1. Trang chủ
  2. » Thể loại khác

trac-nghiem-phuong-phap-quy-nap-toan-hoc-co-dap-an-toan-lop-11

24 3 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 24
Dung lượng 1,06 MB

Nội dung

BÀI 1 QUY NẠP TOÁN HỌC Câu 1 Với mọi số tự nhiên n , tổng 3 2 n S n 3n 5n 3 chia hết cho A 3 B 4 C 5 D 7 Đáp án Với n = 0 ta có 0 S 3 chia hết cho 3, ta chứng minh 3 2 n S n 3n 5n 3 chia hết cho 3 với[.]

BÀI QUY NẠP TOÁN HỌC Câu Với số tự nhiên n , tổng Sn n3 3n chia hết cho: 5n A B C D Đáp án: Với n = ta có: S0 chia hết cho 3, ta chứng minh Sn n3 3n 5n chia hết cho với số tự nhiên n Giả sử mệnh đề đến n k , tức Sk chứng minh mệnh đề đến n k k3 3k 1, tức Sk 5k chia hết cho 3, ta chia hết cho Ta có: Sk 1)3 (k 3(k k3 6k 14k k3 3k 5k (k 3k 5k k3 3k Có: Sk Sk 1) 5(k 1) 3k 9k 12 3) 5k 3(k 3k 3) chia hết cho theo giả thiết quy nạp, 3(k Vậy Sn với số tự nhiên n Đáp án cần chọn là: A Câu Giá trị tổng S A B C D n +1 2n (2n 1) là: 3k 3) , Đáp án: Với n =0 ta có: S Với n =1 ta có S =1–2+3=2 Với n =2 ta có S =1–2+3–4+5=3 Dự đốn S = n +1 (*) ta chứng minh (*) quy nạp Với n = đương nhiên (*) Giả sử (*) với n k , tức Sk chứng minh (*) với n 2k (2k 1) n(n k , ta k +1 Ta có: Sk 1 (1 Sk 4 (2k .2(k 1) 2k 2) (2k 2k 3) k (2(k 1) (2k 2k 1) 1) 2) (2k 2k 3) k Vậy (*) với số tự nhiên n, tức S = n +1 Đáp án cần chọn là: D Câu Với số nguyên dương n , tổng Sn A B C n(n 1)(n 2)(n n(n 1)(n 2) n(n 1)(n 2) D Đáp số khác 3) 1.2 2.3 3.4 1) là: Đáp án: Với n =1 ta có: S1 =1.2=2, đáp án A, C sai n(n Ta chứng minh Sn Giả sử (*) đến n Sk 1.2 đến n Sk 2.3 k 3.4 1)(n k(k 2) (*) với số nguyên dương n 1) , tức k(k 1) k(k 1)(k 2) (k 1)(k , ta chứng minh (∗) 1, tức cần chứng minh 1.2 2.3 3.4 (k 1.2 2.3 3.4 k(k 1)(k 2) 2)(k 3) Ta có: Sk k(k 1)(k 2) (k 1)(k k 2k (k 1) k (k 1)(k (k 1)(k 6) 1)(k 2)(k 3) (k 2k 5k 3k 1) (k 1)(k 2) 2) 6) Vậy (*) với số nguyên dương n Đáp án cần chọn là: B Câu 4: Một học sinh chứng minh mệnh đề ''8n chia hết cho 7, n N* ''(*) sau:  Giả sử (*) với n  Ta có: 8k + = (8k k tức 8k + chia hết cho 1) - 7, kết hợp với giả thiết 8k + chia hết suy 8k + chia hết cho  Vậy đẳng thức (*) với n N* Khẳng định sau đúng? A Học sinh chứng minh B Học sinh chứng minh sai khơng có giả thiết qui nạp C Học sinh chứng minh sai không dùng giả thiết qui nạp D Học sinh không kiểm tra bước (bước sở) phương pháp qui nạp Đáp án: Quan sát lời giải ta thấy: Học sinh thực thiếu bước 1: Kiểm tra n 81 +1=9 khơng chia hết mệnh đề sai Đáp án cần chọn là: D Câu 5: Với n N* , ta xét mệnh đề: P :“ n + chia hết cho 2”; Q: “ n + chia hết cho 3” R: “ n + chia hết cho 6” Số mệnh đề mệnh đề là: A B C D Đáp án: Bằng quy nạp toán học ta chứng minh n + chia hết cho Thật vậy, với n 1ta có: 71 + =12 Giả sử mệnh đề với n với n Ta có: k k k , nghĩa k + chia hết cho 6, ta chứng minh mệnh đề 1, nghĩa phải chứng minh k + chia hết cho + =7( k +5)−30 Theo giả thiết quy nạp ta có k +5chia hết cho 6, 30 chia hết 7( k +5)−30cũng chia hết cho Do mệnh đề với n k Vậy n + chi hết cho với n N* Mọi số chia hết cho chia hết cho chia hết cho Do mệnh đề Đáp án cần chọn là: A Câu 6: Trong phương pháp quy nạp toán học, ta giả sử mệnh đề với n ta cần chứng minh mệnh đề đến: A n k B n k C n k D n k Đáp án : k Nếu ta giả sử mệnh đề với n với n k k ta cần chứng minh mệnh đề Đáp án cần chọn là: C Câu 7: Đối với toán chứng minh P(n) với n p với p số tự nhiên cho trước bước ta cần chứng minh mệnh đề với: A n B n k C n k D n p Đáp án: Đối với toán chứng minh P(n) với n - Bước 1: Chứng minh P(n) với n - Bước 2: Với k p với p số tự nhiên cho trước thì: p p số nguyên dương tùy ý, giả sử P(n) với n minh P(n) n k Từ ta thấy, bước ta cần chứng minh mệnh đề với n phải n k , chứng p không Đáp án cần chọn là: D Câu 8: Dùng quy nạp chứng minh mệnh đề chứa biến P(n) với số tự nhiên n p ( p số tự nhiên) Ở bước ta giả thiết mệnh đề P(n) với n Khẳng định sau đúng? A k p B k p C k p D k p k Đáp án: Ở bước ta cần giả sử mệnh đề với n k với k p Đáp án cần chọn là: B Câu 9: Khi sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh mệnh đề chứa biến P(n) với số tự nhiên n p ( p số tự nhiên), ta tiến hành hai bước:  Bước 1, kiểm tra mệnh đề P(n) với n p  Bước 2, giả thiết mệnh đề P(n) với số tự nhiên n chứng minh với n k k p phải Trong hai bước trên: A Chỉ có bước B Chỉ có bước C Cả hai bước D Cả hai bước sai Đáp án: Đối với toán chứng minh P(n) với n - Bước 1: Chứng minh P(n) với n - Bước 2: Với k p với p số tự nhiên cho trước thì: p p số nguyên dương tùy ý, giả sử P(n) với n minh P(n) n k k , chứng Từ lý thuyết ta thấy hai bước Đáp án cần chọn là: C Câu 10: Trong phương pháp quy nạp toán học, bước 2, ta giả sử mệnh đề với n k A n ta cần chứng minh mệnh đề với: k B n k C n k D n k Đáp án: Phương pháp quy nạp toán học: - Bước 1: Chứng minh P(n) với n - Bước 2: Với k số nguyên dương tùy ý, giả sử P(n) với n minh P(n) n k Do ta thấy, bước 2, ta giả sử mệnh đề với n mệnh đề với n k k , chứng k 1thì ta cần chứng minh Đáp án cần chọn là: B Câu 11: Giả sử Q tập thật tập hợp số nguyên dương cho a) k Q b) n Q n Q n k Chọn mệnh đề mệnh đề sau A Mọi số nguyên dương thuộc Q B Mọi số nguyên dương lớn k thuộc Q C Mọi số nguyên bé k thuộc Q D Mọi số nguyên thuộc Q Đáp án: Đáp án A: sai Q tập thực N* nên tồn số nguyên dương không thuộc Q Đáp án B: theo lý thuyết phương pháp quy nạp toán học Đáp án C: sai theo giả thiết b) phải số tự nhiên lớn k thuộc Q Đáp án D: sai số ngun âm khơng thuộc Q Đáp án cần chọn là: B Câu 12 Tìm số nguyên dương p nhỏ để 2n A p B p C p D p 2n với số nguyên n p Đáp án: Dễ thấy p bất đẳng thức 2p Xét với p ta thấy 2p 2p 2p bất đẳng thức Bằng phương pháp quy nạp toán học chứng minh 2n Vậy p sai nên loại phương án D 2n với n 3 số nguyên dương nhỏ cần tìm Đáp án cần chọn là: B Câu 13: Với số nguyên dương n , tổng + + + … + (3n – 1) là: A n(3n 1) B n(3n 1) C n(3n 2) D 3n 2 Đáp án: Gọi Sn Với n , ta loại đáp án B, C D ta có: S1 Ta chứng minh Sn (3n 1) (3n 1) n(3n 1) (*) với số nguyên dương n phương pháp quy nạp toán học Giả sử (*) đến n Sk 1) tức k(k k(3k 1) (3k 1) Ta cần chứng minh (*) đến n Sk (3(k 1) 1) (3(k 1) 1) k 1, tức cần chứng minh (k 1).