Bài 1 Phương pháp quy nạp toán học A Câu hỏi hoạt động trong bài Hoạt động 1 trang 80 SGK Toán lớp 11 Đại số Xét hai mệnh đề chứa biến P(n) “3n < n + 100” và Q(n) “2n > n” với n * a) Với n = 1, 2, 3,[.]
Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học A Câu hỏi hoạt động Hoạt động trang 80 SGK Toán lớp 11 Đại số: Xét hai mệnh đề chứa biến P(n): “3n < n + 100” Q(n): “2n > n” với n * a) Với n = 1, 2, 3, 4, P(n), Q(n) hay sai? b) Với n * P(n), Q(n) hay sai? Lời giải: a) Với n = P(1): “31 < + 100” đúng, Q(1): “21 > 1” Với n = P(2): “32 < + 100” đúng, Q(2): “22 > 2” Với n = P(3): “33 < + 100” đúng, Q(3): “23 > 3” Với n = P(4): “34 < + 100” đúng, Q(4): “24 > 4” Với n = P(5): “35 < + 100” sai, Q(5): “25 > 5” b) Với P(n): Do với n = P(n) sai nên P(n) khơng với n * Với Q(n): Quan sát 2n ta thấy 2n tăng nhanh so với n nên 2n > n với n * hay Q(n) với n * Hoạt động trang 81 SGK Toán lớp 11 Đại số: Chứng minh với n * + + + + n = n ( n + 1) Lời giải: Khi n = 1, VT = Suy VP = 1(1 + 1) =1 Giả sử đẳng thức với n = k 1, nghĩa là: Sk = + + + + k = k(k + 1) Ta phải chứng minh đẳng thức với n = k + 1, tức là: Sk +1 = + + + + k + (k + 1) = (k + 1)(k + 2) Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có: Sk +1 = Sk + (k + 1) = k(k + 1) + 2(k + 1) (k + 1)(k + 2) k(k + 1) = + (k + 1) = 2 Vậy đẳng thức với n * Hoạt động trang 82 SGK Toán lớp 11 Đại số: Cho hai số 3n 8n với n * a) So sánh 3n với 8n n = 1, 2, 3, 4, b) Dự đoán kết tổng quát chứng minh phương pháp quy nạp Lời giải: a) n = suy 31 = < = 8.1 n = suy 32 = < 16 = 8.2 n = suy 33 = 27 > 24 = 8.3 n = suy 34 = 81 > 32 = 8.4 n = suy 35 = 243 > 40 = 8.5 b) Dự đoán kết tổng quát: 3n > 8n với n Với n = 3, bất đẳng thức Giả sử bất đẳng thức với n = k , nghĩa là: 3k > 8k Ta phải chứng minh bất đẳng thức với n = k + 1, tức là: 3k+1 > 8(k + 1) Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có: 3k+1 = 3k.3 > 8k.3 = 24k = 8k + 16k Với k suy 16k 16.3 = 48 Suy 3k+1 > 8k + = 8(k + 1) Vậy bất đẳng thức với n B Bài tập Bài tập trang 82 SGK Toán lớp 11 Đại số: Chứng minh với n * , ta có đẳng thức: a) + + + + 3n − = n ( 3n + 1) 1 1 2n − b) + + + + n = n 2 c) 12 + 22 + 32 + + n = n ( n + 1)( 2n + 1) Lời giải: Chứng minh phương pháp quy nạp toán học: a) + + + + 3n − = n ( 3n + 1) (1) Với n = 1, vế trái có số hạng 2, vế phải 1.(3.1 + 1) = 2 Do hệ thức (1) với n = Đặt vế trái Sn Giả sử đẳng thức (1) với n = k 1, tức Sk = + + + + 3k − = k(3k + 1) Ta phải chứng minh (1) với n = k + , nghĩa phải chứng minh Sk +1 = + + + + ( 3k − 1) + 3(k + 1) − 1 = (k + 1) 3(k + 1) + 1 Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có: Sk +1 = ( + + + + 3k − 1) + 3(k + 1) − 1 = Sk + 3k + = k(3k + 1) + 3k + 2 3k + k + 6k + 3k + 7k + (k + 1)(3k + 4) (k + 1)(3k + + 1) = = = = 2 2 = (k + 1) 3(k + 1) + 1 (điều phải chứng minh) Vậy theo