Một số phương pháp giải phương trình tuyến tính vi tích phân fredholm

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ====== NGUYỄN THỊ DIỄM QUỲNH MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI SỐ PHƯƠNG TRÌNH VI-TÍCH PHÂN FREDHOLM KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chun ngành : Tốn Giải tích HÀ NỘI, 2019 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ====== NGUYỄN THỊ DIỄM QUỲNH MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI SỐ PHƯƠNG TRÌNH VI-TÍCH PHÂN FREDHOLM KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chun ngành: Tốn Giải tích Người hướng dẫn Khoa học PGS.TS KHUẤT VĂN NINH HÀ NỘI, 2019 Lời cảm ơn Lời đầu tiên, em xin gửi lời cảm ơn tới Ban giám hiệu Trường Đại học Sư phạm Hà Nội tạo điều kiện thuận lợi để em hồn thành chương trình hệ cử nhân tốn học Qua em xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới tồn thể cán bộ, giảng viên trường quan tâm tạo điều kiện thuận lợi dạy dỗ, bảo tận tình suốt trình em học tập rèn luyện trường Em xin gửi lời cảm ơn tới toàn thể thầy giáo, giáo Tổ mơn Tốn Giải Tích, Khoa Tốn, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội tạo điều kiện thuận lợi để em hồn thành khóa luận tốt nghiệp Đặc biệt em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới PGS.TS Khuất Văn Ninh trực tiếp bảo hướng dẫn tận tình em suốt trình thực luận văn tốt nghiệp Cuối cùng, em xin cảm ơn gia đình, bạn bè người thân ln bên em giúp đỡ, chia sẻ khó khăn suốt thời gian học tập hoàn thành luận văn Hà Nôi, tháng năm 2019 Sinh viên Nguyễn Thị Diễm Quỳnh Lời cam đoan Tôi xin cam đoan đề tài: ‘Một số phương pháp giải phương trình tuyến tính vi-tích phân Fredholm’ cơng trình nghiên cứu riêng tơi Trong q trình viết có tham khảo số tài liệu có ngồn gốc rõ ràng hướng dẫn PGS.TS Khuất Văn Ninh Các nội dung nghiên cứu, kết đề tài trung thực chưa công bố trước Tơi xin hồn tồn chịu trách nhiệm trước cam đoan Mục lục Mở đầu 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian Banach 1.1.1 Định nghĩa không gian định chuẩn 1.1.2 Định nghĩa dãy 1.1.3 Không gian Banach Một số không gian hàm 1.2.1 Không gian Rn 1.2.2 Không gian C [a, b] 1.2.3 Không gian C m [a, b] 1.2.4 Không gian Lp(E, µ) 1.2.5 Không gian L (X, Y ) 1.3 Sai phân tính chất 1.4 Công thức cầu phương 1.5 Tích phân phụ thuộc tham số 1.5.1 Định nghĩa 1.5.2 Các định lý tích phân phụ thuộc tham số 1.2 i Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Diễm Quỳnh Phương trình vi-tích phân tuyến tính Fredholm 2.1 2.2 11 Phương pháp giải số phương trình vi-tích phân Fredholm 12 2.1.1 Phương pháp 12 2.1.2 Ví dụ 16 2.1.3 Sử dụng Maple để tính tốn 23 Phương pháp lặp biến phân giải phương trình vi–tích phân tuyến tính 28 2.2.1 Phương pháp