TÀI LIỆU TỔNG HỢP LỊCH SỬ CÁC PHÂN MÔN TOÁN HỌC VÀ ỨNG DỤNG VÀO VIỆC DẠY HỌC Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG

LỜI MỞ ĐẦUToán học đã hình thành và phát triển song song với sự phát triển của con người. Như chúng ta đã biết, Toán học đóng vai trò vô cùng quan trọng trong các lĩnh vực của đời sống con người.Từ xa xưa, Toán học bắt đầu chỉ là tính toán đơn giản trong trao đổi hàng hoá rồi phát triển dần đến những phân môn chuyên nghiên cứu sâu rộng như hiện nay, khi đó Toán học đã phải trải qua một quá trình phát triển lâu dài với nhiều biến đổi trong sự phấn đấu không mệt mỏi của các nhà Toán học. Chẳng những nghiên cứu Toán học, việc nghiên cứu lịch sử Toán học cũng hết sức cần thiết cho người học Toán, đặc biệt là giáo viên dạy Toán. Bên cạnh việc nâng cao trình độ bản thân, chúng ta còn có thể “thổi hồn vào con số” vận dụng sự hiểu biết về lịch sử hình thành và phát triển của Toán học để gây hứng thú môn học cho học sinh, để toán học không còn là môn học khô khan nữa mà nó sinh động, thực tế và gần gũi hơn. Ngoài ra, nó cũng góp phần vào việc dựng xây nền tảng vững chắc cho các em, giúp các em có niềm tin, cố gắng và tự tin thực hiện ước mơ của mình.

TÀI LIỆU TỔNG HỢP

LỊCH SỬ CÁC PHÂN MÔN TOÁN HỌC

VÀ ỨNG DỤNG VÀO VIỆC DẠY HỌC

Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG

LỜI MỞ ĐẦU

Toán học đã hình thành và phát triển song song với sự phát triển của con người.Như chúng ta đã biết, Toán học đóng vai trò vô cùng quan trọng trong các lĩnh vực củađời sống con người

Từ xa xưa, Toán học bắt đầu chỉ là tính toán đơn giản trong trao đổi hàng hoá rồiphát triển dần đến những phân môn chuyên nghiên cứu sâu rộng như hiện nay, khi đóToán học đã phải trải qua một quá trình phát triển lâu dài với nhiều biến đổi trong sựphấn đấu không mệt mỏi của các nhà Toán học Chẳng những nghiên cứu Toán học,việc nghiên cứu lịch sử Toán học cũng hết sức cần thiết cho người học Toán, đặc biệt

là giáo viên dạy Toán Bên cạnh việc nâng cao trình độ bản thân, chúng ta còn có thể

“thổi hồn vào con số” vận dụng sự hiểu biết về lịch sử hình thành và phát triển củaToán học để gây hứng thú môn học cho học sinh, để toán học không còn là môn họckhô khan nữa mà nó sinh động, thực tế và gần gũi hơn Ngoài ra, nó cũng góp phầnvào việc dựng xây nền tảng vững chắc cho các em, giúp các em có niềm tin, cố gắng

và tự tin thực hiện ước mơ của mình

Trong quá trình tổng hợp tài liệu này tôi đã nhận được sự đóng góp ý kiến củaPGS.TS Nguyễn Phú Lộc và những đóng góp của các học viên lớp LL&PPDH Bộmôn Toán khoá 22 trường Đại học Cần Thơ Tôi xin chân thành cám ơn

MỤC LỤC

Chương 1 : ĐẠI SỐ 1 1.1 GIỚI THIỆU TỔNG QUAN 1

1.1.1 Khái niệm số học 1

1.1.2 Khái niệm đại số 1

1.1.3 Nguồn gốc của đại số 1

1.3 CÁC GIAI ĐOẠN PHÁT TRIỂN CỦA ĐẠI SỐ 5

1.3.1 Đại số trong giai đoạn phát sinh 5

1.3.2 Đại số trong giai đoạn toán học sơ cấp 8

1.3.3 Đại số trong giai đoạn toán học cao cấp cổ điển 10

1.3.4 Đại số trong giai đoạn toán học hiện đại 11

1.4 MỘT SỐ NHÀ TOÁN HỌC TIÊU BIỂU 13

1.4.12 Cardano 15

1.4.13 Francois Viete (1540 -1603) 15

1.4.14 Leonhard EULER (15.04.1707 – 18.09.1783) 16

1.4.15 Joseph Louis LAGRANGE 16

1.4.16 Gottfried Wihelm LEIBNITZ (01.07.1646 – 14.11.1716) 17

1.5 ỨNG DỤNG VÀO DẠY HỌC TOÁN 21

1.5.1 Giới thiệu bài 21

1.5.2 Áp dụng vào tiết giải bài tập ôn tập chương số phức 21

Chương 2 GIẢI TÍCH 22 2.1 LỊCH SỬ PHÁT TRIỂN CỦA GIẢI TÍCH TỪ THẾ KỶ XVIII ĐẾN NAY 22 2.2 MỘT SỐ NHÀ TOÁN HỌC TIÊU BIỂU 23

2.3.2 Bài toán cổ hình thành khái niệm nguyên hàm 29

2.3.3 Một số tình huống dạy học PT: 29

2.3.4 Tổ chức hoạt động ngoại khóa 30

Chương 3 : HÌNH HỌC GIẢI TÍCH 32 3.1 TỔNG QUAN VỀ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH 32

3.1.1 Cốt lõi của hình học giải tích32

3.1.2 Ý nghĩa sự ra đời của hình học giải tích 33

3.2 LỊCH SỬ PHÁT TRIỂN CỦA MÔN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH 33

3.2.1 Giai đoạn I: (thời cổ Hi Lạp) 34

3.2.2 Giai đoạn II: (thế kỷ XIV) 34

3.2.3 Giai đoạn III: (thế kỷ XVII) 35

3.3 MỘT SỐ NHÀ TOÁN HỌC TIÊU BIỂU 35

3.3.1 Apollonius (262-180 TCN) 35

3.3.2 Nicole Oresme (1323 – 11.7.1382) 36

3.3.3 René Descartes (1596 – 1650) 36

3.3.4 Pierre De Fermat (1601 – 1665) 36

3.4 ỨNG DỤNG VÀO DẠY HỌC TOÁN PHỔ THÔNG 37

3.4.1 Tổ chức dạy học bài mới 37

3.4.2 Tổ chức hoạt động ngoại khóa bộ môn toán 40

3.4.3 Cung cấp phương pháp giải toán 41

Chương 4 : LỊCH SỬ HÌNH HỌC SƠ CẤP 54 4.1 LỊCH SỬ TỔNG QUÁT CỦA HÌNH HỌC SƠ CẤP 54

4.1.1 Giai đoạn phát sinh 55

4.1.2 Giai đoạn toán học sơ cấp 58

4.2.8 Heron (10 - 75) 70

4.2.9 Menelaus (70 - 130) 71

4.3 ỨNG DỤNG 73

4.3.1 Tổ chức một buổi sinh hoạt ngoại khóa: Tìm hiểu lịch sử toán 73

4.3.2 Một số bài toán áp dụng vào thực tiễn 73

Chương 5 : XÁC SUẤT THỐNG KÊ 75 5.1 LỊCH SỬ XÁC SUẤT THỐNG KÊ 75

5.1.1 Giai đoạn đầu (từ thời trung đại (Moyen-age) đến nửa đầu thế kỷ XVII):nhu cầu tính toán các cơ hội 75

5.1.2 Giai đoạn thứ hai (từ nửa sau thế kỷ XVII đến cuối thế kỷ XIX): vấn đềtính xác suất của các biến cố đồng khả năng và không đồng khả năng79

5.1.3 Giai đoạn thứ ba (từ đầu thế kỷ XVIII đến cuối thế kỷ XIX): Sự nảy sinhcác tiếp cận “thống kê” của xác suất và định nghĩa xác suất của Laplace 83

5.1.4 Giai đoạn thứ tư (thế kỷ XX): Giai đoạn toán học hiện đại và vấn đề tiên

đề hóa lý thuyết xác suất 88

5.2 MỘT SỐ NHÀ TOÁN HỌC TIÊU BIỂU 91

5.2.10 Pierre Simon Laplace (1749 - 1827) 98

5.3 MỘT SỐ SỰ KIỆN CỦA LỊCH SỬ LÝ THUYẾT XÁC SUẤT 99

5.3.1 Những vấn đề về XSTK xuất hiện trong Thế kỷ thứ 17: 100

5.3.2 Những vấn đề về XSTK xuất hiện trong Thế kỷ thứ 18: 104

5.3.3 Những vấn đề về XSTK xuất hiện trong Thế kỷ thứ 19: 107

5.4.1 Câu chuyện thoát chết 110

5.4.2 Chiến công thần kỳ 111

5.4.3 Bốc thăm trước và bốc thăm sau cái nào có lọi hơn 112

5.4.4 Oẳn tù tì (Đấm-Lá-Kéo) có phải là 1 trò chơi công bằng không? 1135.4.5 Cuộc đấu tay ba 115

5.4.6 Trò chơi mở ô cửa nào? 115

5.4.7 Có nên mua số đề hay không? 117

5.4.8 Đếm số cá trong hồ 118

5.4.9 Chia giải thưởng như thế nào cho công bằng 119

Chương 6: SỐ PHỨC 120 6.1 TỔNG QUAN VỀ LỊCH SỬ HÌNH THÀNH VÀ PHÁT TRIỂN CỦA SỐ PHỨC 120

6.1.1 Giai đoạn 1: Giai đoạn “Cách viết trung gian” 120

6.1.2 Giai đoạn 2: Kí hiệu hình thức các đại lượng ảo 122

6.1.3 Giai đoạn 3: Biểu diễn hình học các đại lượng ảo 124

6.1.4 Giai đoạn 4: Đại số các số phức 126

6.2 MỘT SỐ NHÀ TOÁN HỌC TIÊU BIỂU 128

6.3.3 Năm 1722, Abraham De Moivre (1667 - 1754) tìm ra công thức De

6.3.4 Năm 1735, Leonhard Euler (1707-1783) tìm ra đồng nhất thức Euler 146

6.4 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA SỐ PHỨC TRONG DẠY HỌC TOÁN PHỔ THÔNG 146

