Một số phương pháp và kỹ thuật đếm

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN NGUYỄN THỊ LIÊN MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP VÀ KỸ THUẬT ĐẾM KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chun ngành: Tốn ứng dụng Hà Nội – Năm 2019 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN NGUYỄN THỊ LIÊN MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP VÀ KỸ THUẬT ĐẾM KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Người hướng dẫn khoa học TS TRẦN VĨNH ĐỨC Hà Nội – Năm 2019 LỜI CAM ĐOAN Khóa luận kết nghiên cứu thân em hướng dẫn TS Trần Vĩnh Đức Các nội dung nghiên cứu khóa luận hồn tồn trung thực, thơng tin trích dẫn ghi rõ nguồn gốc mục tài liệu tham khảo Nếu phát có gian lận em xin chịu hồn toàn trách nhiệm Hà Nội, tháng 05 năm 2019 Sinh Viên Nguyễn Thị Liên LỜI CẢM ƠN Khóa luận thực khoa Toán, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, hướng dẫn TS Trần Vĩnh Đức Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Trần Vĩnh Đức định hướng dẫn sát suốt trình em thực đề tài nghiên cứu Sự ân cần bảo thầy truyền đạt kiến thức kinh nghiệm quý báu tiền đề quan trọng giúp em có kết trình bày khóa luận tốt nghiệp Em xin chân thành cảm ơn q thầy, khoa Tốn trường Đại học Sư Phạm Hà Nội tận tình truyền đạt kiến thức năm em học tập Những kiến thức khơng tảng q trình thực khóa luận mà cịn hành trang vững cho em tương lai Trong trình làm khóa luận, em cố gắng hết sức, nhiên khơng thể tránh khỏi thiếu sót Vì vậy, em mong nhận góp ý, bảo q thầy, bạn để em hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn Hà Nội, tháng 05 năm 2019 Sinh viên Nguyễn Thị Liên Mục lục LỜI MỞ ĐẦU 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ TỔ HỢP 1.1 Sơ lược tổ hợp 1.1.1 Các khái niệm chung 1.1.2 Một số toán tổ hợp 1.2 Quy tắc cộng quy tắc nhân 1.3 Một số toán đếm 1.3.1 Hoán vị 1.3.2 Chỉnh hợp lặp 1.3.3 Chỉnh hợp không lặp 1.3.4 Tổ hợp PHƯƠNG PHÁP ĐẾM BẰNG NGUYÊN LÝ BAO HÀM VÀ LOẠI TRỪ 2.1 Nguyên lý bao hàm loại trừ 2.2 Sử dụng nguyên lý bao hàm loại trừ để giải toán đếm PHƯƠNG PHÁP ĐẾM DÙNG HÀM SINH 3.1 14 Chuỗi lũy thừa hình thức 14 3.1.1 14 Định nghĩa i Khóa luận tốt nghiệp Đại học 3.1.2 3.2 Các phép toán CN 14 Phương pháp đếm hàm sinh thường 18 3.2.1 Định nghĩa 18 3.2.2 Ứng dụng hàm sinh thường toán dãy đệ quy 20 Ứng dụng hàm sinh thường giải toán đếm 25 Phương pháp đếm hàm sinh mũ 29 3.3.1 Định nghĩa 29 3.3.2 Ứng dụng hàm sinh mũ giải toán đếm 30 3.2.3 3.3 Nguyễn Thị Liên PHƯƠNG PHÁP ĐẾM BẰNG CƠNG THỨC NGHỊCH ĐẢO 33 4.1 Cơng thức nghịch đảo đồng thức tổ hợp 33 