1 � CHINH PHỤC TOÁN THPT LÊ QUANG XE PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN LỚP 11 scale=0 7 I S A B C D MATHS Blog của Fanpage toanthayxe com � Phone 0967003131 Contact lequangxe@gmail com Q LƯU HÀNH NỘI BỘ � Muåc[.]
1 CHINH PHỤC TOÁN THPT LÊ QUANG XE PHƯƠNG PHÁP S scale=0.7 A B D I GIẢI TOÁN LỚP 11 C MATHS Q Blog Fanpage toanthayxe.com Phone 0967003131 Contact lequangxe@gmail.com LƯU HÀNH NỘI BỘ Muåc luåc Phần I ĐẠI SỐ Chương HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Bài CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC A Tóm tắt lý thuyết Bài HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC A Tóm tắt lý thuyết B Các dạng toán thường gặp | Dạng Tìm tập xác định hàm số lượng giác | Dạng Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số lượng giác 12 | Dạng Xét tính chẵn lẻ hàm số lượng giác 18 C Bài tập trắc nghiệm 21 Bài PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 30 A Phương trình lượng giác 30 B Một số kỹ giải phương trình lượng giác 32 | Dạng Sử dụng thành thạo cung liên kết 32 | Dạng Ghép cung thích hợp để áp dụng cơng thức tích thành tổng 41 | Dạng Hạ bậc gặp bậc chẵn sin cos 46 | Dạng Xác định nhân tử chung để đưa phương trình tích 50 C Bài tập trắc nghiệm 77 Bài MỘT PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP 87 A Một số dạng toán thường gặp 87 | Dạng Giải số phương trình bậc hai hàm số lượng giác 87 | Dạng Phương trình bậc sin cos 105 | Dạng Giải phương trình đẳng cấp 122 | Dạng Giải phương trình đẳng cấp 132 | Dạng Một số phương trình lượng giác khác 139 | Dạng Một số phương trình lượng giác đặc biệt 146 B Bài tập trắc nghiệm 157 Bài BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG I 168 A Bài tập tự luận 168 B Bài tập trắc nghiệm 180 PHẦN I ĐẠI SỐ HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNGChûúng TRÌNH LƯỢNG GIÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC §0 CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Một số kiến thức a) Đường tròn lượng giác dấu giá trị lượng giác sin B(0; 1) (II) A0 (−1; 0) (I) O (III) (IV) + cos A(1; 0) B0 (0; −1) Giá trị lượng giác sin α cos α tan α cot α I + + + + Góc phần tư II III + − − − − + − + IV − + − − b) Công thức lượng giác sin2 x + cos2 x = 1 + tan2 x = cos2 x + cot2 x = sin2 x tan x cot x = c) Cung góc liên kết Cung đối cos(−α) = cos α sin(−α) = − sin α tan(−α) = − tan α cot(−α) = − cot α Cung bù cos(π − α) = − cos α sin(π − α) = sin α tan(π − α) = − tan α cot(π − α) = − cot α Cung π cos(α + π) = − cos α sin(α + π) = − sin α tan(α + π) = tan α cot(α + π) = cot α TRƯỜNG THPT NGUYỄN TẤT THÀNH Trang CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC Cung phụ π − α = sin α cos π2 sin − α = cos α 2π tan − α = cot α π2 cot − α = tan α π Cung π + α = − sin α cos 2π sin + α = cos α π2 tan + α = − cot α π2 cot + α = − tan α d) Công thức cộng sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a sin(a − b) = sin a cos b − sin b cos a tan a + tan b tan(a + b) = a tan b π 1 − 1tan + tan x tan +x = − tan x cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b tan a − tan b tan(a − b) = a tan b π 1 + 1tan − tan x tan −x = + tan x e) Công thức nhân đôi, công thức hạ bậc Công thức nhân đôi sin 2α = sin α cos α cos 2α = cos2 α − sin2 α = cos2 α − = − sin2 α tan α tan 2α = − tan2 α cot2 α − cot 2α = cot α Cơng thức nhân đ sin 3α = sin α − sin3 α cos 3α = cos3 α − cos α Công thức hạ bậc − cos 2α sin2 α = + cos 2α cos α = − cos 2α tan α = + cos 2α + cos 2α cot2 α = − cos 2α tan 3α = tan α − tan3 α − tan2 α f) Công thức biến đổi tổng thành tích a+b a−b cos 2 a+b a−b sin a + sin b = sin cos 2 sin(a + b) tan a + tan b = cos a cos b sin(a + b) cot a + cot b = sin a sin b cos a + cos b = cos a+b a−b cos a − cos b = −2 sin sin 2 a+b a−b sin a − sin b = cos sin 2 sin(a − b) tan a − tan b = cos a cos b sin(b − a) cot a − cot b = sin a sin b Đặt biệt √ π √ π ○ sin x + cos x = sin x + = cos x − 4 √ √ π π ○ sin x − cos x = sin x − = − cos x + 4 g) Cơng thức biến đổi tích thành tổng LÊ QUANG XE - ĐT: 0967.003.131 Trang Chương HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC [cos(a − b) + cos(a + b)] sin a · sin b = [cos(a − b) − cos(a + b)] sin a · cos b = [sin(a − b) + sin(a + b)] cos a · cos b = Bảng lượng giác số góc đặc biệt độ 0◦ 30◦ 45◦ 60◦ 90◦ 120◦ 135◦ 150◦ rad 0 tan α cot α kxđ 2π √3 − √ − √ − 5π 2√ π √3 2 √ √ 3 3π √4 2√ cos α π √4 √2 2 π sin α π √2 √2 3 √ 1 kxđ 2 − −1 −1 √2 − √ − − 180◦ 360◦ π 2π 0 −1 0 kxđ kxđ Một điểm M thuộc đường trịn lượng giác có tọa độ M(cos α, sin α) y √ − √ − − 12 , √ ,2 π √ − 2π 3π (−1, 0) 2 2 , 5π (0, 1) √ 120◦ π 90◦ π 60◦ 150◦ 7π − 12 , − √ 2 , √ ,2 π π 360 0◦ ◦ 2π 210◦ 5π , −2 √ √ − 22 , − 22 √ , 2 √ 30◦ 180◦ 330◦ 240◦ 4π √ 270◦ 3π 300◦ 7π 11π √ (1, 0) , −2 5π √ √ 2 ,− √ 2, − x (0, −1) TRƯỜNG THPT NGUYỄN TẤT THÀNH Trang HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC §1 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Tính chất 1.1 a) Hàm số chẵn, hàm số lẻ ○ Hàm số y = f (x) có tập xác định D gọi hàm số chẵn với x ∈ D − x ∈ D f (− x) = f (x) Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng ○ Hàm số y = f (x) có tập xác định D gọi hàm số lẻ với x ∈ D − x ∈ D f (− x) = − f (x) Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng b) Hàm số đơn điệu Cho hàm số y = f (x) xác định tập (a; b) ⊂ R ○ Hàm số y = f (x) gọi đồng biến (a; b) ∀ x1 , x2 ∈ (a; b) có x1 < x2 ⇒ f (x1 ) < f (x2 ) ○ Hàm số y = f (x) gọi nghịch biến (a; b) ∀ x1 , x2 ∈ (a; b) có x1 < x2 ⇒ f (x1 ) > f (x2 ) c) Hàm số tuần hoàn ○ Hàm số y = f (x) xác định tập hợp D, gọi hàm số tuần hồn có số T 6= cho với x ∈ D ta có (x + T) ∈ D (x − T) ∈ D f (x + T) = f (x) ○ Nếu có số dương T nhỏ thỏa mãn điều kiện T gọi chu kì hàm tuần hồn f Định nghĩa 1.1 Hàm số y = sin x ○ Hàm số y = sin x có tập xác định D = R ⇒ y = sin f (x) xác định ⇔ f (x) xác định ◦ ≤ | sin x | ≤ ○ Tập giá trị T = [−1; 1], nghĩa −1 ≤ sin x ≤ ⇒ ◦ ≤ sin2 x ≤ ○ Hàm số y = f (x) = sin x hàm số lẻ f (− x) = sin(− x) = − sin x = − f (x) Nên đồ thị hàm số y = sin x nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng ○ Hàm số y = sin x tuần hồn với chu kì T0 = 2π, nghĩa sin (x + k2π) = sin x Hàm số 2π y = sin(ax + b) tuần hoàn với chu kì T0 = | a| π π ○ Hàm số y = sin x đồng biến khoảng − + k2π; + k2π nghịch biến 2 Å ã π 3π khoảng + k2π; + k2π với k ∈ Z 2 π ◦ sin x = ⇔ x = + k2π ○ Hàm số y = sin x nhận giá trị đặc biệt ◦ sin x = ⇔ x = kπ , k ∈ Z π ◦ sin x = −1 ⇔ x = − + k2π ○ Đồ thị hàm số LÊ QUANG XE - ĐT: 0967.003.131 Trang Chương HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC y − π2 −π π π x Định nghĩa 1.2 Hàm số y = cos x ○ Hàm số y = cos x có tập xác định D = R ⇒ y = cos f (x) xác định ⇔ f (x) xác định ® ≤ | cos x | ≤ ○ Tập giá trị T = [−1; 1], nghĩa −1 ≤ cos x ≤ ⇒ ≤ cos2 x ≤ ○ Hàm số y = cos x hàm số chẵn f (− x) = cos(− x) = cos x = f (x) nên đồ thị hàm số nhận trục tung Oy làm trục đối xứng ○ Hàm số y = cos x tuần hồn với chu kì T0 = 2π, nghĩa cos(x + 2π) = cos x Hàm số 2π y = cos(ax + b) tuần hồn với chu kì T0 = | a| ○ Hàm số y = cos x đồng biến khoảng (−π + k2π; k2π) , k ∈ Z nghịch biến khoảng (k2π; π + k2π) , k ∈ Z ◦ cos x = ⇔ x = k2π ○ Hàm số y = cos x nhận giá trị đặc biệt ◦ cos x = −1 ⇔ x = π + k2π , k ∈ Z π ◦ cos x = ⇔ x = + kπ ○ Đồ thị hàm số y −π − π2 π π x Định nghĩa 1.3 Hàm số y = tan x nπ o π ○ Hàm số y = tan x có tập xác định D = R \ + kπ, k ∈ Z , nghĩa x 6= + kπ ⇒ hàm 2 π số y = tan f (x) xác định ⇔ f (x) 6= + kπ; (k ∈ Z) ○ Tập giá trị T = R ○ Hàm số y = tan x hàm số lẻ f (− x) = tan(− x) = − tan x = − f (x) nên đồ thị hàm số đối xứng qua gốc tọa độ O ○ Hàm số y = tan x