Cách giải một số phương trình quy về phương trình bậc 221055

Tên : Trương Quang An Giáo viên Trường THCS Nghĩa Thắng Địa : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tư Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngãi Điện thoại : 01208127776 CÁCH GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC I HỆ THỐNG MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2:Ta thường gặp số dạng phương trình quy phương trình bậc hai để giải sau đây: Dạng Phương trình tích.Dạng Phương trình chứa ẩn mẫu Dạng Phương trình trùng phương.Dạng Phương trình dạng: a[f(x)]2 + bf(x) + c = a f ( x) g ( x)  b  c  g ( x) f ( x) Dạng Phương trình dạng (x + a)4 + (x + b)4 = c.Dạng Phương trình dạng (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m, đó: a+b = c+d, m  Dạng Phương trình dạng (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = mx2, đó: ab = cd, m  0.Dạng Phương trình đối xứng Dạng Phương trình hồi quy II CÁCH GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2: Phương trình tích: phương trình có vế khơng, vế cịn lại tích nhân tử chứa ẩn  A1 ( x)  (1)  A ( x)  (2) 1.1 Cách giải: Áp dụng công thức: A1 ( x) A2 ( x) An ( x)       An ( x)  ( n) Ta giải n phương trình (1), (2), , (n) lấy tất nghiệm chúng 1.2 Ví dụ Giải phương trình: (2x2 + x - 4)2 = 4x2 – 4x + ThuVienDeThi.com Giải: (2x2 + x - 4)2 = 4x2 – 4x +  (2x2 + x - 4)2 - (2x - 1)2 =  (2x2 + x – + 2x - 1)(2x2 + x – - 2x + 1) =  2x +3x - = (1)  (2x2 + 3x - 5)(2x2 - x - 3) =    2x - x - = (2) Giải phương trình (1) (2) ta x1 = 1; x2 = -2,5; x3 = -1; x4 = 1,5 Vậy S = x1 = 1; x = -2,5; x = -1; x = 1,5 1.3 Nhận xét:- Loại phương trình em HS làm quen từ lớp THCS Lên lớp 9, sau học xong phương trình bậc hai ẩn, để giải phương trình bậc cao (bậc lớn 2), HS THCS thường dùng phương pháp biến đổi đưa phương trình tích Muốn HS phải có kĩ phân tích đa thức thành nhân tử (chỉ cần phân tích thành tích nhân tử bậc bậc hai) - Chú ý tới tính chất phương trình bậc ba: ax + bx + cx + d = Nếu a + b + c + d = phương trình có nghiệm x = Nếu a – b + c – d = phương trình có nghiệm x = -1 - Đa thức bậc n có hệ số nguyên Nếu có nghiệm ngun nghiệm ngun phải ước hệ số tự (Định lí tồn nghiệm nguyên phương trình với hệ số nguyên).Khi nhận biết nghiệm (chẳng hạn x = x0), ta phân tích vế trái phương trình thành nhân tử (chứa nhân tử x – x0) *Ví dụ Giải phương trình: x3  x  3x   (*) Hướng dẫn: Chú ý – + (- 3) – (- 8) = => (*) có nghiệm x = -1, từđóphântíchđược: x3  x  3x   2 x3  x  5 x  x  (8 x  8)  x ( x  1)  x( x  1)  8( x  1)  x  12 x  x   Kết luận: Phương trình có nghiệm: x1 = -1; x2  ThuVienDeThi.com 5  89 5  89 ; x3  4 Phương trình chứa ẩn mẫu:Loại phương trình này, HS