Vậy làm thế nào để biết được quy luật tổng quát mà ta đưa ra là đúng đắn, chẳng lẽ ta lại cứ thử tiếp, thử tiếp cho đến khi nào gặp một trường hợp riêng mà kết luận đó không đúng ( nh[r]
(1)Phép quy nạp phương pháp quy nạp tốn học trường phổ thơng 1
Mục ( trang 13 SGK Toán tập I ).Giá tị tuyệt đối số…
Sau đưa định nghĩa giá trị tuyệt đối số, SGK đưa tập ?1 điền vào chỗ trống Để từ phân tích, nhận xét, đưa kết tổng quát:
0 ;
0 ;
khix x khix x
x
Kết công nhận, khơng chứng minh Sau tập vận dụng
Mục ( trang 106 SGK Toán tập I ).Tổng ba góc tam giác
SGK yêu cầu học sinh vẽ hai tam giác bất kỳ, đo tính tổng ba góc tam giác nêu nhận xét Từ đưa dự đốn tổng ba góc tam giác Sau chứng minh dự đốn
Tiếp theo tập vận dụng
Mục ( trang SGK Toán tập I ).Căn bậc hai đẳng thức A
A2
Để dẫn đến định lý: Với số a ta cố: a2 a , SGK yêu cầu học sinh
điền số thích hợp vào bảng:
a -2 -1
a
a
Từ nhận xét, khái qt hố để đưa định lý
Sau phát biểu định lý, SGK chứng minh định lý suy luận chặt chẽ
Sau tập vận dụng
Bên cạnh đó, nội dung ơn luyện Toán cho học sinh giỏi, chuyên đề thiếu chuyên đề: “ Phương pháp quy nạp Tốn học ” Bởi vì, thơng qua việc giảng dạy chuyên đề này, người thầy dạy Toán đã:
1) Cung cấp cho học sinh hướng suy nghĩ việc tìm tịi lời giải toán;
(2)Phép quy nạp phương pháp quy nạp tốn học trường phổ thơng 2
3) Đồng thời qua việc nghiên cứu mệnh đề tốn học bao hàm số vơ hạn trường hợp riêng, mà việc chứng minh chúng cần xét số hữu hạn trường hợp theo lơgic chặt chẽ xác, mở rộng tư lôgic cho em học sinh, giúp em say mê, hứng thú học Toán
II Mục đích đề tài:
Qua nhiều năm trực tiếp giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi cấp bồi dưỡng giáo viên thay sách, tập hợp giảng lại viết chuyên đề nhằm mục đích:
1) Cung cấp số kiến thức phép quy nạp, phép quy nạp hồn tồn, quy nạp khơng hồn tồn, ngun lý quy nạp tốn học
2) Giúp học sinh có thêm số phương pháp để giải số toán Toán học khác
3) Cung cấp thêm số tập hấp dẫn nhiều vẻ, qua củng cố mở rộng thêm kiến thức học
4) Rèn luyện tư duy, phát huy tính sáng tạo gây hứng thú học toán cho học sinh
III Nội dung đề tài: Nội dung đề tài bao gồm:
Phần I Một số sở lý luận
Phần II Vận dụng vào Dạy & Học tốn trường phổ thơng
A Vận dụng phép quy nạp hoàn toàn chứng minh mệnh đề toán học
B Vận dụng phương pháp quy nạp toán học để giải toán Phát quy luật chứng minh quy luật Vận dụng vào giải toán chia hết
3 Vận dụng vào chứng minh đồng thức Vận dụng vào chứng minh bất đẳng thức Vận dụng vào toán hình học C Có thể có cách giải khác?
D Bổ sung: Một số dạng nguyên lý quy nạp Toán học Phần III Hiệu đề tài
(3)Phép quy nạp phương pháp quy nạp tốn học trường phổ thơng 3
Với lý do, mục đích nội dung mong chuyên đề đông đảo đồng chí giáo viên em học sinh tham khảo góp ý kiến xây dựng
Nội dung
Phần I Cơ sở lý luận 1 Quy nạp hồn tồn khơng hồn tồn:
1.1 Danh từ “quy nạp” theo nghĩa dùng để quy luật nhờ mà thu kết luận tổng quát, dựa vào loạt khẳng định riêng biệt
Quy nạp hoàn toàn là mệnh đề tổng quát chứng minh theo trường hợp số hữu hạn trường hợp có
Ví dụ 1.: Chúng ta xác lập :
“ Mỗi số chẵn n khoảng 4;100đều biểu diễn dạng tổng
của số nguyên tố ”
Muốn phân tích: = 2+2
= 3+3 = 5+3 10 = 7+3 12 = 7+5
98 = 93+5 100 = 97+3
Sau thử 49 trường hợp, từ 49 đẳng thức chứng tỏ rằng, thực tế số chẵn khoảng xét biểu diễn duới dạng tổng số nguyên tố
1.2 Quy nạp khơng hồn tồn:
Trong trường hợp kết luận tổng quát rút không dựa kiểm tra tất trường hợp xảy mà sở số đủ lớn trường hợp ta có quy nạp khơng hồn tồn
(4)Phép quy nạp phương pháp quy nạp tốn học trường phổ thơng 4
tồn khối lượng: định luật Lơmơnơxơp phát biểu thừa nhận Lavoadiê kiểm tra đắn với độ xác đủ lớn điều kiện đủ khác
Trong tốn học, quy nạp khơng hồn tồn khơng xem phương pháp chứng minh chặt chẽ, áp dụng hạn chế Bởi mệnh đề tốn học bao hàm số vô hạn trường hợp riêng, người ta tiến hành kiểm tra số vô hạn trường hợp được.Chẳng hạn sau có kết với 49 trường hợp ví dụ 1, ta chưa thể đưa kết luận rằng, số tự nhiên chẵn phân tích thành tổng hai số nguyên tố
Đương nhiên, quy nạp khơng hồn tồn phương pháp “gợi mở” hiệu lực để tìm chân lý Chúng ta tham khảo vài ví dụ
Ví dụ 2 Xét tổng n số tự nhiên lẻ liên tiếp Chúng ta xét trường hợp riêng biệt:
+ với n=1 : 1=1 mà
1 1
+ với n=2 : 1+3=4 mà
2 4
+ với n=3 : 1+3+5=9 mà
3 9
+ với n=4 : 1+3+5+7=16 mà
4 16
+ với n=5 : 1+3+5+7+9=25 mà
5 25
Sau xét số trường hợp riêng này, ta nảy kết luận tổng quát : 1+3+5+7+9+ +(2n-1) =
n (1)
tức : “ tổng n số lẻ liên tiếp n ”
Việc chứng minh kết luận cách chặt chẽ (xem ví dụ 7) chứng tỏ kết luận
Ví dụ 3: Tính tổng lập phương số tự nhiên liên tiếp đầu tiên:
3 3
1 n
Sn
Ta xét trường hợp riêng biệt:
13
S 12
9 13
S (12)2
36 13 3
S
) (
3 3
4 1 2 3 4
S
)
(
Do nảy kết luận tổng quát :
)
( n
Sn (2)
Tất nhiên, điều nhận xét chứng minh đắn công thức (1) hay (2) phần sau, làm quen với phương pháp giúp chứng minh công thức (1) (2)
(5)Phép quy nạp phương pháp quy nạp tốn học trường phổ thơng 5
Ví dụ 4: Khi nghiên cứu hiệu số có chữ số trở lên với số có chữ số viết theo thứ tự ngược lại Trong trường hợp số có chữ số, chữ số ta thấy kết luận hiệu chia hết cho 99 Cụ thể là:
9
ba ab
99
cba abc
Nảy kết luận quy nạp là:
999
dcba abcd
Kết luận sai chẳng hạn ta có: 2231-1322 = 909 khơng chia hết 999
Ví dụ 5: Khi xét số có dạng 22n 1 nhà toán học Fecma nhận xét với n = 1; 2; thu số ngun tố Từ ơng đưa giả thiết tất số có dạng ( với *
N
n ) số nguyên tố Nhưng ơle với n = ta số 232 1 số ngun tố số chia hết cho 641 Điều có nghĩa kết luận nhà tốn học Fecma sai lầm
Ví dụ 6 Xét số Sn n2 n17 với * N
n với trường hợp n = 1, 2, 3; .; 15 ta thấy Sn số nguyên tố
Từ kết luận Sn số nguyên tố với số * N
n hay không? Với n =16 ta số 2
16 16 161717
S S16 khơng phải số nguyên tố, tức kết luận quy nạp Sn số nguyên tố với số nN* sai
2 Phương pháp quy nạp toán học
2.1 Như vậy, quy nạp khơng hồn tồn là đường để dẫn đến phát minh: người ta nghiên cứu số hữu hạn trường hợp riêng để tìm quy luật tổng quát Thế nhưng, ta biết, quy nạp khơng hồn tồn thường dẫn đến kết sai
Vậy làm để biết quy luật tổng quát mà ta đưa đắn, ta lại thử tiếp, thử tiếp gặp trường hợp riêng mà kết luận khơng ( ví dụ 6: thử đến lần thứ 16 ) Và lấy để đảm bảo số lần thử hữu hạn
Trong nhiều trường hợp để tránh khó khăn ta áp dụng phương pháp suy luận đặc biệt gọi “ phương pháp quy nạp toán học”, cho phép thay hình dung tìm tịi theo phương pháp quy nạp khơng hồn tồn chứng minh chặt chẽ
Ví dụ 7 : Xét lại cơng thức (1) ví dụ 2 ) (
1 n n
Sn
Giả sử ta chứng minh cơng thức với n =7, chứng minh công thức với n = 8, ta khơng cần phải tính tổng số hạng đầu tổng :
15 13 11
8
(6)Phép quy nạp phương pháp quy nạp tốn học trường phổ thơng 6
mà ta biết
7 1357911137
S
do viết ngay: 2 2
8 7 157 2.71(71) 8
S