6.4.1 Ứng dụng số phức trong lượng giác 146

6.4.2 Ứng dụng số phức trong tổ hợp 147

6.4.3 Ứng dụng số phức trong giải hệ phương trình đại số 149

6.4.4 Ứng dụng số phức trong hình học phẳng 151

Chương 7 PHỤ LỤC MỘT SỐ NHÀ TOÁN HỌC TIÊU BIỂU 154

Chương 8 TÀI LIỆU THAM KHẢO 224

Chương 1 : ĐẠI SỐ 1.1 GIỚI THIỆU TỔNG QUAN

1.1.2 Khái niệm đại số

Đại số là một ngành toán học nghiên cứu một cách trừu tượng hệ thống số đếm

và các phép tính giữa chúng, bao gồm cả một số chủ đề cao cấp như lý thuyết nhóm,vành, trường, lý thuyết bất biến

Đại số được xem như là ngành toán học mở rộng hóa và trừu tượng hóa của bộmôn số học Trong Đại số, biến Số được dùng đại diện cho một số Biến Số được biểuthị bằng ký tự trong mẩu tự {A - Z} Thí dụ A có thể dùng để đại diện cho bất kỳ số 0– 9

1.1.3 Nguồn gốc của đại số

Nguồn gốc của đại số được tìm thấy trong các nền văn minh của người Babylon

và Ai Cập cổ đại, là những người sử dụng đại số để giải các phương trình bậc hai, bậc

ba và bậc bốn hơn 4.000 năm trước

Khoảng năm 200 nhà toán học Hy Lạp Diophantus,

thường được nhắc tới như là "cha đẻ của đại số", đã viết

cuốn sách nổi tiếng của mình Arithmetica, là một công trình

đưa ra lời giải của các phương trình đại số và về lý thuyết

số

Từ tiếng Anh của “Đại số” là “Algebra” có nguồn gốc

từ tiếng Ả Rập Al-Jabr và điều này xuất phát từ tên sách

Kitâb al-muḫtasar fi hisâb al-jabr wa-l-muqâbala được viết năm 820 của nhà toán học thời trung cổ Ba Tư Muhammad ibn Musa al-Khwârizmi Tên của tác giả Al-

1.2 SƠ LƯỢC CÁC HỆ THỐNG SỐ

1.2.1 Cách đếm nguyên thủy

Theo các nhà nghiên cứu, nhân loại biết suy nghĩ vào khoảng 40.000 năm trướccông nguyên (người Neandertal) Đồng thời tư duy toán học của con người được hìnhthành đầu tiên có thể nhờ các phép đếm thô thiển, các khái niệm ban đầu về hình học.Xuất phát từ nhu cầu cuộc sống mà số và phép đếm ra đời, chẳng hạn do nhu cầu kiểmtra sỉ số đàn cừu của các bộ lạc Số và phép đếm phát triển trước khi có nền văn minh

cổ đại, cụ thể là từ khi con người biết ghi chép

Phép đếm sớm nhất là phép tương ứng một – một Khi đếm một đàn cừu, chẳnghạn, thì mỗi con cừu ứng với một ngón tay, hay bằng viên đá, hoặc một thanh que, mộtvết vạch trên mặt đất, bằng một cái nút trên sợi dây,…Đồng thời, họ còn nhận biếtđược khái niệm về cặp, ví dụ như một cặp chân, một đôi mắt, hai bàn tay, …

Ở thuở ban đầu, con người mỗi khi đếm đều gắn liền với tên vật hay đồ vật đikèm, chẳng hạn, một con cừu, hai mũi tên,… Về sau do sự phát triển của ngôn ngữcon người biết dùng các từ để gắn cho một số nhỏ đồ vật Ngoài ra, con người còn biếttrừu tượng hóa trong quá trình đếm bằng cách bỏ đi tên vật hay đồ vật theo sau số đếm

mà chỉ còn: một, hai, ba,

Con người ngày nay kể cả người thượng cổ xa xưa nhất họ đều có nét chung làcảm giác được số Tức là họ nhận biết thế nào là nhiều hơn hoặc ít hơn, thế nào làthêm bớt một nhóm nhỏ đồ vật Từ thời Tiền sử vật được quan sát bằng mắt là trungtâm chú ý của con người và khi vật khuất mắt thì cái hiện ra trong đầu là hình ảnh củavật chứ không phải số

Để mở rộng và thực hiện phép đếm thuận tiện hơn con người đã hệ thống hóa lại

Từ đó khái niệm “cơ số ” ra đời Khi cơ số b được chọn làm cơ số thì các số 1, 2, …, bđược gắn tên, còn các số lớn hơn b chỉ là tổ hợp các tên của các số từ 1, 2, …, b Tronglịch sữ có nhiều cơ số khác nhau được chọn như: 2, 3, 4, 5, 10, 12, 20, 60, …

Để ghi lại các con số người ta dùng dấu vết, và nó trở thành cơ sở cho chữ viếtsau này Dần dần các hệ thống chữ viết khác nhau ra đời để ghi lại các số một cáchkhoa học hơn chẳng hạn: hệ thống nhóm đơn, hệ thồng nhóm nhân, hệ thồng chữ số lã

1.2.2 Hệ thống nhóm đơn

Quy tắc của hệ thống này như sau: nếu b là cơ số thì người ta có những kí hiệu

cho 1, b, b 2 , b 3, … Như thế một con số bất kì được biểu thị theo các kí hiệu trên theonguyên tắc cộng, tức là trong con số đó, mỗi kí hiệu được lặp lại một số lần cần thiết.Người Ai Cập cổ và Babylon cổ đã dùng hệ thống nhóm đơn trên để ghi số

1.2.3 Hệ thống nhóm nhân

Nếu b là cơ số của một hệ thống nhóm nhân thì người ta dùng các ký hiệu cho 1,

2, …, b – 1 và các ký hiệu cho b, b 2 , b 3 , …

Trung Quốc, Nhật cổ đã dùng hệ thống nhóm nhân theo cơ số 10

Ví dụ, nếu 10 là cơ số và dùng các kí hiệu như ngày nay cho các số từ một đến

chín: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 và a, b, c, d lần lượt được dùng làm ký hiệu cho 10, 10 2 ,

10 3 , 10 4 thì ta viết số 12978 như sau: 1d2c9b7a8

1.2.4 Hệ thống chữ số mã hóa

Nếu b là cơ số của hệ thống chữ số lã hóa thì người ta dùng các ký hiệu cho 1, 2,

…, b – 1; 2b,…, (b - 1)b; b 2 , 2b 2 , …, (b - 1)b 2 , …

Các nước Hy Lạp, người công giáo Ai Cập cổ, …, dùng hệ thống chữ số mã hóa

Hệ thống chữ số Hy Lạp cổ (Ionic) ra đời vào khoảng 450 TCN Hệ thống này có

cơ số 10 và dùng 27 chữ (24 chữ vần cái Hy Lạp và 3 ký hiệu - hiện nay không còn)cho các chữ digamma, koppa và sampi

1.2.5 Hệ thống chữ số vị trí

Hệ thống chữ số mà chúng ta dùng ngày nay là một ví dụ cho hệ thống chữ số vị

trí với cơ số 10 Nếu b là cơ số cho hệ thống này thì người ta chỉ có thể dùng ký hiệu cho các số 0, 1, 2, …, b – 1 Tùy theo vị trí các ký hiệu này mà chúng có những giá trị

khác nhau

Số tự nhiên N luôn được viết dưới dạng sau:

N = a n b n + a n - 1 b n – 1 + … + a 1 b + a 0 (với 0  ai  b i ,  0,1, , n )

Số N được biểu thị như sau: anan-1…a1a0

Ví dụ 1: Trong hệ thống ghi số của chúng ta ngày nay theo quy tắc vị trí, khi ta

viết 3425 Số 3 đầu tiên (từ trái qua) biểu thị cho 3(10)3, số 4 biểu thị cho 4(10)2, số 2

áp cuối cùng biểu thị cho 2(10) và 5 là 5 đơn vị

Ví dụ 2: Người Babylon cổ đã ghi số theo nguyên tắc vị trí với cơ số 60 Chẳng

hạn, số 7424 được biểu diễn theo cơ số 60 như sau:

Nếu hiểu theo ngôn ngữ của chúng ta bây giờ, thì:

7424 (cơ số 60) = 2.602 + 3.601 + 44Ngoài ra ta có bảng nhân với 9 của người Babylon như sau:

1.2.6 Hệ thống chữ số Hindu - Ả Rập (Ấn Độ - Ả Rập)

Hệ thống này (cũng là hệ thống chữ số ta đang dùng) do người Hindu sáng lập,được người Ả Rập truyền sang Tây Âu Các ký hiệu cho các số của chúng ta hiện nayđược tìm thấy trên một số cột đá ở Ấn Độ do vua Âsoka dựng lên vào khoảng năm 250TCN

