Cach giai mot so phuong trinh luong giac dang khac

DẠNG 6 MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC DẠNG KHÁC DẠNG I MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÔNG MẪU MỰC Ví dụ 1 Sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích Phương trình có số điểm biểu diễn trên vòng tròn[.]

DẠNG MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC DẠNG KHÁC DẠNG I MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHƠNG MẪU MỰC Ví dụ Sử dụng cơng thức biến đổi tổng thành tích Phương trình  cos x  cos x  cos3x  có số điểm biểu diễn vòng tròn lượng giác là: A B C D Lời giải Chọn D Phương trình  cos x  cos x  cos 3x    cos 3x  cos x   1  cos x    2cos x cos x  2cos x   2cosx  cos x  cosx       x   k cosx     x   k   3x x 3x 3x   4cosxcos cos   cos      k   k    2 2  x    k 2 x    x 3    k cos   2  Dựa vào điểm biểu diễn vòng tròn lượng giác  Vậy ta có điểm Ví dụ Sử dụng cơng thức hạ bậc Phương trình sin 3x  cos2 x  sin x  cos x khơng phải phương trình hệ phương trình sau ? A sin x  B cos x  C sin x  D cos x  Lời giải Chọn D Phương trình  cos x  cos8 x  cos10 x  cos12 x sin 3x  cos x  sin x  cos x     2 2   cos12 x  cos10 x    cos8 x  cos x    cos11x cos x  cos x cos x  cos x   cos x  cos11x  cos x    4 cos x sin x sin x   sin x   cos x  sin x  hông phải phương trình hệ phương trình cho Chú ý: Bạn đọc giải phương trình đơn giản phương án thay vào phương trình ban đầu để kiểm tra STUDY TIP +) Phương trình (1) gọi phương trình hệ phương trình (2) tập nghiệm phương trình (1) chứa tập nghiệm phương trình (2)  cos 2a  cos 2a +) cos2 a  ; sin a  ; sin a cos a  sin 2a 2 Ví dụ Sử dụng cơng thức biến đổi tích thành tổng Cho phương trình cos x cos5x  cos x cos x số điểm biểu diễn nghiệm phương trình đường tròn lượng giác là: A B C D Lời giải Chọn C 1 cos x  cos x  cos x  cos x 2  x  k  x  x  k 2  k 2  cos x  cos x    xk  k    x  k  x  2 x  k 2  Vậy số điểm biểu diễn nghiệm STUDY TIP ) cosa.cos b  cos  a  b   cos  a  b   ) sin a.sin b  cos  a  b   cos  a  b   ) sin a.cos b  sin  a  b   sin  a  b   Phương trình cos x cos5x  cos x cos x  Ví dụ Sử dụng cơng thức nhân ba Cho phương trình cos3x  4cos x  3cos x   có nghiệm  0;14 ? A C B D Lời giải Chọn B Phương trình  4cos x  3cos x  2cos x   3cos x     4cos3 x  8cos x   cosx   x      k  k   14  k  14    k    k  0;1; 2;3 2  0;14 Vậy phương trình có nghiệm thuộc   Mà x  0;14   STUDY TIP ) cos3a  4cos 3a  3cosa ) sin 3a  3sin a  4sin a Ví dụ Sử dụng cơng thức cung có liên quan đặc biệt 5  7    Phương trình sin  x    3cos  x     2sin x có nghiệm thuộc        ;3  ? 2  A B C D Lời giải Chọn B       Phương trình  sin  x    2   3cos  x    4    2sin x 2 2          sin  x    3cos  x     2sin x  cos x  3sin x   2sin x 2 2     2sin x  3sin x   2sin x  2sin x  sin x    x  k sin x        x   k 2  k   sin x     5 x   k 2  13 5 17     ; ;  Mà x   ;3  nên x   ; 2 ; 6   2    Vậy phương trình có nghiệm  ;3  2  Ví dụ Sử dụng cơng thức hạ bậc cao Cho phương trình sau: 17 1 sin x  cos8 x  cos 2 x 16 17   sin x  cos8 x  32 97  3 sin x  cos8 x  128   sin x  cos8 x  Phương trình khơng tương đương với phương trình cịn lại là: A 1 B   C  3 D   Lời giải Chọn C Ta có sin x  cos x   sin x    co s x  8 2 Giải 1 :   