nguyên lý quy nạp toán học, hệ thức (1) với n * 1 1 2n − b) + + + + n = n (2) 2 Với n = vế trái 1 , vế phải 2 Do hệ thức (2) với n = Đặt vế trái Sn Giả sử đẳng thức (2) với n = k 1, tức 1 1 2k − Sk = + + + + k = k 2 2k +1 − Ta phải chứng minh Sk +1 = k +1 Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có: ( 2k − 1) + 1 1 1 2k − 1 Sk +1 = + + + + k + k +1 = Sk + k +1 = k + k +1 = 2 2k +1 2 2k +1 − + 2k +1 − = k +1 (điều phải chứng minh) = 2k +1 Vậy theo ngun lí quy nạp tốn học, hệ thức (2) với n * c) 12 + 22 + 32 + + n = n ( n + 1)( 2n + 1) (3) Với n = vế trái 1, vế phải 1(1 + 1)(2 + 1) =1 Do hệ thức (3) với n = Đặt vế trái Sn Giả sử đẳng thức (3) với n = k 1, tức Sk = 12 + 22 + 32 + + k = Ta phải chứng minh Sk +1 = k ( k + 1)( 2k + 1) ( k + 1)( k + ) 2 ( k + 1) + 1 Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có: Sk+1 = 12 + 22 + 32 + … + k2 + (k + 1)2 = Sk + (k + 1)2 k ( k + 1)( 2k + 1) k ( k + 1)( 2k + 1) + ( k + 1) = + ( k + 1) = 6 = ( k + 1) k ( 2k + 1) + ( k + 1) ( k + 1) ( 2k + k + 6k + ) = ( k + 1) ( 2k + 7k + ) ( k + 1)( k + )( 2k + 3) ( k + 1)( k + )( 2k + + 1) = = = = ( k + 1)( k + ) 2 ( k + 1) + 1 6 (điều phải chứng minh) Vậy theo ngun lí quy nạp tốn học, hệ thức (3) với n * Bài tập trang 82 SGK Toán lớp 11 Đại số: Chứng minh với n * ta có: a) n3 + 3n2 + 5n chia hết cho 3; b) 4n + 15n − chia hết cho 9; c) n3 + 11n chia hết cho Lời giải: a) n3 + 3n2 + 5n chia hết cho 3; Đặt Sn = n3 + 3n2 + 5n Với n = S1 = 13 + 3.12 + 5.1 = chia hết cho Giả sử với n = k 1,Sk = ( k + 3k + 5k ) Ta phải chứng minh Sk +1 Thật : Sk+1 = (k + 1)3 + 3(k + 1)2 +5(k + 1) = k3 + 3k2 + 3k + + 3k2 + 6k + + 5k + = (k3 + 3k2 + 5k) + 3k2 + 9k + = Sk + 3(k2 + 3k + 3) Theo giả thiết quy nạp Sk Mà 3( k + 3k + 3) nên Sk +1 Vậy n3 + 3n2 + 5n chia hết cho với n * Cách khác: chứng minh trực tiếp Có: n3 + 3n2 + 5n = n.(n2 + 3n + 5) = n.(n2 + 3n + + 3) = n.(n2 + 3n + 2) + 3n = n(n + 1)(n + 2) + 3n Mà n ( n + 1)( n + ) (tích ba số tự nhiên liên tiếp) 3n Suy n + 3n + 5n = n ( n + 1)( n + ) + 3n Vậy n3 + 3n2 + 5n chia hết cho với n * b) 4n + 15n − chia hết cho 9; Đặt Sn = 4n + 15n – Với n = 1, S1 = 41 + 15.1 – = 18 nên S1 Giả sử với n = k 1,Sk = ( 4k + 15k − 1) Ta phải chứng minh Sk +1 Thật vậy, ta có: Sk+1 = 4k+1 + 15(k + 1) – = 4.4k + 15k + 15 – = 4.4k + 15k + 14 = 4.4k + 60k – 45k + 18 – = (4.4k + 60k – 4) – 45k + 18 = 4(4k + 15k – 1) – 45k + 18 = 4Sk – 9(5k – 2) Theo giả thiết quy nạp Sk nên 4Sk Mặt khác ( 5k – ) nên Sk +1 Vậy 4n + 15n –1 với n * c) n3 + 11n chia hết cho Đặt Sn = n3 + 11n Với n = 1, S1 = 13 + 11.1 = 12 nên S1 Giả sử với n = k 1,Sk = ( k + 11k ) Ta phải chứng minh Sk +1 Thật vậy, ta có: Sk+1 = (k + 1)3 + 11(k + 1) = k3 + 3k2 + 3k + + 11k + 11 = (k3 + 11k) + (3k2 + 3k + 12) = (k3 + 11k) + 3(k2 + k + 4) = Sk + 3(k2 + k + 4) Theo giả thiết quy nạp Sk Mặt