Trong đó không có số 0 và không dùng nguyên tắc vị trí ký hiệu để ghi số Số 0

và nguyên tắc vị trí ký hiệu có lẻ xuất hiện khoảng năm 800 SCN do Khowârizmi đãghi lại hệ thống Hindu hoàn chỉnh vào năm 825 SCN

Từ số không, có lẽ đã bắt nguồn từ dạng Latin hóa zephirum của từ Ả Rập sifr, từ

này được dịch từ sunyz của Hindu, có nghĩa là “trống không” Từ Ả Rập được đưa vào

tiếng Đức ở thế kỷ XIII thành cifra và từ tiếng đó, hiện nay trong tiếng Anh có từcipher là số không

Những ký hiệu số đã chịu biến dạng đáng kể theo quá trình lịch sử cho đến khingành in phát triển thì những kí hiệu này mới ổn định

1.3 CÁC GIAI ĐOẠN PHÁT TRIỂN CỦA ĐẠI SỐ

1.3.1 Đại số trong giai đoạn phát sinh

Giai đoạn phát sinh của đại số bắt đầu từ thời kì nguyên thuỷ đến thế kỉ VII,VITCN Xuất phát từ nhu cầu đếm, đo đạc và nhu cầu lao động sản xuất (đơn giản) Sauđây là các nền toán học tiểu biểu và đặc điểm chính:

1.3.1.1 Nền toán học nổi trội Babylone

Toán học Babylone bao gồm nền toán học

thuộc về cư dân Lưỡng Hà (Iraq ngày nay ) từ

buổi đầu Sumer đến thời kì Hy lạp hoá Được

đặt tên là Babylone là do vai trò trung tâm của

Babylone là nơi nghiên cứu, đã không tồn tại

sau thời kì Hy Lạp hoá

Sự hiểu biết về toán học Babylone của chúng ta là từ hơn 300 bản đất sét do khaiquật tìm thấy Bằng chứng nhất về các bản toán học là từ thời những người Sumer cổđại, những người xây dựng nền văn minh sớm nhất ở Lưỡng Hà

Trong lượng lớn bản đất sét đã dược phục hồi đó có chủ đề về đại số, cụ thể: + Khoảng 2000 năm trước công nguyên người Babylone đã đưa ra công thức

nghiệm của phương trình bậc hai x2 bx c c  (  0)như sau:

do ý nghĩa của thực tế nên họ chỉ lấy nghiệm dương

+ Nhờ vào bảng giá trị của biểu thức n3 n2 người Babylone có thể giải đượcmột số phương trình bậc ba như: ax3 bx2  c Nhân hai vế của phương trình cho a2

và chia hai vế của phương trình cho b3 ta được phương trình:

  , phương trình cuối cùng giải

được nhờ vào bảng giá trị n3 n2

+ Khoảng 300 trước công nguyên, người Babylone cổ đã có biết đưa ra hai bàitoán chuỗi rất hay là:

1

; 1

n n

i i

r r

+ Người Babylone đã cho những đánh những giá trị xấp xỉ của căn bậc 2 của các

số không chính phương như: 7 1 17

+ Thế kỉ thứ III trước công nguyên , người Babylone có một bản về thiên văn học

họ đã dùng luật dấu trong phép nhân

+ Đặt bài toán đại số và giải theo cách của họ, như: “Tìm chiều dài một cạnh củahình vuông cho biết diện tích của nó trừ đi chiều dài của một cạnh bằng 870” Cáchgiải của người Babylone: lấy một nữa của một tức 0;30 (cơ cố 60) dấu “; ” tức dấu “, ”trong số thập phân ngày nay Nhân 0; 30 với 0;30 được 0;15, thêm vào kết quả này14,30 ta được 14,30+0;15= 14,30;15 Nhưng 14,30;15 là bình phương của 29;30 Saucùng ta thêm 0;30 vào 29; 30 kết quả bài toán là 30

+ Người Babylone còn biết giải hệ phương trình sau:

Người Babylone đã giải bài toán trên như sau, họ đã biết thay phương trình thứ 2

vào phương trình đầu tiên được 2 36 2 85

+ Ở phòng lưu trữ của trường đại học Yale (Mỹ ) ta còn đọc được những dạng

phương trình sau của người Babylone:

    khi giải đưa về

phương trình trùng phương đối x3

Khi khai quật ở Suse (Iran), người ta đã tìm thấy những cổ vật chứng tỏ ngườiBabylone đã biết giải phương trình bậc 8 dưới dạng toàn phương đối với x4

+ Người Babylone cũng tính được:

Ta biết nhiều về toán học Ai Cập là nhờ vào hai bản cổ chỉ Một ở Moscow (gọi

là bản Moscow), một bản Rhind hiện ở bảo tàng Anh quốc

+ Người Ai Cập sử dụng toán trong điều hành nhà nước và nhà thờ, để xác địnhlương của người lao động, để tìm thể tích các kho thóc, tìm diện tích các thửa ruộng,

để thu thuế, để tính toán trong các công trình xây dựng, để đối phó với nạn lũ lụt bên

bờ sông Nile Chính vì những lí do đó mà toán học Ai Cập đã phát triển khá cao trongthời cổ đại, trong đó có đại số học như:

+ Người Ai Cập đã đưa ra một qui tắc giải phương trình 24

40, 79 trong papyrus Sau đây là bài toán số 40: “Chia 100 cái bánh cho 5 người saocho 1/7 của tổng số bánh của ba người đầu bằng phần bánh của hai người còn lại Hỏiphần bánh của người này khác người tiếp theo là bao nhiêu?”

Cách giải của người Ai Cập:giả sử phần bánh của người này khác người tiếp theo

Tóm lại: Toán học ở giai đoạn này có tính thực hành , họ có xu hướng về đại số

mạnh hơn hình học, còn những ý tưởng về chứng minh hay xét sự tồn tại nghiệm củaphương trình không được tìm thấy ở giai đoạn này

1.3.2 Đại số trong giai đoạn toán học sơ cấp

Giai đoạn toán học sơ cấp bắt đầu từ khoảng thế kỉ thứ VI (TCN) đến thế kỉ thứ

XVI (SCN) Lịch sử đại số ra đời trong giai đoạn này đáp ứng những nhu cầu như:

 Nhu cầu tìm hiểu thế giới tự nhiên, thực tế cuộc sống.

 Giao lưu của nhiều nền văn hóa khác nhau

Toán học trong giai đoạn này quan tâm đến các vấn đề toán học thuần túy trong

đó có cả suy luận và chứng minh Sau đây là những nét tiêu biểu về đại số trong giaiđoạn này:

1.3.2.1 Đại số thời cổ Hy Lạp

 Phát triển lý thuyết tổng quát Toán học Theo F.Engels nói “Nếu các khoa học

tự nhiên muốn tìm hiểu lịch sử phát sinh và phát triển của những lý thuyết tổng quát hiện nay của nó thì nhất thiết phải quay về cổ Hy Lạp”.

 Phát triển toán học thành một khoa học trừu tượng, các kết luận khoa học bằngcon đường suy diễn, nhất quán Gắn toán học với cuộc sống

 Khám phá ra số vô tỉ

1.3.2.2 Đại số ở Trung Quốc cổ

 Gồm các bài toán đại số - số học: Dùng hệ đếm thập phân, về kí hiệu tượnghình và số, về phép tính toán với các số lớn

 Khoảng thế kỉ thứ IV, III TCN xuất hiện quyển “Chu bể toán kinh” trình bày

về kỉ thuật tính số và một vài phương pháp sơ khai của đại số

 Phát triển những yếu tố của giải tích tổ hợp

1.3.2.3 Đại số ở Ấn Độ cổ

Ấn Độ có công lớn khi phát minh ra số 0, số âm, hệ thống ghi số theo nguyêntắc vị trí và sáng tạo ra môn Đại số học

Nền toán học Ấn Độ nghiên về thuật tính

Tính toán trên các số gồm: Phép cộng, phép cộng theo đường chéo, phép nhân,phép nhân với độ phức tạp

1.3.2.4 Đại số ở Ả Rập

Dưới sự bảo trì của hoàng gia các công trình toán học của Brahmagupta đượcchuyển về Bagdad (Khoảng 766) và được dịch sang tiếng Ả Rập đó là cách để đưa cácchữ số Ấn Độ vào nền toán học Ả Rập trong đó có “Cơ bản” của Euclid

Một số cho rằng các tác giả Hồi giáo thể hiện tính độc đáo cao và là nhữngthiên tài nhất là về đại số học và lượng giác học

1.3.2.5 Đại số châu Âu (từ 500 đến 1600)

a) Thời Trung Cổ

 Boethius (Khoảng 475 – 524 ) viết các tác phẩm về số học

 Gerbert (Khoảng 950 – 1003) ông được xem học giả sâu sắc có công trình về

số học và một số dịch giả khác

b) Đại số trong thế kỉ XIII

Leonardo Fibonacci (1170 – 1250 ): Năm 1202 công bố công trình “Liber abaci”viết về số học và đại số sơ cấp Trong 15 chương này đã giải thích cách đọc và cáchviết các chữ số mới, các phương pháp tính toán các căn bậc hai và bậc ba, việc giải cácphương trình bậc nhất, bậc hai bằng các quá trình đại số; các nghiệm âm và ảo chưađược biết tới …

c) Đại số trong thế kỉ XIV

Đây là thời kì nghèo nàn về toán học Tiêu biểu trong thời kì này là Thomas Bradwarine (1290-1349): Ông viết công trình về số học.

