ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Phan Quang Tuyển MỘT SỐ THUẬT TOÁN RUNGE KUTTA VỚI BƯỚC LƯỚI THAY ĐỔI GIẢI MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội[.]
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Phan Quang Tuyển MỘT SỐ THUẬT TOÁN RUNGE - KUTTA VỚI BƯỚC LƯỚI THAY ĐỔI GIẢI MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2019 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Phan Quang Tuyển MỘT SỐ THUẬT TOÁN RUNGE - KUTTA VỚI BƯỚC LƯỚI THAY ĐỔI GIẢI MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 8460112.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TSKH Vũ Hoàng Linh Hà Nội - 2019 LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung luận văn, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo PGS TSKH Vũ Hoàng Linh, người trực tiếp hướng dẫn, dạy để tơi hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến Khoa Tốn- Cơ- Tin học, Phịng Sau đại học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Hà Nội − Đại học Quốc gia Hà Nội, quý thầy cô giáo tham gia giảng dạy khóa cao học 20172019 dạy bảo tơi tận tình suốt q trình học tập trường Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp Khoa khoa học bản, Trường Sĩ quan Pháo binh, nơi công tác, hỗ trợ, động viên tạo điều kiện cho học tập, nghiên cứu thực luận văn Cuối cùng, xin chân thành cảm ơn TS Nguyễn Duy Trường, giảng viên trường Sĩ quan lục quân 1, toàn thể bạn bè, anh chị em lớp cao học 20172019 động viên giúp đỡ cho trình thực luận văn Hà Nội, ngày 28 tháng 11 năm 2019 Học viên Phan Quang Tuyển Mục lục Giới thiệu 13 1.1 Phương trình vi phân đại số 13 1.1.1 Khái niệm phân loại phương trình vi phân đại số 13 1.1.2 Chỉ số phương trình vi phân đại số 15 Phương pháp Runge-Kutta cho phương trình vi phân thường 18 1.2.1 Phương pháp Runge-Kutta tổng quát 19 1.2.2 Sự hội tụ tính ổn định phương pháp Runge-Kutta 20 Đánh giá sai số lựa chọn bước phương pháp nhúng 21 1.3.1 Ý tưởng phương pháp nhúng RK 21 1.3.2 Phương pháp nhúng RK 22 1.2 1.3 Phương pháp Runge-Kutta nửa giải phương trình vi phân đại số 25 2.1 Trường hợp phương trình vi phân đại số dạng nửa số 25 2.2 Trường hợp phương trình vi phân đại số khơng có tính lạ 27 2.2.1 Phân tích tốn 28 2.2.2 Phương pháp Runge-Kutta nửa 30 2.3 Trường hợp phương trình vi phân đại số khơng có tính lạ có cấu trúc 34 2.3.1 Phân tích cấu trúc toán 35 2.3.2 Sự phụ thuộc nghiệm vào liệu 37 2.3.3 Rời rạc hóa phương pháp Runge-Kutta nửa 39 2.3.4 Sự hội tụ phương pháp Runge-Kutta nửa 42 2.3.5 Tính ổn định tuyệt đối phương pháp Runge-Kutta nửa 44 Phương pháp