia hết cho b hay b chia hết a Ký hiệu: ab hay b\ a Vậy: a b Có số nguyên q cho a = bq II CÁC TÍNH CHẤT Với a a a Nếu a b b c a c Với a a Nếu a, b > a b ; b a a = b Nếu a b c ac b Nếu a b (a) (b) Với a a (1) Nếu a b c b a c b Nếu a b cb a c b 10 Nếu a + b c a c b c 11 Nếu a b n > an b n 12 Nếu ac b (a, b) =1 c b 13 Nếu a b, c b m, n am + cn b 14 Nếu a b c d ac bd 15 Tích n số nguyên liên tiếp chia hết cho n! III MỘT SỐ DẤU HIỆU CHIA HẾT Gọi N = a n a n a a Dấu hiệu chia hết cho 2; 5; 4; 25; 8; 125 N a0 a0{0; 2; 4; 6; 8} N a0 a0{0; 5} N (hoặc 25) a1 a0 (hoặc 25) N (hoặc 125) a2 a1 a0 (hoặc 125) Dấu hiệu chia hết cho + N (hoặc 9) a0+a1+…+an (hoặc 9) Một số dấu hiệu khác N 11 [(a0+a1+…) - (a1+a3+…)] 11 N 101 [( a1 a0 + a5 a4 +…) - ( a3 a2 + a7 a6 +…)]101 N (hoặc 13) [( a2 a1 a0 + a8a7 a6 +…) - [( a5a4 a3 + a11a10a9 +…) 11 (hoặc 13) N 37 ( a2 a1 a0 + a5 a4 a3 +…) 37 N 19 ( a0+2an-1+22an-2+…+ 2na0) 19 IV ĐỒNG DƯ THỨC a Định nghĩa: Cho m số nguyên dương Nếu hai số nguyên a b cho số dư chia cho m ta nói a đồng dư với b theo modun m Ký hiệu: a b (modun) Vậy: a b (modun) a - b m b Các tính chất Với a a a (modun) Nếu a b (modun) b a (modun) Nếu a b (modun), b c (modun) a c (modun) Nếu a b (modun) c d (modun) a+c b+d (modun) Nếu a b (modun) c d (modun) ac bd (modun) Nếu a b (modun), d Uc (a, b) (d, m) =1 a b (modun) d d Nếu a b (modun), d > d Uc (a, b, m) a b m (modun ) d d d V MỘT SỐ ĐỊNH LÝ Định lý Euler Nếu m số nguyên dương (m) số số nguyên dương nhỏ m nguyên tố với m, (a, m) = Thì a(m) (modun) Cơng thức tính (m) Phân tích m thừa số nguyên tố m = p 11 p22 … pkk với pi p; i N* Thì (m) = m(1 - 1 )(1 ) … (1 ) p1` p2 pk Định lý Fermat Nếu t số nguyên tố a không chia hết cho p ap-1 (modp) Định lý Wilson Nếu p số nguyên tố ( P - 1)! + (modp) PHẦN II: CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CHIA HẾT Phương pháp 1: SỬ DỤNG DẤU HIỆU CHIA HẾT Ví dụ 1: Tìm chữ số a, b cho a56b 45 Giải Ta thấy 45 = 5.9 mà (5 ; 9) = để a56b 45 a56b Xét a56b b {0 ; 5} Nếu b = ta có số a56b a + + + a + 11 a=7 Nếu b = ta có số a56b a + + + a + 16 a=2 Vậy: a = b = ta có số 7560 a = b = ta có số 2560 Ví dụ 2: Biết tổng chữ số số khơng đổi nhân số với Chứng minh số chia hết cho Giải Gọi số cho a Ta có: a 5a chia cho có số dư 5a - a 4a mà (4 ; 9) = a (Đpcm) Ví dụ 3: CMR số 111111 81 81 sè Giải Ta thấy: 111111111 Có 111111 = 111111111(1072 + 1063 + … + 109 + 1) 81 sè Mà tổng 1072 + 10 63 + … + 109 + có tổng chữ số 