d) Đại số trong thế kỉ XV

 Sự giao lưu thúc đẩy toán học phát triển (kế toán, thiên văn,…)

 Sử dụng hệ thập phân và cách biểu diễn số theo vị trí

 Các trường đại học ra đời

 Chú ý nhiều tới số học, đại số và lượng giác

e) Đại số trong thế kỉ XVI

Nổi bật nhất của thế kỉ này là các nhà toán học ý đã phát hiện ra cách giải cácphương trình bậc ba và các phương trình bậc bốn

Thế kỉ XVI đại số kí hiệu đã phát triển thuận lợi; lý thuyết về phương trình, số

âm được chấp nhận và lượng giác học

1.3.3 Đại số trong giai đoạn toán học cao cấp cổ điển

 Sự ra đời của hình học giải tích làm đảo ngược vai trò của hình học và đại số:Nếu như từ Hy Lạp cổ đại đến khoản năm 1600 sau công nguyên hình học chế ngự thìsau năm 1600 đại số trở thành ngành nghiên cứu chủ yếu

 Trong thế kỷ này, đại số ngày càng thoát khỏi các yếu tố hình học Trong đó,công cụ kí hiệu bằng chữ đã được củng cố Euler, Leibnitz, Harriot,… là những người

đã đóng góp vào lịch sử toán học thế giới những ký hiệu này

 Lí thuyết tổng quát về các phương trình được xác định Các phương trình chođến bậc 4, các phép biến đổi phương trình cũng được nghiên cứu có hệ thống hơn.Fagnano đã công bố một phương pháp cho phép giải một cách thống nhất các phươngtrình bậc 4

 Ở giai đoạn này, Euler công bố lý thuyết Liên phân số và sau đó Lagrange cómột nghiên cứu về tính gần đúng các nghiệm của một phương trình đại số bằng liênphân số

 Lí thuyết số được phong phú thêm bởi những nghiên cứu xuất chúng củaPhécma, quyết định sự phát triển về sau của nó

 Lý thuyết về Đại số logic cũng được phát thảo bởi Leibnitz

 Ở Châu Âu, Newton, Bezout và Euler, khi nghiên cứu việc tìm tập nghiệmchung của các phương trình đại số đã gắn chặt việc nghiên cứu của mình với địnhthức

 Cũng trong giai đoạn này thì một quy tắc giải hệ phương trình tuyến tính n ẩnvới định thức khác 0 được công bố bởi Cramer

1.3.4 Đại số trong giai đoạn toán học hiện đại

Đại số trong giai đoạn này bắt đầu từ đầu thế kỉ XIX cho đến nay Trong giaiđoạn này Toán học thực hiện bước tiến nhảy vọt, đánh dấu hướng phát triển hoàn toànmới, các nghành Toán học thoát khỏi những ràng buột khuôn khổ từ trước đến naychuyển sang khuynh hướng “trừu tượng hóa” Các công trình toán học thời kì nàymang tính khái quát hóa và trừu tượng hóa rất cao Một nét nổi bật trong giai đoạn này

là ngôn ngữ dân tộc dần dần thay thế ngôn ngữ Latin trong khoa học Đại số chuyểnsang đỉnh cao của mình

Ngày nay, ở các bậc học phổ thông việc giải các phương trình, bất phươngtrình… được giảng dạy rất kỹ và cũng là kiến thức quan trọng trong các kì thi tuyểnsinh Các trường Đại học đưa vào giảng dạy môn “Đại số đại cương” môn học mangtính trừu tượng hóa cao và gây ít nhiều khó khăn cho sinh viên

Đại số giai đoạn này từ trực giác chuyển sang chặc chẽ, khái quát hóa và trừutượng hóa cao độ Thời gian đầu đại số được xem là sự mở rộng của số học, tức là thay

vì làm việc với những con số riêng biệt thì người ta dùng chữ làm ký hiệu biểu thị chocác số Một nét độc đáo ở giai đoạn này đó là các nhà Toán học đã phát hiện ra mộtloại đại số nhất quán có cấu trúc khác với cấu trúc của đại số thông thường, chẳng hạn

có một cấu trúc mà trong đó luật phân phối của phép nhân đối với phép cộng khôngcòn đúng nữa Từ đó người ta đã sáng tạo ra “Đại số không giao hoán” Điển hình như:đại số quaternion của Hamilton, đại số ma trận của Caylay… và cũng từ đó xây dựngnhiều đại số có cấu trúc khác nhau Đây chính là xu hướng trừu tượng hiện đại

Từ đại số thông thường các nhà toán học đã thay thế những tiên đề của nó bằngnhững tiên đề nhất quán với những tiên đề còn lại để đưa ra nhiều hệ thống đại số khácnhau: nhóm, vành, trường, đại số Boole, không gian véctơ…

Cũng trong giai đoạn này, ông Vua toán học Gauss lần đầu tiên đưa ra chứngminh định lý cơ bản của đại số Cantor xây dựng thành công lý thuyết tập hợp ảnhhưởng rất lớn đến các nghành toán học khác Một đặc điểm quan trọng là lý thuyết nàylàm cho các bộ môn toán học cổ điển thống nhất đáng kể lại với nhau

Từ thế kỉ XVII đến cuối thể kỉ XVIII, việc sáng tạo Phép tính vi phân đã mở ranhững chân trời có sức cuốn hút, làm bỏ lửng môn Đại số Nhưng rồi các tích phân cáchàm phân thức hữu tỉ buộc các nhà toán học phải nghiên cứu nghiệm các phương trìnhđại số, công việc mà các nhà toán học Ý đã giải quyết cho các phương trình bậc ba vàbốn Nhiều nhà toán học lớn đã quan tâm tới vấn đề đó trong đó có nhà toán học

Gauss (Gau-xơ) (1777 - 1855) được mệnh danh là vua toán học châu Âu Nhưng chính nhà toán học thiên tài Galois (Ga-loa) (1811 - 1832) mất lúc chưa đầy 21 tuổi, đã đưa

việc nghiên cứu các phương trình đại số về việc nghiên cứu các nhóm phép thế tươngứng Galois là người đầu tiên định nghĩa nhóm con chuẩn tắc và nhận thức tầm quan

trọng của nó Có thể nói lí thuyết Galois đã có những đóng góp coi như vào loại tinh tế nhất của Đại số cho tới bây giờ Các ý tưởng thiên tài của Gauss và Galois đã dẫn tới

một quan niệm rất rộng về khái niệm luật hợp thành, hay còn gọi là phép toán Nhưng

họ đã không đủ thì giờ để đi tới khái niệm cấu trúc đại số

Sau năm 1850, nếu trong một thời gian dài các cuốn sách về Đại số còn ưu tiên

vấn đề mà ngày nay chúng ta coi như cốt lõi của Đại số, đó là nghiên cứu cấu trúc đạisố.

Đến những năm của thế kỷ XX, XXI đại số dường như phát triển chậm lại Cácnhà Toán học tập trung nhiều vào lĩnh vực giải tích

1.4 MỘT SỐ NHÀ TOÁN HỌC TIÊU BIỂU

 Bộ số Pitago.(3, 4, 5); (5, 12, 13); (7, 24, 25); (8, 15, 17); (9, 40, 41); (11,

60, 61); (12, 35, 37); (13, 84, 85); (16, 63, 65); (20, 21, 29); (28, 45, 53); (33, 56, 65);(36, 77, 85); (39, 80, 89); (48, 55, 73); (65, 72, 97)

Nghiên cứu lý thuyết số

 Archimedes là nhà bác học vĩ đại thời cổ Hy Lạp và là một trong những nhàtoán học vĩ đại nhất của mọi thời đại Ông sinh ra tại Syracuse (Hy Lạp), đảo Sicilia(nay thuộc nước Ý), con trai của một nhà thiên văn học

 Các công trình của Archimedes là những tác phẩm lớn về toán học giốngnhư những bài báo khoa học ngày nay với tầm khái quát đặc sắc và hiện đại.

 Nghiên cứu lý thuyết số

1.4.5 Eratosthenes (276 – 194 TCN)

Lý thuyết số, sàng Eratosthenes (Sàng số nguyên tố)

1.4.6 Diophantus (210 – 290)

Cha đẻ của ngành đại số với những nội dung:

 Công trình nói về cách giải khoảng 130 bài toán khác nhau và dẫn đến cácphương trình bậc nhất và bậc hai và một phương trình bậc ba

 Ông đã chứng minh rằng mọi số nguyên có dạng: 4n + 3 hoặc 4n – 1 khôngthể là tổng bình phương của hai số chính phương Số có dạng 24n + 7 không thể làtổng bình phương của ba số chính phương

 Ông đã dùng kí hiệu toán học, ông viết bài một cách thuần túy đại số màkhông cần diễn tả hình học

 Ông đã đưa ra số âm

 Ông đặt ra và giải nhiều bài toán dẫn đến phương trình xác định và bấtđịnh

 Các phương trình của ông là các phương trình đại số với hệ số hữu tỉ cónghiệm dưới dạng số nguyên và số hữu tỉ

 Giải tích Diophantus là lĩnh vực toán học nghiên cứu phương trình

 Diophantus dựa trên phương pháp hình học đại số

 Phép tính Diophantus là một ngành lý thuyết số trong đó nghiên cứu sự gầnbằng không các giá trị hàm số từ các đối số

 Đặc biệt là với mọi bài toán Ông thường đưa ra một cách có hệ thống vếnhững phương trình có một ẩn

Chẳng hạn như:

Bài toán: Tìm tổng hai số sao cho bình phương của mỗi số cộng với số kia là một

bình phương

Bài toán: Tìm y và z dương sao cho: y + z =10 và y.z=9.