Runge-Kutta với bước lưới thay đổi giải phương trình vi phân đại số 48 3.1 Phương pháp nhúng 48 3.1.1 Phương trình vi phân đại số khơng có tính lạ 50 3.1.2 Phương trình vi phân đại số khơng có tính lạ có cấu trúc 51 3.2 Thử nghiệm số 53 Kết luận 65 Tài liệu tham khảo 66 DANH MỤC KÝ HIỆU N Tập hợp số tự nhiên R Tập số thực C Tập số phức I Đoạn [0, T ] ⊂ R Rm , (Cm ) Không gian véc tơ m chiều R, (C) Rm1 ,m2 Không gian ma trận thực cỡ m1 × m2 C p (I, Rm ) Không gian hàm véc tơ m chiều khả vi liên tục cấp p C p (I, Rm1 ,m2 ) Khơng gian hàm ma trận cỡ m1 × m2 khả vi liên tục cấp p Ik Ma trận đơn vị cấp k rank( A) Hạng ma trận A Const Hằng số O(hk ) Vơ bé bậc với hk Điều phải chứng minh DANH MỤC VIẾT TẮT BTGTBĐ Bài toán giá trị ban đầu ƠĐTĐ Ổn định tuyệt đối PTVPT Phương trình vi phân thường PTVPĐS Phương trình vi phân đại số RK Phương pháp Runge-Kutta HERK Phương pháp Runge-Kutta nửa (Half explicit Runge-Kutta) IRK Phương pháp Runge-Kutta ẩn (Implicit Runge-Kutta) HEOL Phương pháp chân nửa (Half explicit One - leg ) HELM Phương pháp đa bước nửa (Half explicit linear multistep) LỜI MỞ ĐẦU Trong thực tế, gặp nhiều toán lĩnh vực khoa học kĩ thuật học, hóa học, hệ mạch điện, lý thuyết điều khiển, động lực học chất lỏng, v.v mơ hình hóa dạng hệ hỗn hợp phương trình vi phân kết hợp với ràng buộc đại số Các hệ gọi phương trình vi phân đại số (PTVPĐS, DAEs) PTVPĐS có dạng tổng quát F (t, x, x ) = 0, (0.0.1) t ∈ I = [0, T ], F : I × Rm × Rm → Rn , m, n ∈ N Nếu ma trận Jacobi F theo x không suy biến, theo định lý hàm ẩn, từ phương trình (0.0.1) ta giải x = f (t, x ), dạng phương trình vi phân thường (PTVPT) Trong trường hợp tổng quát, ma trận Jacobi F theo x suy biến Khi đó, có PTVPĐS, hay cịn gọi phương trình vi phân ẩn Ví dụ 0.0.1 [5, Example 1.3 ]Xét lắc đơn có khối lượng m chiều dài l Đặt hệ trục tọa độ Đề Oxy hình vẽ: Hình 1: Con lắc đơn Động lắc T = 21 m x 02 + y02 , U = mgy, g gia tốc trọng trường, với ràng buộc x2 + y2 − l = 0, ta có hàm Lagrange L = 12 m x 02 + y02 − mgy − λ x2 + y2 − l , với tham số Lagrange λ Phương trình chuyển động lắc có dạng ∂L d ∂L − , dt ∂q ∂q với biến q = x, y, λ, nghĩa ta có: mx 00 + 2λx = 0, my00 + mg + 2λy = 0, (0.0.2) x2 + y2 − l = Bằng cách đặt biến u = x , v = y0 , phương trình (0.0.2) trở thành x − u = 0, y0 − v = 0, mu0 + 2λx = 0, (0.0.3) mv0 + mg + 2λy = 0, x2 + y2 − l = Đây PTVPĐS có số với biến x, y, u, v, λ Giả sử, ta giải toán giá trị ban đầu (BTGTBĐ) (0.0.1) với điều kiện đầu x (0) = x0 , x0 ∈ Rm Sự tồn nghiệm BTGTBĐ (0.0.1) phụ thuộc vào điều kiện ban đầu x0 Trong ví dụ (0.0.1) để hệ (0.0.3) có nghiệm điều kiện ta cần có x02 + y20 = l02 Không vậy, điều kiện ban đầu PTVPĐS cịn liên quan đến đạo hàm ràng buộc thời điểm ban đầu, xem [3] Các PTVPĐS xuất từ toán thực tế thường hệ phức tạp, khơng có hy vọng giải đúng, nhiều trường hợp cần biết thông tin nghiệm số nghiệm gần với mức độ xác định Việc nghiên cứu giải số cho PTVPT phát triển từ lâu, việc nghiên cứu lý thuyết phương pháp số PTVPĐS phát triển mạnh khoảng 30 năm trở lại Các phương pháp số cho PTVPĐS mở rộng từ phương pháp số cho PTVPT Tuy nhiên, có nhiều ví dụ cho thấy phương pháp quen thuộc giải PTVPT áp dụng cho PTVPĐS gặp khó khăn như: lời giải số khơng ổn định chí khơng tồn tại, xảy tượng giảm cấp xác, v.v Trong năm cuối kỉ 20 đầu kỉ 21, nghiên cứu tập trung vào PTVPĐS dạng ẩn Nhóm tác giả P Kunkel V Mehrmann có nghiên cứu cách có hệ thống PTVPĐS dạng (0.0.1) có số tùy ý Các tác giả nghiên cứu số lạ toán đề xuất thuật toán đưa toán PTVPĐS dạng (0.0.1) dạng tắc khơng có tính lạ, sau áp dụng cơng thức rời rạc hóa để thu nghiệm số tốn (0.0.1) Gần đây, lớp PTVPĐS thu hút quan tâm nhà toán học PTVPĐS ẩn khơng có tính lạ có dạng f (t, x, x ) = 0, g(t, x ) = 0, ∀t ∈ [t0 , T ] (0.0.4) Khơng tính tổng quát, ta giả sử t0 = f : I × Rm × Rm → Rm1 , g : I × Rm → Rm2 , (m = m1 + m2 ) hàm đủ trơn có đạo hàm riêng bị chặn thỏa mãn f x0 (t, x, x ) gx (t, x ) không suy biến dọc theo nghiệm x(t) (0.0.5) Tác giả V.H Linh V Mehrmann [7] nghiên cứu tính chất tốn (0.0.4) đề xuất phương pháp chân nửa (HEOL), phương pháp đa bước nửa (HELM), phương pháp Runge-Kutta nửa (HERK) để giải hiệu PTVPĐS (0.0.4) tính cương Khi nghiên cứu lớp PTVPĐS có cấu trúc dạng f (t, x, E(t) x ) = 0, (0.0.6) g(t, x ) = 0, đoạn [0, T ], E ∈ C1 (I, Rm1 ,m ) hàm f = f (t, u, v) : I × Rm × Rm1 → Rm1 , g = g(t, u) : I × Rm → Rm2 , (m, m1 , m2 ∈ N, m = m1 + m2 ) đủ trơn 10 có đạo hàm riêng bị chặn Giả sử BTGTBĐ có nghiệm x (t) h i fv E không suy biến dọc theo nghiệm x(t) (0.0.7) g u Đây lớp PTVPĐS nằm dạng PTVPĐS khơng có tính lạ (0.0.4) Hai tác giả V.H Linh N.D Trường [8] nghiên cứu đưa phương pháp Runge-Kutta nửa (HERK) phương pháp Runge-Kutta ẩn (IRK) để tìm nghiệm số đánh giá sai số, cấp xác Phương pháp Runge-Kutta nửa kế thừa từ phương pháp RungeKutta cho PTVPT áp dụng cho lớp toán (0.0.4) (0.0.6) Phương pháp HERK tác giả V.H Linh V Mehrmann [7], V.H Linh N.D Trường [8] áp dụng cho bước h Trong luận văn này, tiếp tục nghiên cứu phương pháp HERK áp dụng cho toán (0.0.4) (0.0.6) dựa vào hai kết [7], [8], kết hợp với phương pháp nhúng với bước lưới thay đổi h để tìm nghiệm số, đánh giá sai số