làm quen từ lớp dạng phương trình thường gặp chương trình tốn THCS 2.1 Cách giải: Khi giải phương trình chứa ẩn mẫu, ta thường giải theo bước sau:Bước Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ) phương trình; Bước Quy đồng mẫu thức hai vế khử mẫu thức; Bước Giải phương trình nhận được; Bước Kết luận: Trong giá trị tìm ẩn, loại giá trị không thoả mãn ĐKXĐ, giá trị thoả mãn ĐKXĐ nghiệm phương trình cho 2.2 Ví dụ: Giải phương trình: 3x x2    2x  x 1 x 1 Giải:- ĐKXĐ: x   Khi (*)   (*) 3x x2    2( x  1) x  ( x  1)( x  1) x( x  1)  2( x  1)  2( x  2)  x  x  x   x   x  x  x   x    x  x   (**) Giải phương trình (**), ta x1 = (khơng thoả mãn ĐKXĐ) x2 = - (thoả mãn ĐKXĐ) Vậy phương trình cho có nghiệm x = - 2.3 Lưu ý: + Trong thực hành, cần lưu ý việc kiểm tra giá trị tìm ẩn (sau bước 3) Một phương trình chứa ẩn mẫu vô nghiệm bước khơng tìm giá trị ẩn vơ nghiệm giá trị tìm bước không thoả mãn ĐKXĐ + Cách giải cách giải thường dùng nên áp dụng với phương trình mà sau ta quy đồng, khử mẫu vế phương trình bậc không lớn 2, không phức tạp Đối với số dạng phương trình chứa ẩn mẫu đặc biệt, ta phải dùng phương pháp đặt ẩn phụ để giải ThuVienDeThi.com Ví dụ: Giải phương trình: 2x x 3   x  3x  x  x  Giải: -ĐKXĐ: x  1; x  Ta thấy x = không nghiệm phương trình Chia 2x   x tử  mẫu 2x 1 x  phân thức cho x  0, ta được: 3 3   Đặt 2x  = t, phương trình trở thành: x t  t 1 (*) (ĐK: t  - 1; t  3) => 4t + – 2t + = -3(t2 – 2t – 3) 3t2 - 4t + = t1 = 1; t2 = (đều thoả mãn ĐK t) -Với t1 = 1, ta có: 2x  1 1 = (vô nghiệm) ; với t2 = , ta có: 2x  = (vơ x x nghiệm).Vậy phương trình cho vô nghiệm *Chú ý : Dùng phương pháp giải trên, giải phương trình có dạng sau : Dạng2 : Dạng1: mx nx  c ax  px  b ax  qx  b ax  mx  b ax  nx  b ax  mx  b nx    0 Dạng 3: 2 ax  px  b ax  qx  b ax  px  b ax  qx  b Phương trình trùng phương: 3.1 Định nghĩa: Phương trình trùng phương phương trình có dạng ax4 + bx2 + c = 0, a, b, c số cho trước, a  3.2 Cách giải:-Khi giải dạng phương trình này, ta thường đưa phương trình bậc hai cách đặt ẩn phụ x2 = t (t  0), ta có phương trình bậc hai trung gian : at2 + bt + c = -Giải phương trình bậc hai trung gian này, sau trả biến: x2 = t Nếu giá trị tìm t thoả mãn t  0, ta tìm nghiệm phương trình ban đầu ThuVienDeThi.com 3.3 Ví dụ: *Ví dụ 1: Giải phương trình: 3x  x   (1) Giải: Đặt x2 = t, ĐK: t  Phương (1) trở thành 3t2 - 2t - = (1’) Giải (1’) ta được: t1 = (thoả mãn ĐK); t2 = Với t1= => x2 = => x =  1;Với t2 = (thoả mãn ĐK) 1 => x2 = x =  3 Vậy phương trình cho có nghiệm x1  1; x2  1; x3  1 ; x4   3 3.4 Nhận xét : Về số nghiệm phương trình trùng phương, ta thấy: + Phương trình trùng phương vơ nghiệm khi: Phương trình bậc hai