Bài toán: Tìm hai bình phương sao cho khi cộng thêm 12 vào mỗi bình phương

đó ta lại được hai bình phương

1.4.7 Trần Sanh (Khoảng 152 TCN):

Ông viết cuốn “Cửu chương thuật toán” gồm 9 chương có 246 bài trong đó:

Các chương II, III, IV, VI, VII, VIII viết về đại số như: quy tắc tam suất, tỉ lệ, quy tắckhai căn bậc hai, bậc ba, tổng của cấp số cộng, phương pháp giải phương trình tuyếntính và hệ phương trình tuyến tính, ma trận…

 Trong “Cửu chương thuật toán” trình bày cách giải phương trình bậc haibằng phương pháp “thiên tố” phương pháp này tương đương với phương pháp Hornerđược phát minh vào đầu thế kỉ XIX (1819)

1.4.8 Vương Hiếu Thông

Dùng phương pháp “thiên tố” để giải phương trình bậc ba (Thế kỉ VII)

1.4.9 Chu Thế Kiệt

Dùng phương pháp “thiên tố” để giải phương trình bậc bốn (Thế kỉ XIII)

1.4.10 Tôn Tử

Viết quyển sách “Tôn tử toán kinh” gồm những bài toán lý thuyết số nhằm mở

rông các bài toán số học, các bài toán về đồng dư (Khoảng đầu TKIII)

1.4.11 Nicolas Chuquet (TK XV)

Ông viết cuốn sách số học “Triparty an la science des nombres” (ba bộ phậntrong khoa học về các số) Phần đầu của công trình bàn về tính toán với các số hữu tỉ,phần hai viết về các số vô tỉ và phần ba viết về phương trình; Ông đề cập đến lũy thừanguyên, âm và dương

1.4.12 Cardano

Ông viết một số công trình về số học ông trình bày về: Các số ảo và trình bàymột phương pháp thô sơ để xác định nghiệm gần đúng của một phương trình bậc caobất kì Ngoài ra ông cũng trình bày cách giải phương trình bậc bốn của Ferrari

1.4.13 Francois Viete (1540 -1603)

Ông viết nhiều về lượng giác, đại số Công trình nổi tiếng của ông là ông pháttriển nhiều kí hiệu đại số kí hiệu ; Lý thuyết phương trình; trình bày các phép biến đổiphương trình và các biểu thức đối xứng nghiệm theo các hệ số của một phương trình

 Năm 1740, ông đưa ra các mũ số phức và chứng minh các hằng đẳng thức

 Ông chứng minh rằng mọi số nguyên dương là tổng của bốn bình phương

và ông đã chứng minh điều phỏng đoán của Euclid về số hoàn chỉnh

 Ông viết cuốn “Nhập môn đại số” (1770) mà ông đọc cho các con ông ghitrong khi đã mù cả hai mắt, rất thành công vì tính sáng sủa tuyệt vời của nó Cuốn sách

về đại số căn bản này bắt đầu bàn một lời bàn luận về bản chất các con số và một lờigiới thiệu tổng quan về đại số, bao gồm các công thức dành cho cách giải phương trình

đa thức

 Ông đưa ra phương pháp mang tên ông để giải các phương trình bậc 4

1.4.15 Joseph Louis LAGRANGE

Năm 1767, công bố một luận văn về việc tính gần đúng các nghiệm của

 Năm 1770, ông tìm cách làm sáng tỏ những lý do khiến các nghiệm củaphương trình bậc 3 biểu thị được bằng căn thức Ông cũng cho rằng phương trình bậc

5 không giải được bằng căn thức nhưng ông không chứng minh được điều này.Lagrange đã mở đường cho Abel và Galois và từ công trình của ông đã phát sinh ra lýthuyết nhóm

 Ông là tác giả của một kỹ thuật gọi là sự biến thiên các hằng số để giải cácphương trình đạo hàm riêng

1.4.16 Gottfried Wihelm LEIBNITZ (01.07.1646 – 14.11.1716)

 Năm 1673 – 1677, lập thành cơ sở của phép tính vi tích phân

 Ông nghiên cứu phương trinhd vi phân tuyến tính Ong là người đầu tiên sửdụng khái niệm định thức

Toán học trong giai đoạn này diễn ra vào khoảng thế kỉ

thứ XVII, ở các nước Tây Âu đã có những tiến bộ sâu sắc về

mặt kinh tế, chính trị và xã hội, đây chính là những yếu tố rất quan trọng thúc đẩy chonền toán học phát triển

Hàng loạt các công trình toán học dọn đường cho các phép tính mới mẽ ra đời,

song song với việc phát minh ra môn “phép tính vi-tích phân” mang tầm cỡ thế kỉ của

hai nhà toán học đại tài Newton và Leinitz thì Leinitz (1646-1716), nhà toán học Đức

cùng với nhà toán học Nhật Bản Seki kova đã đưa ra khái niệm “định thức” (nhưng

chưa có tên chính thức là định thức), một thành phần không thể thiếu của môn Đại sốtuyến tính.

Tuy nhiên Leinitz đã không công bố phát kiến của mình mà chỉ nói đến nó trongmột bức thư gửi cho nhà toán học L Hopital để bàn về việc giải hệ phương trình tuyếntính và mãi đến năm 1850 (tức là sau gần 200 năm), khi bức thư của ông được công bốthì người ta mới biết rằng ông chính là người đã phát hiện ra khái niệm này Seki đãchạm đến khái niệm định thức khi nghiên cứu việc tìm nghiệm chung của hai đa thức

f(x) và g(x) với bậc thấp, nhưng ông đã giữ kín bí mật phương pháp của mình và chỉ

tin vào những học trò thân cận nhất Vào năm 1674 phát kiến của Seki được công bố

và khi đó phương pháp của ông được trình bày rõ ràng hơn

Ở Châu Âu, Newton, Bezout và Euler, khi nghiên cứu việc tìm tập nghiệm chungcủa các phương trình đại số đã gắn chặt việc nghiên cứu của mình với định thức Mãiđến thế kỉ thứ XVIII vào năm 1750, nhà toán học Thụy Sĩ Cramer đã công bố côngtrình liên quan đến vấn đề này tương đối tổng quát và đưa ra cách biểu diễn định thức

cho lời giải của bài toán “tìm một đường cônic đi qua 5 điểm cho trước”.

Tuy nhiên Cramer lại không phải là người chứng minh công thức cramer màchúng ta thường dùng mà công lao này lại thuộc về nhà toán học người Pháp tên làVandermonde, công trình của Vandermonde đã được công bố vào năm 1771 Vào năm

1801 thì tên gọi “định thức” chính thức xuất hiện trong một bài báo của Gauss và đã

được hai nhà toán học Pháp, đó là Cauchy và Jacobi trìnhbày một cách hệ thống vàkhái niệm này đã được phổ biến rộng rãi Khái niệm “không gian vectơ” xuất hiệnmuộn hơn nhiều so với khái niệm “định thức” và chính Leinitz cũng là người đềxướng

Bắt nguồn từ ý tưởng muốn dùng đại số để nghiên cứu hình học mà cụ thể làmuốn dùng đại số để miêu tả không chỉ những lượng khác nhau của hình học mà cònmiêu tả cả vị trí của các điểm 4 chưa và hướng của đường thẳng trong hình học,Leinitz đã quan tâm đến các cặp điểm tuy nhiên ông vẫn chưa phân biệt thứ tự của haiđiểm Nhưng mãi hơn 100 năm sau khi Leinitz qua đời, tức là vào năm 1833 các côngtrình của ông về vấn đề này mới được công bố Trong những năm 30 của thế kỉ XIX ,người ta đã treo rất nhiều giải thưởng cho những ai phát triển được ý tưởng của Leinitz

không gian vecto và ông được xem là một trong những người sáng tạo ra khái niệmkhông gian véctơ.

Sau đó Pinkerle đã phát triển những ứng dụng của đại số tuyến tính vào lý thuyếthàm, phương trình vi phân và cả phương trình đạo hàm riêng Cũng nhờ ánh xạ tuyếntính mà vào năm 1922, mà Banach đã định nghĩa một không gian, sau này mang tênông trong giai đoạn toán học hiện đại, đó là “không gian Banach”

1.4.19 Gauss (1777 – 1855)

Ông đã tìm ra số học modula, một khám phá giúp cho việc giải toán trong lýthuyết số được đơn giản hóa đi nhiều Công thức nghịch đảo toàn phương của ôngđược tìm thấy ngày 8 tháng 4 Định luật khá tổng quát này cho phép các nhà toán họcxác định khả năng giải được cho các phương trình bậc hai trong số học modula Định

lý số nguyên tố được Gauss phát biểu ngày 31 tháng 5, cho một cách hiểu thấu đáo vềcách sô nguyên tố được phân bố trong dãy số nguyên Ngày 10 tháng 7, Gauss đã tìmthấy rằng bất cứ số nguyên nào cũng có thể được biểu diễn bằng tổng của tối đa là ba

số tam giác; ông đã sung sướng viết trong sổ tay của mình "Heureka! num= Δ + Δ +Δ." Ngày 1 tháng 10, ông cho xuất bản một kết quả về các nghiệm của các đa thức với

hệ số trong trường vô hạn, một kết quả đã dẫn đến phát biểu Weil 150 năm sau

Trong luận văn của ông năm 1799, Gauss đã trở thành người đầu tiên chứngminh định lý cơ bản của đại số Định lý này nói rằng bất cứ một đa thức trên trường sốphức nào cũng đều có ít nhất một nghiệm Các nhà toán học trước Gauss mới chỉ giảthiết rằng định lý đó là đúng Gauss đã chứng sự đúng đắn của định lý này một cáchchặt chẽ Trong cuộc đời của mình, ông đã viết ra tới bốn cách chứng minh hoàn toànkhác nhau cho định lý trên, làm sáng tỏ ý nghĩa của số phức

