Giải Toán lớp 11: Phương pháp và kỹ năng - Phần 1

Mời các bạn cùng tham khảo phần 1 cuốn sách Phương pháp giải Toán lớp 11 được biên soạn dành cho quý thầy cô giáo và các em học sinh lớp 11 tham khảo để có phương pháp giảng dạy và học tập hiệu quả. Phần 1 cuốn sách có nội dung về: Công thức lượng giác; Hàm số lượng giác; Phương trình lượng giác; Cùng một số bài tập trắc nghiệm để các em luyện tập củng cố kiến thức. Mời thầy cô và các em cùng theo dõi chi tiết tại đây nhé.

1 CHINH PHỤC TOÁN THPT LÊ QUANG XE PHƯƠNG PHÁP S scale=0.7 A B D I GIẢI TOÁN LỚP 11 C MATHS  Blog Fanpage toanthayxe.com Phone 0967003131 Contact lequangxe@gmail.com LƯU HÀNH NỘI BỘ Muåc luåc Phần I ĐẠI SỐ Chương HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Bài CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC A Tóm tắt lý thuyết Bài HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC A Tóm tắt lý thuyết B Các dạng toán thường gặp Dạng Tìm tập xác định hàm số lượng giác Dạng Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số lượng giác 12 Dạng Xét tính chẵn lẻ hàm số lượng giác 18 C Bài tập trắc nghiệm 21 Bài PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 30 A Phương trình lượng giác 30 B Một số kỹ giải phương trình lượng giác 32 Dạng Sử dụng thành thạo cung liên kết 32 Dạng Ghép cung thích hợp để áp dụng cơng thức tích thành tổng 41 Dạng Hạ bậc gặp bậc chẵn sin cos 46 Dạng Xác định nhân tử chung để đưa phương trình tích 50 C Bài tập trắc nghiệm 77 Bài MỘT PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP 87 A Một số dạng toán thường gặp 87 Dạng Giải số phương trình bậc hai hàm số lượng giác 87 Dạng Phương trình bậc sin cos 105 Dạng Giải phương trình đẳng cấp 122 Dạng Giải phương trình đẳng cấp 132 Dạng Một số phương trình lượng giác khác 139 Dạng Một số phương trình lượng giác đặc biệt 146 B Bài tập trắc nghiệm 157 Bài BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG I 168 A Bài tập tự luận 168 B Bài tập trắc nghiệm 180 PHẦN I ĐẠI SỐ HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNGChûúng TRÌNH LƯỢNG GIÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC §0 CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Một số kiến thức a) Đường tròn lượng giác dấu giá trị lượng giác sin B(0; 1) (II) A (−1; 0) (I) O (III) (IV) + cos A(1; 0) B (0; −1) Giá trị lượng giác sin α cos α tan α cot α I + + + + Góc phần tư II III + − − − − + − + IV − + − − b) Công thức lượng giác sin2 x + cos2 x = 1 + tan2 x = cos2 x + cot2 x = sin2 x tan x cot x = c) Cung góc liên kết Cung đối cos(−α) = cos α sin(−α) = − sin α tan(−α) = − tan