Tổng quát, sau chứng minh công thức với n = k (nghĩa ta có
k
Sk ), ta chứng minh với '
k
n cách: ) ) ( (
' S S k
Sn k k
2 '
) ( ) (
2k k n
k
Có thể sử dụng phương pháp tổng quát sau xét 11
S ;
những việc chuyển từ đẳng thức khác :
2 132
S
2 1353
S ; v v trường hợp riêng phép tính Khái qt điều nói trên, phát biểu quy tắc tổng quát sau: Để chứng minh mệnh đề tổng quát với với số
* N
n , ta cần:
a) Xác lập mệnh đề với n =1
b) Chứng minh mệnh đề với n = k ( * N k ) mệnh đề với n = k+1
Tính hợp pháp phương pháp chứng minh “hiển nhiên” Nhưng “hiển nhiên” khơng phải chứng minh chặt chẽ Người ta chứng minh mệnh đề tổng quát chứng minh xuất phát từ số mệnh đề tổng quát khác, thừa nhận tiên đề Tuy nhiên, thân tiên đề không rõ ràng nguyên lý quy nạp mà trình bày đây, coi ngun lý quy nạp tốn học tiên đề mức độ “ hợp pháp ” ngang
2.2 Nguyên lý quy nạp toán học: Một mệnh đề phụ thuộc vào n ( *
N
n ) coi chứng minh với số n điều kiện sau thoả mãn:
a Mệnh đề với n =
b Từ đắn mệnh đề với số tự nhiên n = k suy đắn với n = k+1
2.3 Ví dụ: Sau xét vài ví dụ sử dụng phương pháp quy nạp tốn học để chứng minh mệnh đề tốn học
Ví dụ 8 Chứng minh rằng:
n n
Sn 13579 (1)n(2 1)(1)n
Giải:
a) Ta có với n1S1 1(1)1.1 Do mệnh đề với n =
b) Giả sử mệnh đề với n = k ( * N
(7)Phép quy nạp phương pháp quy nạp toán học trường phổ thông 7
k k
Sk 13579 (1)k(2 1)(1)k
Ta chứng minh mệnh đề với n = k+1 Nghĩa phải chứng minh: Sk1 13579 (1)k(2k1)(1)k1(2k1)(1)k1.(k1)
Thật vậy, ta có: (1) 1(2 1)
S k
Sk k k
) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 k k k k k k k k k k k
Từ theo ngun lý quy nạp tốn học ta có :
n n
S n n
n 13579 (1) (2 1)(1) với * N n
Ví dụ 9 Chứng minh :
1 ) 1 ) ( 1 ).( 1 ( n n
Sn với *
N n
Giải : a) Với n = 1 ta có
1 1 1 S
=> mệnh đề với n = 1
b) Giả sử mệnh đề với n = k ( * N
k ) tức ta có
1 ) 1 ) ( 1 ).( 1 ( k k Sk
Ta chứng minh mệnh đề với n = k+1 nghĩa là:
2 ) 1 )( 1 ) ( 1 ).( 1 (
1
k k
k Sk
Thật vậy: )
2 1 ( k S
Sk k
2 1 k k k k
Từ theo nguyên lý quy nạp toán học, mệnh đề chứng minh
2.4 Bây đưa số ví dụ áp dụng khơng phương pháp quy nạp tốn học
Ví dụ 10 Xét mệnh đề : “ Bất kỳ tập hợp hữu hạn số tự nhiên gồm toàn số nhau”
Chứng minh: Ta tiến hành quy nạp theo số phần tử tập hợp
a) Với n = 1, mệnh đề hiển nhiên : số ln b) Giả sử mệnh đề chứng minh với tập hợp có k phần tử Lấy tập hợp có k +1 phần tử a1; a2; a3; ;ak;ak1 Theo giả thiết quy nạp ta có a1=a2= =ak, theo giả thiết quy nạp ta có :
2
(8)Phép quy nạp phương pháp quy nạp toán học trường phổ thông 8
từ a1=a2=a3= =ak=ak1
Vậy theo nguyên lý quy nạp toán học suy mệnh đề
* Sai lầm suy luận chỗ chuyển từ k đến k+1 với
k ; chuyển từ n = 1 đến n = bằng suy luận
Ví dụ 11 Mọi số tự nhiên số tự nhiên tiếp sau
Chứng minh: Giả sử mệnh đề với n = k, với * N
k ; tức ta có k = k+1
Ta chứng minh mệnh đề với n = k+1; tức phải chứng minh k+1 = k+2
Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có k = k+1 => k+1 = k+1+1 => k+1 = k+2.
Từ theo ngun lý quy nạp tốn học, mệnh đề với *
N n
Sai lầm suy luận quên kiểm tra định lý có n = 1 không? Ta thấy rõ ràng n = 1 mệnh đề khơng ( 12), ta khơng áp dụng phương pháp quy nạp toán học
Để kết thúc đoạn này, lưu ý bạn nhiều trường hợp cần phải chứng minh mệnh đề khơng phải với tất số tự nhiên mà với n p( *
N
p ) nguyên lý quy nạp trình bày dạng
sau:
Nếu : a) Mệnh đề với n = p;
b) Từ giả thiết mệnh đề với số tự nhiên nk p ta suy mệnh đề với n = k+1.