tuần hồn với chu kì T0 = π ⇒ y = tan(ax + b) tuần hồn với chu kì π T0 = | a| π π ○ Hàm số y = tan x đồng biến khoảng − + kπ; + kπ , k ∈ Z 2 TRƯỜNG THPT NGUYỄN TẤT THÀNH Trang HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC ◦ ○ Hàm số y = tan x nhận giá trị đặc biệt ◦ ◦ π + kπ π tan x = −1 ⇔ x = − + kπ , k ∈ Z tan x = ⇔ x = kπ tan x = ⇔ x = ○ Đồ thị hàm số y π −π − O π x π Định nghĩa 1.4 Hàm số y = cot x ○ Hàm sốy = y = cot x có tập xác định D = R \ {kπ, k ∈ Z}, nghĩa x 6= kπ ⇒ hàm số y = cot f (x) xác định ⇔ f (x) 6= kπ; (k ∈ Z) ○ Tập giá trị T = R ○ Hàm số y = cot x hàm số lẻ f (− x) = cot(− x) = − cot x = − f (x) nên đồ thị hàm số đối xứng qua gốc tọa độ O ○ Hàm số y = y = cot x tuần hồn với chu kì T0 = π ⇒ y = cot(ax + b) tuần hồn với chu π kì T0 = | a| ○ Hàm số y = y = cot x nghịch biến khoảng (kπ; π + kπ) , k ∈ Z ◦ cot x = ⇔ x = π + kπ π ○ Hàm số y = y = cot x nhận giá trị đặc biệt ◦ cot x = −1 ⇔ x = − + kπ , k ∈ Z π ◦ cot x = ⇔ x = kπ ○ Đồ thị hàm số y 3π π −π − − 3π LÊ QUANG XE - ĐT: 0967.003.131 O π π x Trang Chương HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC B CÁC DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP Dạng Tìm tập xác định hàm số lượng giác Phương pháp giải: Để tìm tập xác định hàm số lượng giác ta cần nhớ: a) y = tan f (x) = sin f (x) π ; Điều kiện xác định: cos f (x) 6= ⇔ f (x) 6= + kπ, (k ∈ Z) cos f (x) b) y = cot f (x) = cos f (x) ; Điều kiện xác định: sin f (x) 6= ⇔ f (x) 6= kπ, (k ∈ Z) sin f (x) c) Một số trường hợp tìm tập xác định thường gặp: ○ y= , điều kiện xác định P(x) 6= P(x) ○ y = √ 2n P(x ≥ 0) ○ y = P(x), điều kiện xác định √ 2n P(x) > ® d) Lưu ý rằng: −1 ≤ sin f (x); cos f (x) ≤ A · B 6= ⇔ e) Với k ∈ Z, ta cần nhớ trường hợp đặc biệt: π sin x = ⇔ x = + k2π ○ ○ sin x = ⇔ x = kπ π sin x = −1 ⇔ x = − + k2π cos x = ⇔ x = k2π π cos x = ⇔ x = + kπ ○ cos x = −1 ⇔ x = π + k2π , điều kiện xác định P(x) A 6= B 6= π + kπ tan x = ⇔ x = kπ π tan x = −1 ⇔ x = − + kπ π cot x = ⇔ x = + kπ π ○ cot x = ⇔ x = + kπ π cot x = −1 ⇔ x = − + kπ tan x = ⇔ x = Ví dụ sin 3x Tìm tập xác định hàm số: y = f (x) = + tan2 x − … − cos x + cos x n o Ô D = R \ + kπ; + kπ; π + k2π Ê Lời giải tan2 x − 6= cos x 6= Điều kiện xác định hàm số: − cos x ≥0 + cos x cos x 6= −1 ® ≤ − cos x ≤ − cos x Do −1 ≤ cos x ≤ nên ⇐ Từ suy ra: ≥ 0, ∀ x ∈ R + cos x ≤ + cos x ≤ TRƯỜNG THPT NGUYỄN TẤT THÀNH Trang HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC π x 6= ± + kπ o n π π π Vậy hàm số xác định x 6= + kπ , nên D = R \ ± + kπ; + kπ; π + k2π x 6= π + k2π Ví