bước lưới h Ngoài Lời mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo, luận văn chia gồm chương Chương Giới thiệu Trong chương thứ nhất, tơi trình bày lại kiến thức về: Phương trình vi phân đại số, phương pháp Runge-Kutta cho PTVPT, đánh giá sai số lựa chọn bước phương pháp nhúng Chương Phương pháp Runge-Kutta nửa giải PTVPĐS Trong chương thứ hai, tơi trình bày phương pháp Runge-Kutta nửa để giải PTVPĐS cho trường hợp: PTVPĐS dạng nửa số 1, PTVPĐS khơng có tính lạ, PTVPĐS khơng có tính lạ có cấu trúc Chương Phương pháp Runge-Kutta với bước lưới thay đổi giải PTVPĐS Trong chương này, tơi trình bày phương pháp nhúng với bước h thay đổi kết hợp với phương pháp Runge-Kutta nửa trình bày chương Sau thực số thử nghiệm số để so sánh có đánh giá với trường hợp áp dụng phương pháp Runge-Kutta với bước lưới h 11 Hà Nội, ngày 28 tháng 11 năm 2019 Học viên Phan Quang Tuyển 12 Chương Giới thiệu Trong chương này, nhắc lại số khái niệm kiến thức bổ trợ sử dụng luận văn Phần đầu tiên, giới thiệu PTVPĐS Phần thứ hai, tơi trình bày tóm tắt phương pháp RK cho PTVPT Phần cuối chương 1, trình bày việc đánh giá sai số lựa chọn bước phương pháp nhúng áp dụng cho PTVPT 1.1 Phương trình vi phân đại số 1.1.1 Khái niệm phân loại phương trình vi phân đại số Phương trình vi phân đại số dạng tổng quát phương trình F (t, x, x ) = 0, (1.1.1) t ∈ I = [0, T ], F : I × Rm × Rm → Rn , m, n ∈ N, ma trận Jacobi ∂F ∂x suy biến Ví dụ 1.1.1 Xét hệ x1 − x10 + = 0, (1.1.2) x10 x2 + = 0, Ta có F (t, x, x ) = x1 − x10 + x10 x2 + 13 , với x0 = x1 x2 , ma trận Jacobi ∂F ∂x ∂F −1 = x2 ∂x Ta thấy rằng, ma trận Jacobi ma trận suy biến với giá trị x = x1 x2 Do đó, hệ (1.1.2) PTVPĐS Nhận xét 1.1.1 Trong ví dụ ta thấy đạo hàm x20 không xuất Giải phương trình (1.1.2), ta x10 = x1 + Thay x10 vào phương trình thứ hai, phương trình (1.1.2) viết lại x10 = x1 + 1, (1.1.3) ( x1 + 1) x2 + = Ta thấy phương trình (1.1.3) phương trình vi phân, phương trình thứ hai phương trình đại số Như vậy, nói cách dễ hiểu, PTVPĐS bao gồm phương trình vi phân kết hợp với ràng buộc đại số Để thảo luận câu hỏi tồn nghiệm PTVPĐS, xét BTGTBĐ (1.1.1) với điều kiện x (t0 ) = x0 , t0 ∈ I, x0 ∈ Rm Định nghĩa 1.1.1 ([5]) Cho C k (I, Cn ) không gian véc tơ tất hàm khả vi, liên tục k lần từ đoạn I vào không gian véc tơ phức Cn Một hàm x ∈ C1 (I, Cn ) gọi nghiệm (1.1.1) thỏa mãn (1.1.1) điểm Một nghiệm x PTVPĐS(1.1.1) thỏa mãn điều kiện ban đầu gọi nghiệm BTGTBĐ Một điều kiện ban đầu x (t0 ) = x0 gọi tương thích với PTVPĐS (1.1.1) toán (1.1.1) kết hợp với điều kiện ban đầu có nghiệm Khi đó, toán (1.1.1) với điều kiện x (t0 ) = x0 gọi giải 14 Thơng thường PTVPĐS có cấu trúc toán học tùy thuộc vào phạm vi ứng dụng định Do đó, có hệ PTVPĐS phi tuyến, PTVPĐS tuyến tính, PTVPĐS nửa hiện, PTVPĐS ẩn hồn tồn Phương trình vi phân đại số phi tuyến Trong PTVPĐS (1.1.1), hàm F phi tuyến biến t, x, x gọi PTVPĐS phi tuyến Phương trình vi phân đại số tuyến tính PTVPĐS có dạng A(t) x + B(t) x (t) = q(t) Ở đây, A(t) B(t) ma trận n × n, tuyến tính Nếu A(t) ≡ A B(t) ≡ B ta có PTVPĐS tuyến tính với hệ số Phương trình vi phân đại số ẩn hoàn toàn PTVPĐS dạng (1.1.1) thuộc dạng ẩn hoàn tồn 1.1.2 Chỉ số phương trình vi phân đại số Một cách phân loại khác PTVPĐS dựa vào độ phức tạp toán phân loại theo số (index) Trong lý thuyết PTVPĐS có nhiều loại số, luận văn ta quan tâm tới số vi phân (differentiation index) số lạ (strangeness index) Định nghĩa 1.1.2 Phương trình vi phân đại số f (t, x (t), x (t)) = có số µ µ số lần lấy vi phân tối thiểu f (t, x (t), x (t)) = 0, d f (t, x (t), x (t)) = 0, , dt dµ f (t, x (t), x (t)) = 0, dtµ cho phương trình rút PTVPT x (t) = g(t, x (t)) Chỉ số vi phân thước đo khoảng cách PTVPĐS với PTVPT qua phép lấy đạo hàm Thước đo dường không phản ánh xác chất PTVPĐS quan tâm tới tính chất vi phân mà không để ý đến đặc trưng ràng buộc đại số Thực tế, 15 ràng buộc đại số đơi làm cho tốn trở nên phức tạp đơi làm cho tốn trở nên đơn giản Tiếp theo, đề cập tới khái niệm số lạ P Kunkel V Mehrmann đưa phản ánh chất vi phân đặc trưng phần đại số PTVPĐS Để định nghĩa số lạ, xét hệ sau F` (t, x, x , , x (`+1) ) = 0, (1.1.4) F` có dạng F` (t, x, x , , x (`+1) ) = = F (t, x, x ) d dt F ( t, x, x ) ( dtd )` F (t, x, x ) F (t, x, x ) Ft (t, x, x ) + Fx (t, x, x ) x + Fx0 (t, x, x ) x 00 , định nghĩa ma trận Jacobi M` (t, x, x , , x (`+1) ) = F`;x0 , ,x(`+1) (t, x, x , , x (`+1) ), N` (t, x, x , , x (`+1) ) = − F`;x (t, x, x , , x (`+1) ), 0, , (1.1.5) Giả thiết 1.1.1 ([5]) Tồn số nguyên µ, a, d cho tập nghiệm Lµ = {(t, x, x , , x (µ+1) ) ∈ R(µ+2)n+1 | Fµ (t, x, x , , x (µ+1) ) = 0} ( µ +1) khác rỗng (t0 , x0 , x00 , , x0 (1.1.6) ) ∈ Lµ tồn lân cận đủ nhỏ cho lân cận tính chất sau thỏa mãn Chúng ta có rank Mµ (t, x, x , , x (µ+1) ) = (µ + 1)n − a Lµ cho tồn hàm ma trận trơn Z2 có cỡ (à + 1)n ì a cú hng ln nht theo điểm thỏa mãn Z2T Mµ = Chúng ta có rank Aˆ (t, x, x , , x (µ+1) ) = a, Aˆ = Z2T Nµ [ In 0] cho tồn hàm ma trận trơn T2 có cỡ n × d, d = n − a, có hạng lớn theo điểm thỏa mãn Aˆ T2 = 16 Chúng ta có rank Fx0 (t, x, x ) T2 (t, x, x , , x (µ+1) ) = d cho tồn hàm ma trận trơn Z1 có cỡ n × d có hạng lớn theo điểm, thỏa mãn