1.4.20 Hamilton (1805 - 1865)

Ông đã có những đóng góp quan trọng trong việc phát

triển quang học, động lực học,hình học và đại số Khám phá

của ông về các quaternion là công trình nổi tiếng nhất (đại

số không giao hoán) trong đó luật giao hoán của phép nhân

không còn đúng nữa

Công trình của ông rất quan trọng trong sự phát triển

của cơ học lượng tử Tài năng của Hamilton đã được phát

hiện từ rất sớm bởi nhă thiín văn học John Brinkley Năm 1823, khi Hamilton mườitâm tuổi, John Brinkley đê nói rằng: "Chăng trai trẻ năy, tôi không nói rằng sẽ lă măbđy giờ chính lă nhă toân học hăng đầu ở tuổi của anh"

Hamilton lă người đầu tiín đưa ra câc thuật ngữ vĩctơ, luật kết hợp

1.4.21 Galois (1811 – 1832)

Galois định công bố những kết quả về phương trình đa thức vă mong có một nhăToân học nổi tiếng để ý đến, nhưng văo lúc đó, Cauchy cũng đang xem xĩt chủ đềtương tự, nín ông không thỉm đoâi hoăi gì đến Galois Poison thì cho rằng công trìnhcủa Galois khó hiểu Fourier thì qua đời trước khi nhận kết quả của Galois 1830,Galois tham gia câc hoạt động chống đối triều đình, kết quả lă phải văo tù mấy thâng.Năm sau đó, ông tham gia văo một trận đấu súng vă thiệt mạng, để lại một mớ giấy lộnxộn ông viết trước lúc đấu sung Những tờ giấy của Galois được công bố văo năm

1846, nhưng mêi đến 1866 mới có người hiểu được những gì Galois viết Những lờibình vă giải thích cặn kẽ đầu tiín xuất hiện trong “Giâo trình Đại số cao cấp” củaSerret vă thực sự đầy đủ trong “Nghiín cứu câc phĩp thế” của Jordan Sự sâng tạo củaGalois dự trín câc ý tưởng của Lagrange Ông quan tđm đến những phĩp thế trín câcnghiệm của một phương trình vă đưa ra định nghĩa tích của 2 phĩp thế Lúc năy chưa

có ai đưa ra khâi niệm về nhóm, vănh, trường nín Galois phải sử dụng câch diễn đạtriíng, vì vậy không ai hiểu được Galois thiết lập mối quan hệ giữa câc nghiệm củamột phương trình đại số với số nguyín vă lặp lại quâ trình đó trín “trường gêy”, vẵng lă người đê chứng minh được điều kiện cần vă đủ để một phương trình đại số giảiđược bằng căn thức Để đi đế kết quả năy, Galois đê đưa ra khâi niệm Nhóm con phđnbiệt, Phĩp đẳng cấu nhóm, nhóm thương…(ai học Đại số Đại cương sẽ biết những khâiniệm năy) Galois ước đoân một nhóm đơn nhỏ nhất mă bậc không phải số nguyín tố

1.4.23 Cantor (1845 - 1918)

Năm 1874 đề xuất lý thuyết tập hợp Năm 1879 ông phát biểu khái niệm tổngquát về lực lượng của tập hợp Lý thuyết của ông đã bị Kronecker bác bỏ Cho đến đầuthế kì XX các nhà toán học mới thấy được tầm quan trọng của lý thuyết tập hợp, đặcbiệt là giải tích

1.5 ỨNG DỤNG VÀO DẠY HỌC TOÁN

1.5.1 Giới thiệu bài

Khi dạy bài “tập hợp”, ở chương I - Đại số 10 giáo viên có thể giới thiệu đôi nét

về tiểu sử của nhà toán học Cantor (có thể đầu giờ, hoặc giữa giờ, hoặc cuối giờ) saocho hợp lý sẽ cho các em thêm niềm đam mê khi học môn toán,… Hoặc khi giới thiệunội dung các tập số có thể mở rộng thêm hệ số nhị phân 0, 1 mà trong lĩnh vực tin họcứng dụng rất nhiều (giới thiệu đôi nét về nhà toán học Boole)

1.5.2 Áp dụng vào tiết giải bài tập ôn tập chương số phức.

Giáo viên giới thiệu nội dung và luật chơi:

Tên một nhà toán học đã bị mã hóa thành số 1783 Biết rằng ông là người đưa ra ký hiệu i để thay cho  và là một trong những nhà toán học vĩ đại nhất.1

Có 4 câu hỏi để giúp tìm ra tên nhà toán học này Đáp áp của mỗi câu sẽ giúp

mở một ô số tương ứng 4 câu hỏi là các bài tập về số phức Mỗi câu sẽ có khoảng

1 – 1.5 phút để giải.

Nội dung 4 câu hỏi:

Câu hỏi 1: Hãy tính: 1i 2 3 i 3 i

Câu hỏi 2: Tìm số đối của bình phương nghiệm phức của phương trình

4 2 6 0

z z  

Câu hỏi 3: Hãy tính module của số phức z 3 2 i

Câu hỏi 4: Hãy tìm phần thực của số phức 5 3

1

i z

Tên nhà toán học là EULER Sau khi học sinh trả lời được là nhà toán họcEULER (1707 – 1783) thì giáo viên giới thiệu sơ lược tiểu sử của ông

Chương 2 GIẢI TÍCH2.1 LỊCH SỬ PHÁT TRIỂN CỦA GIẢI TÍCH TỪ THẾ KỶ XVIII ĐẾN NAY

Trong thế kỷ XVIII, người ta dành nhiều cho việc tìm tòi các phương pháp mới

và có hiệu lực của phép tính vi – tính phân, trong thế kỷ này đa phần toán học là mụctiêu trong các lĩnh vực cơ học và thiên văn học

Trong thế kỷ XIX đã có ba sự kiện nổi bật đó là: một trong lĩnh vực hình học, một trong lĩnh vực đại số học và một trong lĩnh vực giải tích Sự kiện xảy ra trong lĩnh vực giải tích đó là việc số hoá giải tích Ngay từ thế kỷ XVIII, các nhà toán học đã bắt đầu báo động về sự khủng hoảng về cơ sở của giải tích Năm 1754, D’Alembert đã

thấy được rằng cần đạt tới lý thuyết các giới hạn Vào năm 1797, Lagrange đã nỗ lựclàm cho giải tích chặt chẽ hơn

Năm 1821, nhà toán học Pháp Augustin – Luois Cauchy đã đạt một bước tiến khổng lồ khi thực hiện thành công gợi ý của D’Alembert bằng cách phát triển lý thuyết giới hạn chấp nhận được rồi sau đó định nghĩa sự hội tụ, tính liên tục, tính khả

vi và tích phân xác định bằng lý thuyết về giới hạn Các định nghĩa này hiện chúng tađang sử dụng trong sách giáo khoa Những nỗ lực của Cauchy cũng chỉ xây dựng lýthuyết giới hạn trên cơ sở những “trực giác” đơn giản về hệ thống số thực

Năm 1874, Karl Weierstrass đưa ra ví dụ về hàm liên tục mà không có đạo hàm,

nói cách khác là đường mà không có tiếp tuyến tại bất kỳ điểm nào của nó

Georg Bernhard Rienmann thì đưa ra một hàm liên tục tại số vô tỉ nhưng giánđoạn tại số hữu tỉ Từ đó, người ta thấy rằng lý thuyết giới hạn, tính liên tục và tínhkhả vi lại phụ thuộc vào những tính chất khó hiểu của hệ thống số thực Do đó,Weierstrass ủng hộ một chương trình trong đó bản thân hệ thống số thực phải làm chochặt chẽ rồi sau đó tất cả các quan niệm cơ bản về giải tích sẽ được rút ra từ hệ thống

số này

Các nhà toán học còn đi xa hơn nữa so với việc xác lập hệ thống số thực làm cơ

sở cho giải tích Hình học Euclid thông qua cách biểu thị bằng giải tích cũng có thểthực hiện được trên hệ thống số thực và các nhà toán học cũng phát hiện rằng đại bộ

Chương trình nổi tiếng này được gọi là chương trình số hoá học giải tích và đãđược Weierstrass và các học trò của ông hoàn thành tốt đẹp Ngày nay, mọi thứ tronggiải tích đều có thể rút ra hợp lý từ tập hợp tiên đề đặc trưng cho hệ thống số thực.Vào cuối thế kỷ XIX Richard Dedekind (1831-1916), Georg Cantor (1845-1918)

và Giuseppi Peano (1858- 1932) thiết lập cơ sở này trên hệ thống các số tự nhiên đơngiản và cơ bản hơn nhiều so với cơ sở trên hệ thống số thực Các nhà toán học này đãcho thấy hệ thống số thực và một bộ phận lớn của toán học có thể rút ra được như thếnào từ tập hợp tiên đề cho hệ thống số tự nhiên

Nhưng đến thế kỷ XX, số tự nhiên lại được định nghĩa theo quan điểm của lýthuyết tập hợp, như vậy đại bộ phận của toán học lại có thể thực hiện trên cơ sở của lýthuyết tập hợp và mọi ngành toán học đều bị ảnh hưởng bởi lý thuyết này Các kháiniệm trong giải tích cũng được trình bày theo ngôn ngữ và tư tưởng của lý thuyết tậphợp

Ngoài ra, hệ thống số thực hay một bộ phận của nó có thể dùng để biểu thị nhiềungành đại số nên tính nhất quán của nhiều ngành đại số có thể thực hiện được nhờ vào

hệ thống số thực Thực ra, ngày nay có thể nói rằng (về cơ bản): mọi toán học hiện hữuđều nhất quán nếu hệ thống số thực là nhất quán

Đó là tầm quan trọng to lớn của hệ thống số thực trong việc xây dựng cơ sở chotoán học Một vấn đề tự nhiên được đặt ra có thể xây dựng cơ sở cho các ngành toánhọc trên một tập con thực sự nào của tập số thực hay không?

