Bài giảng Đại số 11 chương 3 bài 1: Phương pháp quy nạp toán học

? HÃY XÁC ĐỊNH TÍNH ĐÚNG, SAI CỦA MỆNH ĐỀ:P(n) :"3n < n + 100" VÀ Trả lời: Q(n) :"2 < n " VỚI n n = 1, 2,3, 4,5 •n = 1: P(1): “ 31 < 1+100” (Đ) Q(1): “ 21> 1” (Đ) •n = 2: P(2): “ 32 < 2+100” (Đ) Q(2): “ 22> 2” (Đ) •n = 3: P(3): “ 33 < 3+100” (Đ) Q(3): “ 23> 3” (Đ) •n = 4: P(4): “ 34 < 4+100” (Đ) Q(4): “ 24> 4” (Đ) •n = 5: P(1): “ 35 < 5+100” (S) Q(5): “ 25> 5” (Đ) ? Với n ∈ N * P(n), Q(n) hay sai? PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC I PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC CM: P(n) với n∈ N * Phương pháp qui nạp • Bước 1: Kiểm tra P(n) với n = • Bước 2: Giả sử P(n) với n = k ≥1 (P(k) gọi giả thuyết quy nạp) CM: P(n) với n = k + PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC I PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC: CM: P(n) với n ∈ N * Phương pháp qui nạp Bước 1: Kiểm tra P(n) với n = Bước 2: Giả sử P(n) n = k ≥1 với II VÍ DỤ: Vd1:CMR với n ∈ N * + + + ….+ (2n-1) = n2 (1) Hoạt n = 1:động = 1nhóm n = 2: 1+3 = CMR: với n ∈ N *thì n = 3: 1+3 +5 = 32 n( n + 1) (1) + + + + n = ………………………………… Nhóm 1,2: Bước n = k: 1+3+5+…+(2k-1) = k2 (P(k) gọi giả thuyết quy Nhóm 3, 4: Bước ( đến gt qui nạp) n = k+1: 1+3+5+…+(2k-1) nạp) (nêu ta phải CM?) (k+1)2 n = k + Nhóm 5, 6: Bước 2+[2(k+1)-1]= CM: P(n) với PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC I PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC: CM: P(n) với n ∈ N * Phương pháp qui nạp Bước 1: Kiểm tra P(n) với n = Bước 2: Giả sử P(n) với n = k ≥1 (P(k) gọi giả thuyết quy nạp) CM: P(n) với n = k + II VÍ DỤ: Hoạt động nhóm * CMR: với n ∈ N n(n + 1) + + + + n = Giải: Đặt Sn = VT (1) Bước 1: Với n = thì: 1=1 nên (1) Đ n = k ≥ Nghĩa là: k (k + 1) (gt qui nạp) Sk = + + + + k = Ta phải CM: (1) với n = k + Bước 2: G/s (1) với (k + 1)(k + 2) Tức là: S k +1 = + + + + k + (k + 1) = k (k + 1) + (k + 1) Thật vậy: Sk +1 = Sk + (k + 1) =  k  ( k + 1) ( k + ) = ( k + 1)  + 1÷ = 2  * Vậy: (1) với n ∈ N PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TỐN HỌC II VÍ DỤ: I PHƯƠNG PHÁP QUY * Vd1: CMR với n ∈ N NẠP TOÁN HỌC: (1) + + + ….+ (2n-1) = n * CM: P(n) với n ∈ N Vd2: CMR với n ∈ N *thì n − n Phương pháp qui nạp chia hết cho Bước 1: Kiểm tra P(n) Giải: Đặt An = n − n với n = Bước 1: Với n = ta có A1 = 0M Bước 2: Giả sử P(n) Bước 2: G/s với n = k ta có: n = k ≥ với Ak = k − k M (gt qui nạp) (P(k) gọi giả thuyết quy Ta phải CM Ak +1 M nạp) n = k + Thậy vậy: Ak +1 = ( k + 1) + ( k + 1) CM: P(n) với ( ) = k + 3k + 3k + − k − = (k − k ) + 3(k + k ) ⇒ Ak +1 M 14 43 14 43 M M Vậy: n3 − nchia hết cho với n∈ N* PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC CM: P(n) với n ∈ N * Phương pháp qui nạp Bước 1: Kiểm tra P(n) với n = Bước 2: Giả sử P(n) với n = k ≥1 (P(k) gọi giả thuyết quy nạp) CM: P(n) với n = k +1 * Chú ý: CM: P(n) với n ≥ p ( p một số tự nhiên) Phương pháp qui nạp • Bước 1: Kiểm tra P(n) n=p với • Bước 2: Giả sử P(n) với nn == kk ≥≥ pp (P(k) gọi giả thuyết quy nạp) CM: P(n) với n = k + PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC * Chú ý: CM: P(n) với n ≥ p ( p một sớ tự nhiên) Phương pháp qui nạp • Bước 1: Kiểm tra P(n) n=p với • Bước 2: Giả sử P(n) với n=k≥ p (P(k) gọi giả thuyết quy nạp) CM: P(n) với n = k + Hoạt đợng nhóm n∈ N Cho hai sớ 3n 8n với a) So sánh 3n với 8n n = 1, 2, 3, 4, b) Dự đoán kết tổng quát chứng minh bằng phương pháp quy nạp Giải: a) n 3n ? 8n * < < 16 27 > 24 81 > 32 243 > 40 b) Kết quả: 3n > 8n với n≥3 PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TỐN HỌC Hoạt đợng nhóm * Chú ý: CM: P(n) với n ≥ p ( p mợt sớ tự nhiên) Phương pháp qui nạp • Bước 1: Kiểm tra P(n) n=p với • Bước 2: Giả sử P(n) với n=k≥ p (P(k) gọi giả thuyết quy nạp) CM: P(n) với n = k + Cho hai số 3n 8n với a) So sánh 3n với 8n n = 1, 2, 3, 4, b) Dự đoán kết tổng quát chứng minh bằng phương pháp quy nạp Giải: b) Kết quả: 3n > 8n với n ≥ Đặt P(n): “ 3n > 8n” với n ≥ Bước 1: Với n = 33 > 8.3 nên P(1) n = k ≥ Bước 2: G/s mđề với Nghĩa là: 3k > 8k (gt qui nạp) Ta phải CM mđề với n = k+1 Tức 3k+1 > 8(k+1) Thậy vậy: 3k +1 > 8( k + 1) ⇔ 3k > 8k + k ⇔ (3k − 8k ) + 2.3 −8 > 14 43 14 43 >0 Vậy: 3n > 8n với >0 n≥3 ... ( đến gt qui nạp) n = k +1: 1 +3+ 5+…+(2k-1) nạp) (nêu ta phải CM?) (k+1)2 n = k + Nhóm 5, 6: Bước 2+[2(k+1)-1]= CM: P(n) với PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC I PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC: CM: P(n)... + PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC I PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC: CM: P(n) với n ∈ N * Phương pháp qui nạp Bước 1: Kiểm tra P(n) với n = Bước 2: Giả sử P(n) n = k ≥1 với II VÍ DỤ: Vd1:CMR với n ∈... ∈ N PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TỐN HỌC II VÍ DỤ: I PHƯƠNG PHÁP QUY * Vd1: CMR với n ∈ N NẠP TOÁN HỌC: (1) + + + ….+ (2n-1) = n * CM: P(n) với n ∈ N Vd2: CMR với n ∈ N *thì n − n Phương pháp qui nạp