cos x    cos x        cos x  6cos x  1 2     4 17 cos x  6cos 2 x  1  cos 2 x  2cos x  5cos 2 x    cos 2 x   16 Giải   : 17 cos x  6cos 2 x  1   4cos x  24cos 2 x  13   cos 2 x   32 Giải  3 : 97 81 cos x  6cos 2 x  1   2cos x  12cos 2 x    cos 2 x   128 1 4 2 Giải   :  cos x  6cos x  1   2cos x  12cos x   cos x  8  2cos2 x    cos2 x  Vậy phương trình (3) khơng tương đương với phương trình cịn lại STUDY TIP ) sin x  cos8 x   cos x  6cos 2 x  1   )  t  1   t  1  2t  12t  4 Ví dụ Biểu diễn tổng đại lượng không âm Phương trình cos x  cos x  3sin x  4sin x   có phương trình tương đương   là: A cos x  C cos x(sin 3x  1)  B sin 3x   D sin x 1  Lời giải Chọn D 2  Phương trình  cos x   1  2sin x    sin x  1   2cos x  2sin 3x  4sin 3x    cos x   sin 3x  1   sin x  cos x     sin x  1  sin x   sin x   sin 3x    4sin x  sin 3x   Lưu ý: Có thể thử nghiệm đáp án vào phương trình cho thỏa mãn phương trình tương đương STUDY TIP A  A   A B     B  B  Ví dụ Đặt ẩn phụ - cơng thức nhân ba  3 x    3x     sin    có tổng nghiệm  0; 2  là: Phương trình sin   10   10  9 10 A B 9 15 C 10 D Lời giải Chọn A 3 x x 3 3x 9 Đặt t     t    3t 10 2 10 10  Phương trình 1   9   sin t  sin    3t   sin t  sin   3t   sin t  sin  3t   10 10 2   2sin t  3sint  4sin t  sin t 1  4sin t    t  k sint   t  k ( k  )  1  (k  )  t     k sin t  cos 2t     3 3   x   k 2  x    0; 2   14 14  x   k 2  x    0; 2   15 15   x  4  k 2  x  4   0; 2   15 15 Vậy tổng nghiệm  0; 2  phương trình là: 3 14 14 9    15 15 Ví dụ Đặt ẩn phụ khơng hồn tồn 4 x x Phương trình sin    sin  sin x  3  sin x   có nghiệm là: 2 A x  k 2 ; k  xk  B x  k ; k  ;k  Lời giải C x   2k  1  ; k  D Chọn C Đặt t  sin x  t  0;1 , x  (1) t  Phương trình tương đương t   sin x  3 t  sin x     t  sin x  2(2) + Với x  cos x t   sin     cos x  1  x    k 2  x  (2 k  1) ,(k  ) 2 x + Với t  sin x   sin  sin x  2  2x  2x 1 cos x  1 sin  sin x (vô nghiệm)  sin  sin x     2  sin x      sin x   sin x   Kết luận: Vậy nghiệm phương trình x  (2 k  1) , (k  ) Nhận xét: + Với phương trình hồn tồn giải phương pháp đưa dạng tích A  A.B    B  + Với phương trình sin (2)  x  sin x  (2) giải cách khác sau:  cos x  sin x   2sin x  cos x  3 , phương trình vơ nghiệm 22  12   3 STUDY TIP asin x  b cos x  c có nghiệm  a  b2  c Ví dụ 10 Phương pháp đánh giá Với phương trình 3cos x   cos x  sin x   (*) thì: A đoạn  0; 2  phương trình có nghiệm B đoạn  0; 2  phương trình có nghiệm C đoạn  0; 2  phương trình có nghiệm D đoạn  0; 2  phương trình có 4nghiệm Lời giải Chọn A Ta có 3cos x   cos 2x  sin x   cos x  sin x   cos x  sin x   22 2   cos x  sin x    3cos x   cos x  sin x   2 Phương trình (*) xảy  cos x    cos x   cos x  (I)    sin x  1 3cos x  cos x  sin x  2(1)      cos x   cos x  sin x    cos x     cos x  sin x  2(2)  cos x  1 (II)  sin x  + Giải (I): 2cos 2 x   cos 2 x  cos x  1  2sin x  sin x     cos x      cos x  sin x  1 sin x  sin x  sin x  1 sin x  1   (vô nghiệm) + Giải (II): cos 2 x  cos x  1 1  2sin x  1     sin x   x   k 2 (k  ) cos x  1   sin x  sin x  sin x   Vậy phương trình ban đầu có nghiệm thuộc  0; 2  Chú ý: Có thể giải phương trình cách đưa phương trình bậc với sin x tự nhiên Tuy nhiên với ví dụ muốn minh họa thêm cho bạn phương pháp giải khác