Vấn đề 1: Phương pháp quy nạp toán học và ứng dụng

PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌCA. BÀI TẬP LUYỆN TẬP.[r]

Các giảng dãy số

Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 Page http://edufly.vn

VẤN ĐỀ PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TỐN HỌC

A TĨM TẮT LÝ THUYẾT

Để chứng minh mệnh đề M(n) với số tự nhiên nno (no số tự nhiên cho

trước) phương pháp quy nạp toán học (gọi tắt phương pháp quy nạp), ta thực theo bước sau đây:

Bước 1: Chứng minh mệnh đề M(n) với nn ,o tức mệnh đề M n o

Bước 2: Giả sử mệnh đề M(n) với số tự nhiên n k n ,o tức mệnh đề M(k)

Hãy chứng minh M(n) với n k 1, tức M(k 1)

Bước 3: Kết luận mệnh đề M(n) với số tự nhiên nn o

B CÁC VÍ DỤ MẪU

Ví dụ 1: Chứng minh với n1, n, ta ln có:

2

1.4 2.7 n(3n 1)    n(n 1) (1)

Lời giải:

Với n = VT = VP = nên (1)

Giải sử (1) với n = k, nghĩa là: 1.4 2.7 k(3k 1)    k(k 1) (1')

Chứng ta cần chứng minh (1) với n = k + nghĩa

2 1.4 2.7 k(3k 1) (k 1)[3(k 1) 1]        (k 1)(k 2) (1'')

Thật vậy, xét vế trái (1’’), theo giả thiết qui nạp (1’), ta có

2

2

VT 1.4 2.7 k(3k 1) (k 1)[3(k 1) 1] k(k 1) (k 1)(3k 4)

(k 1)[k(k 1) 3k 4] (k 1)(k 4k 4) (k 1)(k 2) VP

             

            

Ví dụ 2: Chứng minh  2n 

3  40n 67 64 với số tự nhiên n

Ví dụ 3: Với k n,  n k Chứng minh: C2nn k C2nn k  C2nn

C BÀI TẬP LUYỆN TẬP

1 Chứng minh với n1, n, ta ln có:

a) 12 22 32 n2 n(n 1)(2n 1)

 

     b)

2

3 3 n (n 1) n

4



    

2 Chứng minh với n1, n, ta ln có:

a) 1.2 2.3 n(n 1) n(n 1)(n 2)

 

     b) 1.4 2.7 n(3n 1)    n(n 1)

Các giảng dãy số

Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 Page http://edufly.vn

a) 1 n

1.22.3  n(n 1)  n 1 b) n n

3 n

1.2.2 2.3.2 n.(n 1).2 (n 1).2



    

 

4 Chứng minh với n1, n, ta ln có:

a) 1 1 1

2 n n

       

      

     b)  2

1 1 n

1

4 n 1 2n

  

       

     

     

5 Chứng minh với n1, n, ta ln có:

a) P12P2  nPn Pn 1 1 b)

2 n n

1 n 1

P P P P



    

6 Chứng minh với n1, n, ta ln có:

a)  

n 11n  b) n 

4 15n 1 

c) 32n 1 2n 2  e) 62n3n 2 3n11

7 Chứng minh với n1, n, ta ln có:

a)  2n 

3  40n 67 64 b)  

n 6n 11n 6n 24

8 (Bất đẳng thức Bernoulli) Chứng minh với n1, n, ta ln có:

a) (1 x) n  1 nx,  x

b) 1 x 11 x x 2   n  1 x1 x2  x ,n   xi 1, i 1, n, x x i j0

9 Chứng minh với n2, n, ta ln có:

a) n 1 n

2 n

     b)

n

n

n P

2



 

   Hướng dẫn: Biến đổi

k k

k

k k 2

(k 1)

2 1

1 k





 

   

    

      

  

 

sử dụng bất đẳng thức Bernoulli

k

1

1 (k 1)

k k



     

   

 

10 Chứng minh với n1, n, ta có: bậc hai

a) n 1

n can bac hai

2 2cos 



   

 b)

n

10 9n 10 33 333 333

27

  