α cot(−α) = − cot α Cung bù cos(π − α) = − cos α sin(π − α) = sin α tan(π − α) = − tan α cot(π − α) = − cot α Cung π cos(α + π) = − cos α sin(α + π) = − sin α tan(α + π) = tan α cot(α + π) = cot α TRƯỜNG THPT NGUYỄN TẤT THÀNH Trang CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC Cung phụ π −α cos π sin −α π tan −α π cot −α = sin α = cos α = cot α = tan α Cung π +α cos π sin +α π tan +α π cot +α π = − sin α = cos α = − cot α = − tan α d) Công thức cộng sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a sin(a − b) = sin a cos b − sin b cos a tan a + tan b tan(a + b) = − tan a tan b + tan x π tan +x = − tan x cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b tan a − tan b tan(a − b) = + tan a tan b − tan x π tan −x = + tan x e) Công thức nhân đôi, công thức hạ bậc Công thức nhân đôi sin 2α = sin α cos α cos 2α = cos2 α − sin2 α = cos2 α − = − sin2 α tan α tan 2α = − tan2 α cot2 α − cot 2α = cot α Cơng thức nhân đ sin 3α = sin α − sin3 α cos 3α = cos3 α − cos α Công thức hạ bậc − cos 2α sin2 α = + cos 2α cos α = − cos 2α tan α = + cos 2α + cos 2α cot2 α = − cos 2α tan 3α = tan α − tan3 α − tan2 α f) Công thức biến đổi tổng thành tích a+b a−b cos 2 a+b a−b sin a + sin b = sin cos 2 sin(a + b) tan a + tan b = cos a cos b sin(a + b) cot a + cot b = sin a sin b cos a + cos b = cos a+b a−b cos a − cos b = −2 sin sin 2 a+b a−b sin a − sin b = cos sin 2 sin(a − b) tan a − tan b = cos a cos b sin(b − a) cot a − cot b = sin a sin b Đặt biệt √ π √ π ○ sin x − cos x = sin x − ○ sin x + cos x = sin x + g) Cơng thức biến đổi tích thành tổng Ƅ LÊ QUANG XE - ĐT: 0967.003.131 √ π cos x − √ π = − cos x + = Trang Chương HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC [cos(a − b) + cos(a + b)] sin a · sin b = [cos(a − b) − cos(a + b)] sin a · cos b = [sin(a − b) + sin(a + b)] cos a · cos b = Bảng lượng giác số góc đặc biệt độ 0◦ 30◦ 45◦ 60◦ 90◦ 120◦ 135◦ 150◦ rad 0 tan α cot α kxđ 2π √3 − √ − √ − 5π 2√ π √3 2 √ √ 3 3π √4 2√ cos α π √4 √2 2 π sin α π √2 √2 3 √ 1 kxđ 2 − √2 − √ − − −1 −1 180◦ 360◦ π 2π 0 −1 0 kxđ kxđ Một điểm M thuộc đường trịn lượng giác có tọa độ M(cos α, sin α) y − 12 , √ − (0, 1) √ √ 2 , 2π √ ,2 − 3π 5π (−1, 0) π √ − √ , 2 120◦ π 90◦ π 60◦ 150◦ 7π − 12 , − π (1, 0) 360 0◦ ◦ 2π 210◦ 5π , −2 √ √ − 22 , − 22 ,2 π 30◦ 180◦ √ 2 , √ √ 330◦ 240◦ 4π √ 270◦ 3π 300◦ 5π 7π 11π x √ , −2 √ √ 2 , − 2 √ 2, − (0, −1) TRƯỜNG THPT NGUYỄN TẤT THÀNH Trang HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC §1 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC A TĨM TẮT LÝ THUYẾT Tính chất 1.1 a) Hàm số chẵn, hàm