Cach giai mot so phuong trinh vo ty

I.MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ CƠ BẢN Dạng : Phương trình Lưu ý: Điều kiện (*) chọn tuỳ thuôc vào độ phức tạp hay Dạng 2: Phương trình Dạng 3: Phương trình +) (chuyển dạng 2) +) ta sử dụng phép : ta phương trình : Bài 1: Giải phương trình sau: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) (x+3) Bài 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: ; Bài 3: Cho phương trình : Giải phương trình m = Tìm m để phương có nghiệm; Bài 4: Cho phương trình : Giải phương trình m = Tìm giá trị m để phương trình cho có nghiệm II MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ ; A Phương pháp đặt ẩn số phụ 1.Phương pháp đặt ẩn phụ thơng thường a)Nếu tốn có chứa đặt (với điều kiện tối thiểu phương trình có chứa tham số thiết phải tìm điều kiện cho ẩn phụ) b)Nếu tốn có chứa , (với k số) đặt : , c)Nếu tốn có chứa đặt: suy d)Nếu tốn có chứa đặt e)Nếu tốn có chứa đặt với với hoặc với với f)Nếu tốn có chứa ta đặt với Bài 1: Giải phương trình sau: a) b) c) d) e) f) g) h) (hai đặt căn) (hai đặt căn) i) Bài 2: Giải phương trình: a) ; b) ; c) d) e) ; ; ; f) Bài 4: Cho phương trình: -Giải phương trình với -Tìm m để phương trình có nghiệm Bài 5: Cho phương trình: -Giải phương trình với m = -Tìm m để phương trình có nghiệm 2 Phương pháp đặt ẩn phụ khơng hồn tồn Là việc sử dụng ẩn phụ chuyển phương trình ban đầu thành phương trình với ẩn phụ hệ số cịn chứa x -Từ phương trình tích , Khai triển rút gọn ta phương trình vơ tỉ khơng tầm thường chút nào, độ khó phương trình dạng phụ thuộc vào phương trình tích mà ta xuất phát Từ tìm cách giải phương trình dạng Phương pháp giải thể qua ví dụ sau Bài Giải phương trình : Giải: , ta có : Bài Giải phương trình : Giải: Đặt : Khi phương trình trở thnh : Bây ta thêm bớt , để phương trình bậc theo t có chẵn Từ phương trình đơn giản : , khai triển ta pt sau Bài Giải phương trình sau : Giải: Nhận xét : đặt , pttt: Ta rt (1) thay vo pt: Nhưng khơng có may mắn để giải phương trình theo t khơng có dạng bình phương Muốn đạt mục đích ta phải tách 3x theo Cụ thể sau : Bài Giải phương trình: Giải thay vào pt (1) ta được: Bình phương vế phương trình: Ta đặt : Ta được: Ta phải tách cho có dạng chình phương Nhận xét : Thơng thường ta cần nhóm cho hết hệ số tự đạt mục đích Bài tập: Giải phương trình sau: a) ; b) ; c) ; d) ; 2.Giải bất phương trình vơ tỉ: Phương pháp đặt ẩn phụ chuyển hệ a) Dạng thơng thường: Đặt tìm mối quan hệ từ tìm hệ theo u,v Chẳng hạn phương trình: đặt: từ suy ta Khi ta có hệ Bài tập: Giải phương trình sau: a) b) c) b) Dạng phương trình chứa bậc hai lũy thừa bậc hai: với Cách giải: Đặt: phương trình chuyển thành hệ: ->giải Nhận xét: Dể sử dụng phương pháp cần phải khéo léo biến đổi phương trình ban đầu dạng thỏa mãn điều kiện để đặt ẩn phụ.Việc chọn thông thường cần viết dạng : chọn c) Dạng phương trình chứa bậc ba lũy thừa bậc ba với Cách giải: Đặt phương trình chuyển thành hệ: Bài tập: Giải phương trình sau: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) B.Phương pháp hàm số (dùng cho lớp 12)(R) Sử dụng tính chất hàm số để giải phương trình dạng tốn quen thuộc Ta có hướng áp dụng sau đây: Hướng 1: Thực theo bước: Bước 1: Chuyển phương trình dạng: Bước 2: Xét hàm số Bước 3: Nhận xét: Với nghiệm Với phương trình vơ nghiệm Với phương trình vơ nghiệm Vậy