4.2 Công thức nghịch đảo nhị thức 36 4.3 Công thức sàng 37 MỘT SỐ KỸ THUẬT ĐẾM KHÁC 41 5.1 Tính tổng tích phân hữu hạn 41 5.2 Xác định hệ thức dãy số phiếm hàm tuyến tính 47 KẾT LUẬN 51 TÀI LIỆU THAM KHẢO 52 ii Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Liên LỜI MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Bài toán đếm bốn toán thường gặp liên quan tới cấu hình tổ hợp lý thuyết tổ hợp Đây toán nhằm trả lời câu hỏi: “Có cấu hình tổ hợp thỏa mãn điều kiện cho trước?” Đối với cấu hình tổ hợp đơn giản ta sử dụng quy tắc, nguyên lý đếm để xác định số cấu hình tổ hợp Nhưng cấu hình tổ hợp phức tạp, việc xác định xác số cấu hình tổ hợp gặp khó khăn hay chưa giải trọn vẹn Xuất phát từ lý đó, em chọn đề tài nghiên cứu: "Một số phương pháp kỹ thuật đếm" Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu số phương pháp kỹ thuật đếm việc giải toán đếm Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Các phương pháp kỹ thuật đếm Phạm vi nghiên cứu: Lý thuyết tổ hợp Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu lí luận Phương pháp nghiên cứu tổng kết tài liệu Cấu trúc khóa luận Nội dung khóa luận gồm năm chương: Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Liên Chương "Một số kiến thức tổ hợp" trình bày sơ lược tổ hợp, quy tắc cộng, quy tắc nhân số toán đếm Chương "Phương pháp đếm nguyên lý bao hàm loại trừ" trình bày nguyên lý bao hàm loại trừ số toán áp dụng Chương "Phương pháp đếm dùng hàm sinh" Mục đích chương giới thiệu phương pháp đếm sử dụng hàm sinh thường hàm sinh mũ để giải toán đếm Chương "Phương pháp đếm cơng thức nghịch đảo" Mục đích chương giới thiệu phương pháp đếm sử dụng công thức nghịch đảo đồng thức như: công thức nghịch đảo nhị thức, công thức sàng Chương "Một số kỹ thuật đếm khác" giới thiệu kỹ thuật tính tổng tích phân hữu hạn kỹ thuật xác định hệ thức dãy số phiếm hàm tuyến tính Khóa luận trình bày sở tài liệu liệt kê phần tài liệu tham khảo Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ TỔ HỢP 1.1 Sơ lược tổ hợp Tổ hợp hình thành lĩnh vực toán học rời rạc, xuất vào đầu kỉ 17 Trong thời gian dài, tổ hợp lĩnh vực mờ nhạt ý tới Tình bắt đầu thay đổi khoa học máy tính phát triển, tổ hợp trở thành lĩnh vực toán ứng dụng với phát triển mạnh mẽ Hiện lý thuyết tổ hợp áp dụng nhiều lĩnh vực khác nhau: lý thuyết số, hình học hữu hạn, biểu diễn nhóm, đại số khơng giao hốn, thống kê xác suất, quy hoạch thực nghiệm 1.1.1 Các khái niệm chung Định nghĩa 1.1 (Cấu hình tổ hợp) Giả sử X tập hữu hạn, S sơ đồ xếp, R1 , R2 , , Rk điều kiện xác định Khi xếp phần tử X theo sơ đồ S