rank Eˆ T2 = d, Eˆ = Z1T Fx0 Định nghĩa 1.1.3 Xét PTVPĐS dạng (1.1.1), giá trị nhỏ µ ∈ N cho F thỏa mãn giả thiết (1.1.1) gọi số lạ (1.1.1) Nếu µ = PTVPĐS (1.1.1) gọi khơng có tính lạ (strangeness-free) Nhận xét 1.1.2 Mục đích số vi phân đưa khoảng cách để biến đổi PTVPĐS trở thành PTVPT Tuy nhiên, nghiệm toán sau biến đổi thường không trùng với nghiệm tốn ban đầu Mục đích số lạ đưa khoảng cách biến đổi toán PTVPĐS trở thành PTVPĐS có nghiệm có tính chất giải tích tốt Tính chất tách biệt phần ràng buộc vi phân phần ràng buộc đại số cho biến Từ ta thu PTVPT việc giải biến đại số từ ràng buộc vào phương trình cịn lại Lý thuyết số lạ cho PTVPĐS phi tuyến tổng quát (1.1.1) nghiên cứu Trong báo ([5]) có thuật tốn biến đổi dạng (1.1.1) PTVPĐS dạng khơng có tính lạ (0.0.4) Chúng ta quy ước nhắc đến số PTVPĐS mà khơng nói thêm số vi phân toán Dựa vào đó, giới thiệu lớp PTVPĐS thường gặp có dạng: PTVPĐS dạng nửa số (Hessenberg số 1), xem ([3]) x = f (t, x, z) (1.1.7) = g(t, x, z) Trong đó, ma trận hàm Jacobi gz giả thiết không suy biến với t Từ phương trình thứ hai (1.1.7), theo định lý hàm ẩn ta giải z = φ(t, x ), vào phương trình thứ ta thu phương trình vi phân x x = f (t, x, φ(t, x )) 17 Như vậy, thấy PTVPĐS (1.1.7) có số vi phân có số lạ hay dạng khơng có tính lạ PTVPĐS dạng nửa số (Hessenberg số 2), xem ([3]) x = f (t, x, z) (1.1.8) = g(t, x ) Giả thiết rằng, ma trận Jacobi gx f z không suy biến với t Biến đại số z không xuất phương trình thứ (1.1.8) Từ phương trình thứ hai (1.1.8), lấy đạo hàm theo t ta được: = gt (t, x ) + gx (t, x ) f (t, x, z), tiếp tục lấy đạo hàm theo t, ta được: = gtt (t, x ) + gtx (t, x ) f (t, x, z) + f (t, x, z)( gxt (t, x ) + gxx (t, x ) f (t, x, z)) + gx (t, x )( f t (t, x, z) + f x (t, x, z) f (t, x, z) + f z (t, x, z)z0 ) Từ giả thiết, ma trận Jacobi gx f z không suy biến với t Suy ra, z0 = −( gx (t, x ) f z (t, x, z))−1 ( gtt (t, x ) + gtx (t, x ) f (t, x, z) + f (t, x, z)( gxt (t, x ) + gxx (t, x ) f (t, x, z)) + gx (t, x )( f t (t, x, z) + f x (t, x, z) f (t, x, z))) Ta cần bước lấy đạo hàm để mô tả z0 nên PTVPĐS (1.1.8) có số 1.2 Phương pháp Runge-Kutta cho phương trình vi phân thường Các phương pháp bước, tiêu biểu phương pháp Runge-Kutta (RK) có ưu điểm đơn giản, dễ lập trình, dễ dàng thay đổi điều chỉnh bước lưới tính tốn Phương pháp RK hai nhà toán học người Đức Runge Kutta xây dựng từ 1895-1901 Trong phần này, tơi trình bày sơ đồ rời rạc, ổn định tính hội tụ, cấp xác, miền ÔĐTĐ phương pháp RK 18 1.2.1 Phương pháp Runge-Kutta tổng quát Tổng quát, phương pháp RK s nấc cho PTVPT y0 = f (t, y) viết dạng s Yi = yn−1 + hn ∑ aij f (tn−1 + c j hn , Yj ) (1.2.1) ∑ bi f (tn−1 + ci hn , Yi ), (1.2.2) j =1 s y n = y n −1 + h n i =1 đó, hn = tn+1 − tn , Yi ≈ y(tn−1 + ci hn ) nghiệm xấp xỉ điểm nấc Ti = tn−1 + ci hn , i = 1, 2, , s Các hệ số phương pháp RK thường cho bảng Butcher c A , bT (1.2.3) với A = [ aij ]s×s , b = (b1 , b2 , bs ) T , c = (c1 , c2 , cs ) T , chọn s ci = ∑ aij , (1.2.4) i = 1, 2, s j =1 Phương pháp RK aij = với j ≥ i, trường hợp lại phương pháp RK ẩn Một số ví dụ phương pháp RK hiện: • Phương pháp Euler hiện: 0 α 0 α • Phương pháp có cấp xác 2: , α = ta có cơng 1 − 2α 2α thức hình thang hiện, α = 21 ta có cơng thức trung điểm 0 0 0 0 0 0 1 2 • Cơng thức RK nấc cổ điển: Phương pháp RK s nấc cịn viết lại dạng: s Ki = f t n −1 + c i h n , y n −1 + h n ∑ aij K j ! , (1.2.5) j =1 s y n = y n −1 + h n ∑ bi K i i =1 19 (1.2.6) 1.2.2 Sự hội tụ tính ổn định phương pháp Runge-Kutta Phương pháp RK viết lại theo phương pháp bước dạng y n = y n −1 + h n Ψ ( t n −1 , y n −1 , h n ), (1.2.7) Ψ thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo y, từ suy phương pháp RK 0- ổn định, xem ([3]) Việc xác định cấp xác cho phương pháp RK s nấc với s > không đơn giản Chúng ta có kết cấp xác hội phương pháp RK Định lý 1.2.1 ([5], Theorem 5.9) Nếu hệ số aij , bi , ci phương pháp RK thỏa mãn điều kiện: s B( p) : ∑ bi cik−1 = k , i =1 s C (q) : ∑ aij ckj −1 = k cik , j =1 s D (r ) : k = 1, 2, p i = 1, 2, s, k = 1, 2, q, ∑ bi cik−1 aij = k bj (1 − ckj ), (1.2.8) j = 1, 2, s, k = 1, 2, r, i =1 với p ≤ q + r + p ≤ 2q + 2, phương pháp RK tương thích có cấp hội tụ p Để tìm hiểu miền ÔĐTĐ phương pháp RK hiện, ta nhớ lại miền ÔĐTĐ phương pháp xác định giá trị z = hn λ, cho |yn | ≤ |yn−1 | áp dụng phương pháp cho phương trình thử y0 = λy Ta thu công thức h T yn = R(z)yn−1 = + zb ( I − zA) −1 i y n −1 , (1.2.9) = (1, 1, 1) T Như vậy, hàm ổn định phương pháp RK tổng quát R(z) = + zb T ( I − zA)−1 miền ÔĐTĐ phương pháp RK S = {z = hn λ ∈ C : | R(z)| ≤ 1} 20 ...ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Phan Quang Tuyển MỘT SỐ THUẬT TOÁN RUNGE - KUTTA VỚI BƯỚC LƯỚI THAY ĐỔI GIẢI MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ Chun ngành:... niệm phân loại phương trình vi phân đại số 13 1.1.2 Chỉ số phương trình vi phân đại số 15 Phương pháp Runge- Kutta cho phương trình vi phân thường 18 1.2.1 Phương pháp Runge- Kutta. .. pháp Runge- Kutta nửa giải phương trình vi phân đại số 25 2.1 Trường hợp phương trình vi phân đại số dạng nửa số 25 2.2 Trường hợp phương trình vi phân đại số khơng có tính lạ 27 2.2.1 Phân