một số kinh nghiệm để nâng cao chất lượng dạy và học các định lí toán học phân môn hình học ở trường phổ thông cơ sở

Việc dạy học môn toán có khả năng đóng góp tích cực vào việc giáo dục học sinh , nắm được một cách chính xác, vững chắc và có hệ thống những kiến thức và kĩ năng toán học phổ thông cơ bả

I ĐẶT VẤN ĐỀ PHẦN I MỞ ĐẦU 1) Mục đích yêu cầu.

Toán học có vai trò rất quan trọng đối với đời sống và đối với các ngành khoa học nhà tư tưởng người Anh R Bêcơn đã nói: “Ai không hiểu biết toán học thì không thể hiểu bất cứ một môn khoa học nào khác và không thể phát hiện ra sự dốt nát của bản thân mình” Việc dạy học môn toán có khả năng đóng góp tích cực vào việc giáo dục học sinh , nắm được một cách chính xác, vững chắc và có hệ thống những kiến thức và kĩ năng toán học phổ thông cơ bản, hiện đại sát với thực tiễn Việt Nam và có khả năng vận dụng những tri thức đó vào những tình huống cụ thể khác nhau: vào đời sống, vào lao động sản xuất và vào việc học tập các bộ môn khác Vì môn toán có tính trừu tượng cao, suy diễn rộng, suy luận chặt chẽ nên không phải học sinh nào cũng học tốt môn toán, cũng yêu môn toán, nhất là khi học và chứng minh các định lí toán học, các em thường nhàm chán, khó khăn và không biết áp dụng các định lí để làm bài tập

Từ những vấn đề đó mà các em thấy sợ môn toán, học toán yếu dẫn đến kết quả và lĩnh hội kiến thức môn toán còn nhiều hạn chế Qua nhiều năm giảng dạy ở trường trung học cơ sở, qua nghiên cứu sách vở và tình hình thực tế tôi và nhiều đồng nghiệp thường trăn trở, băn khoăn tìm các phương pháp dạy cho các em dễ tiếp thu các kiến thức về các định lí toán học nói riêng và môn toán nói chung nhằm nâng cao chất lượng môn toán Chính vì lẽ đó, trong đề tài này tôi mạnh dạn

đưa ra “Một số kinh nghiệm để nâng cao chất lượng dạy và học các định lí toán học (phân môn hình học) ở trường phổ thông cơ sở”.

2) Thực trạng ban đầu

Qua thực tế nhiều năm dạy môn toán ở trường THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm tôi nhận thấy rằng đa số các en học sinh tiếp thu môn toán còn chậm, nhiều em yếu kém môn toán Nhất là khi học các định lí toán học, các em thường thu nhận các định lí một cách hình thức Hầu hết các em chỉ học thuộc lòng nguyên vẹn định lí theo kiểu học vẹt mà không rõ định lí nói gì? Áp dụng vào làm bài tập ra sao? Chính vì những điều mà ta cảm thấy không cần thiết đó đã một phần nào làm cho các em học sinh học yếu môn toán dẫn đến chất lượng môn toán thấp

Qua khảo sát chất lượng làm bài kiểm tra hình học của một lớp 42 em trong một lớp của trường THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm trong hai niên học 2004 – 2005 và 2005 – 2006 tôi thống kê như sau:

Năm học Lớp Sĩ

số

Điểm giỏi

Điểm khá

Điểm TB

Điểm yếu

Điểm kém

2004 – 2005 6A2 42 7,1% 11,1% 38% 39,04% 4,76%

2005 – 2006 7A2 42 4,76% 14,2% 35% 36,54% 9,5% Những số liệu ở bảng trên cho thấy việc tiếp thu bộ môn toán hình học của học sinh lớp 6A2 và 7A2 gồm 42 em trong hai niên học đó như sau:

Năm 2004 – 2005 chỉ khoảng 18,2% đạt điểm khá giỏi và có 43,8% điểm yếu kém

Năm 2004 – 2005 chỉ khoảng 18,96% đạt điểm khá giỏi và có 47,04% điểm yếu kém, đặc biệt điểm kém tăng đến 9,5%