Thì mệnh đề với tất số tự nhiên n p
(9)Phép quy nạp phương pháp quy nạp tốn học trường phổ thơng 9
a Vận dụng phép quy nạp hoàn toàn trong chứng minh mệnh đề toán học
Một kết tổng quát chứng minh tong trường hợp số hữu hạn trường hợp, vét hết khả xảy kết chứng minh hồn tồn
Ta xét số ví dụ:
Ví dụ 1 Để chứng minh mệnh đề: “ Phương trình ( m – ) x2
– 2( 2m – ) x + 3m = (1) ln có nghiệm với mội giá trị tham số m ”
Ta xét trường hợp:
1) Với m = 1, PT (1) trở thành -2x + = 0; PT có nghiệm x =
2
Như trường hợp m = 1, mệnh đề
2) Với m 1, PT (1) PT bậc hai có '
= ( 2m – )2 –( m – ).3m = m2 –m + > với giá trị m Do PT ( 1) có hai nghiệm phân biệt Nghĩa trường hợp này, PT (1) có nghiệm
Rõ ràng hai trường hợp ta xét hết khả có m Vậy PT (1) có nghiệm với giá trị tham số m
Ví dụ 2 Để chứng minh định lý tính chất góc nội tiếp:
“ Trong đường trịn, số đo góc nội tiếp nửa số đo cung bị chắn ” ( Trang 73 – SGK Toán – Tập II )
Để chứng minh đinh lý này, ta xét trường hợp:
Trường hợp 1, Tâm đường trịn nằm cạnh góc Trường hợp 2. Tâm đường trịn nằm bên góc
Trường hợp 3. Tâm đường trịn nằm bên ngồi góc
Định lý chứng minh trong trường hợp ta nói định lý chứng minh hồn tồn trường hợp vét hết khả co thể xảy
(10)Phép quy nạp phương pháp quy nạp tốn học trường phổ thơng 10
ở phần trước, làm quen với vài ví dụ việc tìm tịi phát quy luật ( ví dụ 2, ví dụ 3)
Sau đưa thêm vài khác, đó, sau phát quy luật, sử dụng nguyên lý quy nạp để chứng minh
Bài tốn 1 Tính tổng Sn 123 n Giải :
* Tìm tịi :
Xét
2 ) 1 ( 1
1
S
2 ) (
2
S
2 ) (
3
S
2 ) ( 4
4
S
* Dự đoán :
2 ) (
n n Sn * Chứng minh dự đoán :
a) Với n = ta có
2 ) 1 (
1
S => dự đoán
b) Giả sử với n = k ta có
2 ) (
k k
Sk * N
k Ta phải chứng minh với n = k+1
2 ) ).( (
1
k k Sk
Thật vậy, ta có
2 ) ( ) (
1
k
k k k
S Sk k
2 ) )( (
) ( ) (
1
k k k
k k Sk
Từ theo ngun lý quy nạp tốn học ta có
2 ) (
n n
Sn với *
N n
tức dự đoán
Bài tốn 2: Tìm cơng thức tính tổng :
2
2 2
) (
1 n
Sn n Giải :
(11)Phép quy nạp phương pháp quy nạp toán học trường phổ thông 11
với n = ta có
2 ) 1 ( ) (
12
1 S với n = ta có
2 ) ( ) (
12
2 S với n = ta có
2 ) ( ) (
12 2
3 S với n = ta có
2 ) ( ) ( 10
12 2
3 S
* Dự đoán :
2 ) ( )
(
n n
Sn n với *
N n
* Chứng minh dự đoán :
a) Với n = mệnh đề b) Giả sử với n = k ( *
N
k ) ta có:
2 ) ( )
(
k k
Sk k
ta phải chứng minh với n = k+1 thì:
2 ) )( ( ) ( k k
Sk k
Thật vật, ta có: + Với k lẻ thì: ) )( ( ) ( ) ).( ( ) ( ) ( ) ( 2 k k k k k k k k S S k k k
+ Với k chẵn thì: ) )( ( ) ( ) ).( ( ) ( ) ( ) ( 2 k k k k k k k k S S k k k
Từ với * N k
ta có
2 ) ( )
(
k k
S k
k
Vậy theo nguyên lý quy nạp toán học thì:
2 ) ( )
(
n n
Sn n với n1 tức dự đoán
2 Vận dụng vào giải toán chia hết :
(12)Phép quy nạp phương pháp quy nạp toán học trường phổ thông 12
b) (10n 18n28)27
Giải :
a) Đặt Sn (4n 15n1)
+ Với n = => S1 41 15.11189 => với n = 1, mệnh đề
+ Giả sử mệnh đề với n = k ( * N
k ) nghĩa ta có
) 15
(
k
Sk k
hay 4k 15k19m(mN) => 4k 9m15k1 (*) với n = k+1 ta có :
9 ) (
14 15 ) 15 (
14 15
1 ) ( 15 1
k m
k k
m k
k S
k k k
tức với n = k+1 mệnh đề
Vậy theo nguyên lý quy nạp ta có: Sn 4n 15n19 b) Đặt Sn 10n 18n28
+ Với n = => S1 027=> mệnh đề
+ Giả sử với n = k ta có Sk27 tức
(*) 28 18 27 10
) ( 27 28 18 10
27 28 18 10
k m
Z m m k
k
k k k
Xét :
27 ) 10 10 ( 27
10 18 ) 28 18 27 ( 10
10 18 10 10
28 ) ( 18 10 1
k m
k k
m k
k S
k k k
nghĩa với n = k +1, mệnh đề
Vậy theo nguyên lý quy nạp toán học ta được: *
27 ) 28 18 10
( n n N
Sn n
Bài toán 4 Chứng minh rằng:
24 ) 11
(n4 n3 n2 n
Pn với
* N n
Giải :
* a) Khi n = 1 mệnh đề
b) Giả sử với n = k ta có : Pk (k4 6k3 11k2 6k)24
(13)Phép quy nạp phương pháp quy nạp toán học trường phổ thơng 13