số lẻ ○ Hàm số y = f (x) có tập xác định D gọi hàm số chẵn với x ∈ D − x ∈ D f (− x) = f (x) Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng ○ Hàm số y = f (x) có tập xác định D gọi hàm số lẻ với x ∈ D − x ∈ D f (− x) = − f (x) Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng b) Hàm số đơn điệu Cho hàm số y = f (x) xác định tập (a; b) ⊂ R ○ Hàm số y = f (x) gọi đồng biến (a; b) ∀ x1 , x2 ∈ (a; b) có x1 < x2 ⇒ f (x1 ) < f (x2 ) ○ Hàm số y = f (x) gọi nghịch biến (a; b) ∀ x1 , x2 ∈ (a; b) có x1 < x2 ⇒ f (x1 ) > f (x2 ) c) Hàm số tuần hoàn ○ Hàm số y = f (x) xác định tập hợp D, gọi hàm số tuần hồn có số T = cho với x ∈ D ta có (x + T) ∈ D (x − T) ∈ D f (x + T) = f (x) ○ Nếu có số dương T nhỏ thỏa mãn điều kiện T gọi chu kì hàm tuần hồn f Định nghĩa 1.1 Hàm số y = sin x ○ Hàm số y = sin x có tập xác định D = R ⇒ y = sin f (x) xác định ⇔ f (x) xác định ○ Tập giá trị T = [−1; 1], nghĩa −1 ≤ sin x ≤ ⇒ ◦ ≤ | sin x | ≤ ◦ ≤ sin2 x ≤ ○ Hàm số y = f (x) = sin x hàm số lẻ f (− x) = sin(− x) = − sin x = − f (x) Nên đồ thị hàm số y = sin x nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng ○ Hàm số y = sin x tuần hồn với chu kì T0 = 2π, nghĩa sin (x + k2π) = sin x Hàm số 2π y = sin(ax + b) tuần hoàn với chu kì T0 = | a| π π ○ Hàm số y = sin x đồng biến khoảng − + k2π; + k2π nghịch biến 2 Å ã π 3π khoảng + k2π; + k2π với k ∈ Z 2 ◦ ○ Hàm số y = sin x nhận giá trị đặc biệt ◦ ◦ ○ Đồ thị hàm số Ƅ LÊ QUANG XE - ĐT: 0967.003.131 π + k2π , k ∈ Z sin x = ⇔ x = kπ π sin x = −1 ⇔ x = − + k2π sin x = ⇔ x = Trang Chương HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC y − π2 −π π π x Định nghĩa 1.2 Hàm số y = cos x ○ Hàm số y = cos x có tập xác định D = R ⇒ y = cos f (x) xác định ⇔ f (x) xác định ® ≤ | cos x | ≤ ○ Tập giá trị T = [−1; 1], nghĩa −1 ≤ cos x ≤ ⇒ ≤ cos2 x ≤ ○ Hàm số y = cos x hàm số chẵn f (− x) = cos(− x) = cos x = f (x) nên đồ thị hàm số nhận trục tung Oy làm trục đối xứng ○ Hàm số y = cos x tuần hồn với chu kì T0 = 2π, nghĩa cos(x + 2π) = cos x Hàm số 2π y = cos(ax + b) tuần hồn với chu kì T0 = | a| ○ Hàm số y = cos x đồng biến khoảng (−π + k2π; k2π) , k ∈ Z nghịch biến khoảng (k2π; π + k2π) , k ∈ Z ◦ ○ Hàm số y = cos x nhận giá trị đặc biệt ◦ ◦ cos x = ⇔ x = k2π cos x = −1 ⇔ x = π + k2π , k ∈ Z π cos x = ⇔ x = + kπ ○ Đồ thị hàm số y −π − π2 π π x Định nghĩa 1.3 Hàm số y = tan x π π ○ Hàm số y = tan x có tập xác định D = R \ + kπ, k ∈ Z , nghĩa x = + kπ ⇒ hàm 2 π số y = tan f (x) xác định ⇔ f (x) = + kπ; (k ∈ Z) ○ Tập giá trị T = R ○ Hàm số y = tan x hàm số lẻ f (− x) = tan(− x) = − tan x = − f (x) nên đồ thị hàm