1072 + 10 63 + … + 109 + Vậy: 111111 81 (Đpcm) 81 sè BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài 1: Tìm chữ số x, y cho a 34x5y b 2x78 17 Bài 2: Cho số N = dcba CMR a N (a + 2b) b N 16 (a + 2b + 4c + 8d) 16 với b chẵn c N 29 (d + 2c + 9b + 27a) 29 Bài 3: Tìm tất số có chữ số cho số gấp lần tích chữ số số Bài 4: Viết liên tiếp tất số có chữ số từ 19 đến 80 ta số A = 192021…7980 Hỏi số A có chia hết cho 1980 khơng ? Vì sao? Bài 5: Tổng 46 số tự nhiên liên tiếp có chia hết cho 46 khơng? Vì sao? Bài 6: Chứng tỏ số 11 22 11 22 100 sè tích số tự nhiên liên tiếp 100 sè HƯỚNG DẪN - ĐÁP SỐ Bài 1: a x = y = x= y = b 2x78 = 17 (122 + 6x) + 2(2-x)17 x = Bài 2: a N4 ab 4 10b + a4 8b + (2b + a) 4 a + 2b4 b N16 1000d + 100c + 10b + a16 (992d + 96c + 8b) + (8d + 4c + 2b + a) 16 a + 2b + 4c + 8d16 với b chẵn c Có 100(d + 3c + 9b + 27a) - dbca 29 mà (1000, 29) =1 dbca 29 (d + 3c + 9b + 27a) 29 Bài 3: Gọi ab số có chữ số Theo ta có: ab = 10a + b = 2ab (1) ab 2 b {0; 2; 4; 6; 8} Thay vào (1) a = 3; b = Bài 4: Có 1980 = 2.32.5.11 Vì chữ số tận a 80 A Tổng số hàng lẻ 1+(2+3+…+7).10+8 = 279 Tổng số hàng chẵn 9+(0+1+…+9).6+0 = 279 Có 279 + 279 = 558 A 279 - 279 = 11 A 11 Bài 5: Tổng số tự nhiên liên tiếp số lẻ nên khơng chia hết cho Có 46 số tự nhiên liên tiếp có 23 cặp số cặp có tổng số lẻ tổng 23 cặp không chia hết cho Vậy tổng 46 số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho 46 Bài 6: Có 11 22 = 11 100 11 22 11 02 100 sè Mà 100 sè 99 sè 100 = 33 02 34 99 sè 100 sè 99 sè 11 22 = 33 33 11 22 33 34 100 sè 100 sè 100sè (Đpcm) 99 sè Phương pháp 2: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CHIA HẾT * Chú ý: Trong n số nguyên liên tiếp có số chia hết cho n CMR: Gọi n số nguyên liên tiếp m + 1; m + 2; … m + n với m Z, n N* Lấy n số nguyên liên tiếp chia cho n ta tập hợp số dư là: {0; 1; 2; … n - 1} * Nếu tồn số dư 0: giả sử m + i = nqi ; i = 1, n m+in * Nếu không tồn số dư khơng có số ngun dãy chia hết cho n phải có số dư trùng m i nqi r m j qjn r i; j n Giả sử: i - j = n(qi - q j) n i - j n mà i - j< n i - j = i = j m+i=m+j Vậy n số có số số chia hết cho n… Ví dụ 1: CMR: a Tích số ngun liên tiếp ln chia hết cho b Tích số nguyên liên tiếp chia hết cho Giải a Trong số nguyên liên tiếp có số chẵn Số chẵn chia hết cho Vậy tích số nguyên liên tiếp chia hết cho Tích số ngun liên tiếp ln chia hết tích số nguyên liên tiếp chia hết cho b Trong sô nguyên liên tiếp bao giơ có số chia hết