nghiệm phương trình Hướng 2: thực theo bước Bước 1: Chuyển phương trình dạng: Bước 2: Dùng lập luận khẳng định g(x) có tính chất trái ngược xác định cho Bước 3: Vậy nghiệm phương trình Hướng 3: Thực theo bước: Bước 1: Chuyển phương trình dạng Bước 2: Xét hàm số , dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu Bước 3: Khi Ví dụ: Giải phương trình : pt Xét hàm số , hàm đồng biến R, ta có Bài tập: Giải phương trình: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; Bài 1 : a)(ĐHXD) Giải pt b) (CĐSP MG 2004) c) (CĐSP NINH BÌNH) d) (CĐ hố chất) e) (CĐ TP 2004) g) (CĐSP bến tre) h) (CĐ truyền hình 2007) ĐS: a) x=1 b) x=14/5 c) x=9 e) x=5 g) x=2 h) x=-1 d) x=1 Bài 2: a)(ĐHNN-2001) Giải phương trình b) (CĐ Nha trang 2002) : Hdẫn: a) ĐK: -1≤x≤4 Đặt t= Giải t=-5 (loại), t=3 Giải t=3 x=0 b) x= Bài a)(ĐHQG KD-2001) Giải phương trình b) (CĐXD 2003) Hdẫn: a) ĐK: x≥1/2 Xét hàm số y= HSĐB [1/2;+∞) Và f(1/2)=1 Vậy phương trình có nghiệm x=1/2 b)x=-1 nghiệm Các hàm số y= ; y= ; y= ĐB Bài 4 : Giải pt ĐK : x ≤-3,x=-1,x≥1 -Với x=-1 Thoả mãn pt -Với x≤-3 VP2 giải x=5 b)x=3 C Phương pháp biến đổi (R) 1.Bình phương hai vế: a) Đơi gặp khó khăn Nếu phương trình có A + C = B + D A.C= DB ta giải sau: (1) Giải phương trình hệ (1) nghiệm sau thử lại với phương trình cho b) ,Thay vào phương trình (2) ta được: (3).Giải phương trình (3) thử lại nghiệm phương trình (2) c) Ví dụ: i) ; Giải Đk Bình phương vế khơng âm phương trình ta được: , để giải phương trình dĩ nhiên khơng khó phức tạp chút Phương trình giải đơn giản ta chuyển vế phương trình : Bình phương hai vế ta có : Thử lại x=1 thỏa ii) Giải Điều kiện : Bình phương vế phương trình ? Nếu chuyển vế chuyển nào? Ta có nhận xét : , từ nhận xét ta có lời giải sau : Bình phương vế ta được: 2.Trục thức: *) Nếu phương trình mà ta giải nhẩm nghiệm ta phân tích phương trình cho dạng (4).Chú ý tới điều kiện xác định phương trình để chứng minh phương trình A(x) = vơ nghiệm Chú ý: Q trình phân tích phương trình cho dạng (4) trục thức cách nhân hai vế phương trình cho với lượng liên hợp *) Ví dụ: Giải phương trình sau: i) Giải Ta nhận thấy : v Ta trục thức vế : Dể dàng nhận thấy x=2 nghiệm phương trình ii) Giải Để phương trình có nghiệm : Ta nhận thấy : x=2 nghiệm phương trình , phương trình phân tích dạng , để thực điều ta phải nhóm , tách sau : Dễ dàng chứng minh : iii) Giải Đk Nhận thấy x=3 nghiệm phương trình , nên ta biến đổi phương trình Ta chứng minh : Vậy pt có nghiệm x=3 3.Đưa hệ tạm: *) Nếu phương trình vơ tỉ có dạng ,mà : biểu thức x.Ta giải sau: C số ,có thể ,Khi ta có hệ *) Ví dụ: Giải phương trình sau: i) Giải Ta thấy : nghiệm Xét Trục thức ta có : Vậy ta có hệ: Thử lại thỏa; phương trình có nghiệm : x=0 v x= ii) Giải Ta thấy : Ta chia hai vế cho x đặt , khơng thỏa mãn điều kiện tốn trở nên đơn giản 4.BÀI TẬP : Giải phương trình sau: 1) 2) 3) 4) 5) 10 6) 7) 8) 9) 5.Biến đổi tích: *) Sử dụng cơng thức: +) u+v = 1- uv (u-1)(v-1) = +) au + bv = ab + uv (a-v)(b-u) = +) *) Ví dụ:Giải phương trình: Giải: Pt Giải + x = 0, khơng có nghiệm + x 0, chia hai vế pt cho x ta có: Giải Đk x -1: pt Giải Đk x Chia hai vế cho ta có: Dùng đẳng thức Biến đổi phương trình dạng : Bài Giải phương trình : Giải: Đk: pt đ cho tương đương : Bài Giải phương trình sau : Giải: Đk: phương trình tương đương : Bài Giải phương trình sau : Giải : pttt II PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẦN PHỤ(R) 11 Phương pháp đặt ẩn phụ thông thường Đối với nhiều phương trình vơ vơ tỉ , để giải đặt ý điều kiện phương trình ban đầu trở thành phương trình chứa biến quan trọng ta giải phương trình theo việc đặt phụ xem “hồn tồn ” Nói chung phương trình mà đặt hồn tồn thường phương trình dễ Bài Giải phương trình: Điều kiện: Nhận xét Đặt phương trình có dạng: Thay vào tìm Bài Giải phương trình: Giải Điều kiện: Đặt Thay vào ta có phương trình sau: Ta tìm bốn nghiệm là: Do nên nhận gái trị Từ tìm nghiệm phương trình l: Cách khác: Ta bình phương hai vế phương trình với điều kiện Ta được: , từ ta tìm nghiệm tương ứng Đơn giản ta đặt : đưa hệ đối xứng (Xem phần dặt ẩn phụ đưa hệ) Bài Giải phương trình sau: Điều kiện: Đặt phương trình trở thnh: ( với Từ ta tìm giá trị Bài (THTT 3-2005) Giải phương trình sau : Giải: đk Đặt pttt Bài Giải phương trình sau : Giải: 12 Điều kiện: Chia hai vế cho x ta nhận được: Đặt , ta giải Bài Giải phương trình : Giải: Đặt t= khơng phải nghiệm , Chia hai vế cho x ta được: , Ta có : Bài tập đề nghị Giải phương trình sau Nhận xét : cách đặt ẩn phụ giải lớp đơn giản, đơi phương trình lại khó giải Đặt ẩn phụ đưa phương trình bậc biến (R) Chúng ta biết cách giải phương trình: (1) cách Xét phương trình trở thành : thử trực tiếp Các trường hợp sau đưa (1) Chúng ta thay biểu thức A(x) , B(x) biểu thức vơ tỉ nhận phương trình vơ tỉ theo dạng a) Phương trình dạng : Như phương trình giải phương pháp Xuất phát từ đẳng thức : 13 Hãy tạo phương trình vơ tỉ dạng ví dụ như: Để có phương trình đẹp , phải chọn hệ số a,b,c cho phương trình bậc hai giải “ nghiệm đẹp” Bài Giải phương trình : Giải: Đặt Phương trình trở thành : Tìm được: Bài Giải phương trình : Bài 3: giải phương trình sau : Giải: Đk: Nhận xt : Ta viết Đồng thức ta được: Đặt , ta được: Ta : Bài Giải phương trình : Giải: Nhận xét : Đặt y: ta biến pt phương trình bậc x Pt có nghiệm : b).Phương trình dạng : Phương trình cho dạng thường khó “phát “ dạng , nhưg ta bình phương hai vế đưa dạng Bài giải phương trình : Giải: Ta đặt : phương trình trở thành : Bài 2.Giải phương trình sau : Giải Đk Bình phương vế ta có : 14 Ta đặt : Do ta có hệ : Bài giải phương trình : Giải: Đk Chuyển vế bình phương ta được: Nhận xét : khơng tồn số thể đặt để : ta không Nhưng may mắn ta có : Ta viết lại phương trình: Đến tốn giải Các em tự sáng tạo cho phương trình vơ tỉ “đẹp “ theo cách Phương pháp đặt ẩn phụ khơng hồn tồn (R) Từ phương trình tích , Khai triển rút gọn ta phương trình vơ tỉ khơng tầm thường chút nào, độ khó phương trình dạng phụ thuộc vào phương trình tích mà ta xuất phát Từ tìm cách giải phương trình dạng Phương pháp giải thể qua ví dụ sau Bài Giải phương trình : Giải: , ta có : Bài Giải phương trình : Giải: Đặt : Khi phương trình trở thnh : Bây ta thêm bớt , để phương trình bậc theo t có Từ phương trình đơn giản : chẵn : , khai triển ta pt sau Bài Giải phương trình sau : Giải: 15 Nhận xét : đặt Ta rút , pttt: (1) thay vào pt: Nhưng khơng có may mắn để giải phương trình theo t khơng có dạng bình phương Muốn đạt mục đích ta phải tách 3x theo Cụ thể sau : Bài Giải phương trình: Giải thay vào pt (1) ta được: Bình phương vế phương trình: Ta đặt : Ta được: Ta phải tách cho có dạng phương Nhận xét : Thơng thường ta cần nhóm cho hết hệ số tự đạt mục đích Đặt nhiều