lặp biến phân 28 2.2.2 Định nghĩa 29 2.2.3 Cách xác định nhân tử Lagrange 29 2.2.4 Ví dụ 35 Kết luận 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO 42 Mở đầu Lý chọn đề tài Giải tích số mơn học quan trọng tốn học đại ngành nghiên cứu xấp xỉ hàm số, giải phương trình Trong giải số phương trình vi–tích phân đóng vai trị bật Các kết nghiên cứu loại phương trình có ứng dụng hầu hết lĩnh vực khoa học, công nghệ, kỹ thuật, kinh tế Chúng ta biết phần lớn phương trình vi-tích phân nảy sinh từ tốn thực tiễn khó tìm nghiệm xác Do vấn đề đặt tìm cách để xác định nghiệm gần phương trình vi-tích phân Xuất phát từ nhu cầu đó, nhà khoa học tìm phương pháp để giải gần chúng Chính lý em chọn đề tài : “Một số phương pháp giải vi-tích phân Fredholm” nhằm có điều kiện hiểu biết sâu loại phương trình Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu cách giải phương trình vi-tích phân tuyến tính Fredholm Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Diễm Quỳnh Đối tượng phạm vi nghiên cứu + Đối tượng: Phương pháp cầu phương phương pháp lặp biến phân để giải phương trình vi-tích phân tuyến tính Fredholm + Phạm vi nghiên cứu: Phương trình vi-tích phân tuyến tính Fredholm Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu cách giải, đưa phương pháp ví dụ áp dụng phương pháp Phương pháp nghiên cứu + Phương pháp nghiên cứu lí luận + Phương pháp nghiên cứu tổng kết tài liệu Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, nhắc lại số kiến thức không gian Banach, không gian hàm số kiến thức giải tích số phục vụ cho chương sau 1.1 1.1.1 Không gian Banach Định nghĩa không gian định chuẩn Ta gọi không gian định chuẩn (hay khơng gian tuyến tính định chuẩn) khơng gian tuyến tính X trường P (P = R P = C) với ánh xạ từ X vào tập số thực R, ký hiệu đọc chuẩn, thỏa mãn tiên đề sau đây: (∀x ∈ X) x ≥ 0, x = ⇔ x = θ (kí hiệu phần tử khơng θ); (∀x ∈ X) (∀α ∈ P ) αx = |α| x ; (∀x, y ∈ X) x + y ≤ x + y x gọi chuẩn vecto x Ta kí hiệu khơng gian định chuẩn X Các tiên đề 1,2,3 gọi hệ tiên đề chuẩn Khóa luận tốt nghiệp Đại học 1.1.2 Nguyễn Thị Diễm Quỳnh Định nghĩa dãy Dãy điểm (xn ) không gian định chuẩn X gọi bản, lim m,n→∞ 1.1.3 xn − xm = Không gian Banach Không gian định chuẩn X gọi không gian Banach, dãy X hội tụ Nhờ nguyên lý làm đầy không gian metric không gian định chuẩn không khơng gian Banach làm đầy thành khơng gian Banach 1.2 Một số không gian hàm 1.2.1 Không gian Rn Rn không gian vecto ( thỏa mãn tiên đề với phép toán cộng nhân trường số K ) Rn không gian metric với d (x, y) = n j=1 Rn không gian định chuẩn (xi − yi )2 Khóa luận tốt nghiệp Đại học i xi ui Nguyễn Thị Diễm Quỳnh Nghiệm xác ∆ui = ui − u (xi ) u (x) = x2 + 27x 16 0 0 0.1 0.166842 0.17375 0.006908 0.2 