cho Tích số chia hết cho mà (1; 3) = Vậy tích số ngun liên tiếp ln chia hết cho Ví dụ 2: CMR: Tổng lập phương số nguyên liên tiếp chia hết cho Giải Gọi số nguyên liên tiếp là: n - , n , n+1 Ta có: A = (n - 1)3 + n3 + (n + 1)3 = 3n3 - 3n + 18n + 9n2 + = 3(n - 1)n (n+1) + 9(n2 + 1) + 18n Ta thấy (n - 1)n (n + 1) (CM Ví dụ 1) 3(n - 1)n (n + 1) 9 ( n 1) mà 18 n A (ĐPCM) Ví dụ 3: CMR: n4 - 4n3 - 4n2 +16n 84 với n chẵn, n4 Giải Vì n chẵn, n4 ta đặt n = 2k, k2 Ta có n4 - 4n3 - 4n2 + 16n = 16k4 - 32k3 - 16k2 + 32k = đặt 16k(k3 - 2k2 - k + 2) = đặt 16k(k - 2) (k - 1)(k + 1) Với k nên k - 2, k - 1, k + 1, k số tự nhiên liên tiếp nên số có số chia hết cho số chia hết cho (k - 2)(k - 1)(k + 1)k Mà (k - 2) (k - 1)k ; (3,8)=1 (k - 2) (k - 1) (k + 1)k 24 16(k - 2) (k - 1) (k + 1)k (16,24) Vậy n4 - 4n3 - 4n2 +16n 384 với n chẵn, n BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài 1: CMR: a n(n + 1) (2n + 1) b n5 - 5n3 + 4n 120 Với n N Bài 2: CMR: n4 + 6n3 + 11n2 + 6n 24 Với n Z Bài 3: CMR: Với n lẻ a n2 + 4n + b n3 + 3n2 - n - 48 c n12 - n8 - n4 + 512 Bài 4: Với p số nguyên tố p > CMR: p2 - 24 Bài 5: CMR: Trong 1900 số tự nhiên liên tiếp có số có tổng chữ số chia hết cho 27 HƯỚNG DẪN - ĐÁP SỐ Bài 1: a n(n + 1)(2n + 1) = n(n + 1) [(n + 1) + (n + 2)] = n(n + 1) (n - 1) + n(n + 1) (n + 2) b n5 - 5n3 + 4n = (n4 - 5n2 + 4)n = n(n2 - 1) (n2 - 4) = n(n + 1) (n - 1) (n + 2) (n - 2) 120 Bài 2: n4 + 6n3 + 6n + 11n2 = n(n3 + 6n2 + + 11n) = n(n + 1) (n + 2) (n + 3) 24 Bài 3: a n2 + 4n + = (n + 1) (n + 3) b n3 + 3n2 - n - = n2(n + 3) - (n + 3) = (n2 - 1) (n + 3) = (n + 1) (n - 1) (n + 3) = (2k + 4) (2k + 2) (2k với n = 2k + 1, k N) = 8k(k + 1) (k +2) 48 c n12 - n8 - n4 + = n8 (n4 - 1) - (n4 - 1) = (n4 - 1) (n8 - 1) = (n4 - 1)2 (n4 + 1) = (n2 - 1)2 (n2 - 1)2 (n4 + 1) = 16[k(k + 1)2 (n2 + 1)2 (n4 + 1) Với n = 2k + n2 + n4 + số chẵn (n2 + 1)2 n4 + n12 - n8 - n4 + (24.22 22 21) Vậy n12 - n8 - n4 + 512 Bài 4: Có p - = (p - 1) (p + 1) p số nguyên tố p > p ta có: (p - 1) (p + 1) p = 3k + p = 3k + (k N) (p - 1) (p + 1) Vậy p - 24 Bài 5: Giả sử 1900 số tự nhiên liên tiếp n, n +1; n + 2; … ; n + 1989 (1) 1000 tự nhiên liên tiếp n, n + 1; n + 2; …; n + 999 có số chia hết cho 1000 giả sử n0, n0 có tận chữ số giả sử tổng chữ số n0 s 27 số n0, n0 + 9; n0 + 19; n0 + 29; n0 + 39; …; n0 + 99; n0 + 199; … n0 + 899 (2) Có tổng chữ số là: s; s + … ; s + 26 Có số chia hết cho 27 (ĐPCM) * Chú ý: n + 899 n + 999 + 899 < n + 