thỏa mãn điều kiện R1 , R2 , , Rk gọi cấu hình tổ hợp X Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Liên Ví dụ 1.1 Giả sử X tập hợp gồm 10 người, sơ đồ xếp S "1 ghế dài", điều kiện R "2 người xác định trước ln ngồi cạnh nhau" Khi cách xếp 10 người ngồi ghế dài cho hai người xác định trước ngồi cạnh cấu hình tổ hợp Định nghĩa 1.2 (Cấu trúc tổ hợp) Giả sử V tập bất kì, Φ(V ) tập tất cấu hình tổ hợp V (theo sơ đồ xếp S điều kiện R1 , R2 , , Rk có thể) Khi ba G = (V, E, f ) gọi cấu trúc tổ hợp V V E tập rời nhau, f hàm từ E vào Φ(V ) V, E, f thỏa mãn số tiên đề xác định Ví dụ 1.2 Giả sử V = {v1 , , } , E = {e1 , , em } với V ∩ E = ∅ Ta giả sử S sơ đồ xếp cặp (x1 , x2 ), A1 , A2 tập V cho x1 ∈ A1 , x2 ∈ A2 , A1 ∩ A2 = ∅ f hàm từ E vào Φ(V ) Nếu với e ∈ E, f (e) cấu hình tổ hợp theo S A1 , A2 cấu trúc tổ hợp (V, E, f ) gọi đa đồ thị có hướng với tập đỉnh V tập cung E Một lĩnh vực toán học nghiên cứu cấu hình tổ hợp cấu trúc tổ hợp gọi lý thuyết tổ hợp 1.1.2 Một số toán tổ hợp Các vấn đề lý thuyết tổ hợp liên quan đến cấu hình tổ hợp đa dạng Tuy nhiên, ta thường gặp bốn loại toán sau: a) Bài toán đếm: tốn nhằm trả lời cho câu hỏi “có cấu hình tổ hợp thỏa mãn yêu cầu?” Phương pháp đếm thường Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Liên Định lý 4.2 (Công thức sàng) k k ek = sk − Ck+1 sk+1 + Ck+2 sk+2 − · · · + (−1)n−k Cnk sn Từ cơng thức sàng ta chứng minh cơng thức tính số phần tử X chứa số lẻ hay số chẵn tập A1 , A2 , , An X Mệnh đề 4.1 1 s0 + e0 + e2 + e4 + · · · = [g (1) + g (−1)] = 2 e1 + e3 + e5 + · · · = 1 [g (1) − g (−1)] = s0 − 2 n (−2)k sk k=0 n (−2)k sk k=0 Chứng minh Giả sử g(x) hàm sinh thông thường cho dãy số (ej )∞ với ej = 0, ∀j > n Khi đó, g (x) = e0 + e1 x + e2 x2 + · · · + en xn Thay biểu thức cho ek theo si công thức sàng vào g(x) ta g (x) = s0 − s1 + s2 − · · · + (−1)k sk + · · · + (−1)n sn + s1 − C21 s2 + · · · + (−1)k−1 Ck1 sk + · · · + (−1)n−1 Cn1 sn x + s2 + · · · + (−1)k−2 Ck2 sk + · · · + (−1)n−2 Cn2 sn x2 + + sk − · · · + (−1)n−k sn xk + + sn x n 38 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Liên Suy ra, g (x) = s0 + s1 (x − 1) + s2 (x − 1)2 + · · · + sk (x − 1)k + · · · + sn (x − 1)n Vì vậy, g (1) = s0 , g (−1) = s0 − 2s1 + 22 s2 + · · · + (−1)n 2n sn Nhưng từ g (x) = e0 + e1 x + e2 x2 + · · · + en xn ta lại có: g (1) = e0 + e1 + · · · + en , g (−1) = e0 − e1 + · · · + (−1)n en Suy ra, 1 s0 + e0 + e2 + e4 + · · · = [g (1) + g (−1)] = 2 e1 + e3 + e5 + · · · = 1 [g (1) − g (−1)] = s0 − 2 n (−2)k sk , k=0 n (−2)k sk k=0 Ví dụ 4.2 Một dãy RN A bao gồm phân tử