Mục tiêu của đề tài là đóng góp thêm ý kiến của mình về chủ đề Phương trình Mũ và Lôgarít nhằm giúp giáo viên và học sinh có thêm tài liệu tham khảo và đặc biệt giúp các em học sinh có thêm tài liệu trong việc ôn tập chuẩn bị cho các kì thi sắp tới.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Đề tài: CÁCH GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƠGARÍT THƯỜNG GẶP Mơn : Giải Tích 12 Cách giải một số phương trình Mũ và phương trình Lơgarít thường gặp Năm học 2014 2015 Mục lục: I PHẦN MỞ ĐẦU 1. Tên đề tài : 2. Lý do chọn đề tài 3. Mục đích 4. Đối tượng nghiên cứu 5. Phạm vi nghiên cứu 6. Cơ sở nghiên cứu II. PHẦN NỘI DUNG 1. Số liệu điều tra trước khi thưc hiện 2. Nội dung chủ yếu của đề tài 3. Kết quả thực hiện có so sánh đối chứng III. PHẦN KẾT LUẬN 2/19 Cách giải một số phương trình Mũ và phương trình Lơgarít thường gặp CỘNG HỊA – XÃ HỘI – CHỦ NGHĨA – VIỆT NAM ĐỘC LẬP TỰ DO HẠNH PHÚC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM I. PHẦN MỞ ĐẦU 1. Tên đề tài : CÁCH GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƠGARÍT THƯỜNG GẶP 2. Lý do chọn đề tài Năm học 20142015 là năm thứ 9 thực hiện trương trình SGK mới đối với mơn Tốn THPT . Trong chương trình mơn Tốn kiến thức về PT Mũ – Lơgarít hết sức quan trọng, có trong các kì thi Đại Học. Muốn làm tốt được các bài tập về PT Mũ – Lơgarít thì học sinh cần phải nắm được các phương pháp giải một số phương trình cơ bản. Vì vậy tơi chọn đề tài “CÁCH GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƠGARÍT THƯỜNG GẶP ” làm vấn đề nghiên cứu trong sáng kiến kinh nghiệm của mình 3. Mục đích Khi viết sáng kiến này, tơi chỉ mong được đóng góp thêm ý kiến của mình về chủ đề Phương trình Mũ và Lơgarít nhằm giúp giáo viên và học sinh có thêm tài liệu tham khảo và đặc biệt giúp các em học sinh có thêm tài liệu trong việc ơn tập chuẩn bị cho các kì thi sắp tới 3/19 Cách giải một số phương trình Mũ và phương trình Lơgarít thường gặp 4. Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu : Cách giải một số phương trình Mũ và Lơgarít thường gặp, nhằm giúp học sinh lớp 12 nhất là các em đang ơn thi kì thi THPT Quốc Gia Đối tượng khảo sát : Học sinh lớp 12A5 5. Phạm vi và kế hoạch nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu : Các phương trình Mũ và Lơgarít cơ bản trong chương trình SGK cơ bản và nâng cao mơn giải tích lớp 12 Kế hoạch nghiên cứu : Áp dụng vào lớp 12A5 trong năm học 20142015 6. Cơ sở nghiên cứu Tơi nghiên cứu đề tài này dựa trên những cơ sở sau: Dựa vào thực tế giảng dạy Dựa vào một số tài liệu tham khảo về PT – BPT – HPT Dựa vào một số ý kiến của đồng nghiệp 4/19 Cách giải một số phương trình Mũ và phương trình Lơgarít thường gặp II. PHẦN NỘI DUNG 1. Số liệu điều tra trước khi thực hiện Tham khảo trên 50 học sinh của lớp 12A5 Câu hỏi : Giải phương trình : 34x 4.32x + 3 = 0 Giải được Biết đặt t = 32x suy ra t, nhưng khơng tìm được x Khơng làm được gì 2. Nội dung chủ yếu của đề tài A. Phương trình Mũ: Dạng 1 : +) af(x) = ag(x) , (0 0 thay trở lại ta được phương trình của Dạng 1 : af(x) = t f(x) = log a t x = … Ví dụ : VD1 : Giải phương trình : 4x + 2x+1 – 8 = 0 (*) Giải Ta thấy 4x 2x 22 x (2 x ) 2.2 x , vậy khi đặt t = 2 (với t > 0) thì x Do đó (*) trở thành : t2 + 2t – 8 = 0 Với t = 2 ta có : 2x = 2 t t 4( L) 4x 2x t2 x = 1. Vậy (*) có một nghiệm x = 1 VD2 : Giải phương trình : 31+x + 31x = 10 (*) Giải 31 Ta thấy x 3.3 x 31 , vậy khi đặt t = 3 (với t > 0) thì 3x 10 Do đó (*) trở thành : 3t 3t2 – 10t + 3 = 0 t x x 31 x 7/19 x 3.t t 2.t Cách giải một số phương trình Mũ và phương trình Lơgarít thường gặp t 3x t 3 3x x x 1 x x . Vậy (*) có 2 nghiệm VD3 : Tìm m để phương trình : x − 4.3x + = m (*), có nghiệm x [ 2; 1] Giải Đặt t = 3x vì x [ 2; 1] nên 0 x2 4 1 = 30 t 34 = 81 Khi đó (*) trở thành : t2 – 4t + 8 = m (**). Để (*) có nghiệm x [ 2; 1] thì (**) phải có nghiệm t [1; 81] hay đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm f(t) = t2 – 4t + 8 trên [1; 81] Ta có : f ‘(t) = 2t – 4 = 0 t = 2 BBT của f(t) trên [1; 81] như sau : t 1 2 81 f’(t) 0 + 6245 f(t) 5 4 Từ BBT 4 m 6245. Vậy với m [4; 6245] thì (*) có nghiệm ( Lưu ý :Khơng nên giải (**) bằng phương pháp tam thức bậc 2 vì như vậy bài tốn trở nên khó hơn nhiều so với sử dụng phương pháp hàm số ) Bài tập áp dụng : Bài 1 : Giải các phương trình sau : 1) 4x+1 – 6. 2x+1 + 8 = 0 2) 34x+8 – 4. 32x+5 + 27 3) 49 x + x+1 − = 4) 16 x − 17.4 x + 16 = 5) 4cos2x + cos x = 3 6) 3x + = 3x 7) 8x 7.4x + 7.2x + 1 8 = 0 8) x + + 18 − x = 9) 125x + 50x = 23x + 1 10) 5x1 + 53 – x = 26 11) 13) sin x 48 x 7 48 sin x x 12) 14 14) 8/19 ( x 2+ ) ( x + x 2− 2 ) x =4 Cách giải một số phương trình Mũ và phương trình Lơgarít thường gặp 15) x 32 x 2 16) x + x + 22− x− x = Bài 2 : Tìm m để phương trình : 1) x + 1 + 3 − x − 14.2 2) x+ 1− x2 − 8.3x + 3) m 4 x x + 1 + 3 − x 1− x 2 có nghiệm. + = m có nghiệm 2m 22 4) m 2 x +8 = m x m có nghiệm. m x 2m có nghiệm 5) 4x 2x + 3 + 3 = m có đúng 2 nghiệm x (1; 3) 6) 9x 6.3x + 5 = m có đúng 1 nghiệm x [0; + ) 7) 4|x| − 2|x|+1 + = m có đúng 2 nghiệm 8) m 16 x 9) x − x 10) 34 11) +2 2x 2 + = m có đúng 3 nghiệm x2 2.32 x2 12) 2 m có hai nghiệm trái dấu 2m x 2m có nghiệm tgx x2 có nghiệm m 2 tgx m có nghiệm thuộc ; 2 Bài 3 : Giải và biện luận các phương trình sau : 1) (m – 2)2x + m2x + m = 0 2) m3x + m3x = 8 3) m 2 x 4) x m a3 x x 2m 2x Dạng 3 : +) a1af(x) + b1bf(x) + c1cf(x) = 0 (1) , với 0 1 2 4) log x 4mx 2 log x 2m có nghiệm duy nhất Bài 3 : Giải và biện luận phương trình sau theo tham số m: log3 x log3 x log3 m Dạng 2 : +) a1loga2f(x) + b1logaf(x) + c1 = 0, (với 0 0) ( 1) +) a1logaf(x) + b1logf(x)a + c1 = 0 , (với 0 1 log 22 ( x 1) log ( x 1) Ta có (*) , đặt t = log2(x 1) log ( x 1) t PT đã cho trở thành : 2t + 3t – 5 = 0 x 21 x 2 x x t log ( x 1) x Vậy (*) có 2 nghiệm : x 32 VD2 : Giải phương trình : log x 2 x log x x 32 (*) Giải ĐK : x x x log x (2 x) log ( x ) x , đặt t = logx(x + 2 ) 1 PT trở thành : t 2 t2 4t + 4 = 0 t = 2 logx(x + 2) = 2 t Khi đó (*) x2 – x – 2 = 0 x x 1( L) x Vậy (*) có nghiệm : x = 2 VD3 : Tìm m để phương trình log 22 x − log x + = m (*) có nghiệm x [1; 8] Giải Đặt t = log2x ,vì x [1; 8] nên t [0; 3 ], khi đó (*) có dạng : t2 2t + 3 = m Vậy để (*) có nghiệm x [1;8] thì y = m phải cắt (C) f(t) = t2 2t +3 trên [0; 3] Ta có f ‘(t) = 2t – 2 = 0 t = 1 BBT của f(t) trên [0; 3] như sau : t 0 1 3 f’(t) 0 + 15/19 Cách giải một số phương trình Mũ và phương trình Lơgarít thường gặp 6 3 2 f(t) Từ BBT suy ra với m [2; 6] thì (*) có nghiệm x [1; 8] Bài tập áp dụng : Bài 1 : Giải các phương trình sau : 1) log 22 x log x = 2) log ( x ) − log ( x ) = ( ) ( ) x x+1 − = 3) log 22 ( x − 3) + log x − = 4) log 2 − log 5) log32 ( x + x) + 4log 9( x + x) = 6) lg x 7) log3 x + = − log3 x 8) log lg x x2 lg x ( ) + log x = 10) log x + = log 16 9) log x + log x = 3 ) 2( x +1 11) logx2 + log2x = 5/2 12) logx2 – log4x + 7/6 = 0 Bài 2 : Tìm m để phương trình : có 2 nghiệm x1, x2 sao cho x1.x2 = 27 1) log x − ( m + 2).log3 x + 3m − = 2) log 32 x + log 32 x + − 2m − = có ít nhất 1 nghiệm thuộc đoạn 1;3 3) x − log x + m = có ít nhất 1 nghiệm x thuộc (0;1) 4log 22 ( ) ( ) x 4) log − log 2.5 − = m có nghiệm x x 5) log2 x log1 x m log4 x 2 có nghiệm 6) m log ( + 3) + ( m − ) log + + 2( m − 1) = có đúng 1 nghiệm dương x x Dạng 3 : logaf(x) = logbg(x) (*), ( với 00) Cách giải một số phương trình Mũ và phương trình Lơgarít thường gặp Cách gi ải : Đặt : t = logaf(x) ( hoặc t = logbg(x) ) Suy ra f(x) = at (1) và (*) trở thành : t = logbg(x) Từ (1) và (2 ) ta có hệ f ( x) at g ( x) bt g(x) = bt (2 ) , tìm cách khử x từ hai PT của hệ Ta được một PT mũ của ẩn t và PT này được giải theo phương pháp chiều biến thiên, sau khi tìm được t thì thay vào (1) hoặc (2 ) để tìm x Ví dụ : VD1 : Giải phương trình : log5x = log7( x + 2 ) (*) Giải ĐK : x > 0 Đặt t = log5x x = 5t (1) và (*) trở thành t = log7(x + 2) Thay x từ (1) vào (2 ) ta được phương trình 5 +2 = 7 t Dễ thấy hàm f(t) = t t x + 2 = 7t (2 ) t t (**) t là hàm nghịch biến trên R và t = 1 thõa mãn (**).Vậy (**) có nghiệm duy nhất t = 1, thay t = 1 vào (1) suy ra x = 5 Vậy x = 5 là nghiệm duy nhất của (*) Chú ý : Khi gặp phương trình lơgarít có từ 2 cơ số khác nhau trở lên thì có thể sử dụng cơng thức đổi cơ số : log a b log c b để đưa về các biểu log c a thức lơgarít về cùng cơ số rồi sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để giải VD2 : Giải phương trình : logx2 16 + log2x 64 = (*) Giải 17/19 Cách giải một số phương trình Mũ và phương trình Lơgarít thường gặp x ĐK : x x .Khi đó (*) 2 phương trình : t t x x log x log x , đặt t = log2x, ta được log x t 3t2 – 5t – 2 = 0 x .Vậy (*) có 2 nghiêm : x 3 t log x Bài tập áp dụng : Giải các phương trình sau : 1) log5(x2 – 6x – 2 ) = log3x 2) log 2 3) 16 log 27 x x log3 x x 4) log x ( x log log x x ) 5) log4(x2 – x – 8 ) = log33x 6) x + lg x − x − = + lg ( x + 2) 7) log3 ( x + 1) + log5 ( 2x + 1) = 8) 2log5 ( x +3) = x log x log x = 9) log2/x2 + log24x = 3 10) log x log16 x 11) 3logx 16 − 4log16 x = 2log2 x 12) log52x + log5x(5/x) = 1 13) log x / x 14) log x / 14 log16 x x x log x x 40 log x x log x x3 Trên đây là m ộ t s ố ví d ụ minh h ọ a cho cách gi ả i m ộ t s ố d ng ph ươ ng trình Mũ và Lơgarít th ườ ng g ặ p đ ể Th ầ y cô và các em tham kh ả o, tôi hy v ọ ng r ằ ng sau khi đ ọ c xong đ ề tài này Th ầ y cô 18/19 Cách giải một số phương trình Mũ và phương trình Lơgarít thường gặp và các em s ẽ có thêm ki ế n th ứ c v ề gi ả i ph ươ ng trình Mũ và ph ươ ng trình Lơgarít 3. Kết quả thực hiện có so sánh đối chứng Tham khảo trên 50 học sinh Kết quả trước khi thực hiện : Câu hỏi : Giải phương trình : 34x 4.32x + 3 = 0 Giải được 65% 2x Biết đặt t = 3 suy ra t, nhưng khơng tìm được 21% x Khơng làm được gì 14% Kết quả sau khi thực hiện : Câu hỏi : Giải phương trình : 34x 4.32x + 3 = 0 19/19 Cách giải một số phương trình Mũ và phương trình Lơgarít thường gặp Giải được 92% 2x Biết đặt t = 3 suy ra t, nhưng khơng tìm được 6% x Khơng làm được gì 2% Tăng 27% Giảm 15% Giảm 12% III. PHẦN KẾT LUẬN Trong gi ả ng d y ph ươ ng trình Mũ ph ươ ng trình Lơgarít tơi đã gi i thi ệ u cho các em h ọ c sinh nh ữ ng ph ươ ng pháp gi ả i c b ả n v ề ph ươ ng trình Mũ ph ươ ng trình Lơgarít Đ ố i v i t ng đ ố i t ượ ng h ọ c sinh khác nhau, yêu c ầ u v ề ki ế n th ứ c khác Đ ố i v i nh ữ ng đ ố i t ượ ng h ọ c sinh y ế u tơi ch ỉ gi i thi ệ u nh ữ ng d ng ph ươ ng trình c b ả n, còn đ ố i v i h ọ c sinh khá, gi ỏ i, h ọ c sinh luy ệ n thi ĐH CĐ tơi gi i thi ệ u thêm m ộ t s ố d ng ph ươ ng trình đ ặ c bi ệ t.Trong quá trình gi ả ng d y tôi nh ậ n th ấ y ph ầ n l n các em đ ề u hi ể u và bi ế t cách v ậ n d ụ ng 20/19 Cách giải một số phương trình Mũ và phương trình Lơgarít thường gặp Đề xuất: Tơi rất mong được sự tham gia xây dựng của các Thầy cơ, đồng nghiệp để vấn đề tơi đưa ra được hồn thiện hơn, có hiệu quả hơn trong q trình giảng dạy Tơi xin chân thành cảm ơn ! Cam kết: Tơi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, khơng sao chép nội dung của người khác Hà Nội, ngày 30 tháng 5 năm 2015 Ý kiến nhận xét đánh giá xếp loại của Hội đồng khoa học cơ sở …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………….……………………… …………………………………………………………….……………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… 21/19 Cách giải một số phương trình Mũ và phương trình Lơgarít thường gặp …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… Chủ tịch hội đồng ( Ký tên, đóng dấu ) 22/19 ... 3/19 Cách? ?giải? ?một? ?số? ?phương? ?trình? ?Mũ? ?và? ?phương? ?trình? ?Lơgarít? ?thường? ?gặp 4. Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu :? ?Cách? ?giải? ?một? ?số ? ?phương? ?trình? ?Mũ? ?và? ?Lơgarít thường? ?gặp, nhằm giúp học sinh lớp 12 nhất là các em đang ơn thi kì thi THPT ... về PT? ?Mũ? ?– Lơgarít thì học sinh cần phải nắm được các? ?phương? ?pháp? ?giải? ?một? ? số? ?phương? ?trình? ?cơ bản. Vì vậy tơi chọn đề tài “CÁCH GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƠGARÍT THƯỜNG GẶP ” làm vấn đề nghiên cứu trong sáng kiến kinh nghiệm của mình... Dựa vào? ?một? ?số? ?tài liệu tham khảo về PT – BPT – HPT Dựa vào? ?một? ?số? ?ý kiến của đồng nghiệp 4/19 Cách? ?giải? ?một? ?số? ?phương? ?trình? ?Mũ? ?và? ?phương? ?trình? ?Lơgarít? ?thường? ?gặp II. PHẦN NỘI DUNG