dụ √ Tìm tập xác định hàm số: y = f (x) = 4π − x2 cos x n o Ô D = ≤ x ≤ 2π; x 6= + kπ Ê Lờigiải − 2π ≤ x ≤ 2π n 4π − x2 ≥ π Vậy D = −2π ≤ x ≤ 2π; x 6= + k Điều kiện xác định hàm số: ⇔ π x 6= + kπ cos x 6= ® Bài tập vận dụng Bài Tìm tập xác định hàm số lượng giác sau: a) y = cos x c) y = + cos x sin x Ô D = R \ {0} b) cos Ô D = R \ {kπ } d) y = ß ™ tan 2x Ô D = R \ + k ; + k2π 2 sin x − cos x g) y = ÔD =∅ − sin x e) y = 2x tan 2x + cos2 x … cos x + f) y = sin x + Ê Lời giải a) Điều kiện xác định: x 6= b) Điều kiện xác định: 2x ≥ ⇔ x ≥ c) Điều kiện xác định: sin x 6= ⇔ x 6= kπ d) Điều kiện xác định: cos 2x 6= ⇔ 2x 6= ® e) Điều kiện xác định: π π kπ + kπ ⇔ x 6= + π kπ x 6= + cos 2x 6= ⇔ sin x 6= x 6= π + k2π cos x + ≥ f) Điều kiện xác định: sin x + sin x + 6= cos x + Do −1 ≤ sin x; cos x ≤ nên ≥ 0; ∀ x ∈ R sin x + Lấ QUANG XE - T: 0967.003.131 Ô D = [0; +∞) ß π kπ + ™ n o Ô D = R \ + k2 ÔD = R\ Trang 10 Chng HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Vậy hàm số xác định x 6= − π + k2π cos x − ≥ g) Điều kiện xác định: − sin x − sin x 6= cos x − Do −1 ≤ sin x; cos x ≤ nên ≤ 0; ∀ x ∈ R − sin x Vậy tập xác định hàm số là: ∅ Bài Tìm tập xác định hàm số lượng giác sau: √ π − x2 a) y = sin 2x √ b) y = π 4x2 + tan 2x ò k Ô D = −π ≤ x ≤ π; x 6= ò k Ô D = − ≤ x ≤ ; x 6= + 2 π tan 2x − c) … π − sin x − π tan x − π d) y = cos x + ÔD = R\ ß 3π kπ 5π + ; + k2π 8 ÔD = R\ ò + kπ; − + k2π ™ Ê Lời giải ® a) Điều kiện xác định: ® b) Điều kiện xác định: −π ≤ x ≤ π π −x ≥0 ⇔ x 6= kπ sin 2x 6= 2 π π − ≤x≤ π − 4x ≥ 2 ⇔ π kπ cos 2x 6= x 6= + 2 π π cos 2x − cos 2x − x 6= 6= 6= 4 c) Điều kiện xác định: ⇔ ⇔ π π 1 − sin x − 1 − sin x − x 6= >0 6= 8 3π kπ + 5π + k2π π 3π cos x − x 6= 6= + kπ π d) Điều kiện xác định: ⇔ 1 − cos x + x 6= − π + k2π 6= 3 TRƯỜNG THPT NGUYỄN TẤT THÀNH Trang 11 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Bài tập tự luyện Bài tập Tìm tập xác định hàm số lượng giác sau: … + sin x cot 2x b) y = √ a) y = Ô D = R \ { + k2π } cos x + 1 − cos2 x … √ − sin x x c) y = Ô D = R \ { + k2π } d) y = + cos x sin πx e) y = cos 2x + tan x − sin x g) y = √ tan 2x sin x + ÔD = R\ ÔD = R\ ß nπ + kπ o π kπ π + ; − + k2π 2 f) y = x2 + x cos x ÔD = R\ ò k Ô D = [0; +) \ Z ÔD = R\ n o + k; ™ Ê Lời giải Bài tập Tìm tập xác định hàm số lượng giác sau: π −x + tan a) y = cos x − √ − sin 4x b) y = cos x + cos x − cos 3x π d) y = cot 2x + · tan 2x √ e) y = + sin x − tan2 x − c) y = sin x − cos2 x … π + cos x g) y = cot x + + − cos x π + cot +x π h) y = tan2 3x − f) y = LÊ QUANG XE - ĐT: 0967.003.131 n o Ô D = R \ + k Ô D = R \ { + k2 } ò k Ô D = R \ k; ò k k ÔD = R\ − + ; + n o Ô D = R \ + kπ π kπ + ™ n o Ô D = R \ + kπ; k2π ß ™ π π kπ k Ô D = R \ + k; + ; + 12 ÔD = R\ ß Trang 12 Chương HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Ê Lời giải Dạng Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số lượng giác Phương pháp giải: ○ Dựa vào tập giá trị ñ hàm số lượng giác, chẳng hạn ñ ≤ | sin x | ≤ ≤ | cos x | ≤ ◦ −1 ≤ sin x ≤ ⇒ − ≤ cos x ≤ ⇒ ≤ sin2 x ≤ ≤ cos2 x ≤ ◦ Biến đổi đưa dạng m ≤ y ≤ M ○ Kết luận: max y = M y = m Ví dụ Ví dụ Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = f (x) = p − cos2 x sin2 x Ô y = , max y = Ê Lời giải Ta có y = f (x) = p − cos2 x sin2 x =… 5− (2 cos x sin x)2 √ Do ≤ sin2 2x ≤ nên ≥ − sin2 2x ≥ Suy ≤y=… 2 =… − sin2 2x √ 4 ≤ − sin 2x √ ◦y= sin 2x = 0, tồn x thỏa mãn, chẳng hạn x = √ π ◦y= sin 2x = sin 2x = −1, tồn x thỏa mãn, chẳng hạn x = √ √ Vậy y = max y = Ví dụ Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ f (x) = sin2 x + cos2 x cos 2x Ô y = −1, max y = Ê Lời giải TRƯỜNG THPT NGUYỄN TẤT THÀNH Trang 13 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Ta có f (x) = sin2 x + cos2 x − cos 2x − Ä ä Ä ä = sin2 x + cos2 x + cos2 x − cos2 x − − = − cos2 x Do ≤ cos2 x ≤ nên ≥ f (x) = − cos2 x ≥ −1 π ◦ f (x) = −1 cos2 x = 1, tồn x thỏa mãn, chẳng hạn x = Vậy max f (x) = f (x) = −1 ◦ f (x) = cos x = 0, tồn x thỏa mãn, chẳng hạn x = Ví dụ h π πi Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ f (x) = sin6 x + cos6 x + 2, ∀ x ∈ − ; 2 ¤ y = , max y = Ê Lời giải Ta có Ä ä3 Ä ä f (x) = sin6 x + cos6 x + = sin2 x + cos2 x − sin2 x cos2 x sin2 x + cos2 x + 3 = − (2 sin x cos x)2 + = − sin2 2x 4 Do ≤ sin2 2x ≤ nên ≥ f (x) ≥ h π π i π ◦ f (x) = sin 2x = ⇔ x = ± x = x ∈ − ; 2 h i π π π ◦ f (x) = sin2 2x = ⇔ x = ± x ∈ − ; 4 2 Vậy max f (x) = f (x) = Bài tập áp dụng Bài Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số lượng giác sau: √ a) y = + cos 2x + √ b) y = − cos 4x c) y = sin2 2x Ô y = + 4, max y = 14 Ô y = 0, max y = Ô y = −4, max y = −1 d) y = − sin2 2x cos2 2x Ô y = e) y = − 2| sin 4x | 11 , max y = 4 Ô y = 1, max y = Ê Lời giải √ √ a) Do −1 ≤ cos 2x ≤ nên ≤ + cos 2x ≤ Suy + ≤ y = + cos 2x + ≤ 14 √ π ◦ y = + cos 2x = −1, tồn x thỏa mãn, chẳng hạn x = LÊ QUANG XE - ĐT: 0967.003.131 Trang 14 Chương HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ◦ y = 14 cos √ 2x = 1, tồn x thỏa mãn, chẳng hạn x = Vậy y = + max y = 14 √ √ b) Do −1 ≤ cos 4x ≤ nên ≥ y = − cos 4x ≥ √ π ◦ y = cos 4x = −1, tồn x thỏa mãn, chẳng