uracil, ade-nine, cytosine quanine mà ta viết tắt U, A, C, Q Hãy tính số dãy RN A độ dài n có số phân tử Q chẵn Giải Gọi X tập tất dãy RN A độ dài n tạo từ loại phân tử U, A, C, Q; Ai tập dãy RN A độ dài n có phân tử Q vị trí thứ i, i = 1, 2, , n Khi đó, |X| = 4n , |Ai | = 4n−1 , |Ai ∩ Aj | = 4n−2 , i = j, Vì s0 = 4n , s1 = n4n−1 , , sk = Cnk 4n−k , 39 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Liên Do đó, số dãy RN A độ dài n có số phân tử Q chẵn n e0 + e2 + e4 + · · · = + = n + n (−2)k Cnk 4n−k k=0 n Cnk (−2)k 4n−k k=0 n [4 + (−2 + 4)n ] = [4n + 2n ] = 40 Chương MỘT SỐ KỸ THUẬT ĐẾM KHÁC 5.1 Tính tổng tích phân hữu hạn Trong tốn đếm cấu hình tổ hợp ta thường phải tính tổng dãy hữu hạn với số hạng giá trị hàm số Trong phần này, ta trình bày kỹ thuật tương đối đơn giản, hữu dụng cho phép ta tính tổng nhiều dãy hữu hạn Giả sử f (x) hàm số xác định X, c số lớn Toán tử sai phân cấp hàm f (x) x xác định sau: ∆f (x) = f (x + c) − f (x) Giả sử ta phải tính tổng f (a) + f (a + 1) + f (a + 2) + · · · + f (n) đó, f (x) hàm số xác định a, a + 1, a + 2, , n Nếu ta tìm hàm F (x) cho ∆F (x) = f (x), hàm F (x) kí hiệu ∆−1 f (x) Khi theo định nghĩa tốn tử sai phân ta có 41 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Liên f (a) = F (a + 1) − F (a) , f (a + 1) = F (a + 2) − F (a + 1) , f (a + 2) = F (a + 3) − F (a + 2) , f (n − 1) = F (n) − F (n − 1) , f (n) = F (n + 1) − F (n) Cộng vế với vế đẳng thức ta f (a) + f (a + 1) + f (a + 2) + · · · + f (n) = F (n + 1) − F (a) Ta kí hiệu F (n + 1) − F (a) F (x) n+1 ∆−1 f (x) a n+1 a Từ đó, ta có định lý sau: Định lý 5.1 (Định lý cho tích phân hữu hạn) Giả sử tồn hàm F (x) cho ∆F (x) = f (x) Khi đó, f (a) + f (a + 1) + f (a + 2) + · · · + f (n) = F (n + 1) − F (a) n+1 = F (x) a = ∆−1 f (x) n+1 a Ví dụ 5.1 Tính tổng + + + · · · + (2n + 1) Giải Đặt f (0) = 1, f (1) = 3, f (2) = 5, , f (n) = 2n + Xét hàm F (x) = x2 , ta có ∆F (x) = F (x + 1) − F (x) = (x + 1)4 − x4 = 4x3 +6x2 +4x +1 = f (x) Theo định lý cho tích phân hữu hạn, ta có 42 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Liên 1+3+5+· · ·+ 4n3 + 6n2 + 4n + = x4 |n+1 = (n + 1)4 −04 = (n + 1)4 Ví dụ 5.2 Tính tổng + 17 + 65 + · · · + (4n3 + 6n2 + 4n + 1) Giải Đặt f (0) = 1, f (1) = 17, f (2) = 65, , f (n) = 4n3 +6n2 +4n+1 Xét hàm F (x) = x4 , ta có ∆F (x) = F (x + 1) − F (x) = (x + 1)4 − x4 = 4x3 +6x2 +4x +1 = f (x) Theo định lý cho tích phân hữu hạn, ta có 1+3+5+· · ·+ 4n3 + 6n2 + 4n + = x4 |n+1 = (n + 1)4 −04 = (n + 1)4 Với số nguyên dương n cho, chương ta định nghĩa (x)n = x (x − 1) (x − 2) (x − n + 1) Khi đó, ta