2.2 MỘT SỐ NHÀ TOÁN HỌC TIÊU BIỂU

2.2.1 Jakob Bernoulli (27/12/1654 – 16/8/1705)

Bernoulli là người mở đầu cho dòng học Bernoulli trong nghiên cứu toán học.Cống hiến chủ yếu của ông là vào hình học giải tích, lý thuyết xác suất, phép tính tíchphân Bất đẳng thức Bernoulli thường được dạy trong thường phổ thông mang tên này

để vinh danh ông Bernoulli cùng với Newton và Leibniz là một trong những ngườiđầu tiên phát triển phép tính vi phân và tích phân và ông đã áp dụng thành công công

cụ này cho nhiều bài toán lớn khác nhau

Có nhiều bài toán học mang tên ông như: phương trình Bernoulli trong phươngtrình vi phân, Trong cách giải của Jakob Bernoulli cho bài toán đẳng thời công bốtrong Acta eruditorum năm 1690, lần đầu tiên người ta gặp từ “tích phân” hiểu theo

nghĩa của phép tính vi – tích phân Leibniz gọi phép vi – tích phân là calculussummatorius (phép tổng); năm 1696, Leibnez và Johann Bernoulli thống nhất gọi nó làcalculus integralis (phép tính tích phân).

2.2.2 Johann Bernoulli (27/7/1667 – 1/1/1748)

Có đóng góp hơn cả người anh của mình là Jakob Bernoulli Ông đã làm phongphú rất nhiều cho phép tính vi – tích phân L’hospital (1661 – 1704) đã biên tập tài liệucủa ông thành sách giáo khoa “giải tích vô cùng để nghiên cứu các đường cong” đầutiên về phép tính vi – tích phân công bố năm 1696 Quy tắc L’hospital dùng đánh giádạng vô định 0/0 thật chất là của Johann Năm 1742, ông xuất bản quyển “giáo trìnhphép tính tích phân”

Những nghiên cứu của ông gồm giải tích toán học, lý thuyết phương trình viphân, và cơ học giải tích Ông đã khám phá: lý thuyết hàm mũ, tích phân các phânthức hữu tỉ Ông cũng đặt ra cơ sở của phép tính biến phân cùng với người anhmình

Jahann Bernoulli có ba người con trai, Nicolaus (1695 – 1726), Daniel (1700 –1782) và Jahann (II) (1710 – 1790) tất cả điều là những nhà toán học nổi tiếng của thế

kỷ XVIII và một số con cháu của họ cùng những đóng góp nhất định cho toán học

2.2.4 Euler (1707-1783)

Công trình của Euler là một ví dụ nổi bật về hình thức luận của thế kỷ XVIII, tức

là làm việc trên các công thức về các quá trình vô hạn mà không quan tâm thực sự đếntính hội tụ và sự tồn tại của toán học Ông đã đưa ra các ký hiệu toán học như: e (cơ sốcủa loarit tự nhiên), a,b,c (các cạnh của tam giác), s (nửa chu vi), Euler còn đưa ra

Trong toán học, Euler nghiên cứu cả toán học lý thuyết và toán học ứng dụng.Những kết quả của ông đặt cơ sở cho nhiều hướng khoa học, đặc biệt là lý thuyết hàmphức, phép tính biến phân và lý thuyết hàm đặc biệt Ông viết ba tác phẩm về giải tích

và đóng góp rất quan trọng cho sự hoàn thiện môn khoa học này Các tác phẩm vềphép tính vi tích phân có rất nhiều nội dung vẫn giữ nguyên giá trị cho đến ngày nay

2.2.5 Maclaurin (1698 – 1746)

Colin Maclaurin là một nhà toán học người Scotland Ông là một trong nhữngnhà toán học tài ba nhất thế kỷ XVIII Những nghiên cứu của Maclaurin tập trungnhiều vào giải tích và hình học Trong công trình “Lý thuyết phương trình vi phân”(1742), Maclaurin đã chứng minh hàng loạt các nguyên lý và định lý cơ bản trong giảitích, giải một số bài toán hình học, cơ học và thiên văn học Ông tìm ra dấu hiệu hội tụcủa dãy số và công thức lấy tổng của dãy số Ông cũng công bố công trình về khaitriển một hàm thành chuỗi luỹ thừa

2.2.6 D’Alembert (1717 – 1783)

Những công trình của ông chuyên về cơ học, thuỷ động học và toán học Cáccông trình toán học của ông tập trung vào lý thuyết phương trình vi phân Ông làngười đầu tiên sử dụng hàm phức để giải một trong những phương trình thuỷ động học

và chứng minh phép tính các đại lượng vô cùng bé bằng lý thuyết giới hạn

D’Alembert tỏ ra rất quan tâm tới cơ sở của giải tích vào năm 1754, ông đã cómột gợi ý quan trọng là: lý thuyết vững vàng về giới hạn là cái cần xây dựng để có một

cơ sở vững chắc cho giải tích, nhưng rất tiếc là những người cùng thời của ông lại ítchú ý nhận định tầm cỡ của ông

2.2.7 Lagrange (1736 – 1813)

Công trình của Lagrange có một ảnh hưởng rất sâu xa trong việc nghiên cứu toánhọc về sau, bởi vì ông là nhà toán học hàng đầu đã sớm nhận ra tình trạng hoàn toànkhông thoả đáng của cơ sở giải tích toán học Do đó ông tìm mọi cách để làm cho phép

lý thuyết phương trình vi phân và nhất là phương trình vi phân riêng phần thì thật tầm

cỡ và ông cũng có những đóng góp quan trọng cho phép tính biến phân Các côngtrình của Lagrange được viết một cách súc tích và cố sao cho chặt chẽ Lagrange thìhiện đại về văn phong và có thể xem là một nhà giải tích chân chính đầu tiên

2.2.8 Cauchy (1789 – 1857)

Định nghĩa chúng ta hiện nay về giới hạn, tính liên tục, đạo hàm với tính cách làgiới hạn của tỉ số hai số gia, tích phân như là giới hạn của một tổng, chủ yếu là doCauchy đề nghị

Cauchy viết rất nhiều và sâu sắc về cả hai lĩnh vực toán học thuần tuý và toánhọc trừu tượng Ông phát triển lý thuyết chuỗi, lý thuyết định thức, phép tính tíchphân, phương trình vi phân, lý thuyết hàm biến phức

Cauchy chết đột ngột vào ngày 23 tháng 5 năm 1857 Một vài giờ trước khi mất,Cauchy đã nói với tổng giám mục Paris: Con người sẽ mất nhưng những công trìnhcủa họ vẫn ở lại

2.2.9 Weierstrass (1815 – 1897)

Karl Weierstrass là nhà toán học người Đức Các công trình của Weierstrass dànhcho giải tích toán học, lý thuyết các hàm giải tích, phép tính biến phân, hình vi phân vàđại số tuyến tính

Weierstrass đã viết một số tham luận đầu tay về các tích phân siêu elliptic, cáchàm Abel, các phương trình vi phân đại số, đóng góp quan trọng của ông là việc xâydựng cơ sở cho lý thuyết hàm biến phức trên các chuỗi luỹ thừa

Ông khám phá ra sự hội tụ đều, và khám phá ra cái gọi là số học hoá giải tích haycác nguyên lý của giải tích về các quan niệm số thực

Weierstrass là một nhà giáo có nhiều ảnh hưởng và những bài giảng được chuẩn

bị rất tỉ mỉ của ông là một mẫu mực cho nhiều nhà toán học tương lai, “sự chặt chẽkiểu Weierstrass” trở thành đồng nghĩa với “lập luận cực kỳ cẩn thận” Weierstrass làmột “lương tâm toán học tiêu biểu nhất” và ông được biết tới như “người cha của giảitích hiện đại”

2.2.10 Hibert (1862 – 1943)

tên tuổi như là một nhà toán học và nhà khoa học vĩ đại bằng cách phát minh hay pháttriển một loạt các ý tưởng khác nhau, chẳng hạn như là lý thuyết bất biến, tiên đề hóahình học, và khái niệm không gian Hilbert, một trong những nền tảng của giải tíchhàm, xây dựng cơ sở cho lý thuyết đa thức, một lý thuyết có vai trò quan trọng tronhhình học đại số và đại số học Hilbert và học trò của ông đã xây dựng đủ hạ tầng cơ sởtoán học cần thiết cho cơ học lượng tử và thuyết tương đối rộng

Ông là một trong những sáng lập viên của lý thuyết chứng minh, logic toánhọc và sự phân biệt giữa toán học và meta-toán học Ông sử dụng và bảo vệ lý thuyếttập hợp của Cantor và các số siêu hạn (transfinite number) Một ví dụ nổi tiếng về vaitrò lãnh đạo thế giới toán học là bài phát biểu năm 1900 về danh sách các bàitoán quyết định hướng đi của nghiên cứu toán học trong thế kỉ thứ XX