số đối xứng qua gốc tọa độ O ○ Hàm số y = tan x tuần hồn với chu kì T0 = π ⇒ y = tan(ax + b) tuần hồn với chu kì π T0 = | a| ○ Hàm số y = tan x đồng biến khoảng − π π + kπ; + kπ , k ∈ Z 2 TRƯỜNG THPT NGUYỄN TẤT THÀNH Trang HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC π + kπ π tan x = −1 ⇔ x = − + kπ , k ∈ Z tan x = ⇔ x = kπ ◦ ○ Hàm số y = tan x nhận giá trị đặc biệt tan x = ⇔ x = ◦ ◦ ○ Đồ thị hàm số y π −π − O π x π Định nghĩa 1.4 Hàm số y = cot x ○ Hàm số y = y = cot x có tập xác định D = R \ {kπ, k ∈ Z}, nghĩa x = kπ ⇒ hàm số y = cot f (x) xác định ⇔ f (x) = kπ; (k ∈ Z) ○ Tập giá trị T = R ○ Hàm số y = cot x hàm số lẻ f (− x) = cot(− x) = − cot x = − f (x) nên đồ thị hàm số đối xứng qua gốc tọa độ O ○ Hàm số y = y = cot x tuần hồn với chu kì T0 = π ⇒ y = cot(ax + b) tuần hồn với chu π kì T0 = | a| ○ Hàm số y = y = cot x nghịch biến khoảng (kπ; π + kπ) , k ∈ Z ◦ ○ Hàm số y = y = cot x nhận giá trị đặc biệt ◦ ◦ π + kπ π cot x = −1 ⇔ x = − + kπ , k ∈ Z π cot x = ⇔ x = kπ cot x = ⇔ x = ○ Đồ thị hàm số y 3π π −π − − 3π Ƅ LÊ QUANG XE - ĐT: 0967.003.131 O π π x Trang 72 Chương HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Vậy phương trình cho có ba nghiệm x = − π π + k1 2π, x = ± + k2 2π, với k1 , k2 ∈ Z π π x=− + k1 2π, x = ± + k2 2π, với k1 , k2 ∈ Z e) Ta có ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ √ π π sin − 2x + sin +x = √ √ √ √ √ cos 2x − sin 2x + cos x + sin x = cos 2x − sin 2x + sin x + cos x = (cos x − sin x)(cos x + sin x) + (sin x + cos x) = (sin x + cos x)2 (sin x + cos x)(cos x − sin x + − sin x − cos x) = ñ sin x + cos x = sin x =  tan x = −1  sin x =  π x = − + k1 π   x = π + k 2π    5π + k3 2π x= Vậy phương trình cho có ba nghiệm x = − k1 , k2 , k3 ∈ Z π π 5π + k1 π, x = + k2 2π, x = + k3 2π, với 6 x=− π π 5π + k1 π, x = + k2 2π, x = + k3 2π, với k1 , k2 , k3 ∈ Z 6 f) Ta có ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ √ π π cos − x − sin + 2x = 4 √ √ π π − x − sin + 2x = cos 4 sin x + cos x − sin 2x − cos 2x = sin x + cos x − (sin x + cos x)2 − (cos x − sin x)(cos x + sin x) = (sin x + cos x)(1 − sin x − cos x − cos x + sin x) = (sin x + cos x)(1 − cos x) = ñ sin x + cos x = − cos x =  tan x = −1  cos x =  π x = − + k1 π   π x = ± + k2 2π Vậy phương trình cho có ba nghiệm x = − π π + k1 π, x = ± + k2 2π., với k1 , k2 ∈ Z π π x=− + k1 π, x = ± + k2 2π., với k1 , k2 ∈ Z TRƯỜNG THPT NGUYỄN TẤT THÀNH Trang 73 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC g) Ta có ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ sin3 x + cos3 x = sin x + cos x (sin x + cos x)(1 − sin x