Giáo án Đại số 11 chương 3 bài 1: Phương pháp quy nạp toán học

ĐẠI SỐ 11 Chương III: DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN Tiết 37 PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC I MỤC TIÊU Kiến thức Hiểu nội dung phương pháp quy nạp toán học bao gồm hai bước (bắt buộc) theo trình tự quy định Kĩ Biết cách lựa chọn sử dụng phương pháp quy nạp toán học để giải tốn cách hợp lí Thái độ Tự giác, tích cực học tập II CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH Chuẩn bị GV Bài soạn, câu hỏi gợi mở, phấn màu, Chuẩn bị HS Đọc trước ôn lại số kiến thức mệnh đề III – TIẾN TRÌNH DẠY HỌC Ổn định tổ chức 11B1 Ngày giảng : Sỹ số: 11B2 Ngày giảng : Sỹ số: Kiểm tra cũ - Thông qua hoạt động học Nội dung Hoạt động 1: Tìm hiểu phương pháp quy nạp tốn học Hoạt động GV HS Nội dung GV: Hướng dẫn HS thực HĐ1 I Phương pháp quy nạp toán học - Với n = 1, 2, ,3 ,4 ,5 Hãy kiểm tra tính H1- sgk – sai P(n) Q(n) ? Trả lời: * - Với n = 1, 2, 3, 4, ta có P(1), P(2), P(3), P(4) - Với n ∈ N P(n) Q(n) hay đúng, P(5) sai, Q(1), Q(2), Q(3), Q(4), Q(5) sai? HS: Trả lời câu hỏi GV * - Với n ∈ N P(n) sai n = GV: Khẳng định muốn chứng tỏ kết P(5) sai luận đúng, ta phải chứng minh - Với n ≥ Q(n) đúng, song ta chưa * trường hợp Muốn chứng tỏ thể khẳng định Q(n) với n ∈ N kết luận sai, ta cần trường hợp sai đủ Để CM mệnh đề với *) Phương pháp quy nạp toán học Bước 1: Kiểm tra mệnh đề với n ta sử dụng PP quy nạp n=1 Bước 2: Giả thiết mệnh đề với số tự nhiên n = k ≥ (gọi giả thiết quy nạp), chứng minh với n =k+1 GV: Nêu phương pháp HS: Ghi nhận KQ Hoạt động 2: Ví dụ áp dụng GV: Hướng dẫn HS thực HĐ2 theo bước phương pháp quy nạp II Ví dụ áp dụng + + + + n = n(n + 1) - Hãy kiểm tra tính – sai đẳng H CMR: (*) thức với n = 1? - Nêu giả thiết quy nạp ? Giải - CM hệ thức với n= k +1 nghĩa +) Với n = (*) cần chứng minh điều ? HS: Kiểm tra mệnh đề với n = +) Giả sử (*) với n = k ≥ Chỉ giả thiết quy nạp k (k + 1) + + + + k = Chỉ điều cần chứng minh Nghĩa là: (gt) GV: Nhận xét, chỉnh sửa +) Ta cần chứng minh (*) với n = k + HS: Lên thực hướng dẫn GV HS: Ghi nhận KQ GV: Nêu ý + + + + k + ( k + 1) = (k + 1) ( k + )  (**) Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có: + + + + k + ( k + 1) = S k + ( k + 1) = k ( k + 1) + ( k + 1) = (k + 1) ( k + ) Vậy hệ thức cho với n ∈ N* Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề n≥ p GV: Hướng dẫn HS thực HĐ3 theo bước phương pháp quy nạp - Hãy so sánh P(n) Q(n) với n = 1, 2, 3, 4, qua bảng sau ? - Hãy dự đoán kết tổng quát chứng minh phương pháp quy nạp? HS: Lên bảng điền vào ô trống Dự đoán KQ tổng quát Chứng minh dự đoán PPQN với số tự nhiên (p số tự nhiên) thì: Bước 1: Ta kiểm tra mệnh đề với n = p Bước 2: Ta giả thiết mệnh đề với n=k ≥ p số tự nhiên minh với H 3-sgk: Trả lời: a) So sánh 3n 8n phải chứng n = k +1 GV: Nhận xét, chỉnh sửa HS: Ghi nhận kết GV: Nhận xét, chỉnh sửa n 3n 27 81 243 b) Dự đoán Thật n≥3 + Với n = ta có 3n > 8n 33 > 8.3 Vậy bđt + Giả sử bất đẳng thức với n=k ≥3 3k > 8.k (1) tức Nhân hai vế (1) với 3, ta 3.3k > 3.8k ⇔ 3k +1 > 8k + + 16k − Vì 16k – > nên 3k +1 > 8k + ⇔ 3k +1 > ( k + 1) tức bất đẳng thức với n = k + Vậy 3n > 8n với n ∈ N* Củng cố luyện tập Phương pháp quy nạp Bước 1: Kiểm tra mệnh đề với n=1 (n = p) Bước 2: Giả thiết mệnh đề với số tự nhiên n = k ≥ (k  p) - giả thiết quy nạp Chứng minh với n = k + Hướng dẫn HS học nhà - Đọc “Bạn có biết” sgk – T83 làm tập sgk – T83, 84 - Đọc trước “Dãy số” - Hướng dẫn làm tập 1, sgk Bài 1: a) Với n = hệ thức Đặt S n = + + + + 3n − Giả sử hệ thức với n = k ≥ S k +1 = + + + + ( 3k − 1) + 3 ( k + 1) − 1 = S k + 3k + = Ta có b) Với n hệ thức ( k + 1) 3 ( k + 1) + 1 Đặt vế trái Sn Giả sử hệ thức với n = k ≥ 1 2k − 1 2k +1 − + k +1 − Sk +1 = S k + k +1 = k + k +1 = = k +1 2 2k +1 Ta có Bài 3: a) Bất đẳng thức với n = Giả sử bất đẳng thức với n = k ≥ tức k +1 Nhân hai (1) với , ta Vì 6k–1>0 nên > 3n + 3k +1 > 3k + k +1 hay Vậy 3k > 3k + (1) k +1 > 9k + ⇔ > ( k + 1) + n với số tự nhiên n ≥ (đpcm) > 3k + + 6k − bất đẳng thức với n=k+1 ... chỉnh sửa n 3n 27 81 2 43 b) Dự đoán Thật n 3 + Với n = ta có 3n > 8n 33 > 8 .3 Vậy bđt + Giả sử bất đẳng thức với n=k 3 3k > 8.k (1) tức Nhân hai vế (1) với 3, ta 3. 3k > 3. 8k ⇔ 3k +1 > 8k +... theo bước phương pháp quy nạp - Hãy so sánh P(n) Q(n) với n = 1, 2, 3, 4, qua bảng sau ? - Hãy dự đoán kết tổng quát chứng minh phương pháp quy nạp? HS: Lên bảng điền vào ô trống Dự đoán KQ tổng... minh dự đoán PPQN với số tự nhiên (p số tự nhiên) thì: Bước 1: Ta kiểm tra mệnh đề với n = p Bước 2: Ta giả thiết mệnh đề với n=k ≥ p số tự nhiên minh với H 3- sgk: Trả lời: a) So sánh 3n 8n phải