khác k2 + k + = k(k + 1) + số chẵn nên 3( k + k + ) Do Sk +1 ( ) Vậy n + 11n với n * Cách khác: Chứng minh trực tiếp Có: n3 + 11n = n3 – n + 12n = n(n2 – 1) + 12n = n(n – 1)(n + 1) + 12n Vì n(n – 1)(n + 1) tích ba số tự nhiên liên tiếp nên có thừa số chia hết cho thừa số chia hết cho Suy n ( n – 1)( n + 1) Lại có 12n Vậy n + 11n = n ( n – 1)( n + 1) + 12n với n * Bài tập trang 82 SGK Toán lớp 11 Đại số: Chứng minh với số tự nhiên n , ta có bất đẳng thức: a) 3n > 3n + b) 2n+1 > 2n + Lời giải: a) 3n > 3n + Với n = ta có: 32 = > = 3.2 + (đúng) Giả sử bất đẳng thức với n = k , tức là: 3k > 3k + (1) Ta chứng minh bất đẳng thức với n = k + 1, tức cần chứng minh: 3k+1 > 3(k + 1) + = 3k + Nhân hai vế (1) với 3, ta được: 3k+1 > 9k + 3k+1 > 3k + + 6k – Vì k suy 6k − 11 nên 3k+1 > 3k + + 11 > 3k + = 3(k + 1) + Tức bất đẳng thức với n = k + Vậy bất đẳng thức 3n > 3n + với số tự nhiên n b) 2n+1 > 2n + Với n = ta có: 22+1 = > = 2.2 + (đúng) Giả sử bất đẳng thức với n = k , tức là: 2k+1 > 2k + (2) Ta chứng minh bất đẳng thức với n = k + 1, tức cần chứng minh: 2k+2 > 2(k + 1) + = 2k + Nhân hai vế (2) với 2, ta được: 2k+2 > 4k + 2k+2 > 2k + + 2k + Vì k suy 2k + > nên 2k+2 > 2k + Tức bất đẳng thức với n = k + Vậy bất đẳng thức 2n+1 > 2n + với số tự nhiên n Bài tập trang 83 SGK Toán lớp 11 Đại số: Cho tổng Sn = 1 với n * + + + 1.2 2.3 n ( n + 1) a) Tính S1, S2, S3 b) Dự đốn cơng thức tính tổng Sn chứng minh quy nạp Lời giải: a) S1 = 1 = 1.2 S2 = 1 + = 1.2 2.3 S3 = 1 + + = 1.2 2.3 3.4 b) Từ câu a) ta dự đoán Sn = n (1), với n * n +1 Ta chứng minh đẳng thức (1) phương pháp quy nạp Khi n = 1, vế trái S1 = Vậy đẳng thức (1) 1 = vế phải 1+1 2 Giả sử đẳng thức (1) với n = k 1, tức là: Sk = 1 k + ++ = 1.2 2.3 k(k + 1) k + Ta phải chứng minh đẳng thức với n = k + 1, nghĩa phải chứng minh: Sk +1 = k +1 k+2 Ta có: Sk +1 = Sk + k k(k + 2) + 1 = = + (k + 1)(k + 2) k + (k + 1)(k + 2) (k + 1)(k + 2) k + 2k + ( k + 1) = k + = = ( k + 1)( k + ) ( k + 1)( k + ) k + 2 Tức đẳng thức (1) với n = k + Vậy đẳng thức (1) chứng minh Bài tập trang 83 SGK Toán lớp 11 Đại số: Chứng minh số đường chéo đa giác lồi n cạnh n(n − 3) Lời giải: Kí hiệu đường chéo đa giác n cạnh Cn Ta chứng minh Cn = n ( n − 3) (1) với n *,n Với n = 4, ta có tứ giác nên có đường chéo Mặt khác 4(4 − 3) : = nên (1) với n = Vậy khẳng định với n = Giả sử (1) với n = k , tức Ck = k(k − 3) Ta phải chứng minh (1) với n = k + Tức Ck +1 = ( k + 1) ( k + 1) − 3 Xét đa giác lồi k + cạnh Đa giác k cạnh A1A2 Ak có k ( k − 3) đường chéo (giả thiết quy nạp) Nối Ak + 1với đỉnh A2, ,Ak−1, ta thêm k − đường chéo Ngoài A1Ak đường chéo Vậy số đường chéo đa giác k + cạnh k ( k − 3) k − 3k + 2k − k − k − k − 3k = + k − +1 = + k −1 = 2 2 = ( k + 1)( k − ) = ( k + 1) ( k + 1) − 3 2 Như vậy, khẳng định với đa giác k + cạnh Vậy toán chứng minh