Bài giảng Đại số 11 chương 3 bài 1 Phương pháp quy nạp toán học

§1 Tiết 37 PHÉP QUY NẠP PHÉP SUY DiỄN PHƯƠNG PHÁP SUY LUẬN PHÉP QUY NẠP “Quy nạp suy diễn gắn chặt với phân tích tổng hợp” Các em cần phân biệt PHÉP SUYvà DiỄN hai kiểu suy luận liên hệ hai kiểu suy luận  CÁI CHUNG  TỔNG QUÁT  CÁI RIÊNG  CỤ THỂ PHÉP QUY NẠP Ph Ăng-ghen (1820-1895) Hãy tìm hiểu phương “Quypháp nạp suy diễn chặthọc với quy nạpgắn Tốn phân tích tổng hợp” Hoạt đợng 1: Hoạt đợng nhóm Xét hai mệnh đề chứa biến: Các em sử dụng phiếu học tập số n n P(n): “ >3n +1 ” Q(n): “  n ” với nN* a) Với n = 1,2,3,4,5 P(n), Q(n) đúng hay sai P(n) : “ 3n > 3n+1 ” Q(n) : “ 2n > n ” b) nN* P(n) , Q (n) đúng hay sai Xét mệnh đề chứa biến P(n) : “ 3n > 3n+1 ” Q(n) : “ 2n > n ” a Với n = 1, 2, 3, 4, P(n), Q(n) đúng hay sai? Các em quan sát trả lời b Với nN* P(n), Q(n) đúng hay sai? Trả lời: a P(n) : “ 3n > 3n+1 ” n 3n ? 27 81 243      Q(n): “ 2n > n ” 3n+1 n 2n ? n      Đ Đ Đ Đ Đ S 10 Đ Đ 13 Đ 16 16 Đ 32 b Với nN* P(n) sai; Q(n) chưa thể khẳng định chắn đúng hay sai ta khơng thể kiểm tra hết với nN* §1 PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC I Phương pháp quy nạp Toán học: Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = Các em chép phần vào Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên n = k  (gọi giả thiết quy nạp) Bước3 : Chứng minh mệnh đề đúng với n = k + II Ví dụ áp dụng : Ví dụ 1: Giải: Chứng minh với nN* : + + + + (2n – 1) = n2 (1) 1) Khi n = 1: VT = 1, VP = 12 = Vậy (1) đúng 2) Đặt VT = Sn Giả sử với n = k  ta có: Sk = + + + + (2k –1) = k2 (gt quy nạp) 3) Ta chứng minh (1)cũng đúng với n = k+1 : Sk+1=1 + + + …+ (2k – 1) + [2(k + 1) – 1] = (k +1)2 Thật vậy: Sk+1= Sk+ [2(k + 1) – 1] = k2 + 2k + = ( k + 1)2 Vậy: (1) đúng với nN* Chứng minh : + + + 7+ … + (2n – n 1).n = n2 Quan sát phần minh họa cho ví dụ 5.5 4.4 = 12 Mệnh đề phụ thuộc vào số tự +nhiên = nN* = 22 3.3 2.2 1.1 + + = = 32 + + + = 16 = 42 + + + + = 25 = 52 + + + + + + (2n – 1) = n2 … … … … Vídụ dụ2 2: Ví Chứng minh với nN* n3 – n chia hết cho Giải : Đặt An = n3 – n (1) Các em chép phần 1) Với n = 1, ta có : A1= vào 2) Giả sử với(1) đúng với n = k  1, ta có: Ak = (k3 – k) (giả thiết quy nạp) 3) Ta chứng minh Ak+1 Thật vậy: Ak+1 = (k+1)3- (k+1) = k3 +3k2 +3k +1- k -1 = (k3- k) +3(k2+k) = Ak+ 3(k2+k) Ak 3(k2+k) nên Ak+1 Vậy: An = n3 – n chia hết cho với nN* Hoạt đợng 2: HOẠT ĐỘNG NHĨM I Phương pháp quy nạp toán học Để chứng minh mệnh đề đúng với nN* ta thực hiện theo bước sau: B1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n=1 B2: Giả sử mệnh đề đúng với n = k  (Giả thiết qui nạp-GTQN) B3: Ta chứng minh mệnh đề đúng với n=k+1 II Ví dụ áp dụng: HOẠT ĐỘNG NHĨM : Với nN* có un = 13n –1 CMR : Với nN* có un = 10n – Các em sử dụng phiếu học tập số … CMR … 6 Với n = ta có: (Mệnh đề (2) đúng) = 13 –1 =12 k Giả sử mệnh đề (2) đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là: k = 13 Thật vậy: u –1 uk+1= 13k+1 – … Ta phải chứng minh (2) đúng với n = k + 1, tức : (2) … … u un = 13n – … CMR : Với nN* có Thầy mời nhóm cử đại=diện trả uk+1 13k+1 – 1lời= 13k 13 –1 Vậy với nN*, ta có uk Chú ý theo dõi giải un = 13n – … Vì : 12.13k … … = 13k.(12+1) – = 12.13k +13k – = 12.13k + uk (2) Với n = ta có: (Mệnh đề (3) đúng) = 10 –1 = k Giả sử mệnh đề (3) đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là: k = 10 uk+1 =mời 10k+1 – 2= 10k 10 – Thầy nhóm cử đại=diện trả lời – 10k(1+9) = 10 – + 9.10 = uk+ 9.10k k Chú ý theo dõi giải k … … … uk Vậy với nN*, ta có un = 10n – Vì : 9.10k … u –4 uk+1= 10k+1 – … Ta phải chứng minh (3) đúng với n = k + 1, tức : Thật vậy: (3) … u un = 10n – … CMR : Với nN* có (3) Chú ý: Bài tập số ( trang 82 – sgk Đại số & Giải tích 11) Chứng minh với số tự nhiên n  2, ta có bất đẳng thức : a) 3n > 3n + b) 2n+1 > 2n + •Ở bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = •Ở bước 2: giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên n = k  (giả thiết quy nạp) •Ở bước 3: Chứng minh mệnh đề đúng với n = k+1 •Bài tập em hướng dẫn tiết luyện tập Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề đúng với số tự nhiên n  p ( p số tự nhiên ) : •Ở bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = p •Ở bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên n = k  p (giả thiết quy nạp) •Ở bước 3: Chứng minh mệnh đề đúng với n = k+1 Các em ghi nhận phần ý quan trọng Củng cố: Nắm vững bước thực hiện toán chứng minh phương pháp quy nạp tốn học •Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n =1 (hoặc n = p ) •Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với n = k  (hoặc với số tự nhiên n = k  p) (giả thiết quy nạp) •Bước 3: Chứng minh mệnh đề đúng với n = k+1 •Cần chú ý vào giả thiết quy nạp dựa vào yêu cầu toán để kết luận Dặn dò: 1/ Làm lại tập vừa tiếp thu tại lớp 2/ Làm tập 1& trang 82 SGK 3/ Xem : “ BẠN CÓ BIẾT ? ”trang 83 SGK Các em ý nghe Thầy dặn để thực Nguyễn Thanh Lam - Tổ Tốn –Tin – Trường THPT Thanh Bình ... – 1lời= 13 k 13 ? ?1 Vậy với nN*, ta có uk Chú ý theo dõi giải un = 13 n – … Vì : 12 .13 k … … = 13 k. (12 +1) – = 12 .13 k +13 k – = 12 .13 k + uk (2) Với n = ta có: (Mệnh đề (3) đúng) = 10 ? ?1 = k Giả... Ak +1 Thật vậy: Ak +1 = (k +1 )3- (k +1) = k3 +3k2 +3k +1- k -1 = (k3- k) +3( k2+k) = Ak+ 3( k2+k) Ak 3( k2+k) nên Ak +1 Vậy: An = n3 – n chia hết cho với nN* Hoạt động 2: HOẠT ĐỘNG NHĨM I Phương pháp. .. ≥ 1, nghĩa là: k = 13 Thật vậy: u ? ?1 uk +1= 13 k +1 – … Ta phải chứng minh (2) đúng với n = k + 1, tức : (2) … … u un = 13 n – … CMR : Với nN* có Thầy mời nhóm cử đại= diện trả uk +1 13k +1 – 1lời=