giai bai tap toan 11 bai 1 phuong phap quy nap toan hoc

i i i R i i B i ( R 82 S K ĐRi số đẳ R Rứ o Ro R R R R Ro R )o CRứ R mi R rằ R với R RR ∈ N*, a ó Lời giải: a Với n = 1, ta có: VT = – = VP = (3 + 1)/2 Vậy VT = VP (1) với n = Giả thiết (1) với n = k ≥ nghĩa là: + + + …+3k – = k(3k+1)/2 (1a) Ta chứng minh (1a) với n = k + nghĩa chứng minh: Vậy (2) với n = VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí Giả sử đẳng thức với n = k, tức là: (2) với n = k + Vậy với n ∈ N* Vậy (3) với n = *giả sử đẳng thức (3) với n = k nghĩa là: Ta phải chứng minh (3a) n = k + + Ta cộng vế (3) cho (k + 1)2 Vậy đẳng thức với n = k + Do đó, đẳng thức với n ∈ N* B i ( R 82 S K ĐRi số )o CRứ R mi R rằ R với ∈ N* VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí a n3 + 3n2 + 5n chia hết cho b 4n + 15n – chia hết cho c n3 + 11n chia hết cho Lời giải: Đặt An = n3 + 3n2 + 5n +Ta có: với n = A1 = + + = chia hết + giả sử với n = k ≥ ta có: Ak = (k3 + 3k2 + 5k) chia hết (giả thiết Ry n p) +Ta chứng minh Ak + chia hết Thật vậy, ta có: A(k + 1) = (k + 1)3 + 3(k + 1)2 + 5(k + 1) = k3 + 3k2 + 3k + + 3k2 + 6k + + 5k + = (k3 + 3k2 + 5k) + 3k2 + 9k + Th୬o giả thiết Ry n p Ak chia hết 3, h n n a 9(k + 1) chia hết Nên An = n3 + 3n2 + 5n chia hết cho với ∀n ∈ N* b 4n + 15n – chia hết cho đặt An = 4n + 15n – với n = =쳌 A1 = + 15 – = 18 chia hết + giả sử với n = k ≥ ta có: Ak = (4k + 15k – 1) chia hết (giả thiết Ry n p) +Ta chứng minh: Ak+1 chia hết Thật vậy, ta có: Ak+1 = (4k+1 + 15(k + 1) – 1) = 4k.41 + 15k + 15 – VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí = (4k + 15k – 1) + (3.4k + 15) = Ak + 3(4k + 5) Th୬o giả thiết Ry n p Ak chia hết 9, h n n a: 3(4k + 5) chia hết ( chứng minh t ng t ) k≥ nên Ak+1 chia hết Vậy An = 4n + 15n – chia hết cho ∀n ∈ N* c n3 + 11n chia hết cho Đặt Un = n3 + 11n + Với n = =쳌 U1 = 12 chia hết + giả sử với n = k ≥ ta có: Uk = (k3 + 11k) chia hết (giả thiết Ry n p) Ta chứng minh: Uk+1 chia hết Thật ta có: Uk+1 = (k + 1)3 + 11(k +1) = k3 + 3k2 + 3k + + 11k + 11 = (k3 + 11k) + 3k2 + 3k + 12 = Uk + 3(k2 + k + 4) + Th୬o giả thiết Ry n p thì: Uk chia hết 6, h n n a 3(k2 + k + 4) = 3(k(k+1)+4) chia hết k≥ (2 s liên tiếp nh n với nhaR chia hết cho 2) Do đó: Uk+1 chia hết Vậy: Un = n3 + 11n chia hết cho ∀n ∈ N* B i ( R 82 S K ĐRi số 2, a ó ấ đẳ R Rứ o )o CRứ R mi R rằ R với mRi số ự Riê ≥ a 3n 쳌 3n + b 2n+1 쳌 2n + Lời giải: a.3n 쳌 3n + (1) + Với n = (1)