Vì Pk1 (k4 6k3 11k2 6k)24(k2 1)4(k3 11k) nên chứng minh (k3 11k)6 ta có Pk124
*Xét Sk k 11k
3
a) với k = 1 ta có S1 13 11.1126 => Sk6
b) Giả sử với k = m ta có Sm m3 11m6 ta chứng minh với k = m+1 Sm16
Thật vậy, Sm1 (m1)3 11(m1)m3 11m123m(m1)
vì m3 11m6; 126; 3m(m1)6 ( số m m+1 số tự nhiên liên tiếp phải có số chẵn nên m(m1)2)
Từ Sm16
Theo ngun lý quy nạp tốn học Sk6 với * N k
Vậy Pk124, tức theo nguyên lý quy nạp toán học ta có : 24
) 11
(
n n n n
Pn
3 Vận dụng vào việc chứng minh đồng thức Bài toán 5 Chứng minh rằng:
1
1
1
2
x x x x
x x S
n n
n (1) với giá trị x1 Giải: a) Ta có
1 1
2
1
x x x
S với x1
do đẳng thức (1) với n = b) giả sử ta có
1
1
1
2
x x x x
x x S
k k
k (2)
ta chứng minh :
1
1
2
3
1
x x x x x
x x S
k k k
k (3)
Thật vậy, ta có 1
k k
k S x
S
1 1
1
2
1
x x
x x
x k
k k
Do theo ngun lý quy nạp đẳng thức (1) ln với * N n
;
1
x
Bài toán 6 Chứng minh với tất giá trị có x, đồng
(14)Phép quy nạp phương pháp quy nạp toán học trường phổ thông 14 ) ( 1 ) ( ) ( )
( 2 2 2 2 2
n x x x x x x x x x
Sn n n n n n (1)
Giải : Ta phải chứng minh (1) với * N n
, x0 x1 a) Với n = 1 => ( )
1 )
1
( 2 2
1
x x x x x
S => với n=1 (1)
b) Giả sử với n = k thì (1) đúng, nghĩa là:
1 ) ( 1 ) ( ) ( )
( 2 2 2 2 2
k x x x x x x x x x
Sk k k k k k
Ta chứng minh đó: ) ( ) ( 1 ) ( ) ( ) ( ) ( 2 2 1 2 2 k x x x x x x x x x x x S k k k k k k k
Thật ta có:
1
1 )
1
(
k
k k k x x S S ) ( ) ( ) ( ) ( 1 2 2 4 4 1 2 k x x x x x x x x x k x x x k k k k k k k k
=> ( ) 2( 1) 1 2 2
1
k x x x
Sk k k
tức (1) với n = k+1
Vậy theo ngun lý quy nạp tốn học đồng thức (1) với *
N n
, x0 x1
Bài toán 7 Chứng minh :
27 10 10 333 33
1
n
S
n
nchuso
n (1)
Giải: a) Với n = 1 ta có 27 10 10 S
=> công thức (1) với n = 1 b) Giả sử
27 10 10 333 33
1
k
S
k kchuso
k (2)
ta có 27 10 10 333 333 33 1 k S k chuso k kchuso
(15)Phép quy nạp phương pháp quy nạp toán học trường phổ thông 15
27
10 ) ( 10
27
10 ) 9 ( 10 10
9 10 27
10 10
) 10 10 10 ( 27
10 10
3 333
2
1
1
1 ) (
k k
k k S
k k
k k
k k
chuso k k
Do theo nguyên lý quy nạp tốn học ta có: 27
10
10 333
33
1
n
S
n nchuso
n
4 Vận dụng vào chứng minh bất đẳng thức : Bài toán 8 Chứng minh 2n 2n1 với nN;n
Giải:
a) Khi n = 3 bất đẳng thức (1) 23 2.31
b) Giả sử với n k 3 ta có 2k 2k1(2) ta phải chứng minh 2k1 2(k1)1 (3)
Thật ta có 2k1 2.2k 2.(2k1)1 (áp dụng (2))
) ( ) (
k
k k
(vì 2k 1 với k 3;kN) => bất đẳng thức (3)
Vậy theo ngun lý quy nạp tốn học thì: 2n 2n1 với nN;n3
Bài toán 9: Chứng minh bất đẳng thức sau với * N n
:
1
1 1
1
n n n
n (1)
(vế trái bất đẳng thức (1) tổng phân số mà mẫu số tăng liên tiếp từ n+1 đến 3n+1; ví dụ với n = bất đẳng thức (1) có dạng:
1 10
1
1
n +1 = 3+1 = 4; 3n+1 = 3.3+1 = 10)
Giải :
a) Khi n = 1 ta có bất đẳng thức :
(16)Phép quy nạp phương pháp quy nạp toán học trường phổ thông 16
b) Giả sử với n = k ta có:
1
1 1
1
k k
k k
Sk
(2)
Ta chứng minh với n = k+1 có: 1 ) (
1
3
1
k k
k
Sk (3)
Thật ta có :
) 1
1 3
1
1 ( )
1 1 (
1
k k
k k
k k
k Sk
) )( )( (
2
k k
k Sk
do theo (2) : Sk 1 => (3)
Vậy theo nguyên lý quy nạp tốn học thì:
1
1 1
n n
n n
Sn với *
N n
5 Vận dụng vào tốn hình học
Bài tốn 9: Chứng minh n đường thẳng khác mặt
phẳng qua điểm chia mặt phẳng 2n phần
Giải:* Với n = mệnh đề khẳng định đúng, đường thẳng chia mặt phẳng phần
* Giả sử mệnh đề với n = k đó, nghĩa với k đường thẳng khác qua điểm chia mặt phẳng thành 2k phần
Để chứng minh mệnh đề với k + đường thẳng, ta nhận xét dựng đường thẳng thứ k + 1, qua điểm cho khơng trùng với đường thẳng tạo thêm phần mặt phẳng; số phần mặt phẳng tạo k + đường thẳng khác qua điểm 2k + = ( k + )
Theo ngun lý quy nạp tốn học mệnh đề với số tự nhiên n khác
Bài tốn 10: Cho n hình vng Chứng minh ta cắt
chúng thành số phần để từ phần ghép lại thành hình vng
Giải: * Với n = mệnh đề hiển nhiên
* Với n = ta chứng minh mệnh đề
(17)Phép quy nạp phương pháp quy nạp toán học trường phổ thông 17
cắt ghép thành hình vng Xét k + hình vng: V1, V2, …, Vk-1, Vk,
Vk+1 Ta lấy hình vng số k + hình vng này, chẳng hạn Vk,
Vk+1 Theo ta cắt ghép thành hình vng V’; ta có k
hình vng V1, V2, …, Vk-1, V’ Theo giả thiết quy nạp, từ k hình vng ta
có thể cắt ghép lại thành hình vng
Vậy mệnh đề với n = k + Theo ngun lý quy nạp tốn học mệnh đề với n hình vng
Bài tốn 11: Trong mặt phẳng cho n điểm, tất không nằm đường thẳng Chứng minh tất đường thẳng nối điểm điểm cho tạo số đường thẳng không nhỏ n
Giải: * Với n = 3, mệnh đề hiển nhiên đúng: với điểm không thẳng hàng, nối đôi lại với tạo đường thẳng khác
* Giả sử mệnh đề với n = k điểm Ta chứng minh với k + điểm Ta nhận thấy có đường thẳng chứa điểm Ak Ak+1 chẳng hạn
+ Nếu điểm A1, A2, ,,,,; Ak+1 , Ak nằm đường
thẳng ( đường thẳng d chẳng hạn ) số đường thẳng k + ( k đường thẳng nối Ak+1 với n điểm A1, A2, ….,; Ak-1, Ak đường thẳng d )
+ Nếu A1, A2,…; Ak-1, Ak không nằm đường
thẳng theo giả thiết quy nạp ta có k đường thẳng khác từ k điểm này; Ngoài ta có đường thẳng nối Ak+1 với điểm A1, A2, ; …; Ak-1, Ak ,
đường thẳng AkAk+1 không chứa điểm điểm A1, A2, ; …; Ak-1
nên đường thẳng AkAk+1 khác đường thẳng nối Ak+1+ với điểm A1, A2, …;
Ak-1 Từ số đường thẳng tạo không nhỏ k +
Vậy mệnh đề với n = k + Theo nguyên lý quy nạp tốn học mệnh đề với n
Bài toán 12: Chứng minh tổng góc n-giác lồi
( n – ) 1800
Giải: * Với n = 3, mệnh đề hiển nhiên đúng: Tổng góc tam giác ( – ).1800
= 1800
* Giả sử mệnh đề tất k-giác, với k < n Ta chứng minh với n – giác.Ta nhận thấy n – giác chia thành đa giác đường chéo, số cạnh đa giác m + số cạnh đa giác n – m + số nhỏ n Do tổng góc đa giác tương ứng ( m – ).1800
( n – m - ) 1800 Khi tổng góc n – giác tổng góc đa giác đó, tức bằng: ( m – + n – m - ).1800 = ( n – ) 1800
(18)Phép quy nạp phương pháp quy nạp toán học trường phổ thơng 18
C có cách khác hay không ?
Một kết luận chứng minh phương pháp quy nạp toán học, chứng minh phương pháp khác đó, ngắn gọn hơn, hay phương pháp quy nạp tốn học
Ta xét vài ví dụ: 1) Xét lại toán trên:
Chứng minh :
27 10 10 333 33
1
n
S
n
n
n
Giải: 27 10 10 10 10 ) ( 10 10 ) ( ) 10 10 10 ( ) 10 10 10 ( ) 999 99 ( 1 1 2 n n n n S n n n n n n -> đpcm
2) Chứng minh:
1 15
2 n n n
Sn
Giải: Xét với k;k 1 có:
) 1 ( ) )( ( 1
2 k k k k
k
Từ với k = 1, ta có: 1 1
k = 2, ta có: 1 15
k = 3: 1 35 ………
k = n:
1 2 1 n n n
Cộng đẳng thức với nhau, ta được:
1 15
2 n n n
(19)Phép quy nạp phương pháp quy nạp tốn học trường phổ thơng 19
-> đpcm
3) Chứng minh
1 ) )( (
1
5
1
1
n n n
n Sn
Giải: Xét với k;k 1 có:
)
1
1 ( ) )( (
1
k k k
k
Từ đó: với k = 1, ta có:
4 1
1
k = 2, ta có:
7
1
k = 3: ta có:
10 10
1
………
k = n:
1
1 ) ).( (
1
n n
n n
Cộng đẳng thức với nhau, ta được:
1 ) )( (
1
5
1
1
n n n
n
Sn
-> đpcm
Tuy nhiên, phương pháp quy nạp tốn học phương pháp có nhiều ưu điểm trội giải lớp tốn thuộc dạng khác nhau, phân môn Số học, Đại số Hình học phần
D bổ xung: Một số dạng nguyên lý quy nạp toán học
Chúng ta xét số dạng nguyên lý quy nạp khác, phát biểu dạng cácc định lý định lý Sau định lý chúng tơi tuyển chọn số tốn minh hoạ
Định lý 2. Cho p số nguyên dương dãy mệnh đề P(1); P(2); …; P(n); …
Nếu: A) P(1); P(2); …; P(p) mệnh đề
B) Với số tự nhiên k p mệnh đề P(k-p+1); P(k-p+2); …; P(k) dúng, suy mệnh đề P(k+1)
Thì mệnh đề P(n) với số ngun dương n
Chứng minh định lí hồn tồn lặp lại định lí 1.1 Sau ta xét số ví dụ sử dụng dạng định lí 2.1
(20)Phép quy nạp phương pháp quy nạp tốn học trường phổ thơng 20
Bài toán 2.1 Cho v0 2,v1 3 với số tự nhiên k có đẳng thức sau vk1 3vk 2vk1 chứng minh vn 2n 1
Giải: Bước sở: Với n=0 n=1 kết luận toán đúng, điều kiện cho
Bước quy nạp: Giả sử 2 1; 2 1
k k
k
k v
v
1 ) ( ) (
3 1
1
k k k k v
Theo ngun lí quy nạp tốn học dạng định lí 2.1, suy vn 2n 1đúng với số tự nhiên n
Bài toán 2.2 Cho x1 x2là nghiệm phương trình 27 14
x
x ; n
số tự nhiên Chứng minh tổng n n n x x
S 1 2không chia hết cho 715 Giải: Theo công thức Viet x1 x2 27;x1x2 14
Bước sở: Các số S1 7;S2 (x1x2)2 2x1x2 701
( ) 27.687
)
(
2 2
3 x x x x x x
S không chia hết cho 715 Suy mệnh đề toán với n=1, 2,
Bước quy nạp: Giả sử mệnh đề với n=k-2, n=k-1, n=k ta tính
) ( 378 ) ( 715 ) ( ) ( ) )( ( ) ( ) ( ) )( ( 2 1 1 1 2 2 1 1 2 1 1 2 1 1 k k k k k k k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
Do
2 1
k k
x
x khơng chia hết cho 715, 378 khơng chia hết cho 715, nói cách khác mệnh đề với n=k+1
Bài toán 2.3 Chứng minh với số thực x > số tự nhiên n bất đẳng thức sau 2 4 14 12 n1
x x
x x
x
xn n n n n n
Giải: 1a) Với n=1 bất đẳng thức (2.1) có dạng 1 2
x
x (2.2) bất đẳng thức (2.2) suy từ bất đẳng thức hiển nhiên: (x1)2 0
1b) Với n=2 bất đẳng thức (2.1) có dạng 1 12 3
x
x (2.3)
Bất đẳng thức (2.2) với giá trị x > nên cho x2
Do ta có 12 2
x
x ; từ suy (2.3)
2) Giả sử bất đẳng thức (2.1) với n=k, với k số tự nhiên đó; tức ta có: 2 4 14 12 k1
x x x
x x
xk k k k k k (2.4)
(21)Phép quy nạp phương pháp quy nạp tốn học trường phổ thơng 21
3
1
2 2
2
2
k x x x
x x
xk k k k k k (2.5)
Thật vậy, (2.2) thê x k2
x ta nhận k2 1k2 2
x
x (2.6)
Cộng vế tương ứng bất đẳng thức (2.4) (2.6), ta có (2.5) Tóm lại:
Bước sở: Trong 1a) 1b) ta chứng minh bất đẳng thức cho n=1 n=2
Bước quy nạp: Trong 2) ta chứng minh từ giả thiết (2.1) với n=k suy với n=k+2 Kết là:
+ Từ 1a) 2) cho ta khẳng định bất đẳng thức (2.1) với số lẻ n
+ Từ 1b) 2) cho ta khẳng định bất đẳng thức (2.1) với số chẵn n
Như vậy, bất đẳng thức (2.1) với số tự nhiên n Định lý Cho dãy mệnh đề P(1); P(2); …; P(n); …
Nếu: A) P(1) mệnh đề
B) Với số tự nhiên n mệnh đề P(1); P(2); …; P(k) dúng, suy mệnh đề P(k+1)
Thì mệnh đề P(n) với số nguyên dương n
Dạng khác với dạng trước giả thiết mạnh bước quy nạp Ta giả thiết tất khẳng định P(1), P(2),…,P(k) suy P(k+1) Dễ dàng chứng minh hai cách phát biểu định lý 1.1 định lí 2.2 tương đương Nhưng thực tế áp dụng vào toán cụ thể dùng định lí 2.2 dễ dàng giải
Bài toán 3.1 Chứng minh x
x1 số nguyên n n x
x số nguyên với số tự nhiên n
Giải:Bước sở: Khi n=1 mệnh đề hiển nhiên
Bước quy nạp: Giả sử với số tự nhiên từ đến k, k k x x số nguyên Ta cần chứng minh 11
k k
x
x số nguyên Thật ( 1)( ) ( 11)
1
k k k k k
k
(22)Phép quy nạp phương pháp quy nạp toán học trường phổ thông 22
Theo giả thiết biểu thức x
x1 , k k x
x , 11
k k
x
x biểu diễn số nguyên Vậy 11
k k
x
x số nguyên
Bài toán 2.3 Chứng minh số tự nhiên lớn biểu diễn
dưới dạng tích số nguyên tố
Giải:Bước sở: Hiển nhiên mệnh đề với số nguyên tố, trường hợp đặc biệt n=2
Bước quy nạp: Giả sử mệnh đề với số tự nhiên k, mà
n k
2 Nghĩa số 2k n biểu diễn dạng tích thừa số
nguyên tố Ta xét hai trường hợp
1) Nếu n số nguyên tố mệnh đề
2) Nếu n hợp số theo định nghĩa hợp số tồn hai số nguyên n
n1 n2 n cho nn1n2 Theo giả thiết quy nạp n1 n2đều biểu
diễn thành tích số nguyên tố Do suy n biểu diễn thành tích số nguyên tố
Phần Iii Hiệu đề tài I Một số kiểm tra:
Chúng tơi chọn số tốn để bạn tự kiẻm tra sau nghiên cứu chuyên đề này, lấy làm đề kiểm tra cho học sinh
Bài số 1:
Phương án 1: 1) Chứng minh
2n n với số tự nhiên n5 2) Chứng minh rằng: (2n5.34n 52n1)37 với
N n
Phương án 2: 1) Chứng minh với số dương a; b bất đẳng thức sau với *
N n
2n1.(an bn)(ab)n
2) Chứng minh rằng: (7n2 82n1)57 với
N n
Bài số 2:
Phương án 1 1) Chứng minh rằng:
1 ) )( (
1
10
1
1
1
n n n
n Sn
(23)Phép quy nạp phương pháp quy nạp toán học trường phổ thông 23 ) )( ( ) ( ) )( )( ( 1 n n n n n n n
Phương án :
1) Chứng minh rằng:
1 ) )( ( 13 9 5 1 n n n n Sn
2) Chứng minh rằng:
) ( ) ( ) )( ( 3
12 2
n n n n n n
Bài số 3: 1) Chứng minh : (52n12n4 2n1)3 với
N n
2) Chứng minh với số tự nhiên n, đồng thức sau đúng: ) ( ) ) ( )(
(n n nn n n
3) Chứng minh bất đẳng thức sau với n2;nN
nx x n
)
1
( với x > -1
Bài số 4 1) Chứng minh với nN: (2n2.3n 5n4)25 2) Chứng minh rằng:
12 ) )( )( ( ) (
2 n n2 n n n n 3) Chứng minh với số tự nhiên n2 ta có:
24 13 1
1
n n
n
Bài số 5 1) Chứng minh rằng:
1 2 2 1 1 n n x x x x x x n n
với x 1 2) Chứng minh với số tự nhiên n2:
1 n n
n
3) Tìm cơng thức tính tổng:
n Sn 123456 (1)n1
II Hiệu đề tài: 1) Kết kiểm tra:
Tôi chọn kiểm tra cho em sau học xong chuyên đề ( tuỳ theo mức độ khối lớp ):
Khối 6, 7: Kiểm tra 20 em Kết quả:
Tổng số Điểm - 10 Điểm – 8,5 Điểm – 6,5 Điểm <5
(24)Phép quy nạp phương pháp quy nạp toán học trường phổ thông 24
Khối 8,9: Kiểm tra 20 em Kết quả:
Tổng số Điểm - 10 Điểm – 8,5 Điểm – 6,5 Điểm <5
20 9
2) Việc thực thường xuyên phép quy nạp học khố làm cho học sôi hơn, học sinh thich thú Bản thân giáo viên phấn khởi, bỏ tâm lý cho sách giáo khoa qua tải, tập trung vào việc khai thác SGK gắn với việc cải tiến phương pháp giảng dạy
3) Bên cạnh việc thực chuyên đề nâng cao HSG góp phần bồi dưỡng đội ngũ HSG mơn Tốn trường thành phố đạt thành tích cao Cụ thể:
Học sinh giỏi cấp Tỉnh:
+ Của trường: có 01 em đạt giải nhì;
+ Của thành phố: 10 em, cố 4/7 giải nhì; 5/14 giải ba giải khuyến khích ( tồn tỉnh khơng có giải )
Kết luận
I Kết luận chung:
Việc thực chuyên đề “ Phép quy nạp phương pháp quy nạp toán học trường phổ thông” thu kết khích lệ, cụ thể là:
1 Giáo viên học sinh có nhận thức đắn phép quy nạp, phân biệt phép quy nạp hoàn tồn chưa hồn tồn Từ có cải tiến phương pháp dạy phương pháp học
(25)Phép quy nạp phương pháp quy nạp tốn học trường phổ thơng 25
bài học lớp khố, giúp cho học sinh động hơn, hấp dẫn hiệu hơn, em phối hợp với giáo viên việc giúp đỡ bạn học sinh yếu vươn lên
II Bài học sư phạm:
1) Muốn cải tiến, đổi phương pháp giảng dạy, người giáo viên cần phải tự học, tự bồi dưỡng để nắm vững kiến thức bản, có hệ thống Đồng thời cần nắm vững chương trình – SGK tài liệu vừa có tính pháp quy, vừa mang tính linh hoạt q trình sử dụng tuỳ theo trình độ học sinh Một đường thực chuyên đề chuyên sâu, có tác dụng xun suốt chương trình – SGK, đồng thời có phần nâng cao cho đối tượng HS giỏi chuyên đề mà thể
2) Đối với em học sinh cần rèn cho em kỹ năng, phương pháp tự học Muốn cần phải hướng dẫn em thường xuyên, cụ thể, phải làm cho em hiểu rõ SGK, phải giao việc cho em tuỳ trình độ khả năng, từ thấp đến cao Tôi thường động viên em: “ Không biết phải học, học phải biết, biết phải thạo, có thành thạo dẫn đến sáng tạo, mà có sáng tạo có thành cơng” Việc rèn cho học sinh khả tự học vừa phải mục đích vờa phương tiện việc đổi phương pháp dạy học
III Một số ý kiến đề xuất
1) Mỗi giáo viên cần nắm chắc, có hệ thống kiến thức chương trình – SGK hành
2) Việc rèn cho học sinh khả tự học trình khó khăn, địi hỏi giáo viện phải kiên trì, bền bỉ thực thường xuyên
3) Đối với cấp quản lý giáo dục cần đổi nội dung thực chuyên đề cải tiến phương pháp giảng dạy,
(26)Phép quy nạp phương pháp quy nạp toán học trường phổ thơng 26
Do thời gian có hạn khả cịn hạn chế bên khơng tránh khỏi thiếu sót, mong góp ý, động viên khích lệ cấp quản lý anh em đồng chí, đồng nghiệp để đề tài ngày hồn thiện Chúng tơi xin chân thành cám ơn
Hồ Bình, tháng năm 2008
Người viết