cos x) = sin x + cos x (sin x + cos x) sin 2x = ñ sin x + cos x = sin 2x = ñ tan x = −1 sin 2x =  π x = − + k1 π   π x = k2 Vậy phương trình cho có hai nghiệm x = − π π + k1 π, x = k2 , với k1 , k2 ∈ Z π π x=− + k1 π, x = k2 , với k1 , k2 ∈ Z h) Ta có ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ sin3 x + cos3 x = 2(sin5 x + cos5 x) sin3 x − sin5 x + cos3 x − cos5 x = sin3 x(1 − sin2 x) + cos3 x(1 − cos2 x) = sin3 x cos 2x − cos3 x cos 2x = cos 2x(sin x − cos x)(1 + sin x cos x) =  cos 2x =   sin x = cos x sin 2x = −2 cos 2x = π π x = + k1 Vậy phương trình cho có nghiệm x = π π + k , với k ∈ Z x= i) Ta có ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ Ƅ LÊ QUANG XE - ĐT: 0967.003.131 sin3 x + cos 2x + cos x = sin3 x + − sin2 x + cos x = 2(1 − cos2 x)(sin x − 1) + (1 + cos x) = (1 + cos x)(2 sin x + cos x − sin x cos x − 1) = (1 + cos x)(2(sin x + cos x) − (sin x + cos x)2 ) = (1 + cos x)(sin x + cos x)(2 − sin x − cos x) = (1 + cos x)(sin x + cos x) = ñ cos x = −1 tan x = −1  x = π + k1 2π  π x = − + k2 π π π + k , với k ∈ Z Trang 74 Chương HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Vậy phương trình cho có hai nghiệm x = π + k1 2π, x = − π + k2 π, với k1 , k2 ∈ Z π x = π + k1 2π, x = − + k2 π, với k1 , k2 ∈ Z j) Ta có cos 2x sin8 x(1 − sin2 x) + cos8 x(1 − cos2 x) = cos 2x sin8 x cos 2x − cos8 x cos 2x = cos 2x 8 cos 2x(4(sin x − cos x) − 5) =  cos 2x =  sin8 x − cos8 x = sin8 x + cos8 x = 2(sin10 x + cos10 x) + ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ 5 Xét phương trình sin8 x − cos8 x = ⇔ sin8 x = + cos8 x ≥ > vô lý, suy phương 4 trình sin8 x − cos8 x = vơ nghiệm π π Do cos 2x = ⇔ x = + k , k ∈ Z π π x= +k , k ∈ Z k) Ta có ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ √ sin 2x − cos 2x − sin x = √ √ π − sin x = sin 2x − π = sin x sin 2x −  π 2x − = x + k1 2π   π 2x − = π − x + k2 2π  π x = + k1 2π   5π 2π x= + k2 12 Vậy phương trình cho có hai nghiệm x = π 5π 2π + k1 2π, x = + k2 , với k1 , k2 ∈ Z 12 x= ® l) Điều kiện π 5π 2π + k1 2π, x = + k2 , với k1 , k2 ∈ Z 12  x = π + k π cos 2x = , k ∈ Z Ta có ⇔ x = kπ sin x = tan 2x + cot x = cos2 x sin 2x cos x ⇔ + = cos2 x cos 2x sin x ⇔ cos 2x cos x + sin 2x sin x = cos 2x sin x cos2 x ⇔ cos x = sin 4x cos x TRƯỜNG THPT NGUYỄN TẤT THÀNH Trang 75 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC  cos x = sin 4x =  π x = + k1 π   x = π + k π ⇔  24   5π π x= + k3 24 ⇔  Vậy phương trình có ba nghiệm x = k3 ∈ Z π π π 5π π + k1 π, x = + k2 , x = + k3 , với k1 , k2 , 24 24 x= π π π 5π π + k1 π, x = + k2 , x = + k3 , với k1 , k2 , k3 ∈ Z 24 