để linh hoạt làm STUDY TIP cos x  (1) cos x  sin x   cos x  sin x  Mà  sin x   cos x  cos x   + suy (1) xảy  sin x   sin x  1 cos x  1 cos x  1  + suy (1) xảy  sin x   1 sin x  Lưu ý: Đối với phương trình (1) (2) ta đưa cách giải cách đưa phương trình bậc sin x cách sử dụng công thức cos x   2sin x Tuy nhiên số phương trình khơng đưa Ví dụ sin x  sin 5x  (bạn đọc tự giải) Ví dụ 11 Phương pháp hàm số   2 Phương trình sin x   sin   x   cos x  (*) có tổng nghiệm     khoảng  0;  là:  2    A B C D Lời giải Chọn C Phương trình  sin x    sinx  cos x  cos x   sin x   sinx  cos x  cos x  (1) Xét hàm số f (t )  t   t  0;1 Với t1 , t2   0;1 va t1  t2 ta xét biểu thức t   t1  t2   t2 f (t1 )  f (t2 )   t1  t2 t1  t2   t12  t2  t12   t2   t1  t2   t12  t2  t12   t2   t1  t2   t1  t2  t1  t2   Suy hàm số f(t) đồng biến  0;1 , Suy phương trình (1) tuuongw đương f (sinx)  f (cos x)  sinx  cos x  tan x   x    k ,  k      Vậy phương trình (*) có nghiệm thuộc  0;   2 Lưu ý: Đối với việc chứng minh hàm số đồng biến  a; b  hàm số  f (x1 )  f (x )  x , x   a; b  m y  f ( x),  , xét tỉ số x1  x2  x1  x2 + Nếu m   Hàm số đồng biến  a; b  + Nếu m   Hàm số nghịch biến  a; b  + Nếu   Hàm số không đổi  a; b  STUDY TIP + Nếu hàm số y  f ( x) đồng biến  a; b  x1 , x2   a; b  : f ( x1 )  f ( x2 )  x1  x2 f ( x1 )  f ( x2 )  x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 )  x1  x2 DẠNG II MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐƯA VỀ DẠNG TÍCH Ví dụ Phương trình sin x  4cos x   sin x có số nghiệm  0; 2  là: A B D C Lời giải Chọn C Phương trình  sin x  4cos x   2sin x cos x  sin x 1  cos x   1  cos x     sin x  1  cos x   sin x  2(VN ) sin x       x    k 2 , (k  ) 1  cos x  cos x   5  Vậy phương trình có nghiệm  0; 2  x  x  3 y π O x 5π Ví dụ Phương trình  cos x  sin x  cos x  sin x  có nghiệm dạng x1  a  k 2 , x2  b  k 2 , x3  c  k 2 , x4  d  k 2 Với  a, b, c, d  2 a  b  c  d là: 7 5 9 A B C D Lời giải Chọn D Phương trình   sin x  cos x  sin x  cos x  sin x    cos x  sin x    cos x  sin x    cos x  sin x  cos x  sin x     cos x  sin x  cos x  sin x   cos x  sin x        sin  x     x   k  cos x  sin x  4     (k  ) 2   cos x    x  k 2 cos x   Nghiệm biểu diễn đường tròn lượng giác ta viết lại nghiệm phương trình là: 3 7 2 4 3 7 2 4 9 x  k 2 v x   k 2 v x   k 2 v x   k 2  a  b  c  d      4 3 4 3 Ví dụ Có giá trị nguyên a để phương trình cos3 x  cos2 x  a sin x  có   nghiệm x   0;  ?  6 A B C D Lời giải Chọn B Phương trình  cos3 x  cos2 x  a  cos x 0 cos x  1(1)  cos x  cos x  a cos x  a    cos x  1  cos x  a     cos x   a (2)    -Giải (1)  x  k 2  x  k (k  ) , nghiệm không thuộc  0;   6 2     -Giải (2) có x   0;   x   0;    cos x    cos x      a     2  a   Suy phương trình (2) có nghiệm thuộc  0;    2  6 Vậy có giá trị nguyên a 1 Ví dụ Phương trình  2sin x  1 cos x  2sin x   cos3 x  nhận giá trị x  arccos m  k A m   (k  ) làm nghiệm giá trị m là: B  C m  16 Lời giải Chọn B Phương trình   2sin x  1 cos x  2sin x   1  sin x    D m   16   2sin x  1 4cos x  2sin x   1  2sin x 1  2sin x     2sin x  1 4cos x  1     x    k 2    x  7  k 2 sin x      (k  ) cos x    x  arccos( )  k    4  1   x   arccos( )  k  4 Vậy m  STUDY TIP cos x  1  sin x 1  sin x  sin x  1  cos