Phương pháp quy nạp toán học 1 Lý thuyết Để chứng minh những mệnh đề liên quan đến số tự nhiên n * là đúng với mọi n mà không thể thử trực tiếp được thì ta thực hiện theo các bước sau Bước 1 Kiểm tr[.]
Phương pháp quy nạp toán học Lý thuyết Để chứng minh mệnh đề liên quan đến số tự nhiên n * với n mà khơng thể thử trực tiếp ta thực theo bước sau: Bước 1: Kiểm tra mệnh đề với n = Bước 2: Giả thiết mệnh đề với số tự nhiên n = k, k 1 (gọi giả thiết quy nạp) Bước 3: Ta cần chứng minh mệnh đề với n = k + Các bước làm toán ta gọi phương pháp quy nạp toán học, hay gọi tắt phương pháp quy nạp Tổng quát: Xét mệnh đề P(n) phụ thuộc vào số tự nhiên n Để chứng minh mệnh đề P(n) với n n (n0 số tự nhiên cho trước) ta thực theo bước sau: Bước 1: Kiểm tra P(n) với n = n0 Bước 2: Giả sử n n n = k, k n Bước 3: Ta cần chứng minh P(n) n = k + Kết luận: Theo ngun lí quy nạp tốn học, ta kết luận P(n) với n n Các dạng tập Dạng Chứng minh đẳng thức Phương pháp giải: Làm theo bước phần lý thuyết nêu Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Chứng minh với số nguyên dương n, ta có: 2n 1 2 2 n 4n 1 (1) Lời giải Bước 1: Với n = 1, ta có: 1 4.1 1 (đúng) Vậy (1) với n = Bước 2: Giả sử (1) với n = k Có nghĩa ta có: 2k 1 2 2 k 4k 1 2 Bước 3: Ta phải chứng minh (1) với n = k + Có nghĩa ta phải chứng minh: 2k 1 2k 1 2 2 k 1 4 k 1 1 2k 1 k 1 2k 3 Thật vậy, ta có: 2k 1 2k 1 2 2 k 4k 1 k 2k 1 2k 1 2k 1 3 2k 1 2k 1 k 2k 1 3 2k 1 2k 1 2k 5k 3 3 2k 1 k 1 2k 3 (điều phải chứng minh) Vậy (1) n = k + Do theo ngun lí quy nạp, (1) với số nguyên dương n Ví dụ 2: Chứng minh với số nguyên dương n, ta có: + + + n(3n + 1) = n(n + 1)2 (1) Lời giải Bước 1: Với n = 1, ta có: = 1.(1 + 1)2 (đúng) Vậy (1) với n = Bước 2: Giả sử (1) với n = k Có nghĩa ta có: + + + k(3k + 1) = k(k + 1)2 (2) Bước 3: Ta phải chứng minh (1) với n = k + Có nghĩa ta phải chứng minh: + + + k(3k + 1) + (k + 1)(3k + 4) = (k + 1)(k + 2)2 Thật + + + k(3k + 1) + (k + 1)(3k + 4) = k(k + 1)2 + (k + 1)(3k + 4) = (k + 1)[k(k + 1) + 3k + 4] = (k + 1)(k + 2)2 (điều phải chứng minh) Vậy (1) n = k + Do theo ngun lí quy nạp, (1) với số nguyên dương n Dạng 2: Chứng minh bất đẳng thức Phương pháp giải: Để chứng minh mệnh đề P(n) > Q(n) phụ thuộc vào số tự nhiên n với n m (m số tự nhiên cho trước), ta thực theo hai bước sau: Bước 1: Chứng minh n = m P(m) > Q(m) Bước 2: Với k số tự nhiên tùy ý, k m Giả sử với n = k, ta P(k) > Q(k) Bước 3: Ta chứng minh đẳng thức n = k + Theo ngun lí quy nạp tốn học, ta kết luận P(n) với số tự nhiên n m Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Chứng minh với số nguyên dương n , ta có: 3n > n2 + 4n + (1) Lời giải Bước 1: Với n = ta có 33 32 4.3 27 26 (đúng) Vậy (1) với n = Bước 2: Giả sử với n k,k (1) đúng, có nghĩa ta có: 3k > k2 + 4k + (2) Ta phải chứng minh (2) với n = k + Có nghĩa ta phải chứng minh: 3k + > (k + 1)2 + 4(k + 1) + Thật vậy, nhân hai vế (1) với ta được: 3.3k > 3.k2 + 12k + 15 3k + > (k2 + 2k + 1) + 4(k + 1) + + (2k2 + 6k + 5) Vì (2k 6k 5) k Vậy 3k + > (k + 1)2 + 4(k + 1) + (đúng) Vậy (1) với số nguyên dương n Ví dụ 2: Chứng minh với số nguyên dương n ta có: 1 13 (1) n 1 n n n 24 Lời giải Đặt u n 1 1 n 1 n n (n 1) n n 1 13 (đúng) 12 24 1 13 Bước 2: Giả sử với n = k (1) đúng, có nghĩa ta có: k 1 k k k 24 Bước 1: Với n = ta có u Bước 3: Ta phải chứng minh (1) với n = k + Có nghĩa ta phải chứng minh: 1 1 13 k 2 k 3 k k (k 1) (k 1) 24 Thật ta có: u k 1 u k 1 1 1 k2 k3 k k (k 1) (k 1) k k kk 1 2k (k 1) (k 1) k 1 2k 2(k 1) k 1 (đúng) 2k 2k 13 Vậy u k 1 uk (đúng) Vậy (1) với n = k + 24 Vậy (1) với số nguyên dương n Dạng 3: Chứng minh chia hết Phương pháp giải: Làm theo bước phần lý thuyết nêu Chú ý số dấu hiệu chia hết - Dấu hiệu chia hết cho 2: số có chữ số tận 0, 2, 4, 6, - Dấu hiệu chia hết cho 5: số có chữ số tận - Dấu hiệu chia hết cho 3: số có tổng chữ số chia hết cho - Dấu hiệu chia hết cho 9: số có tổng chữ số chia hết cho - Dấu hiệu chia hết cho 4: hai chữ số tận tạo thành số chia hết cho - Dấu hiệu chia hết cho 6: số vừa chia hết cho vừa chia hết cho - Dấu hiệu chia hết cho 8: ba chữ số tận tạo thành số chia hết cho - Dấu hiệu chia hết cho 10: chữ số tận - Tích hai số tự nhiên liên tiếp ln chia hết cho - Tích ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 2, - Tích bốn số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 2, 3, 4, - Tính chất chia hết: + Nếu hai số a b chia hết cho m, tổng (a + b) hiệu (a – b) chia hết cho m + Nếu số a i mi , i 1,2, ,n tích a1a a n m1m2 mn Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Chứng minh với n * n3 + 2n chia hết cho Lời giải Đặt P(n) = n3 + 2n Bước 1: Với n = 1, ta có P(1) 13 2.1 3 Suy P(n) với n = Bước 2: Giả sử mệnh đề n k 1, tức là: P(k) k 2k Bước 3: Ta cần chứng minh mệnh đề n = k + Tức chứng minh: P(k 1) (k 1)3 2(k 1) Thật vậy: P(k + 1) = k3 + 3k2 + 3k + + 2k + = k3 + 3k2 + 5k + = (k3 + 2k) + 3(k2 + k + 1) = P(k) + 3(k2 + k + 1) Mà P(k) 3(k k 1) nên P(k 1) mệnh đề n = k + Vậy theo nguyên lí quy nạp tốn học ta có mệnh đề với n Ví dụ 2: Chứng minh với n * * 6n + 5n – chia hết cho Lời giải Đặt P(n) = 6n + 5n – Bước 1: Với n = 1, ta có P(1) 4.61 51 25 Suy mệnh đề với n = Bước 2: Giả sử mệnh đề n k 1, tức là: P(k) 4.6k 5k Bước 3: Ta cần chứng minh mệnh đề n = k + Tức chứng minh: P(k 1) 4.6k 1 5k 1 Thật vậy: P(k + 1) = 6k+1 + 5k+1 – = 4.6k.6 + 5k.5 – = 24.6k + 5.5k – = 6(4.6k + 5k – 4) – 5k + 20 = 6P(k) – 5k + 20 6P(k) Mà 5k nên P(k 1) mệnh đề n = k + 20 Vậy theo ngun lí quy nạp tốn học ta có mệnh đề với n Dạng 4: Quy nạp hình học * Phương pháp giải: Làm theo bước phần lý thuyết nêu Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Chứng minh tổng góc đa giác lồi n cạnh n 3 là: (n – 2)1800 Lời giải Đặt