Như vậy tính trung bình trong hai năm học liền thì lớp có 42 em chỉ đạt được 18,58% các em đạt điểm khá giỏi còn lại là trung bình và yếu kém Thực tế cho thấy nếu chúng ta không thay đổi phương pháp giảng dạy môn toán, đặc biệt là phương pháp dạy môn hình học thì chất lượng môn toán ngày càng thấp Điều này dẫn đến việc tiếp thu các bộ môn khoa học khác gặp nhiều khó khăn trở ngại và các

em khó đạt được hiệu quả cao trong các lĩnh vực khác

Qua tìm hiểu tôi thấy rằng nguyên nhân gây nên sự yếu kém về môn toán chủ yếu là:

a) Do phương pháp dạy của giáo viên chưa thực sự phù hợp với học sinh Giáo viên thường hay sử dụng phương pháp “Thầy dạy, trò chép” nên chưa phát huy được tính tích cực chủ động của người học

b) Giáo viên chưa tìm hiểu hết tâm lí của học sinh, thương hay chê trách thậm chí còn mạt sát các em trước lớp, gây ảnh hưởng đến tính tích cực, tự giác học tập

và sự hứng thú học tập bộ môn toán của các em Gây nên tâm lí chán học, ghét và

sợ bộ môn toán

c) Do cơ sở vật chất còn nghèo nàn, trang thiết bị dạy học chưa đầy đủ (các dụng cụ dạy học, các mô hình …)

d) Hoàn cảnh kinh tế của một số em học sinh gặp khó khăn, nhiều em ở xa trường nên việc tự lực đi học khó khăn, ngoài giờ học các em phải phụ giúp gia đình nên thời gian tự học không nhiều, gia đình ít quan tâm tạo điều kiện giúp đỡ các em học tập

e) Môi trường giáo dục ở một số gia đình chưa tốt Trình độ phụ huynh còn thấp nên không có điều kiện quan tâm giúp đỡ các em việchọc ở nhà

f) Việc học các định lí toán học và chứng minh các định lí hình học có tính trừu tượng cao, suy luận chính xác, phù hợp lí thuyết gây nên sự “Sợ” môn toán

PHẦN II NỘI DUNG

1) Cơ sở lí luận

Sáng kiến được nghiên cứu trên thực tế các tiết dạy học các định lí hình học khi dạy các định lí hình học giáo viên hay xem nhẹ, dạy cho qua loa vì các định lí và chứng minh đã được trình bày đầy đủ trong sách giáo khoa rồi Do đó, học sinh nắm bắt một cách thụ động nên khi làm bài tập hay chứng minh một định lí thường hay lúng túng, không có căn cứ, thiếu cơ sở, lời lẽ lủng củng, dài dòng

Do vậy, việc cải tiến phương pháp dạy học là cần thiết nhằm tích cực hóa hoạt động của học sinh, tạo động cơ, gây hứng thú cho học sinh khi học toán để nâng cao chất lượng môn toán

Thông qua sách giáo khoa là tài liệu chính giúp các em nắm bắt, tự giác nghiên cứu trước khi tiếp cận các định lí hình học

2) Giả thuyết

Để học sinh nắm chắc các kiến thức cơ bản khi học các định lí hình học và chứng minh định lí hình học một cách thành thạo và vận dụng tốt vào giải các bài tập thì người giáo viên cần phải nghiên cứu suy nghĩ, tìm tòi phương pháp thích hợp: Đề ra các câu hỏi đào sâu những vấn đề lí thuyết, phát triển năng lực suy luận

và chứng minh Từ chỗ hiểu được trình bày lại chứng minh các định lí đơn giản đến chỗ biết cách suy nghĩ tìm ra cách chứng minh định lí đó Giúp học sinh nêu được nội dung của từng định lí, những điểm mấu chốt của việc chứng minh định lí, hệ thống các định lí, thấy được mối liên hệ giữa các định lí và giải quyết một số vấn

đề thực tế

3) Quá trính thử nghiệm sáng kiến

Chương trình toán học ở trường THCS được xây dựng theo một hệ thống lôgíc

từ lớp 6 đến lớp 9 rõ nét nhất là môn hình học Việc dạy học các định lí hình học bao gồm nhiều vấn đề, vịêc chứng minh định lí phải thực hiện từ thấp đến cao, từ đơn giản đến phức tạp tùy theo trình độ học sinh từng khối lớp, tùy từng định lí để

đề ra các giải pháp

Ví dụ 1:

Để chứng minh định lí “Tính chất của hai góc đối đỉnh” (Toán 7 - Tập I)

Tôi đưa ra bài toán: “Cho hai đường thẳng xx’ và yy’ cắt nhau tại điểm O a) So sánh hai góc đối đỉnh xOy và x’Oy’; x’Oy và xOy’?

b) Nếu xOy 90   0 thì số đo của các góc yOx, xOy’, x’Oy bằng bao nhiêu?”