1989 Các số (2) nằm dãy (1) Phương pháp 3: XÉT TẬP HỢP SỐ DƯ TRONG PHÉP CHIA Ví dụ 1: CMR: Với n N Thì A(n) = n(2n + 7) (7n + 7) chia hết cho Giải Ta thấy thừa số n 7n + số chẵn Với n N A(n) Ta chứng minh A(n) Lấy n chia cho ta n = 3k + (k N) Với r {0; 1; 2} Với r = n = 3k n A(n) Với r = n = 3k + 2n + = 6k + A(n) Với r = n = 3k + 7n + = 21k + 15 A(n) A(n) với n mà (2, 3) = Vậy A(n) với n N Ví dụ 2: CMR: Nếu n A(n) = 2n + 3n + 13 Với n N Giải Vì n n = 3k + r (k N); r {1; 2; 3} A(n) = 2(3k + r) + 33k+r + = 32r(3 6k - 1) + 3r (33k - 1) + 32r + 3r + ta thấy 6k - = (3 3)2k - = (33 - 1)M = 26M 13 33k - = (33 - 1)N = 26N 13 với r = 32n + n + = 32 + +1 = 13 13 32n + n + 13 với r = 32n + n + = 34 + + = 91 13 32n + n + Vậy với n A(n) = 32n + 3n + 13 Với n N Ví dụ 3: Tìm tất số tự nhiên n để 2n - Giải Lấy n chia cho ta có n = 3k + (k N); r {0; 1; 2} Với r = n = 3k ta có 2n - = 3k - = 8k - = (8 - 1)M = 7M với r =1 n = 3k + ta có: 2n - = 8k +1 - = 2.23k - = 2(23k - 1) + mà 23k - n - chia cho dư với r = n = 3k + ta có : 2n - = 3k + - = 4(23k - 1) + mà 23k - n - chia cho dư Vậy 3k - n = 3k (k N) BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài 1: CMR: An = n(n2 + 1)(n2 + 4) Với n Z Bài 2: Cho A = a1 + a2 + … + an B = a51 + a52 + … + a5n Bài 3: CMR: Nếu (n, 6) =1 n2 - 24 Với n Z Bài 4: Tìm số tự nhiên W để 22n + 2n + Bài 5: Cho số tự nhiên m, n để thoả mãn 24m4 + = n2 CMR: mn 55 HƯỚNG DẪN - ĐÁP SỐ Bài 1: + A(n) + Lấy n chia cho n = 5q + r r {0; 1; 2; 3; 4} r = n A(n) r = 1, n2 + A(n) r = 2; n2 + A(n) A(n) A(n) 30 Bài 2: Xét hiệu B - A = (a51 - a1) + … + (a5n - an) Chỉ chứng minh: a5i - 30 đủ Bài 3: Vì (n, 6) =1 n = 6k + (k N) Với r {1} r = 1 n2 - 24 Bài 4: Xét n = 3k + r (k N) Với r {0; 1; 2} Ta có: 22n + 2n + = 2r(26k - 1) + 2r(2 3k - 1) + 22n + 2n + Làm tương tự VD3 Bài 5: Có 24m4 + = n2 = 25m4 - (m4 - 1) Khi m mn Khi m (m, 5) = m4 - (Vì m5 - m (m4 - 1) m4 - 5) n2 n Vậy mn Phương pháp 4: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH THÀNH NHÂN TỬ Giả sử chứng minh an k Ta phân tích an chứa thừa số k phân tích thành thừa số mà thừa số chia hết cho thừa số k Ví dụ 1: CMR: 36n - 26n 35 Với n N Giải 6n 6n n n 6 Ta có - = (3 ) - (2 ) = (3 - )M = (3 + 23) (33 - 3)M = 35.19M 35 Vậy 36n - 26n 35 Với n N Ví dụ 2: CMR: Với n số tự nhiên chăn biểu thức A = 20 n + 16n - 3n - 232 Giải Ta thấy 232 = 17.19 mà (17;19) = ta chứng minh A 17 A 19 ta có A = (20 n - 3n) + (16n - 1) có 20n - 3n = (20 - 3)M 17M 16 n - = (16 + 1)M = 17N 17 (n chẵn) A 17 (1) ta có: A = (20n - 1) + (16 n - n) có 20n - = (20 - 1)p = 19p 19 có 16n - 3n = (16 + 3)Q = 19Q 19 (n chẵn) A 19 (2) Từ (1) (2) A 232 Ví dụ 3: CMR: nn - n2 + n - (n - 1)2 Với n >1 Giải n Với n = n - n + n - = (n - 1)2 = (2 - 1)2 = nn - n2 + n - 1 (n - 1)2 với n > đặt A = nn - n2 + n - ta có A = (nn - n2) + (n - 1) = n2(nn-2 - 1) + (n - 1) = n2(n - 1) (nn-3 + nn-4 + … + 1) + (n - 1) = (n - 1) (nn-1 + nn-2 + … + n2 +1) = (n - 1) [(nn-1 - 1) + … +( n2 - 1) + (n - 1)] = (n - 1)2M (n - 1)2 Vậy A (n - 1)2 (ĐPCM) BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài 1: CMR: a 32n +1 + 22n +2 b mn(m4 - n4) 30 Bài 2: CMR: A(n) = 3n + 63 72 với n chẵn n N, n Bài 3: Cho a b số phương lẻ liên tiếp CMR: a (a - 1) (b - 1) 192 Bài 4: CMR: Với p số nguyên tố p > p4 - 240 Bài 5: Cho số nguyên dương a, b, c thoả mãn a2 = b + c2 CMR: abc 60 HƯỚNG DẪN - ĐÁP SỐ 2n +1 2n +2 2n Bài 1: a +2 = 3.3 + 2.2 n n = 3.9 + 4.2 = 3(7 + 2)n + 4.2 n n = 7M + 7.2n b mn(m4 - n4) = mn(m2 - 1)(m2 + 1) - mn(n2 - 1) (n2 + 1) 30 Bài 3: Có 72 = 9.8 mà (8, 9) = n = 2k (k N) có n + 63 = 32k + 63 = (3 2k - 1) + 64 A(n) Bài 4: Đặt a = (2k - 1)2; b = (2k - 1)2 (k N) Ta có (a - 1)(b - 1) = 16k(k + 1)(k - 1) 64 Bài 5: Có 60 = 3.4.5 Đặt M = abc Nếu a, b, c không chia hết cho a2, b2 c2 chia hết cho dư a2 b2 + c2 Do có số chia hết cho Vậy M Nếu a, b, c không chia hết cho a2, b2 c2 chia dư b + c2 chia dư 2; a2 b2 + c2 Do có số chia hết cho Vậy M Nếu a, b, c số lẻ b2 c2 chia hết cho dư b2 + c2 (mod 4) a2 b + c2 Do số a, b phải số chẵn Giả sử b số chẵn Nếu C số chẵn M Nếu C số lẻ mà a2 = b + c2 a số lẻ b a c a c b2 = (a - c) (a + b) 2 b chẵn b m Vậy M = abc 3.4.5 = 60 Phương pháp 5: BIẾN ĐỔI BIỂU THỨC CẦN CHỨNG MINH VỀ DẠNG TỔNG Giả sử chứng minh A(n) k ta biến đổi A(n) dạng tổng nhiều hạng tử chứng minh hạng tử chia hết cho k Ví dụ 1: CMR: n3 + 11n với n z Giải 3 Ta có n + 11n = n - n + 12n = n(n - 1) + 12n = n(n + 1) (n - 1) + 12n Vì n, n - 1; n + số nguyên liên tiếp n(n + 1) (n - 1) 12n Vậy n3 + 11n Ví dụ 2: Cho a, b z thoả mãn (16a +17b) (17a +16b) 11 CMR: (16a +17b) (17a +16b) 121 Giải Có 11 số nguyên tố mà (16a +17b) (17a +16b) 11 16a 17b11 (1) 17a 16b11 Có 16a +17b + 17a +16b = 33(a + b) 11 (2) 16a 17b11 Từ (1) (2) 17a 16b11 Vậy (16a +17b) (17a +16b) 121 Ví dụ 3: Tìm n N cho P = (n + 5)(n + 6) 6n Giải Ta có P = (n + 5)(n + 6) = n + 11n + 30 = 12n + n2 - n + 30 Vì 12n 6n nên để P 6n n2 - n + 30 6n n2 - n n(n - 1) (1) 30 6n 30 n (2) Từ (1) n = 3k n = 3k + (k N) Từ (2) n {1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30} Vậy từ (1); (2) n {1; 3; 6; 10; 15; 30} Thay giá trị n vào P ta có n {1; 3; 10; 30} thoả mãn Vậy n {1; 3; 10; 15; 30} P = (n + 5)(n + 6) 6n BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài 1: CMR: 13 + 33 + 53 + 23 Bài 2: CMR: 36n2 + 60n + 24 24 Bài 3: CMR: a 5n+2 + 26.5n + 2n+1 59 b 2n + 14 Bài 4: Tìm n N cho n3 - 8n2 + 2n n2 + HƯỚNG DẪN - ĐÁP SỐ 3 3 3 Bài 1: + + + = (1 + ) + (33 + 53) = 8m + 8N Bài 2: 36 + 60n + 24 = 12n(3n + 5) + 24 Ta thấy n 3n + không đồng thời chẵn lẻ n(3n + 5) ĐPCM Bài 3: a 5n+2 + 26.5 n + 2n+1 = n(25 + 26) + 2n+1 = n(59 - 8) + 8.64 n = 5n.59 + 8.59m 59 b 2n + 14 = 2n - + 15 = (81n - 1) + 15 = 80m + 15 Bài 4: Có n3 - 8n2 + 2n = (n2 + 1)(n - 8) + n + (n2 + 1) n + n2 + Nếu n + = n = -8 (thoả mãn) Nếu n + n + 8 n2 + n -n 1 Víi n 8 n n Víi n 8 n n Víi n 8 n n Víi n 8 n {-2; 0; 2} thử lại Vậy n {-8; 0; 2} Phương pháp 6: DÙNG QUY NẠP TOÁN HỌC Giả sử CM A(n) P với n a (1) Bước 1: Ta CM (1) với n = a tức CM A(n) P Bước 2: Giả sử (1) với n = k tức CM A(k) P với k a Ta CM (1) với n = k + tức phải CM A(k+1) P Bước 3: Kết luận A(n) P với n a Ví dụ 1: Chứng minh A(n) = 16 n - 15n - 225 với n N* Giải Với n = A(n) = 225 225 n = Giả sử n = k nghĩa A(k) = 16 k - 15k - 225 Ta phải CM A(k+1) = 16 k+1 - 15(k + 1) - 225 Thật vậy: A(k+1) = 16 k+1 - 15(k + 1) - = 16.16 k - 15k - 16 = (16k - 15k - 1) + 15.16k - 15 = 16k - 15k - + 15.15m = A(k) + 225 mà A(k) 225 (giả thiết quy nạp) 225m 225 Vậy A(n) 225 n Ví dụ 2: CMR: với n N* n số tự nhiên lẻ ta có m 1 n Giải Với n = m2 - = (m + 1)(m - 1) (vì m + 1; m - số chẵn liên tiếp nên tích chúng chia hết cho 8) k Giả sử với n = k ta có m2 k 1 m 1 k ta phải chứng minh 1 k k k Thật k2 m 1 k m q (q z ) k m k 2.q có m2 k 1 2 1 m2 = k k2 q k 4.q k 3.q k ( k 1 q q ) k n Vậy m 1 n với n BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài 1: CMR: 33n+3 - 26n - 27 29 với n Bài 2: CMR: 42n+2 - 15 Bài 3: CMR số thành lập 3n chữ số giống chia hết cho 3n với n số nguyên dương HƯỚNG DẪN - ĐÁP SỐ Bài 1: Tương tự ví dụ Bài 2: Tương tự ví dụ Bài 3: Ta cần CM a a .a n sè a 3n (1) 1 1a 3 Với n = ta có a a a Giả sử (1) với n = k tức aa a k 3k sèa Ta chứng minh (1) với n = k + tức phải chứng minh aaa k 1 3k+1 ta có 3k+1 = 3.3k = 3k + 3k +3 k sè a k Có a a a a a a a a a a a a k 1 sè a 3k k 3k a a a 3k 3k 3k k aa a 102.3 103 1 3k1 3k Phương pháp 7: SỬ DỤNG ĐỒNG DƯ THỨC Giải toán dựa vào đồng dư thức chủ yếu sử dụng định lý Euler định lý Fermat Ví dụ 1: CMR: 22225555 + 55552222 Giải Có 2222 - (mod 7) 22225555 + 55552222 (- 4)5555 + 45555 (mod 7) Lại có: (- 4)5555 + 2222 = - 45555 + 42222 = - 42222 (43333 - 1) = - 2222 4 Vì = 64 (mod 7) 1111 Vậy 22225555 + 55552222 24 n1 n1 33 1111 522 với n N Giải Theo định lý Fermat ta có: 310 (mod 11) 210 (mod 11) Ta tìm dư phép chia 24n+1 34n+1 cho 10 1 (mod 7) 22225555 + 55552222 (mod 7) Ví dụ 2: CMR: a a Có 24n+1 = 2.16n (mod 10) 24n+1 = 10q + (q N) Có 34n+1 = 3.81n (mod 10) 34n+1 = 10k + (k N) 32 Ta có: n 1 n 1 33 310q2 210k 3 = 32.3 10q + 3.2 10k + 1+0+1 (mod 2) (mod 2) mà (2, 11) = Vậy 24 n 1 5 22 với n N 34 n 1 3 n 1 22 Ví dụ 3: CMR: 11 với n N Giải Ta có: (mod) 2 4n+1 (mod 10) = 10q + (q N) n1 4n+1 22 210q2 Theo định lý Fermat ta có: 10 (mod 11) 210q (mod 11) 22 n1 210q2 4+7 (mod 11) (mod 11) n 1 Vậy 22 11 với n N (ĐPCM) BÀI TẬP TƯƠNG TỰ n 2 Bài 1: CMR 22 319 với n N Bài 2: CMR với n ta có 52n-1 2n-15n+1 + n+1 22n-1 38 Bài 3: Cho số p > 3, p (P) CMR p - p - 42p Bài 4: CMR với số nguyên tố p có dạng 2n - n (n N) chia hết cho p HƯỚNG DẪN - ĐÁP SỐ Bài 1: Làm tương tự VD3 Bài 2: Ta thấy 52n-1 2n-15n+1 + n+1 22n-1 Mặt khác 52n-1 2n-15n+1 + n+1 22n-1 = n(52n-1.10 + 6n-1) Vì 25 (mod 19) n-1 6n-1 (mod 19) 25n-1.10 + 6n-1 n-1.19 (mod 19) (mod 19) Bài 3: Đặt A = p - p - (p lẻ) Dễ dàng CM A A A Nếu p = A = 37 - - 49 A 7p Nếu p (p, 7) = Theo định lý Fermat ta có: A = (3 p - 3) - (2p - 2) p Đặt p = 3q + r (q N; r = 1, 2) A = (33q+1 - 3) - (23q+r - 2) = r.27q - r.8 q - = 7k + r(-1)q - r - (k N) với r = 1, q phải chẵn (vì p lẻ) A = 7k - - - = 7k - 14 Vậy A mà A p, (p, 7) = A 7p Mà (7, 6) = 1; A A 42p Bài 4: Nếu P = 2 - = Nếu n > Theo định lý Fermat ta có: 2p-1 (mod p) m(p-1) (mod p) (m N) Xét A = m(p-1) + m - mp A p m = kq - Như p > p có dạng 2n - n N = (kp - 1)(p - 1), k N chia hết cho p Phương pháp 8: SỬ DỤNG NGUYÊN LÝ ĐIRICHLET Nguyên lý: Nếu đem n + thỏ nhốt vào n lồng có lồng chứa từ trở lên Ví dụ 1: CMR: Trong n + số nguyên có số có hiệu chia hết cho n Giải Lấy n + số nguyên cho chia cho n n + số dư nhận số sau: 0; 1; 2; …; n có số dư có số dư chia cho n Giả sử = nq1 + r 0r j; q, k N aj - aj = 1993(q - k) 1 00 9 3( q k ) i - j 99 sè i sè 1 1 9 3( q k ) j i - j 19 sè mà (10j, 1993) = 111 11 1993 (ĐPCM) 1994 sè Bài 3: Xét dãy số gồm 17 số nguyên a1, a2, …, a17 Chia số cho ta 17 số dư phải có số dư thuộc tập hợp{0; 1; 2; 3; 4} Nếu 17 số có số chia cho có số dư tổng chúng chia hết cho Nếu 17 số khơng có số có số dư chia cho tồn số có số dư khác tổng số dư là: + + + + = 10 10 Vậy tổng số chia hết cho Bài 4: Xét dãy số a1 = 1993, a2 = 19931993, … a1994 = 1993 1993 1994 sè 1993 đem chia cho 1994 có 1994 số dư thuộc tập {1; 2; …; 1993} theo ngun lý Đirichlet có số hạng có số dư Giả sử: = 1993 … 1993 (i số 1993) aj = 1993 … 1993 (j số 1993) aj - aj 1994 i < j 1994 1993 1993 10 ni 1993 j - i sè 1993 Phương pháp 9: PHƯƠNG PHÁP PHẢN CHỨNG Để CM A(n) p (hoặc A(n) p ) + Giả sử: A(n) p (hoặc A(n) p ) + CM giả sử sai + Kết luận: A(n) p (hoặc A(n) p ) Ví dụ 1: CMR n2 + 3n + 121 với n N Giả sử tồn n N cho n2 + 3n + 121 4n2 + 12n + 20 121 (vì (n, 121) = 1) (2n + 3)2 + 11 121 (1) (2n + 3)2 11 Vì 11 số nguyên tố 2n + 11 (2n + 3)2 121 (2) Từ (1) (2) 11 121 vô lý Vậy n2 + 3n + 121 Ví dụ 2: CMR n2 - n với n N* Giải Xét tập hợp số tự nhiên N * Giả sử n 1, n N* cho n2 - n Gọi d ước số chung nhỏ khác n d (p) theo định lý Format ta có 2d-1 (mod d) m < d ta chứng minh m\n Giả sử n = mq + r (0 r < m) Theo giả sử n2 - n nmq+r - n r(nmq - 1) + (2r - 1) n r - d r < m mà m N, m nhỏ khác có tính chất (1) r = m\n mà m < d có tính chất (1) nên điều giả sử sai Vậy n2 - n với n N* BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài 1: Có tồn n N cho n + n + 49 không? Bài 2: CMR: n2 + n + với n N* Bài 3: CMR: 4n2 - 4n + 18 289 với n N HƯỚNG DẪN - ĐÁP SỐ Bài 1: Giả sử tồn n N để n + n + 49 4n2 + 4n + 49 (2n + 1)2 + 49 (1) (2n + 1)2 Vì số nguyên tố 2n + (2n + 1)2 49 (2) Từ (1); (2) 49 vô lý Bài 2: Giả sử tồn n2 + n + với n (n + 2)(n - 1) + (1) n số nguyên tố (n + 2)(n - 1) (2) n 13 Từ (1) (2) vô lý Bài 3: Giả sử n N để 4n2 - 4n + 18 289 (2n - 1)2 + 17 172 (2n - 1) 17 17 số nguyên tố (2n - 1) 17 (2n - 1)2 289 17 289 vô lý ... thoả mãn (16a +17b) (17a +16b) 11 CMR: (16a +17b) (17a +16b) 121 Giải Có 11 số nguyên tố mà (16a +17b) (17a +16b) 11 16a 17b11 (1) 17a 16b11 Có 16a +17b + 17a +16b = 33(a +... n + 63 = 32k + 63 = (3 2k - 1) + 64 A(n) Bài 4: Đặt a = (2k - 1)2; b = (2k - 1)2 (k N) Ta có (a - 1)(b - 1) = 16k(k + 1)(k - 1) 64 Bài 5: Có 60 = 3.4.5 Đặt M = abc Nếu a, b, c không chia... chia hết cho thừa số k Ví dụ 1: CMR: 36n - 26n 35 Với n N Giải 6n 6n n n 6 Ta có - = (3 ) - (2 ) = (3 - )M = (3 + 23) (33 - 3)M = 35.19M 35 Vậy 36n - 26n 35 Với n N Ví dụ 2: CMR: Với