hạn x = ◦ y = cos 4x = 1, tồn x thỏa mãn, chẳng hạn x = √ Vậy max y = y = c) Do ≤ sin2 2x ≤ nên −4 ≤ y = sin2 2x − ≤ −1 ◦ y = −4 sin 2x = 0, tồn x thỏa mãn, chẳng hạn x = π ◦ y = −1 sin2 2x = 1, tồn x thỏa mãn, chẳng hạn x = Vậy y = −4 max y = −1 d) Ta có 5 y = − sin2 2x cos2 2x = − (2 sin 2x cos 2x)2 = − sin2 2x 4 11 Do ≤ sin2 2x ≤ nên ≥ y ≥ ◦ y = sin 2x = 0, tồn x thỏa mãn, chẳng hạn x = π 11 sin2 2x = 1, tồn x thỏa mãn, chẳng hạn x = ◦y= 4 11 Vậy max y = y = e) Do ≤ | sin 4x | ≤ nên ≥ y = − 2| sin 4x | ≥ ◦ y = sin 4x = 0, tồn x thỏa mãn, chẳng hạn x = π ◦ y = | sin 4x | = 1, tồn x thỏa mãn, chẳng hạn x = Vậy max y = y = Bài Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số lượng giác sau: a) y = − sin2 x − cos x + b) y = sin4 x cos2 x + Ô y = c) y = cos2 x + sin x + e) y = , max y = Ô y = 0, max y = p cos 2x + sin2 x Ô y = −1, max y = d) y = sin4 x + cos4 x + Ô y = , max y = f) y = sin6 x + cos6 x Ô y = , max y = Ô y = 1, max y = g) y = sin 2x + cos 2x + Ô y = 2, max y = Ê Lời giải a) Ta có Å ã y = − sin x − cos x + = − − cos x − cos x + = cos x − cos x + = cos x − + Ä ä TRƯỜNG THPT NGUYỄN TẤT THÀNH Trang 15 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 1 Do −1 ≤ cos x ≤ nên − ≤ cos x − ≤ 2 Å ã 2 Suy ≤ cos x − ≤ ⇔ ≤ y ≤ 4 π ◦ y = cos x = , tồn x thỏa mãn, chẳng hạn x = ◦ y = cos x = −1, tồn x thỏa mãn, chẳng hạn x = π Vậy y = max y = b) Ta có Ä ä Ä ä2 y = sin4 x − cos2 x + = sin4 x − − sin2 x + = sin4 x + sin2 x − = sin2 x + − Do ≤ sin2Äx ≤ nênä1 ≤ sin2 x + ≤ 2 Suy ≤ sin2 x + ≤ ⇔ −1 ≤ y ≤ ◦ y = −1 sin x = 0, tồn x thỏa mãn, chẳng hạn x = π ◦ y = sin2 x = 1, tồn x thỏa mãn, chẳng hạn x = Vậy y = −1 max y = c) Ta có Ä ä y = cos2 x + sin x + = − sin2 x + sin x + = − sin2 x + sin x + = − (sin x − 1)2 Do −1 ≤ sin x ≤ nên −2 ≤ sin x − ≤ Suy ≤ (sin x − 1)2 ≤ ⇔ ≥ y ≥ π π ◦ y = sin x = −1, tồn x thỏa mãn, chẳng hạn x = − Vậy max y = y = ◦ y = sin x = 1, tồn x thỏa mãn, chẳng hạn x = d) Ta có Ä ä2 y = sin4 x + cos4 x + = sin2 x + cos2 x − sin2 x cos2 x + 1 = − (2 sin x cos x)2 + = − sin2 2x 2 Do ≤ sin2 2x ≤ nên ≥ y ≥ ◦ y = sin 2x = 0, tồn x thỏa mãn, chẳng hạn x = π ◦ y = sin2 2x = 1, tồn x thỏa mãn, chẳng hạn x = Vậy max y = y = e) Ta có » y = − cos 2x + sin x = − − sin x + sin x = sin x + ⇒ y = sin2 x + 2 Ä ä 2 Do ≤ sin2 x ≤ nên ≤ sin2 x + ≤ Suy ≤ y ≤ ◦ y = sin x = 0, tồn x thỏa mãn, chẳng hạn x = π ◦ y = sin2 x = 1, tồn x thỏa mãn, chẳng hạn x = Vậy y = max y = LÊ QUANG XE - ĐT: 0967.003.131 Trang 16 Chương HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC f) Ta có Ä ä3 Ä ä y = sin6 x + cos6 x = sin2 x + cos2 x − sin2 x cos2 x sin2 x + cos2 x 3 = − (2 sin x cos x)2 = − sin2 2x 4 Do ≤ sin2 2x ≤ nên ≥ y ≥ h π π i π ◦ y = sin 2x = ⇔ x = x = ± x ∈ − ; 2h 2 i π π π ◦ y = sin2 2x = ⇔ x = ± x ∈ − ; 4 2 Vậy max y = y = g) Ta có √ π π y = sin 2x + cos 2x + = cos − 2x + ⇒ y = cos − 2x + 2 3 π Do −1 ≤ cos − 2x ≤ nên ≥ y ≥ 3 −π π ◦ y = cos − 2x = −1, tồn x thỏa mãn, chẳng hạn x = 3 π π ◦ y = cos − 2x = 1, tồn x thỏa mãn, chẳng hạn x = Vậy y = max y = Bài Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số lượng giác sau h πi a) y = sin 2x, ∀ x ∈ 0; ï ò 2π π b) y = cos x + , ∀x ∈ − ; 3 h π πi π c) y = sin 2x + , ∀x ∈ − ; 4 Ô y = 0, max y = ¤ y = , max y = Ô y = , max y = Ê Lời giải πi a) Do x ∈ 0; nên 2x ∈ [0; π] Suy ≤ y = sin 2x ≤ π ◦ y = x = x = π ◦ y = x = Vậy y = max y = ï ò 2π π h π πi π π b) Do x ∈ − ; nên x + ∈ − ; Suy = cos ≤ y = cos x + ≤1 3 3 3 2π ◦ y = x = − x = π ◦ y = x = − Vậy y = max y = h TRƯỜNG THPT NGUYỄN TẤT THÀNH Trang 17 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC √ ï ò h π πi π π 3π π nên 2x + ∈ − ; Suy − ≤ y = sin 2x + ≤ c) Do x ∈ − ; 4 4 4 √ π ◦y=− x = ± π ◦ y = x = − √ Vậy y = − max y = Bài tập rèn luyện Bài tập Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số lượng giác sau p Ô y = + 2, max y = −8 + a) y = − sin5 2x − b) y = y = + cos2 x Ô y = 1, max y = 4 c) y = p − cos2 x sin2 x √ d) y = p − sin2 3x e) y = Ô y =, max y = Ô y = , max y = cos x Ô y = 1, max y = f) … π − cos x − +3 g) y = Ô y = 93 √ , max y = Ô y = 1, max y = sin 2x + cos 2x Ê Lời giải Bài tập Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số lượng giác sau a) y = cos2 x + cos 2x Ô y = −2, max y = b) y = sin2 x cos 2x Ô y = −1, max y = c) y = sin 2x(sin 2x − cos 2x) d) y = sin2 x + cos2 x − cos 2x Lấ QUANG XE - T: 0967.003.131 Ô y = − √ 17, max y = + 17 Ô y = 1, max y = ... 30◦ 45◦ 60◦ 90◦ 12 0◦ 13 5◦ 15 0◦ rad 0 tan α cot α kxđ 2π √3 − √ − √ − 5π 2√ π √3 2 √ √ 3 3π √4 2√ cos α π √4 √2 2 π sin α π √2 √2 3 √ 1 kxđ 2 − ? ?1 ? ?1 √2 − √ − − 18 0◦ 360◦ π 2π 0 ? ?1 0 kxđ kxđ Một... √ − √ − − 12 , √ ,2 π √ − 2π 3π (? ?1, 0) 2 2 , 5π (0, 1) √ 12 0◦ π 90◦ π 60◦ 15 0◦ 7π − 12 , − √ 2 , √ ,2 π π 360 0◦ ◦ 2π 210 ◦ 5π , −2 √ √ − 22 , − 22 √ , 2 √ 30◦ 18 0◦ 330◦ 240◦... 270◦ 3π 300◦ 7π 11 ? ? √ (1, 0) , −2 5π √ √ 2 ,− √ 2, − x (0, ? ?1) TRƯỜNG THPT NGUYỄN TẤT THÀNH Trang HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC ? ?1 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC A TĨM TẮT LÝ THUYẾT Tính chất 1. 1 a) Hàm số chẵn,