Với bài tập này học sinh sẽ suy ra được tính chất của hai góc đối đỉnh và hiểu rõ hơn tính chất này để áp dụng vào làm bài tập một cách tốt hơn

Ví dụ 2:

Về định lí: “Đường trung bình của tam giác” (Toán 8 tập I)

Việc đầu tiên cho học sinh liệt kê nội dung giả thiết, kết luận bằng các kí hiệu để ghi vắn tắt nhưng đầy đủ và chính xác nội dung định lí giúp việc chứng minh định

lí dễ dàng hơn

E D

C B

A

//

//

GT ABC; DA = DB (D AB  ), EA = EC (

E AC  )

2 

Ví dụ 3:

Khi chứng minh định lí: “Trong một đường tròn đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi qua trung điểm của dây căng cung ấy” (Toán 9 tập I) Tôi hướng dẫn học sinh biết cách lập mệnh đề đảo của định lí trên bằng cách phái đưa thêm điều kiện hạn chế để được một mệnh đề đúng: “Trong một đường tròn đường kính đi qua trung điểm của dây (không đi qua tâm) thì chia cung căng dây ấy thành hai phần bằng nhau” Nếu không thêm điều kiện “dây không đi qua tâm” thì mệnh đề đảo của định lí không đúng

Ví dụ 4:

Khi chứng minh định lí: “Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy” (Toán 8 tập I)

Sau khi yêu cầu học sinh ghi giả thiết, kết luận Tôi hướng dẫn học sinh cách chứng minh định lí này phải dựa vào giả thiết, các định lí đã học, vẽ thêm yếu tố phụ để chứng minh

Chẳng hạn: Kẻ thêm đường phụ bằng cách làm xuất hiện một đoạn thẳng CF =

AB

2 để có hình thang BDFC có hai đáy bằng nhau BD = FC Từ đó suy ra hai cạnh bên DF // BC và DE = DF BC

2  2 (đpcm)

F E

D

C B

A

//

//

Ví dụ 5:

Khi học bài: “Định lí” (Toán 7 - Tập 1 – trang 12)

Trong bài yêu cầu chứng minh định lí: “ Góc tạo bởi hai tia phân giác của hai góc kề bù là một góc vuông”

Thực tế sách giáo khoa đã chứng minh rồi nên học sinh không chú ý lắm vì

“Định lí đã chứng minh rồi còn chứng minh làm gì nữa”

Trong tình huống này tôi đưa ra một bài toán để tạo tiền đề, gây hứng thú, phát huy tính tự giác của học sinh cụ thể: “Hãy điền vào chỗ trống trong bài tập sau:

x m

n

GT xOz và xOy là … … ; tia On là ….… của xOy, tia Om là ……… xOz

KL ……… Chứng minh:

Có:  1 

2

 1 

2

mOz + nOz = 1

2(………… + ………) (3) (Căn cứ

……….)

Vì tia Oz nằm giữa hai tia Om và On nên: ………

Vì xOz và xOy là hai góc kề bù (gt) nên: ……… vậy từ (3) ta có:  1

mOm

2

 (…….)

mOm  ………

Để làm được bài tập này học sinh phải đọc kĩ sách giáo khoa, quan sát hình vẽ mới hoàn thành giả thiết, kết luận và phần chứng minh

Ví dụ 6:

Khi dạy định lí về góc ngoài của tam giác (Toán 7 - Tập I) Để học sinh hiểu rõ định lí và biết chứng minh định lí này tôi đưa ra tình huống sau:

Cho hình vẽ sau:

M N

C B

A

Hãy cho biết góc nào là góc ngoài của tam giác ABN? So sánh độ lớn MNC với tổng của ABN và BAN Qua đó các em phát biểu được định lí và hiểu cách chứng minh định lí hơn

Để học sinh nhận biết dược tính chất “Mỗi góc ngoài của tam giác lớn hơn mỗi góc trong không kề với nó” qua hình vẽ (sách giáo khoa), nếu chỉ đưa ra hình vẽ trong sách giáo khoa thì học sinh có thể cho rằng ACx là góc ngoài lớn hơn A và