có cơng thức tính ∆−1 (x)n sau: Mệnh đề 5.1 ∆−1 (x)n = (x)n+1 n+1 Chứng minh Ta có ∆ (x)n+1 n+1 (x + 1)n+1 (x)n+1 − n+1 n+1 (x + 1) x (x − 1) [(x + 1) − (n + 1) + 1] = n+1 x (x − 1) (x − 2) [x − (n + 1) + 1] − n+1 (x + 1) x (x − 1) (x − n + 1) − x (x − 1) = n+1 = Ví dụ 5.3 Tính tổng 2.1 + 3.2 + · · · + n(n + 1) Giải Ta có 2.1 + 3.2 + · · · + n (n − 1) = ∆−1 (x)2 43 n+1 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Liên Theo mệnh đề 5.1, ta có ∆−1 (x)2 = (x)3 Theo định lý 5.1, ta có 2.1 + 3.2 + · · · + n (n − 1) = ∆−1 (x)2 n+1 (x)3 1 = (n + 1) n (n − 1) − 2.1.0 3 = (n + 1) n (n − 1) n+1 = Mệnh đề 5.2 Nếu ∆−1 f (x) ∆−1 g (x) tồn với hàm số f (x) g(x), ∆−1 (f (x) + g (x)) tồn ∆−1 (f (x) + g (x)) = ∆−1 (f (x)) + ∆−1 (g (x)) , Với số a, ∆−1 (af (x)) tồn ∆−1 (af (x)) = a.∆−1 (f (x)) Chứng minh Đặt F (x) = ∆−1 f (x) , G (x) = ∆−1 g (x) Ta có ∆ [(F + G) (x)] = (F + G) (x + 1) − (F + G) (x) = F (x + 1) + G (x + 1) − F (x) − G (x) = ∆F (x) + ∆G (x) = f (x) + g (x) Suy ra, ∆−1 (f (x) + g (x)) tồn 44 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Liên ∆−1 (f (x) + g (x)) = (F + G) (x) = F (x) + G (x) = ∆−1 f (x) + ∆−1 g (x) Lại có ∆ [(aF ) (x)] = (aF ) (x + 1) − (aF ) (x) = aF (x + 1) − aF (x) = a [F (x + 1) − F (x)] = a∆F (x) = a.f (x) Suy ∆−1 (af (x)) tồn ∆−1 (af (x)) = (aF ) (x) = aF (x) = a∆−1 f (x) Nhận xét 5.1 Dựa vào mệnh đề 5.1, mệnh đề 5.2 đồng thức n đa thức xn = k=1 S (n, k) (x)k ta n −1 n n −1 ∆ x = S (n, k) ∆ (x)k = k=1 S (n, k) k=1 (x)k+1 k+1 Do đó, tính tất số S(n, 1), , S(n, n), ta tính tổng n n n −1 n t + (t + 1) + · · · + (t + m) = ∆ x t+m+1 t Ví dụ 5.4 Tính tổng 12 + 22 + · · · + n2 Giải Ta có x2 = S (2, 1) (x)1 + S (2, 2) (x)2 = (x)1 + (x)2 (x)2 (x)3 Do ∆−1 x2 = + 45 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Liên Vì 1 (x)2 + (x)3 |n+1 1 1 = (n + 1)2 + (n + 1)3 − (1)2 + (1)3 3 1 = (n + 1) n + (n + 1) n (n − 1) 1 = n (n + 1) + (n − 1) = n (n + 1) (2n + 1) 12 + 22 + · · · + n2 = Định lý 5.2 (Tính tích phân hữu hạn theo phần) Nếu với hàm f (x) g(x), ∆−1 [f (x + 1) ∆g (x)] tồn tại, ∆−1 [g (x) ∆f (x)] tồn ∆−1 [g (x) ∆f (x)] = f (x) g (x) − ∆−1 [f (x + 1) ∆g (x)] Chứng minh Ta có ∆ [f (x) g (x)] = f (x + 1) g (x + 1) − f (x) g (x) = f (x + 1) g (x + 1) − f (x + 1) g (x) + f (x + 1) g (x) − f (x) g (x) = f (x + 1) [g (x + 1) − g (x)] + [f (x + 1) − f (x)] g (x) = f (x + 1) ∆g (x) + (∆f (x)) g (x) Suy f (x) g (x) = ∆−1 [f (x + 1) ∆g (x) + g (x) ∆f (x)] Mặt khác, theo giả thiết ∆−1 [f (x + 1) ∆g (x)] tồn Vì g (x) ∆f (x) = [f (x + 1) ∆g (x) + g (x) ∆f (x)] − [f (x + 1) ∆g (x)], nên theo mệnh đề 5.2, ∆−1 [g (x) ∆f (x)] tồn 46 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Liên ∆−1 [f (x + 1) ∆g (x) + g (x) ∆f (x)] − ∆−1 [f (x + 1) ∆g (x)] = f (x) g (x) − ∆−1 [f (x + 1) ∆g (x)] Ví dụ 5.5 Tính tổng 1.a + 2.a2 + 3.a3 + · · · + nan , a > ax , g (x) = x Giải Đặt f (x) = a−1 Khi đó, ∆f (x) = ax ∆g (x) = ax+1 Do đó, f (x + 1) ∆g (x) = a−1 ax+1 ax+1 Ta có ∆−1 [f (x + 1) ∆g (x)] = ∆−1 = a−1 (a − 1)2 Theo quy tắc tính tích phân hữu hạn theo phần, ta có xax ax+1 −1 x ∆ (xa ) = − a − (a − 1)2 Vì vậy, 1.a + 2.a2 + 3.a3 + · · · + nan = ∆−1 (xax ) |n+1 an+2 a a2 (n + 1) an+1 − − − a−1 a − (a − 1)2 (a − 1)2 n+1 = (a − 1) − an+2 − a (a − 1) + a2 (n + 1) a (a − 1) n+1 = (na − n + a − − a) + a a (a − 1) an+1 (na − n − 1) + a = (a − 1)2 = 5.2 Xác định hệ thức dãy số phiếm hàm tuyến tính Định nghĩa 5.1 Ánh xạ tuyến tính f : C [x] → C khơng gian vectơ C[x] vào không gian vectơ C gọi phiếm hàm tuyến tính ∞ Với dãy đa thức (pj (x))∞ dãy số (aj )0 , tồn phiếm hàm tuyến tính 47 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Liên f : C [x] → C với f (pj (x)) = aj , j = 0, 1, Ví dụ 5.6 Cho dãy đa thức xj ∞ dãy số (aj )∞ = (1, 1, 1, ) Khi đẳng thức f xj = 1, j = 0, 1, xác định phiếm hàm tuyến tính C[x] sau: f : C [x] → C n n j cj x → j=0 n j cj f x j=0 = cj , j=0 tức f ánh xạ đa thức vào tổng hệ số Sử dụng phiếm hàm tuyến tính ta chuyển đồng thức đa thức thành hệ thức dãy số, tức ta tìm mối quan hệ không hiển nhiên số dãy số Sau ta xét vài ví dụ minh họa cho kỹ thuật ∞ Ví dụ 5.7 Xét dãy đa thức ((x − 1)n )0 Ta định nghĩa phiếm hàm tuyến tính fk , k = 0, 1, 2, cách đặt fk ((x − 1)n ) = δk,n thác triển tuyến tính f lên tồn C [x] , δk,n kí hiệu Kronecker Áp dụng fk vào đồng thức (x − 1)n+1 = (x − 1)n (x − 1) = x(x − 1)n − (x − 1)n , ta fk−1 ((x − 1)n ) = δk−1,n = δk,n+1 = fk (x − 1)n+1 = fk [x(x − 1)n ] − fk [(x − 1)n ] = (fk gx − fk ) ((x − 1)n ) , gx biến đổi tuyến tính C[x] định nghĩa sau: 48 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Liên gx (p (x)) = xp (x) , ∀p (x) ∈ C [x] Như vậy, ta có: fk−1 = fk gx − fk Áp dụng toán tử vào xn ta fk−1 (xn ) = fk gx (xn ) − fk (xn ) Mặt khác, với k = 0, 1, 2, ta có: fk (xn ) = fk ([(x − 1) + 1]n ) n Cnj (x − 1)j = fk j=0 n Cnj fk (x − 1)j = j=0 n Cnj δk,j = Cnk = j=0 k Do đó, Cnk−1 = Cn+1 − Cnk k hay Cn+1 = Cnk + Cnk−1 Đây đồng thức Pascal Ví dụ 5.8 Xét dãy đa thức ((x)n )∞ , (x)n = x (x − 1) (x − n + 1) Ta định nghĩa phiếm hàm tuyến tính fk , k = 0, 1, 2, cách đặt fk ((x)n ) = δk,n thác triển tuyến tính f lên tồn C[x] Áp dụng fk vào đồng thức (x)n+1 = (x)n (x − n) = x(x)n − n(x)n ta fk−1 ((x)n ) = δk−1,n = δk,n+1 = fk (x)n+1 = fk [x(x)n ] − nfk [(x)n ] = (fk gk − kfk ) ((x)n ) , (do fk ((x)n ) = δk,n ) Như vậy, ta có: fk−1 = fk gk − kfk 49 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Liên Áp dụng toán tử vào xn ta fk−1 (xn ) = fk gx (xn ) − kfk (xn ) Nhưng với k = 0, 1, 2, , ta có n n fk (x ) = fk S (n, j) (x)j j=0 n = S (n, j) fk (x)j j=0 n = S (n, j) δk,j = S (n, k) j=0 Do đó, S (n, k − 1) = S (n + 1, k) − kS (n, k) hay S (n + 1, k) = kS (n, k) + S (n, k − 1) Đây đồng thức cho số Stirling loại hai 50 KẾT LUẬN Khóa luận trình bày số phương pháp kỹ thuật đếm thơng dụng Đó phương pháp đếm sử dụng nguyên lý bao hàm loại trừ, phương pháp đếm sử dụng hàm sinh, phương pháp đếm sử dụng công thức nghịch đảo, kỹ thuật tính tổng tích phân hữu hạn, kỹ thuật xác định hệ thức dãy số phiếm hàm tuyến tính số ví dụ minh họa cho phương pháp, kỹ thuật Các kết khóa luận khơng mới, việc thực đề tài khóa luận giúp em có hiểu biết sâu sắc phương pháp kỹ thuật đếm lý thuyết tổ hợp 51 Tài liệu tham khảo [1] Trần Lê Hạnh Đoan (2011), “Nguyên lý bao hàm loại trừ ứng dụng”, Luận văn thạc sĩ khoa học, Đại học Đà Nẵng [2] Lê Hạnh (1995), 120 Bài tập giải tích tổ hợp, Nhà xuất Giáo dục, Thành phố Hồ Chí Minh [3] Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) (2013), "Đại số giải tích 11", Nhà xuất Giáo dục Việt Nam [4] Vũ Đình Hịa (2002), “Lý thuyết tổ hợp toán ứng dụng”, Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội [5] Nguyễn Đức Nghĩa, Nguyễn Tô Thành (2003), “Toán rời rạc”, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội [6] Ngô Đắc Tân (2005), “Lý thuyết tổ hợp đồ thị”, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội [7] Hoàng Văn Quý (2011),“Chuỗi lũy thừa hình thức hàm sinh”, Luận văn thạc sĩ toán học, Đại học khoa học Đại học Thái Nguyên [8] Võ Văn Việt (2013), “Hàm sinh ứng dụng”, Luận văn thạc sĩ toán học, Đại học khoa học Đại học Thái Nguyên 52 ... "Một số phương pháp kỹ thuật đếm" Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu số phương pháp kỹ thuật đếm việc giải toán đếm Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Các phương pháp kỹ thuật đếm. .. thiệu phương pháp đếm sử dụng công thức nghịch đảo đồng thức như: công thức nghịch đảo nhị thức, công thức sàng Chương "Một số kỹ thuật đếm khác" giới thiệu kỹ thuật tính tổng tích phân hữu hạn kỹ. .. số toán áp dụng Chương "Phương pháp đếm dùng hàm sinh" Mục đích chương giới thiệu phương pháp đếm sử dụng hàm sinh thường hàm sinh mũ để giải toán đếm Chương "Phương pháp đếm công thức nghịch đảo"