ẩn phụ đưa tích Xuất phát từ số hệ “đại số “ đẹp tạo phương trình vơ tỉ mà giải lại đặt nhiều ẩn phụ tìm mối quan hệ ẩn phụ để đưa hệ Xuất phát từ đẳng thức , Ta có Từ nhận xét ta tạo phương trình vơ tỉ có chứa bậc ba Bài Giải phương trình : Giải : , ta có : , giải hệ ta được: Bài Giải phương trình sau : Giải Ta đặt : , ta có : Bài Giải phương trình sau Đặt ẩn phụ đưa hệ: (R) 5.1 Đặt ẩn phụ đưa hệ thơng thường 16 Đặt tìm mối quan hệ từ tìm hệ theo u,v Bài Giải phương trình: Đặt Khi phương trình chuyển hệ phương trình sau: , giải hệ ta tìm Tức nghiệm phương trình Bài Giải phương trình: Điều kiện: Đặt Ta đưa hệ phương trình sau: Giải phương trình thứ 2: , từ tìm phương trình Bài Giải phương trình sau: Điều kiện: Đặt thay vào tìm nghiệm ta đưa hệ phương trình sau: Vậy Bài Giải phương trình: Giải Điều kiện: Đặt Khi ta hệ phương trình: 5.2 Xây dựng phương trình vơ tỉ từ hệ đối xứng loại II Ta tìm nguồn gốc tốn giải phương trình cách đưa hệ đối xứng loại II 17 Ta xét hệ phương trình đối xứng loại II sau : đơn giản Bây giời ta biến hệ thành phương trình cách đặt việc giải hệ cho (2) , , ta có phương trình : Vậy để giải phương trình : ta đặt lại đưa hệ Bằng cách tương tự xét hệ tổng quát dạng bậc : phương trình dạng sau : đặt , ta xây dựng , ta có phương trình : Tương tự cho bậc cao : Tóm lại phương trình thường cho dạng khai triển ta phải viết dạng : v đặt để đưa hệ , ý dấu Việc chọn chọn ??? thông thường cần viết dạng : Giải phương trình: Điều kiện: Ta có phương trình viết lại là: Đặt ta đưa hệ sau: Trừ hai vế phương trình ta Giải ta tìm nghiệm phương trình là: Bài Giải phương trình: Giải Điều kiện Ta biến đổi phương trình sau: Đặt ta hệ phương trình sau: Với Với Kết luận: Nghiệm phương trình Các em xây dựng sồ hệ dạng ? Dạng hệ gần đối xứng 18 Ta xt hệ sau : hệ đối xứng loại giải hệ , từ hệ xây dưng tốn phương trình sau : Bài Giải phương trình: Nhận xét : Nếu nhóm phương trình trước : Đặt khơng thu hệ phương trình mà giải Để thu hệ (1) ta đặt : , (đối xứng gần đối xứng ) , chọn cho hệ giải Ta có hệ : Để giải hệ ta lấy (1) nhân với k cộng với (2): mong muốn có nghiệm Nên ta phải có : , ta chọn Ta có lời giải sau : Điều kiện: , Đặt Ta có hệ phương trình sau: Với Với Kết luận: tập nghiệm phương trình là: Chú ý : làm quen, tìm cách viết lại phương trình ta viết lại phương trình sau: đặt , đặt không thu hệ mong muốn , ta thấy dấu dấu với dấu trước Một cách tổng quát Xét hệ: để hệ có nghiệm x = y : A-A’=B m=m’, Nếu từ (2) tìm hàm ngược thay vào (1) ta phương trình Như để xây dựng pt theo lối ta cần xem xét để có hàm ngược tìm hệ phải giải Một số phương trình xây dựng từ hệ Giải phương trình sau 19 Giải (3): Phương trình : Ta đặt : Các em xây dựng phương trình dạng ! III PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ (R) Dùng đẳng thức : Từ đánh giá bình phương : , ta xây dựng phương trình dạng Từ phương trình ta khai triển có phương trình : Dùng bất đẳng thức Một số phương trình tạo từ dấu bất đẳng thức: (1) (2) dạt Ta có : dấu ỏ nghiệm phương trình Dấu và , dấu x=0 Vậy ta có phương trình: Đơi số phương trình tạo từ ý tưởng : : Nếu ta đốn trước nghiệm việc dùng bất đẳng thức dễ dàng hơn, có nhiều nghiệm vơ tỉ việc đốn nghiệm khơng được, ta dùng bất đẳng thức để đánh giá Bài Giải phương trình (OLYMPIC 30/4 -2007): Giải: Đk Ta có : Dấu Bài Giải phương trình : 20