Blà điều hiển nhiên vì ACx là góc tù, mà góc tù lớn hơn góc nhọn (A;Bµ µ nhọn)

x C

B

A

Vì thế tôi đưa thêm hình vẽ:

x C

B A

ACx là góc tù và B là góc tù để học sinh thấy góc ngoài ở đỉnh C lớn hơn A và

Bkhông phải là điều hiển nhiên mà phải chứng minh

x C

B

A

ACx là góc nhọn để học sinh thấy góc ngoài ở đỉnh C lớn hơn A và Bkhông phải là điều hiển nhiên mà phải chứng minh

Ví dụ 7:

Để chứng minh định lí: “Tổng ba góc của tam giác bằng 1800”

Tôi yêu cầu mỗi học sinh vẽ một tam giác bất kì rồi đo các góc của tam giác đó

và cộng các góc lại

Sau đó so sánh các kết quả của các học sinh và rút ra nhận xét: “Tổng ba góc của tam giác bằng 1800”

Để khẳng định điều này cần làm cho học sinh hiểu sự cần thiết phải chứng minh định lí để có một kết quả chính xác, tổng quát thay thế cho đo đạc, trực giác bằng cách sau:

Hướng dẫn các em vẽ một góc bằng tổng ba góc bằng cách:

+ Qua điểm A vẽ đường thẳng xy song song với BC

+  A  1 C  (So le trong)

A  2  B  (So le trong)

B BAC C A     BAC A   180 (đpcm)

2 1

x

y

C

Ví dụ 8:

Khi dạy định lí: “Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng nửa tổng hai đáy” (SGK toán 8 - Tập I)

Cách trình bày chứng minh trong sách giáo khoa ngắn gọn là cần thết Nhưng nếu giáo viên giảng như trong sách giáo khoa thì nhiều học sinh không hiểu được + Vì sao EF là đường trung bình của ADK ?

+ Vì sao suy ra được AF = FK, AB = CK?

1

K 2

1 /

/ F E

B A

Tôi hướng dẫn căc em chứng minh định lí như sau:

+ Có: AB // CD (gt)   

1

B C  (1) (So le trong)

+ FB = FC (gt) (2)

+ F 1 F 2 (3) (Hai góc đối đỉnh)

+ Từ (1), (2), (3)  ABF = KCF (g - c - g).

 AF = FK (4)

Và AB = CK (5)

+ Lại vì AE = ED (gt) và (4)  EF // DK (cùng song song với AB)

Và EF = DK

2 (6)

+ Lại có: DK = DC + CK nên từ (5)  DK = DC + AB (7)

+ Từ (6) và (7)  AB + CD

EF =

2 (đpcm)

Cách trình bày này có thể dài dòng nhưng giúp những học sinh thấy rõ căn cứ của mỗi khẳng định, mối liên hệ giữa mệnh đề này với mệnh đề khác trong quá trình chứng minh

Hoặc cũng có thể đưa ra sơ đồ sau để học sinh dễ hiểu hơn:

AB // CD (gt)



B C , BF= FC (gt), F   F

            (đ đ)

 ABF = KCF (g - c - g).

 

AE = EB (gt), AF = FK          AB = CK

 

AE // DK(// AB) EF =            DK2 DK = DC + CK



EF = AB + CD

Ví dụ 9:

Chứng minh định lí: “Tong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc dối diện bằng 1800 ” (Toán 9 - Tập II)

Học sinh có thể trình bày chứng minh này một cách lúng túng, sơ sài vì thế tôi hướng dẫn các em chứng minh theo các tình huống sau:

Cách 1:

Không cần vẽ các bán kính OB và OD mà dựa vào định lí đã biết (Định lí: số đo góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn) để suy ra:

sđ Aµ 1

2

= sđ BCD¼ , sđ Cµ 1

2

= sđ DAB¼ Mà: sđ BCD¼ + sđ DAB¼ = 3600  sđ µA + sđ µC = 1800 (đpcm)

O D

C B A

Cách 2:

Kẻ tiếp tuyến của đường tròn tại điểm A, nối AC

 Aµ1=Cµ1(góc nội tiếp và góc giữa tiếp tuyến và một dây cùng chắn »AB)

Aµ2 = Cµ2(góc nội tiếp và góc giữa tiếp tuyến và một dây cùng chắn »AD)

BAD + A + A = BAD C + + C = 180

Hay BAD· + BCD 180· = 0

1 2

C

1 2

x y

O

D

B A

Cách 3:

Nối AC và BD

1 1

DAB D + + B = 180 (Định lí tổng ba góc của tam giác)