x 1  cos x  Ví dụ Phương trình sin x  2cos x  cos x  sin x phương trình hệ phương trình:  1 A sin( x  )  B sin x  C sin x  cos x  D 2 sin x  cos x  Lời giải Chọn C pt  2sin x cos x  2cos x  2sin x  sin x  sin x  1  (sin x  1)(2 cos x  2sin x  1)    cos x  sin x   2 Lưu ý: Phương trình bậc hai at  bt  c  0(a  0) có hai nghiệm t1 , t2 at  bt  c  a(t  t1 )(t  t2 ) DẠNG III MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHỨA ĐIỀU KIỆN sin x Ví dụ Phương trình  có số nghiệm là: 5sin x A B C D vô số Lời giải Chọn A Điều kiện: sin x   cos x  1 Pt  sin 5x  5sin x   sin 5x  sin x  4sin x   2cos3x.sin x  4sin x   2cos3x.2sin x cos x  4sin x  sin x  0(l )  4sin x(cos x cos x  1)     (cos x  cos x)   2 cos x   cos x  cos x     cos x  cos x     cos x   (VN )  2 Với cos x    2sin x   sin x  (loại khơng TMĐK) Vậy phương trình cho vơ nghiệm Ví dụ Phương trình 3cot x  2 sin x  (2  2) cos x có nghiệm dạng 2 x    k 2 ; x    k 2 , k  Z ,0   ,   A 2 B - 12    bằng: 2 C 12 7 12 D 2 122 Lời giải Chọn A Điều kiện: sin x   cos x  1 Pt  3cos2 x  2 sin x  2cos x.sin x  cos x.sin x  3cos x(cos x  sin x)  2sin x(cos x  sin x)   (cos x  sin x)(3cos x  2sin x)   cos x  cos x   0(1)   2cos x  3cos x   0(2)   cos x  (1)    x    k 2 (k  ) cos x   2(VN )  cos x    (1)   x    k 2 (k  )  cos x  2(VN ) Vậy    ;   ;   2 12 1 Ví dụ Phương trình có tổng nghiệm (0;  ) là:   cos x sin x sin x   2 A B C D  6 Lời giải Chọn D    sin x  1 cos x  cos x  cos x       Điều kiện: sin x   sin x   sin x   sin x  sin x  cos x      sin x   sin x     2 1 Pt    cos x 2sin x cos x 4sin x cos x cos x  2sin x cos x  cos x    2sin x(1  2sin x)   2sin x    2sin x(1  2sin x  sin x)    sin x  1 l   x   k 2 sin x   l     k sin x  5  2sin x  sin x    x  k 2    5 =>có nghiệm (0;  ) x= x= 6  5 Vậy tổng nghiệm (0;  ) là:   6 sin x  2cos x  sin x  Ví dụ Phương trình  có nghiệm (0;3 ) ? tan x  A B C D Lời giải Chọn B cos x  Điều kiện:  * tan x    Pt  sin x  cos x  sin x    2sin x cos x  sin x  cos x     sin x  1  x    k 2  (2 cos x  1)(sin x  1)     k cos x   x     k 2   Kết hợp điều kiện (*)=>Nghiệm phương trình x  Vậy có hai nghiệm thuộc (0;3 ) x   x   7   k 2 (1  sin x  cos x)sin( x  )  cos x có nghiệm dạng Ví dụ Phương trình  tan x x    k 2 ; x    k 2 ,    ; k  Z ,    ,       là: A 2 B 36 35 36 C 13 18 D 15 18 Lời giải Chọn C Điều kiện: cos x   tan x  1*   (1  sin x  cos x) sin( x  )  cos x Pt  sin x  cos x cos x  (1  sin x   2sin x) sin( x  ) 1   sin( x  ) sin x    sin x  2sin x   2sin x  sin x     sin x      x    k 2 k Kết hợp điều kiện(*) ta có nghiệm pt   x   5  k 2  2 25 26 13   36 36 36 18 4 sin x  cos x  cos x 1 có số điểm biểu diễn nghiệm Ví dụ Phương trình     tan   x  tan   x  4  4  đường tròn lượng giác là: 2  2  A  B C Lời giải Chọn B D     sin( x  )   x    k   sin(   x)   x    k   4 Điều kiện:   cos( x   )   x    k   4     cos(  x)   x    k     tan x   tan x  tan x  tan x     4 Ta có: tan   x  tan   x    1   4  4   tan tan x  tan tan x  tan x  tan x 4   sin x  cos4 x  cos4 x   sin x   sin x  sin x  sin  2x    sin x   2sin x cos x     x  k k   cos x  ( L) tan tan Kết hợp điều kiện ⇒ nghiệm phương trình (1) x  k  (k  Z ) Vậy số điểm biểu diễn cần tìm Lưu ý: Ở nầy điều kiện toán gộp thành x k (k Z)