24 m) Ta có ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ sin 3x + + sin x(3 − cos x) = cos x sin x − 12 sin3 x + + sin x − sin x cos x − cos x = 12 sin x − 12 sin3 x + − sin x cos x − cos x = 12 sin x cos2 x − sin x cos x + − cos x = sin x cos x(3 cos x − 2) − (3 cos x − 2) = (3 cos x − 2)(2 sin 2x − 1) =  cos x =   sin 2x = Å ã  + k1 2π x = ± arccos   π  x = + k2 π  12  5π x= + k3 π 12 Å ã π Vậy phương trình cho có bốn nghiệm x = ± arccos + k1 2π, x = + k2 π, x = 12 5π + k3 π, với k1 , k2 , k3 ∈ Z 12 Å ã x = ± arccos + k1 2π, x = π 5π + k2 π, x = + k3 π, với k1 , k2 , k3 ∈ Z 12 12 n) Ta có ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ Ƅ LÊ QUANG XE - ĐT: 0967.003.131 sin x(2 cos 2x + + sin x) = cos 2x + sin x cos 2x + sin x + sin2 x − cos 2x − = sin x cos 2x − cos 2x + sin x − = (2 cos 2x + 1)(2 sin x − 1) =  sin x =   cos 2x = − Trang 76 Chương HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC  π + k1 2π   5π  ⇔ x = + k2 2π   π x = ± + k3 π x= Vậy phương trình cho có ba nghiệm x = k1 , k2 , k3 ∈ Z π 5π π + k1 2π, x = + k2 2π, x = ± + k3 π, với 6 x= π 5π π + k1 2π, x = + k2 2π, x = ± + k3 π, với k1 , k2 , k3 ∈ Z 6 TRƯỜNG THPT NGUYỄN TẤT THÀNH Trang 77 C PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu Phương trình cos x = cos α có nghiệm A x = ±α + k2π , (k ∈ Z) C x = α + k2π , (k ∈ Z) B x = −α + kπ , (k ∈ Z) D x = ±α + kπ , (k ∈ Z) ɓ Lời giải đ Cơng thức nghiệm tổng qt phương trình cos x = cos α ⇔ x = α + k2π (k ∈ Z) x = −α + k2π Câu Xét phương trình sin x = a Mệnh đề sau đúng? A Phương trình ln có nghiệm với số thực a < B Phương trình ln có nghiệm ∀ a ∈ R C Phương trình ln có nghiệm với số thực a ≤ D Phương trình ln có nghiệm với số thực a thỏa | a| ≤ ɓ Lời giải Phương trình sin x = a có nghiệm số thực a thỏa | a| ≤ Chọn đáp án D Câu Phương trình sin x = sin 15◦ có nghiệm A x = ±15◦ + k360◦ ; k ∈ Z C x = 15◦ + kπ; k ∈ Z B ñ x = 15◦ + k180◦ ; k ∈ Z x = 15◦ + k360◦ D ; k ∈ Z x = 165◦ + k360◦ ɓ Lời giải ñ x = 15 + k360 x = 15◦ + k360◦ ◦ Ta có sin x = sin 15 ⇔ ⇔ ; k ∈ Z x = 180◦ − 15◦ + k360◦ x = 165◦ + k360◦ ñ ◦ ◦ Chọn đáp án D Câu π Giải phương trình sin x = sin ta có nghiệm   π x = + k2π x   A  , k ∈ Z B  2π x= + k2π x  x π  C x = + k2π, k ∈ Z D  x ɓ Lời giải Ƅ LÊ QUANG XE - ĐT: 0967.003.131 π + kπ , k ∈ Z 2π = + kπ π = + k2π , k ∈ Z π = − + k2π = Trang 78 Chương HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC π + k2π π  Ta có sin x = sin ⇔  , k ∈ Z 2π x= + k2π Chọn đáp án A  x= Câu Nghiệm phương trình cos x = − π A x = ± + k2π, k ∈ Z 2π C x=± + k2π, k ∈ Z π + k2π, k ∈ Z π D x = ± + kπ, k ∈ Z B x=± ɓ Lời giải 2π 2π Ta có cos x = − ⇔ cos x = cos ⇔x=± + k2π, k ∈ Z 3 Chọn đáp án C Câu Tìm nghiệm phương trình sin 4x = kπ , k ∈ Z A x = kπ, k ∈ Z B x= C x= kπ , k ∈ Z D x= kπ , k ∈ Z ɓ Lời giải Phương trình cho tương đương với sin 4x = ⇔ x = kπ , k ∈ Z Chọn đáp án C Câu Giải phương trình cos x = ta nghiệm π A x = + k2π B x = k2π C x= π + kπ D x = kπ π + k2π D x= ɓ Lời giải π Ta có cos x = ⇔ x = + kπ, k ∈ Z Chọn đáp án C Câu Tìm nghiệm phương trình sin 2x = π π A x = + k2π B x = + kπ C x= kπ ɓ Lời giải Ta có sin 2x = ⇔ 2x = π π + k2π ⇔ x = + kπ Chọn đáp án B TRƯỜNG THPT NGUYỄN TẤT THÀNH Trang 79 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Câu Số nghiệm phương trình cos 2x = 1, x ∈ (0; 12π) A 10 B C 12 D 11 ɓ Lời giải Ta có cos 2x = ⇔ x = kπ, k ∈ Z Do x ∈ (0; 12π) nên k ∈ (0; 12) k ∈ Z nên k nhận 11 giá trị từ đến 11 Ứng với 11 giá trị k, ta có số nghiệm phương trình 11 Chọn đáp án D Câu 10 Phương  trình sin 2x = cos x có nghiệm π kπ x = + A  , (k ∈ Z) π x = + k2π  π k2π x = + , (k ∈ Z) C  π x = + k2π  π π x=  π x = D  π x= x=  B  + k2π , (k ∈ Z) + k2π kπ , (k ∈ Z) + k2π + ɓ Lời giải Phương trình cho viết lại sau   π π k2π 2x = − x + k2π x = + π   , (k ∈ Z) −x ⇔ sin 2x = sin , (k ∈ Z) ⇔  π π 2x = + x + k2π x = + k2π 2 Chọn đáp án C Câu 11 Tập hợp nghiệm phương trình sin x = π A + kπ |k ∈ Z π C + k2π |k ∈ Z B {π + k2π |k ∈ Z} D {k2π |k ∈ Z} ɓ Lời giải π Ta có sin x = ⇔ x = + k2π (k ∈ Z) Chọn đáp án C Câu 12 Phương trình sau vô nghiệm? A cot x = −3 B sin x = Phương trình cos x = Chọn đáp án C √ vơ nghiệm Ƅ LÊ QUANG XE - ĐT: 0967.003.131 √ C cos x = ɓ Lời giải > √ D tan x = Trang 80 Chương HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Câu 13 Phương trình cos 2x = m vơ nghiệm đ A m < −1 C −1 ≤ m ≤ B m > D m < −1 m>1 ɓ Lời giải đ Vì | cos 2x | ≤ 1, ∀ x nên phương trình cos 2x = m vơ nghiệm m < −1 m > Chọn đáp án D Câu 14 biểu diễn đường trịn lượng giác hình bên điểm đây? A Điểm C, điểm F B Điểm C, điểm J Nghiệm phương trình sin x = C Điểm D, điểm I D Điểm C, điểm G sin B E D C F A cos A J G H B I ɓ Lời giải π x = + k2π π  , k ∈ Z Ta có sin x = ⇔ sin x = sin ⇔  5π + k2π x= Chọn đáp án A  Câu 15 ï 3π π Tìm số nghiệm thuộc khoảng − ; − 2 A B ã phương trình C √ Å ã 3π sin x = cos − 2x D ɓ Lời giải Phương trình cho tương đương với √ sin x = − sin 2x ⇔ √  sin x + sin x cos x = ⇔  sin x = cos x = − √ ○ Với sin x = ï0 ⇔ x = kπ ã với k ∈ Z 3π π Suy x ∈ − ; − ⇔ − ≤ k < − ⇒ k = 2 2 √ ○ Với cos x = − 5π ⇔x=± + k2π với k ∈ Z TRƯỜNG THPT NGUYỄN TẤT THÀNH Trang 81 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC − ≤k