Mà: Dµ1=Cµ2 (Hai góc nội tiếp cùng chắn »AB)

Bµ1=Cµ1 (Hai góc nội tiếp cùng chắn »AD)

DAB D + + B = DAB C + + C = DAB DCB 180 + =

1 1

C

1 2

O

D

B A

Như vậy qua mỗi cách chứng minh tôi đã làm xuất hiện một ý tưởng (một dấu hiệu nhận biết) bằng cách tạo ra một góc bằng 1800 hay đưa về tính tổng các góc

của tam giác … Nhờ đó mà học sinh dễ hiểu và vận dụng tốt một trong các cách trên để làm các bài tập về chứng minh tứ giác nội tiếp sau này

Ví dụ 10:

Chứng minh định lí: “Trong hình thang cân hai đường chéo bằng nhau”

Tôi hướng dẫn chứng minh:

Hình thang ABCD (AB // CD) cân

Có: AD = BC (cạnh bên của hình thang cân) (1)

ADC· = BCD· (Hai góc kề đáy của hình thang cân) (2)

CD = CD (Hiển nhiên) (3)

Từ (1), (2), (3) Þ V ADC = V BCD (c g c)

Þ AC = BD(đpcm)

C D

B A

Ví dụ 11:

Khi dạy bài “Ôn tập chương tứ giác” (Toán 8 tập I)

Để học sinh nắm dược một hệ thống kiến thức cơ bản và mối liên hệ giữa các định lí đã học , hiểu được định lí này đã được chứng minh, dựa vào định lí nào? Nó

có thể dùng để chứng minh một định lí nào khác … Đồng thời học sinh hiểu tác dụng của mỗi định lí để áp dụng tốt vào giải bài tập Tôi đưa ra một số hướng giải quyết như sau:

1) Để nắm được mối quan hệ giữa các tập hợp các hình tứ giác, tôi đưa ra sơ đồ sau:

h×nh

h×nh tø gi¸c

thang h×nh

h×nh thang c©n

b×nh hµnh

h×nh thoi

H×nh ch÷

nhËt

hình vuông

2) Để nắm chắc được các tính chất của các hình tứ giác tôi hệ thống:

a) Cỏc tớnh chất về cạnh

Hỡnh thang ABCD Û AB // CD hoặc AD // BC.

Hỡnh thang cõn ABCD  AB // CD và AD = BC

Hỡnh bỡnh hành ABCD Û AB // CD và AD // BC.

Û AB = CD và AD = BC.

Û AB // CD và AB = CD

Hỡnh thoi ABCDÛ AB = BC = CD = DA.

b) Cỏc tớnh chất về gúc

Hỡnh thang ABCD Û A C 180 à + = à 0 hoặc B D 180à+ =à 0

Hỡnh bỡnh hành ABCD Û A B à + = + = à A D 180 à à 0

Hỡnh chữ nhật Û A à = = = = B à C à D à 90 0

c) Cỏc tớnh chất về đường chộo

Hỡnh thang cõn ABCD  AC = BD

Hỡnh bỡnh hành ABCD Û OA = OC và OB = OD

Hỡnh chữ nhật ABCD Û OA = OC và OB = OD.

Hỡnh thoi ABCD Û OA = OC và OB = OD.

d) Tớnh chất đối xứng

Hỡnh bỡnh hành cú một tõm đối xứng

Hỡnh thang cõn cú một trục đối xứng khụng đi qua đỉnh

Hỡnh chữ nhật cú hai trục đối xứng khụng đi qua đỉnh

Hỡnh thoi cú hai trục đối xứng là hai dường chộo

Hỡnh vuụng cú bốn trục đối xứng

Vớ dụ 12:

Khi dạy định lớ về hệ thức về cạnh và gúc trong tam giỏc vuụng (Toỏn 9 - Tập I) tụi sử dụng sơ đồ sau:

Nhân

cos góc kề sin góc đối

Cạnh huyền Cạnh góc vuông kia

cotg góc kề

Nhân

tg góc đối Cạnh góc vuông

Từ sơ đồ trờn cỏc dễ thấy để tỡm cạnh gúc vuụng cú hai phương ỏn: Mỗi phương

ỏn là một cỏch

+ Nếu bài toỏn cho biết cạnh huyền thỡ dựng phương ỏn 1

+ Nếu bài toỏn cho biết cạnh gúc vuụng thỡ dựng phương ỏn 2

Vớ dụ 13: