BÀI GIẢNG ĐẠI SỐ LỚP 11: PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC GV: PHAN HỒNG HUỆ Xét hai mệnh đề chứa biến : P(n): “3n < n +100” * Q(n): “2n >n” với n �� 3n n = 31=3 n=2 n=3 n=4 n=5 27 81 243 So n + 100 sánh < < < < > 1+100=101 102 103 104 105 P(n) Đ/S ? Đ Đ Đ Đ S 2n n = 21=2 n=2 n=3 n=4 n=5 So sánh > > > 16 > 32 > n Q(n) Đ/S ? Đ Đ Đ Đ Đ I PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC: * n �� Để chứng minh mệnh đề liên quan đến số tự nhiên với n mà không thử trực tiếp ta tiến hành sau: - B1: Kiểm tra mệnh đề với n = -B2: Giả thiết mệnh đề với số tự nhiên n = k ≥1 ( gọi giả thiết qui nạp) - B3:Ta cần chứng minh với n = k + PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC: Để chứng minh mệnh đề liên quan đến số tự nhiên n ��*mà không thử trực tiếp ta tiến hành sau: - B1: Kiểm tra mệnh đề với n = - B2: Giả thiết mệnh đề với số tự nhiên n = k ≥1 ( gọi giả thiết qui nạp) - B3: Ta cần chứng minh với n = k + II VÍ DỤ ÁP DỤNG: Ví dụ 1: Chứng minh với n ��* n n 1 n 1 Giải: Đặt Sn= 1+2+3+…+n B1: n=1 VT= 1, VP = Khi mệnh đề (1) B2: Giả sử mệnh đề (1) với n= k ≥ , nghĩa là: Sk k k k 1 B3: Ta cần chứng minh mệnh đề (1) với n= k+1, tức chứng minh : k 1 k Sk 1 k k 1 Thật vậy: Sk+1 = Sk + (k+1) Vậy (1) với n ��* k k 1 k 1 k 1 k 2 PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC: Để chứng minh mệnh đề liên quan đến số tự nhiên với n mà không thử trực tiếp ta tiến hành sau: - B1: Kiểm tra mệnh đề với n = - B2: Giả thiết mệnh đề với số tự nhiên n = k ≥1 ( gọi giả thiết qui nạp) - B3: Ta cần chứng minh với n = k + II VÍ DỤ ÁP DỤNG: Ví dụ 2: * Chứng minh với n �N n3 n chia hết cho Giải: Đặt An = n n B1: Với n = 1, ta có A1= M3 B2:Giả sử với n = k ≥ ta có : Ak = (k3 – k) M3 (GT quy nạp) B3: Ta cần chứng minh Ak+1 M3 Thật vậy, ta có : Ak+1= (k+1)3 – (k+1) k 3k 3k k k k k k Ak k k Theo giả thiết quy nạp ta có Ak M3 Mặt khác:3( k2 + k) M3 Do đó: Ak+1 M3 Vậy n �N * n n chia hết cho Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề với số tự nhiên n ≥ p (p số tự nhiên) thì: Ở bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề với n = p; Ở bước 2, ta giả thiết mệnh đề với số tự nhiên n = k ≥ p Ở bước 3, ta phải chứng minh với n = k+1 Cho hai số 3n 8n với n số tự nhiên khác a) So sánh 3n với 8n n = 1, 2, 3, 4, b) Dự đốn kết tởng qt ? n 3n ? 8n < < 16 27 > 24 81 > 32 243 > 40 b) Kết quả: 3n > 8n với mọi n �3 Hướng dẫn: Đặt P(n): “ 3n > 8n” với mọi n �3 B1: Với n = thì 33 > 8.3 nên P(1) đúng n k �3 B2: Giả sử mệnh đề với Nghĩa là: 3k > 8k (giả thiết quy nạp) :Ta phải chứng minh mệnh đề với n = k +1 Tức là chứng minh 3k+1 > 8(k+1) Thật vậy: 3k 1 8(k 1) � 3k 8k k � (3k 8k ) 2.3 8 14 43 14 43 0 Vậy: 3n > 8n với mọi n �3 0 ... (k3 – k) M3 (GT quy nạp) B3: Ta cần chứng minh Ak+1 M3 Thật vậy, ta có : Ak+1= (k+1 )3 – (k+1) k 3k 3k k k k k k Ak k k Theo giả thiết quy nạp ta có Ak M3... 81 > 32 2 43 > 40 b) Kết quả: 3n > 8n với mọi n 3 Hướng dẫn: Đặt P(n): “ 3n > 8n” với mọi n 3 B1: Với n = thì 33 > 8 .3 nên P(1) đúng n k 3 B2: Giả sử mệnh đề với Nghĩa là: 3k >... quy nạp) :Ta phải chứng minh mệnh đề với n = k +1 Tức là chứng minh 3k+1 > 8(k+1) Thật vậy: 3k 1 8(k 1) � 3k 8k k � (3k 8k ) 2 .3 8 14 43 14 43 0 Vậy: 3n > 8n với mọi n �3