S(n) = (n – 2)1800 Bước 1: Với n = 3, ta có S(3) = 1800 Suy mệnh đề với n = Bước 2: Giả sử mệnh đề n k , tức là: S(k) = (k – 2)1800 Bước 3: Ta cần chứng minh mệnh đề n = k + Tức chứng minh: S(k + 1) = (k – 1)1800 Thật vậy: ta tách đa giác (k + 1) cạnh thành đa giác k cạnh tam giác A1AkAk+1 cách nối đoạn A1Ak Khi tổng góc đa giác lồi (k + 1) cạnh tổng góc đa giác lồi k cạnh cộng với tổng ba góc tam giác A1AkAk+1 Tức là: S(k + 1) = S(k) + 1800 = (k – 2)1800 + 1800 = (k – 1)1800 Do mệnh đề n = k + Vậy theo ngun lí quy nạp tốn học ta có mệnh đề với n * ;n Ví dụ 2: Chứng minh số đường chéo đa giác lồi n cạnh n là: n n 3 Lời giải Đặt S(n) n n 3 Bước 1: Khi n = 4, ta có S(4) = Suy mệnh đề với n = Bước 2: Giả sử mệnh đề n k , tức là: S(k) k k 3 Bước 3: Ta cần chứng minh mệnh đề n = k + Tức chứng minh: S(k 1) k 1 k Thật vậy: ta tách đa giác (k + 1) cạnh thành đa giác k cạnh tam giác A1AkAk+1 cách nối đoạn A1Ak Khi trừ đỉnh đỉnh Ak + đỉnh kề với A1Ak ta cịn lại (k + 1) – = k – đỉnh, tương ứng với (k – 2) đường chéo kẻ từ đỉnh Ak+1 cộng với đường chéo A1Ak ta có số đường chéo đa giác (k + 1) cạnh là: k k 3 k k 3 k k k 1 k S(k 1) (k 2) k 1 2 2 Do mệnh đề n = k + Vậy theo ngun lí quy nạp tốn học ta có mệnh đề với n * ,n Bài tập tự luyện Bài tập trắc nghiệm Câu Một học sinh chứng minh mệnh đề “8n + chia hết cho 7, với số tự nhiên n khác 0” (*) sau: - Giả sử (1) với n = k, tức 8k + chia hết cho - Ta có: 8k + + = 8(8k + 1) - 7, kết hợp với giả thiết 8k + chia hết suy 8k + + chia hết cho Vậy đẳng thức (1) với n Khẳng định sau đúng? A Học sinh chứng minh B Học sinh chứng minh sai khơng có giả thiết qui nạp * C Học sinh chứng minh sai khơng dùng giả thiết qui nạp D Học sinh không kiểm tra bước (bước sở) phương pháp qui nạp 1 1 với n 1.2 2.3 3.4 n. n 1 Câu Cho Sn * Mệnh đề sau đúng? n 1 n n2 Sn n3 A Sn B Sn n n 1 C Sn n 1 n2 1 với n 1.3 3.5 2n 1. 2n 1 Câu Cho Sn * D Mệnh đề sau đúng? n 1 2n n2 Sn 2n A Sn B Sn n 2n C Sn n 3n D Câu Với n * , hệ thức sau sai? A n n n 1 B 2n 1 n C 12 22 n D 22 42 62 n n 1 2n 1 2n Câu Cho Pn 1 2n n 1 2n 1 1 1 với n n Mệnh đề sau n đúng? n 1 n2 A P B P Đáp án D B B D D Bài tập tự luận n 1 2n C P n 1 n D P n 1 2n Câu Chứng minh với số nguyên dương n, ta có: 1.2 2.3 3.4 n(n 1) n(n 1)(n 2) Câu Chứng minh với số nguyên dương n, ta có: 1.2 + 2.5 + 3.8 + …+ n(3n – 1) = n2(n+1) Câu Chứng minh với số nguyên dương n, ta có: 22 42 62 2n 2n n 1 2n 1 Câu Chứng minh với số nguyên dương n , ta có: 1 n 1 1 1 1 1 16 n 2n Câu 10 Chứng minh với số nguyên dương n, ta có: n n 1 n 3 3 Câu 11 Chứng minh với số nguyên dương n , ta có: 2n > n2 Câu 12 Chứng minh với số nguyên dương n , ta có: 2n > 2n +1 Câu 13 Chứng minh với số nguyên dương n ta có: 3n-1 > n(n +2) Câu 14 Chứng minh với số nguyên dương n n3 + 11n chia hết cho Câu 15 Chứng minh với số nguyên dương n 4n + 15n – chia hết cho