Hilbert nhận bằng tiến sỹ năm 1885, với một luận văn, viết dưới sự hướng dẫncủa Ferdinand, với tựa đề "Về các tính chất bất biến của các dạng nhị phân đặc biệt,đặc biệt là các hàm vòng" Hermann Minkowski cũng là thí sinh tiến sỹ cùng mộttrường đại học vào thời gian đó, và ông và Hilbert trở thành bạn thân, và cả hai đã ảnhhưởng lẫn nhau ở nhiều thời điểm khác nhau trong sự nghiệp khoa học của họ

Hilbert ở lại Đại học Konigsberg như là một giáo sư từ 1886 đến năm 1895, với

sự can thiệp của Felix Klein ông đạt được vị trí Trưởng khoa Toán tại Đại họcGottingen, vào thời gian đó là trung tâm nghiên cứu toán học tốt nhất thế giới và ông ởlại đó cho đến cuối đời

Công trình đầu tiên của Hilbert về các hàm bất biến đã dẫn đến những kết quảtrong năm 1888 về định lý hữu hạn nổi tiếng của ông

Vào năm 1912, ba năm sau khi bạn ông Hermann Minkowski qua đời, ông quaysang tập trung nghiên cứu môn vật lý gần như là hầu hết thời gian Ông bố trí để cómột người đến giảng riêng về vật lý cho ông[1] Ông bắt đầu nghiên cứu Lý thuyết khíđộng và chuyển sang lý thuyết bức xạ và lý thuyết phân tử của vật chất Hilbert mờiEinstein đến ĐH Gottingen để giảng trong một tuần trong tháng 6 và 7 năm 1915 về lýthuyết tương đối và lý thuyết về trọng lực mà ông đang phát triển

Sự trao đổi các ý tưởng đã dẫn đến dạng cuối cùng của những phương trình vềtrường của thuyết tương đối, đó là phương trình trường Einstein và tác động Einstein-Hilbert

Suốt cả quá trình đắm chìm trong vật lý, ông đã đặt sự chặt chẽ vào toán họctrong vật lý Khi ông bắt đầu hiểu ra vật lý và các nhà vật lý sử dụng toán như thế nào,ông phát triển một lý thuyết toán chặt chẽ cho những gì mà ông khám phá ra, quantrọng nhất là trong ngành phương trình tích phân

Hilbert mất vào năm 1943 Trên bia mộ ông, tại Gottingen, người ta có thể đọcdòng chữ ông để lại: “Chúng ta phải biết, chúng ta sẽ biết”

Kết quả này làm cơ sở cho hàng loạt nghiên cứu về vấn đề độ đo không gianBanach bao gồm không gian Hilbert như một trường hợp riêng, nhưng không bao gồmtất cả không gian phiếm hàm Cùng với Tarski, ông nghiên cứu lý thuyết tập hợp Ôngcòn nghiên cứu lý thuyết hàm số với biến số thực và đề ra nhiều hướng toán học và cơhọc

2.3 ỨNG DỤNG VÀO DẠY HỌC TOÁN PHỔ THÔNG

2.3.1 Bài toán cổ hình thành khái niệm đạo hàm

Từ vị trí O (ở một độ cao nhất định nào đó), ta thả một viên bi cho nó rơi tự doxuống đất và nghiên cứu chuyển động của viên bi Trong vật lí 10 ta đã biết: Nếu chọn

trục Oy theo phương thẳng đứng, chiều dương hướng xuống đất, gốc O là vị trí ban

đầu của viên bi (tại thời điểm t=0) và bỏ qua sức cản của không khí thì phương trình

chuyển động của viên bi là:

Nếu t1-t0 càng nhỏ thì tỉ số (1) càng phản ánh chính xác hơn sự nhanh chậm của

viên bi tại thời điểm t0 Từ đó người ta xem xét giới hạn của tỉ số 1 0

giới hạn

0

0 0

 , trong đó y=f(x) là hàm số đã cho nào đó

Trong toán học, người ta gọi giới hạn đó, nếu có và hữu hạn, là đạo hàm của hàm số y=f(x) tại điểm x0

2.3.2 Bài toán cổ hình thành khái niệm nguyên hàm

Vận tốc của một viên đạn được bắn lên theo phương thẳng đứng tại thời điểm t

và v(t) = 160 – 9,8t (m/s) (coi t = 0 là thời điểm viên đạn được bắn lên) Tính quãng

đường đi được của viên đạn kể từ khi bắn lên cho đến thời điểm t

Gọi s(t) là quãng đường đi được của viên bi sau khi bắn được t giây

Ta đã biết v(t) = s’(t) Do đó ta phải tìm hàm số s = s(t) thỏa mãn điều kiện: S’(t) = 160 – 9,8t

Nhiều vấn đề của khoa học và kĩ thuật đã dẫn tới bài toán sau đây:

Cho hàm số f xác định trên K, ở đó K là một khoảng, một đoạn hoặc một nữa khoảng nào đó Hãy tìm hàm số F sao cho F’(x) = f(x) với mọi x thuộc K.

2.3.3 Một số tình huống dạy học PT:

* Thực tế trong giảng dạy bộ môn toán chúng ta thường gặp khó khăn là làm cho

người học cảm thấy kiến thức khô khan và câu hỏi đặt ra học để làm gì trong cuộcsống và kiến thức này bắt nguồn từ đâu dẫn đến học sinh không còn hứng thú đối vớiviệc học toán, từ đó khả năng lĩnh hội kiến thức của học sinh ngày một khăn hơn

* Trước thực trạng đó việc vận dụng lịch sử toán vào việc giảng dạy là một phầnquan trọng sẽ giúp cho học sinh hứng thú hơn trong học toán nhất là đối với môn giảitích.

* Trong thời gian có hạn chúng tôi đơn cử một số vận dụng lịch sử giải tích vàomột số tình huống sau:

Tình huống 1:

Khi dạy khái niệm tổng n số hạng đầu của cấp số nhân nhằm kích thích sự

tò mò của học sinh có thể kể cho học sinh nghe về sự tích bàn cờ vua

Câu chuyện “Vua Ấn Độ và bàn cờ vua”

Ai cũng biết bàn cờ vua có 64 ô Tục truyền để thưởng cho Setxa (Sessa), người

có công nghĩ ra môn cờ vua, Vua Ấn Độ Sêram (Shehram) cho phép Setxa chọn mộtphần thưởng tùy ý Setxa đề nghị vua cho “đặt vào ô thứ nhất của bàn cờ 1 hạt thóc, ôthứ hai đặt 2 hạt, ô thứ 3 đặt 4 hạt, ô thứ tư đặt 8 hạt …., ô thứ sáu mươi tư đặt 2^63hạt Chỉ thế thôi!”

Nhà vua quá cảm động vì “đức tính khiêm tốn” của bầy tôi, truyền lệnh lấy thóctrong kho để thực hiện ngay nguyện vọng trên

Số hạt thóc là:

Số thóc này lớn hay nhỏ mà viết gọn vậy?

Xin thưa, nếu 1 lít thóc chứa 18.000 hạt, thì phải cần 1013 hectoloit, tức bằngnhiều ngàn lần số thóc gặt được trên toàn thế giới!

Truyền thuyết không nói tiếp là trước lượng thóc vĩ đại ấy, nhà vua phải làm sao

Tình huống 2:

Khi xây dựng một nhà máy thủy điện, để tính lưu lượng của dòng sông ta phảitính diện tích thiết diện ngang của dòng sông Thiết diện đó thường là một hình kháphức tạp

Khi đóng tàu, các kĩ sư cần xác định thể tích của khoang tàu có hình dạng đặcbiệt

Trước khi phép tính tích phân ra đời, với mỗi hình và mỗi vật thể như vậy người

ta lại phải nghĩ ra một cách để tính Sự ra đời của tích phân cho chúng ta một phươngpháp tổng quát để giải hàng loạt những bài toán diện tích và thể tích nói trên

2.3.4 Tổ chức hoạt động ngoại khóa

a) Mục đích:

+ Gây hứng thú cho học sinh học toán

+ Tạo sân chơi lành mạnh cho học sinh trong những giờ học căng thẳng

+ Giúp học sinh ôn tập bộ môn toán

b) Yêu cầu:

+ Câu hỏi phải phù hợp đối tượng học sinh THPT

+ Học sinh tham gia đầy đủ, nhiệt tình

c) Chuẩn bị: chuẩn bị máy chiếu Projector, máy tính, âm thanh

d) Luật chơi:

Mỗi thí sinh sẽ có 15 giây suy nghĩ và chọn đáp án Ai trả lời đúng sẽ được 1phần thưởng

Các câu hổi như sau:

Câu hỏi 1: Ai là người phát minh ra logarit?

A Desargues B Nê-pe C Pythagore D.Lagrange

Câu hỏi 2: Kí hiệu tích phân do nhà toán học nước nào đưa ra?

Câu hỏi 6: Hãy điền vào khoảng trống để hoàn chỉnh câu nói nổi tiếng của

Descartes: “Tôi …… , tôi tồn tại”

A Suy nghĩ B Xấu hổ C Tư duy D Suy tư

Câu hỏi 7: Loại cờ nào được phát minh và người phát minh có phần thưởng được tính bằng công thức tổng n số hạng đầu của 1 cấp số nhân:

A Ca rô B Vua C.Tướng D Vây

Câu hỏi 8: Trong số phức chữ cái nào được dùng kí hiệu cho đơn vị ảo

A a B e C i D z