0.343686 0.35750 0.013816 0.3 0.530526 0.55125 0.020724 0.4 0.727368 0.75500 0.027632 0.5 0.9342411 0.19250 0.034539 0.6 1.151053 1.19250 0.041447 0.7 1.377895 1.42625 0.048355 0.8 1.614737 1.67000 0.055263 0.9 1.861579 1.92375 0.062171 10 2.118421 2.18750 0.069079 Nói chung phương pháp khơng đưa nghiệm xác phương trình, ví dụ nghiệm xác biết trước để thận tiện cho việc so sánh với nghiệm xấp xỉ 2.2 Phương pháp lặp biến phân giải phương trình vi–tích phân tuyến tính 2.2.1 Phương pháp lặp biến phân Một phương pháp giải xấp xỉ phương trình vi-tích phân Fredholm phương pháp lặp biến phân.Theo phương pháp ta xây dựng dãy nghiệm xấp xỉ liên tiếp phương trình hội tụ nhanh đến nghiệm phương trình Phương pháp kết hợp 28 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Diễm Quỳnh phương pháp lặp phương pháp biến phân Xét phương trình vi-tích phân tuyến tính Fredholm dạng sau b u(i) (x) = f (x) + K(x, t)u (t)dt, (2.3.1) a di u Ở u (t) hàm cần tìm, u (x) = i , u (0) , u (0), , u(i−1) (0) dx điều kiện ban đầu Hàm K(x, t) cho trước giả thiết hàm liên (i) tục theo hai biến (x, t) ∈ [a, b] × [a, b] Giả sử phương trình có nghiệm u (t) 2.2.2 Định nghĩa Ta gọi phiến hàm hiệu chỉnh phương trình vi-tích phân tuyến tính (2.3.1) hàm x   λ(ξ) u(i) n (ξ) − f (ξ) − un+1 (x) = un (x) +  b  K (ξ, r) un (r) dr)dξ , a (n = 1, 2, 3, ) (2.3.2) ˜ hàm λ(ξ) gọi hàm nhân tử Lagrange, biến hạn chế un (r) 2.2.3 Cách xác định nhân tử Lagrange Cho phương trình: Lu + N u = g(t) Trong L tốn tử tuyến tính, N tốn tử phi tuyến tính, g(t) hàm cho trước 29 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Diễm Quỳnh Phương pháp lặp biến phân đưa phiếm hàm hiệu chỉnh phương trình có dạng x λ (ξ)(Lun (ξ) + N u (ξ) − g (ξ))dξ, un+1 (x) = un (x) + Ở phương pháp λ số khơng đổi hàm, un biến phân hạn chế điều có nghĩa giá trị khơng đổi, ∼ δ un = Ở δ đạo hàm biến hạn chế un Xác định nhân tử Lagrange tối ưu λ thông qua phương pháp lặp biến phân gồm bước sau Xác định nhân tử Lagrange λ (ξ) Với λ xác định thay hàm (2.3.2) với biến hạn chế Lấy đạo hàm theo un tìm x δun+1 δ =1+ ( δun δun λ (ξ)(Lun (ξ) + N un (ξ) − g (ξ))dξ) Hoặc tương đương x δun+1 = δun + δ( λ (ξ)(Lun (ξ))dξ) (2.3.3) Thực lấy tích phân phần để xác định nhân tử Lagrange λ (ξ)như sau x x λ (ξ)un (ξ) dξ =λ (ξ) un (ξ) − λ (ξ) un (ξ) dξ, x λ (ξ)un (ξ) dξ =λ (ξ) u n (ξ) − λ (ξ) un (ξ) 30 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Diễm Quỳnh x + λ (ξ) un (ξ) dξ, x λ (ξ)un (ξ) dξ =λ (ξ) u − λ (ξ) u n (ξ) + λ (ξ) un (ξ) n (ξ) x − λ (ξ) un (ξ) dξ, (2.3.4) x λ (ξ)u(iv) n (ξ) dξ =λ (ξ) u n (ξ) − λ (ξ) u n (ξ) + λ (ξ) u (ξ) x λ(iv) (ξ) un (ξ) dξ, − λ un (ξ) + Ví dụ Lun (ξ) = u n (ξ) (2.3.3) sau (2.3.2) trở thành x δun+1 = δun + δ( λ (ξ) (Lun (ξ))dξ)), (2.3.5) Tích phân tích phân phần (2.3.5) sử dụng (2.3.4) x δun+1 = δun + δλ (ξ) un (ξ) − λ (ξ) δun (ξ) dξ, Hoặc tương đương x δun+1 = δun (ξ) + λ|ξ=x − λ δun dξ, (2.3.6) Cực trị phiếm hàm hiệu chỉnh un+1 đạt δun+1 = Điều 31 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Diễm Quỳnh có nghĩa vế trái (2.3.6) , kết vế phải nên Từ ta có + λ|ξ=x = 0, λ |ξ=x = Giải phương trình vi phân ta λ = −1 Như ví dụ thứ hai, Lun (ξ) = u n (ξ) phương trình (2.3.3) sau (2.3.3) trở thành  x δun+1 = δun + δ(  λ (ξ) u (ξ) dξ   λ (ξ) (Lun (ξ))dξ)) = δun + δ   x Áp dụng tích phân phần ta x δun+1 = δun + δλ (ξ) ((un ) )x0 − λ δun x + λ δun dξ, 0 Hoặc tương đương x δun+1 = δun (ξ) − λ |ξ=x + δλ((un ) |ξ=x ) + λ δun dξ Để phiếm hàm điều kiện un+1 đạt cực đại δun+1 = Điều có nghĩa vế trái (2.3.6) , kết vế phải nên Từ ta có + λ |ξ=x = 0, λ|ξ=x = 0, λ |ξ=x = 32 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Diễm Quỳnh Từ đưa λ = ξ − x Sau xác định nhân tử Lagrangeλ(ξ) , việc tính un+1 , n > phụ thuộc vào hàm u0 (x) chọn Tuy nhiên, để có hội tụ nhanh, hàm u0 thông qua điều kiện ban đầu sau u0 (x) =u (0) , cho u n u0 (x) =u (0) + xu (0) , cho u n u0 (x) =u (0) + xu (0) + x2 u (0) , cho u n Sau có hàm un (x) ta giới hạn dãy hàm u (x) = lim un (x) n→∞ Hàm u (x) tìm nghiệm phương trình cho Xác định nhân tử Lagrange đóng vai trị quan trọng việc xác định nghiệm Chúng ta tổng kết phép lặp mà nhân tử Lagrange tương ứng với hàm sau Với λ = −1 (i)    u + f u (ξ) , u (ξ) = x   un+1 = un − u n + f un , un 33 dξ, Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Diễm Quỳnh Với λ = ξ − x    u + f u (ξ) , u (ξ) , u (ξ) = (ii) x   un+1 = un + (ξ − x) u n + f un , un , un dξ, Với λ = − (ξ − x)2 2!    u + f u (ξ) , u (ξ) , u (ξ) , u (ξ) = (iii) x   u = u − (ξ − x)2 u n + f un , , un n  n+1 2! dξ, (ξ − x)3 3!    u(iv) + f u (ξ) , u (ξ) , u (ξ) , u (ξ) , u(iv) (ξ) = (iv) x   (ξ − x)3 u n + f un , , un (iv) dξ, un+1 = un + 3! Với λ = Và tổng quát với λ = (−1)n (ξ − x)(n−1) n ≥ (n − 1)!    u(n) + f u (ξ) , u (ξ,) , u(n) (ξ) = (v) x n   u = u + (−1) (ξ − x)(n−1) u n  n+1 (n − 1)! n + f un , , un (n) dξ Phương pháp Phương pháp lặp biến phân sử dụng hai bước Đầu tiên yêu cầu xác định nhân tử Lagrange λ(ξ) điều kiện tối ưu thơng qua cách lấy ˜ tích phân phần sử dụng biến hạn chế un (r) Sau λ(ξ) 34 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Diễm Quỳnh xác định, ta thực bước thứ hai thực cơng thức lặp, khơng có biến hạn chế, từ ta có dãy lặp nghiệm xấp xỉ liên tiếp un+1 (x) , n ≥ u(x) Nghiệm ban đầu u0 chọn tùy ý Tuy nhiên, việc chọn u0 nhờ sử dụng giá trị ban đầu u(0), u (0), thích hợp Nghiệm xác cho công thức u(x) = lim un (x) (2.3.7) x→∞ Phương pháp minh họa thơng qua ví dụ sau 2.2.4 Ví dụ Ví dụ Sử dụng phương pháp lặp biến phân để giải phương trình vi-tích phân tuyến tính Fredholm π u (x) = −1 + cosx + tu(t)dt, u(0) = (1.1) Phiến hàm hiệu chỉnh cho phương trình đưa π x un+1 (x) = un (x) − (un (ξ) + − cosξ − rur (r)dr)dξ, (1.2) Ở đây, sử dụng nhân tử Lagrange λ = −1 cho phương trình vi-tích phân tuyến tính bậc Chú ý phiếm hàm điều chỉnh phương trình tích phân Volterra-Fredholm, bao gồm hai tốn tử tích phân Volterra Fredholm Chúng ta sử dụng điều kiện ban đầu u0 (x) = u (0) = Ta 35 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Diễm Quỳnh thu dãy nghiệm xấp xỉ liên tiếp u0 (x) = 0, π x u1 (x) = u0 (x) − (u0 (ξ) + − cos (ξ) − ru0 (r) dr)dξ = s inx − x, π x u2 (x) = u1 (x) − (u1 (ξ) + − cos (ξ) − ru1 (r) dr)dξ 0 = (s inx − x) + (x − π x), 24 π x (u2 (ξ) + − cos (ξ) − u3 (x) = u2 (x) − ru2 (r) dr)dξ 3 π π π6 = (s inx − x) + (x − x) + ( x − x), 24 24 576 π x u4 (x) = u3 (x) − (u3 (ξ) + − cos (ξ) − ru3 (r) dr)dξ, = (s inx − x) + (x − π π π6 π6 x) + ( x − x) + ( x + ), 24 24 576 576 Theo phương pháp ta có u (x) = lim un (x) x→∞ Chúng ta dễ thầy số hạng nhiễu xuất nghiệm xấp 36 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Diễm Quỳnh xỉ liên tiếp, việc loại bỏ số hạng nhiễu, nghiệm xác u (x) = s inx Ví dụ Sử dụng phương pháp lặp biến phân để giải phương trình vi-tích phân tuyến tính Fredholm loại hai π u = − cosx+ tu (t)dt, u (0) = 1, u (0) = (2.1) Phiến hàm hiệu chỉnh cho phương trình x  π  (ξ − x) u (ξ) − + cos x − un+1 (x) = un (x) +   run (r) drdξ (2.2) Theo lí thuyết tổng quát ta chọn λ = ξ −x phương trình tuyến tính vi-tích phân loại hai cho Chúng ta sử dụng hàm điều chỉnh u0 (0) = 1, u (0) = để chọn nghiệm xấp xỉ thứ uo (x) = u (0) + xu (0) = Từ cơng thức (2.2) ta có dãy nghiệm xấp xỉ liên tiếp phương 37 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Diễm Quỳnh trình cho uo (x) = 1,  x  (ξ − x) uo (ξ) − + cos ξ − u1 (x) = uo (x) +  ruo (r) dξ o π2 1+ = cos x + x ,  x π2 π2 = cosx +x (1 + ) − x + 4  +x π4 π8 + 32 x = cos x + x − x2 ,  π  (ξ − x) u2 (ξ) − + cos ξ −  ru1 (r) dr dξ u3 (x) = u2 (x) +  π  (ξ − x) u1 (ξ) − + cos ξ − u2 (x) = u1 (x) +  π  run (r) dr dξ π2 1+ π4 π6 + 32 −x π2 1+ + Sau tìm giới hạn dãy lặp u(x) = lim un (x) n→∞ Xóa số hạng nhiễu ta có nghiệm xác u (x) = cosx 38 +x π4 π6 + 32 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Diễm Quỳnh Ví dụ Sử dụng phương pháp biến lặp biến phân để giải phương trình vi-tích phân tuyến tính Fredholm loại π u” (x) = 2x − x sin x+2 cos x − (x − t)u (t) dt, (3.1) −π u (0) = u (0) = Phiến hàm hiệu chỉnh cho phương trình đưa x (ξ − x)Γn (ξ) dξ, n ≥ un+1 (x) = un (x) + (3.2) Ở π Γn (ξ) = u n (ξ) (ξ − r)un (r) dr − 2ξ + ξ sin ξ − cos ξ + (3.3) −π Chúng ta sử dụng điều kiện ban đầu u (0) = 0, u (0) = để chọn nghiệm xấp xỉ thứ không uo (x) = u (0) + xu (0) = 39 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Diễm Quỳnh Áp dụng công thức (3.2) ta dãy nghiệm xấp xỉ liên tiếp uo (x) = 0, x (ξ − x)Γ0 (ξ)dξ = xsinx + x3 , u1 (x) = uo (x) + x (ξ − x)Γ1 (ξ) dξ u2 (x) = u1 (x) + = x sin x + x3 + π5 − x3 + x , 480 x (x − ξ)Γ2 (ξ) dξ u3 (x) = u2 (x) + = (x sin x + x3 ) + −1 π5 x + x 480 + −π x + , 480 Ở π Γi (ξ) = u (ξ) − 2ξ + ξ sin ξ − cos ξ + (ξ − r)ui (r)dr, i ≥ − π2 Xóa số hạng nhiễu ta đưa nghiệm xác u (x) = x sin x 40 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Diễm Quỳnh KẾT LUẬN Luận văn trình bày hai phương pháp giải phương tình vi-tích phân tuyến tính Fredholm Ở phương pháp thứ nhất, giải số phương trình tuyến tính vi- tích phân Fredholm tơi đưa nghiệm xấp xỉ dạng bảng số, nhiên nghiệm xấp xỉ nên trình tính nghiệm có sai số mức nhỏ Để tìm nghiệm tơi sử dụng phần mền Maple để giải hệ phương trình Phương pháp thứ hai phương pháp lặp biến phân , tài liệu tham khảo sách tiếng anh [6], [?].Theo phương pháp ta xây dựng dãy nghiệm xấp xỉ liên tiếp phương trình hội tụ nhanh đến nghiệm phương trình Phương pháp kết hợp phương pháp lặp phương pháp biến phân Sau xác định dãy nghiệm xấp xỉ liên tiếp Tìm giới hạn dãy ta nghiệm xác phương trình Khóa luận cịn thiếu sót Em mong thầy bạn góp ý để khóa luận hồn chỉnh Em xin trân trọng cảm ơn 41 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Nguyễn Minh Chương, Nguyễn Văn Khải, Khuất Văn Ninh, Nguyễn Văn Tuấn, Nguyễn Tường (2001), Giải tích số, NXB Giáo dục, Hà Nội [2] Phạm Huy Điển (chính biên) (2002), Tính tốn, lập trình giảng dạy toán học Maple, NXB Khoa học Kĩ thuật Hà Nội [3] Nguyễn Phụ Hy (2005), Giải tích hàm, NXB Khoa học kỹ thuật Hà Nội [4] Trần Đức Long, Nguyễn Đình Sang, Hồng Quốc Tồn (2009), Giải tích tập 3, NXB Đại học quốc gia Hà Nội Tiếng Anh [5] Verlan, A.F and Sizikov, V.C., ( 1986), Integral equation: Methods, algorithm, program (in Russian), Handbook, Naukova, Dumka, Kiev [6] Wazwaz, A.M (2011), Linear and Nolinear Integral Equation, Springer 42 ... 2.1 Phương pháp giải số phương trình vi- tích phân Fredholm Phương pháp cầu phương để giải phương trình vi- phân tuyến tính Fredholm rời rạc hóa phương trình cho Ta thay đạo hàm tỷ sai phân tính tích. .. phương trình vi- tích phân tuyến tính Fredholm + Phạm vi nghiên cứu: Phương trình vi- tích phân tuyến tính Fredholm Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu cách giải, đưa phương pháp ví dụ áp dụng phương pháp. .. tham số 1.2 i Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Diễm Quỳnh Phương trình vi- tích phân tuyến tính Fredholm 2.1 2.2 11 Phương pháp giải số phương trình vi- tích phân Fredholm 12 2.1.1 Phương