trung gian vơ nghiệm, có nghiệm âm + Phương trình trùng phương có nghiệm khi: Phương trình bậc hai trung gian có nghiệm khơng âm + Phương trình trùng phương có nghiệm phân biệt (khi cặp nghiệm ln đối nhau) phương trình bậc hai trung gian có nghiệm dương phân biệt + Phương trình trùng phương có nghiệm phân biệt (1 nghiệm ln nghiệm cịn lại đối nhau) phương trình bậc hai trung gian có nghiệm nghiệm dương Phương trình dạng: a[f(x)]2 + bf(x) + c = (hoặc a f ( x) g ( x)  b  c  ) với a g ( x) f ( x)  0: 4.1 Cách giải: +Tìm ĐKXĐ phương trình (nếu cần) +Đặt f(x) = t (hoặc tương ứng f ( x) = t) Ta có phương trình: at2 + bt + c = (**) g ( x) +Giải phương trình (**) bậc hai (ẩn t) +Trả biến giải tiếp phương trình f(x) = t kết luận 4.2 Ví dụ: Giải phương trình sau: 3( x + x) - 2( x + x) - = ThuVienDeThi.com Giải: t1  3( x + x) - 2( x + x) - = Đặt x + x = t , ta có: 3t - 2t - =   t2  1  2 2 2 Với t1 = 1, ta có: x + x = < = > x + x - = - 1+ - 1- ; x2 = 2 - 1 2 Với t2 = ta có x + x = x + x + = , phương trình vơ nghiệm 3 x1 = Vậy phương trình cho có hai nghiệm x1 = - 1+ - 1- ; x2 = 2 4.3 Nhận xét:- Nhờ phép biến đổi cách đặt ẩn phụ, ta đưa phương trình dạng phương trình bậc hai mà ta biết cách giải: at2 + bt + c = Tuy nhiên có số phương trình phải qua số bước biến đổi xuất dạng tổng quát (như ví dụ trên) - Cũng số loại phương trình khác giới thiệu trên, số nghiệm phương trình ban đầu phụ thuộc vào nghiệm phương trình bậc hai trung gian - Phương trình trùng phương (cũng phương trình bậc hai ẩn) dạng đặc biệt phương trình: ax2n + bxn + c = 0, đó: a  0; n ngun dương (cịn gọi phương trình tam thức) Các phương trình dạng đặc biệt phương trình: a[f(x)]2 + bf(x) + c = 0, f(x) = xn +Ví dụ : Giải phương trình: x2014 - 10x1007+ = Giải : Đặt x1007 = t , ta có phương trình: t2 - 10t + = Vì: - 10 + = nên t1 = 1; t2 = Với t1 = x1007 = x = 1; Với t2= x1007 = x  1007 1007 Vậy phương trình có nghiệm x1 = 1; x2  Phương trình dạng (x + a)4 + (x + b)4 = c: 5.1 Cách giải: - Nhìn chung phương trình dạng này, ta khai triển vế trái phương trình bậc bốn đầy đủ > khó khăn để giải tiếp ThuVienDeThi.com - Ta giải phương pháp đổi biến:Đặt t  x ab ab a b a b  xa t a t ; xb  t  2 2  a b   a b  Thay vào biến đổi, ta phương trình: 2t  12   t    c      4 Đây phương trình trùng phương ẩn t -> biết cách giải 5.2 Ví dụ: Giải phương trình x  64  x  44  82 (1) 64  x   x   t  5; x   t  Giải: Đặt t  x  Ta có: 2t 1  t  4  t  4  82 Đặt t2 = v (ĐK: 0).t  1250  82  2t v4 300 2t trở 300thành: t  1168  0v  150v  584   (1’) Phương trình  t  150t  584  1' '  5625  584  5041  712  v1  75  71 75  71  146 (không thoả  4 (không thoả mãn ĐK) v2  1 mãn ĐK).Vậy phương trình cho vơ nghiệm Phương trình dạng: (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m, a+b = c + d m  6.1 Cách giải: -Vì a + b = c + d nên ta đặt: x2 + (a + b)x = x2 + (c + d)x = y - Khi đó, phương trình cho có dạng: (y + ab)(y + cd) = m (*) - Giải phương trình (*), ((*) phương trình bậc hai y) - Với giá trị tìm y, thay vào x2 + (a + b)x = y tiếp tục giải phương trình bậc hai ẩn x đến kết luận 6.2 Ví dụ: Giải phương trình sau: (x + 4)(x + 5)(x + 7)(x + 8) = Giải: a, (x + 4)(x + 5)(x + 7)(x + 8) = (chú ý: + = + = 12) (x2 + 12x + 32)(x2 + 12x + 35) = Đặt x2 + 12x + 32 = y, ta có phương trình: y2 + 3y – = (1) Vì + – = nên (1) có hai nghiệm y1 = y2 = - ThuVienDeThi.com  x1  6  Với x2 + 12x + 32 = y1 =  x  12 x  32   x  12 x  31     x2  6  Với x2 + 12x + 32 = y2 = -4  x  12 x  32  4  x  12 x  36   ( x  6)   x  6 Vậy phương trình cho có tập nghiệm là: 6  5;   5;  6 6.3 Nhận xét: Với loại phương trình có dạng trên: - Nếu khai triển vế trái ta phương trình bậc tổng quát khó giải tiếp Do gặp phương trình dạng này, cần ý tới hệ số a, b, c, d Bằng nhận xét, ta nhóm hợp lý, sau khai triển nhóm đặt ẩn phụ, ta đưa phương trình bậc hai trung gian - Đơi cần linh hoạt biến đổi ta đưa phương trình dạng Ví dụ: Giải phương trình: (5x + 4)2(5x2 + 8x) = 16 Giải: (5x + 4)2(5x2 + 8x) = 16 x(5x + 4)2(5x + 8) = 16 5x(5x + 4)2(5x + 8) = 80 (25x2 + 40x)(25x2 + 40x + 16) = 80 Đặt 25x2 + 40x + = t, ta có phương trình: (t – 8)(t + 8) = 90 t2 – 64 = 80 t2 = 144 t =  12 Với t = 12, ta có: 25x2 + 40x +8 = 12 25x2 + 40x – = x1;2 = Với t = -12, ta có: 25x2 + 40x +8 = -12 5x2 + 8x – = x3 = Vậy phương trình cho có nghiệm : x1;2 = 4  5 ; x4 = -2 4  ; x3 = ; x4 = -2 5 Phương trình dạng (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = mx2, đó: ab = cd, m  0: 7.1 Cách giải:- Ta nhóm [(x + a)(x + b)][(x + c)(x + d)] = mx2 [x2 + ab + (a + b)x][x2 + cd + (c + d)x] = mx2 ThuVienDeThi.com (x + ab cd + a + b)(x + + c + d) = m (vì x  0) x x - Do ab = cd nên ta đặt ẩn phụ: y = x + ab cd =x+ (hoặc sai khác số x x thuận lợi) ta phương trình: (y + a + b)(y + c + d) = m y2 + (a + b + c + d)x + (a + b)(c + d) – m = là phương trình bậc hai ẩn y  dễ dàng làm tiếp 7.2 Ví dụ: Giải phương trình sau:(x – 3)(x – 9)(x + 4)(x + 12) = 147x2 Gợi ý: Chú ý: -3.12 = -9.4 = -36  làm cách Phương trình đối xứng: 8.1 Định nghĩa: -Phương trình đối xứng bậc phương trình có dạng ax3 + bx2 + bx + a = (a  0) -Phương trình đối xứng bậc phương trình có dạng ax4+bx3 + cx2 + bx + a = (a  0) -Phương trình đối xứng bậc n phương trình có dạng anxn + an-1xn-1 + + a1x + a0 = 0, đó: an = a0, an-1 = a1, , an  8.2 Chú ý: +Trong phương trình đối xứng, k nghiệm nghiệm k +Phương trình đối xứng bậc lẻ ln nhận x = -1 làm nghiệm +Phương trình đối xứng bậc chẵn (bậc = 2m) đưa bậc m cách x đặt ẩn phụ x  = t 8.3 Cách giải: Dựa vào ý trên:-Để giải phương trình đối xứng bậc 3, ta biến đổi đưa phương trình tích:ax3 + bx2 + bx + a = (x + 1)[ax2 + (b – a)x + a] = -Với phương trình đối xứng bậc 4: ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = (a  0), ta giải theo cách sau: +Dễ thấy x = khơng nghiệm Do chia vế cho x2 , ta được: ThuVienDeThi.com a( x  x 1 )  b( x  )  c  x x +Đặt x  = t => x   t2 – ta có phương trình bậc (ẩn t): x2 at2 + bt + c – 2a = (1) x +Giải phương trình (1) trả biến x  = t  tìm x kết luận 8.4 Ví dụ : Giải phương trình : 3x3 - 5x2 - 5x + = Hướng dẫn: Biến đổi thành: (x + 1)(3x2 – 8x + 3) = (Kết luận: Phương trình có nghiệm x1  1; x2;3  4 ) Phương trình hồi quy: 9.1 Định nghĩa: Phương trình hồi quy phương trình có dạng: ax4 + bx3 + cx2 + kbx + k2a = (với a.k  0) Nhận xét: Phương trình đối xứng bậc dạng đặc biệt phương trình hồi quy (với k = 1) 9.2 Cách giải:-Ta thấy x = khơng phải nghiệm phương trình Chia hai vế k2 k phương trình cho x2, ta được: a ( x + ) + b( x + ) + c = x x -Đặt t  x  k k2 k2  t  x   2k  x   t  2k Ta có phương trình bậc hai (ẩn x x x 2 t): a (t - 2k ) + bt + c = < = > at + bt + c - 2ak = (*) -Giải phương trình (*).Trả biến x  k = t  tìm x kết luận x 9.3 Ví dụ: Giải phương trình x4 + = 5x(x2 - 2) (1) Giải :-Ta có (1)  x4 – 5x3 +10x +4 =  phương trình hồi quy với k = - ThuVienDeThi.com -Dễ thấy x = nghiệm phương trình Chia hai vế phương trình cho x2, ta : x2 + - 5( x - ) = Đặt x x t = x- ,ta có : x t  4 2  t  x    t   x  Ta có phương trình : t - 5t + = t  x x  2 Với t = ta có : x  x   x  x    x   Với t = ta có : x  x  1   x2  x     Vậy S = {- 1; 2; ± } x x  II MỘT SỐ BÀI TẬP: Bài 1: Giải phương trình chứa ẩn mẫu: a) x  a  x  2015 2014 x 1 x 1   , (a  R)   b) xa x  2014 ( x  a )( x  2014) x  x  x  x  x( x  x  1) Bài 2: Giải phương trình bậc cao sau: a)(x2 + x + 1)2 – 3x2 – 3x – = b)x4 +4x3 +3x2 +2x – = Bài 3: Giải phương trình sau: a) x2  x  x  x2  3 x2  x  x2  x  b) x  x  x  3x    x2  x  x2  x  ThuVienDeThi.com ... ax  qx  b Phương trình trùng phương: 3.1 Định nghĩa: Phương trình trùng phương phương trình có dạng ax4 + bx2 + c = 0, a, b, c số cho trước, a  3.2 Cách giải: -Khi giải dạng phương trình này,... Vậy phương trình cho có nghiệm x1  1; x2  1; x3  1 ; x4   3 3.4 Nhận xét : Về số nghiệm phương trình trùng phương, ta thấy: + Phương trình trùng phương vơ nghiệm khi: Phương trình bậc hai... nghiệm phương trình bậc hai trung gian - Phương trình trùng phương (cũng phương trình bậc hai ẩn) dạng đặc biệt phương trình: ax2n + bxn + c = 0, đó: a  0; n ngun dương (cịn gọi phương trình