(3(k Thật ta có: Sk k(3k 1) k(3k 1) (3(k 1) 1) 2 2 3k k 6k 3k 7k 2 (k 1)(3k 4) Do (*) đến n k (3k 2) 1) 1) Vậy Sn n(3n 1) với số nguyên dương n (3n 1) Đáp án cần chọn là: A Câu 14: Với số nguyên dương n , ta có: 1 1 a,b số ngun Tính giá trị biểu thức T A P B P C P 20 D P 36 a2 n2 b2 Đáp án: Bằng cách phân tích số hạng đại diện, ta có: 1 k2 k k k k Suy 1 1 n2 n n 2 3 n n n 2n 2n 4n Đối chiếu với đẳng thức cho ta có: a Suy P a2 b2 2,b 20 Đáp án cần chọn là: C Câu 15: So sánh an bn a b n , với a 0;b 0,n N * ta được: an , bn A an bn an B a bn a an C n b n b bn a n b D Không so sánh Đáp án: a b a Với n 1ta có Với n , chọn a an bn 12 2 22 b , loại đáp án A ta có: 1, b a b , 2 n 2 an 0,b 0,n bn a b n Đáp án C sai Ta chứng minh đáp án B với a Với n N * phương pháp quy nạp 1mệnh đề Giả sử mệnh đề đến n Ta phải chứng minh ak k(k bk 1) a Thật vậy, ta nhân vế (1) với ak bk b k a b ta có: a b k (1) ak bk a ak b a k b a kb ab k bk a b a 0, b Nếu a a b ak ak b k (a b) a akb ab k ab k bk bk ak akb k (2) Do a ak b b b k (a b) (a k Từ (2) suy b) , 0,b ak ak ak b k )(a bk bk ak bk a b bk k , mệnh đề đến n k Vậy mệnh đề với n,a, b thỏa mãn điều kiện toán Đáp án cần chọn là: B Câu 16: Với số nguyên dương n , đặt S 12 A S B S C S D S Đáp án: n(n 1)(n n(n 1)(2n 2) n(n 1)(2n 1) n(n 1)(n 2) 2) 22 n Mệnh đề Cách 1: (trắc nghiệm) Kiểm tra tính – sai phương án đến tìm phương án thông qua số giá trị cụ thể nn + Với n S 12 (loại phương án B D); + Với n S 12 22 (loại phương án A) Vậy phương án C Cách Chứng minh phương pháp quy nạp Đáp án cần chọn là: C Câu 17: Với số tự nhiên n A 3n 4n B 3n 4n C 3n 3n 2 bất đẳng thức sau đúng? D Cả ba Đáp án: Với n ta có: 32 3.2 Ta chứng minh đáp án C phương pháp quy nạp toán học Bất đẳng thức với n 3k 3k , giả sử bất đẳng thức đến n Ta chứng minh bất đẳng thức đến n minh 3k Ta có: 3k k(k 3(k 1) 3.3k 3(3k 3k k , tức cần phải chứng 3k 5 2) 9k 2) , tức Vậy bất đằng thức với số tự nhiên n Đáp án cần chọn là: C Câu 18 Tính tổng: 1.4 + 2.7 + … +n.(3n +1) 1) A n.(n B (n 1).(n 2) 3) C (n 1).(2n D Đáp án khác Lời giải Ta dùng phương pháp quy nạp để chứng minh với số nguyên dương n thì: 1.4 2.7 n 3n (1) n n Với n = 1: Vế trái (1) = = Vế phải (1) 1(1 1) Suy Vế trái (1) = Vế phải (1) Vậy (1) với n = Giả sử (1) với n = k Có nghĩa ta có: 1.4 2.7 k 3k k k 2 Ta phải chứng minh (1) với n = k + Có nghĩa ta phải chứng minh: 1.4 2.7 Thật 1.4 k 3k 2.7 k 3k k k 1 k 3k k k 3k k k k 2 k 3k 1) 3k 4] (k 1).(k (k 1).[ k.(k k k 4k 4) (đpcm) Vậy (1) n = k + Do theo ngun lí quy nạp, (1) với số nguyên dương n Chọn A Câu 19 Chứng minh n 3n 5n chia hết cho Lời giải Đặt u n n 3n 13 Ta có u1 Giả sử u k 5n 3.12 5.1 chia hết cho 5k chia hết cho k 3k Ta cần chứng minh u k k 1 3k chia hết cho k Thật vậy, ta có: uk k3 3k k3 6k uk k2 3k 3k Vì u k k (k 3k 5k) 14k 3k 6k 5k (3k 9k 9) 3k chia hết cho 3, nên u k chia hết cho Vậy với số nguyên dương n u n chia hết cho Câu 20: Tìm tất số nguyên dương n cho 2n A n B n C n D n n2 3n Đáp án: Kiểm tra tính – sai bất đẳng thức với trường hợp n = 1,2,3,4, ta dự đoán 2n n2 3n , với n Ta chứng minh bất đẳng thức phương pháp quy nạp toán học Thật vây: -Bước 1: Với n vế trái 24 25 Do 32>28 nên bất đẳng thức với n -Bước 2: Giả sử đẳng thức với n 32 , vế phải 42 k , nghĩa 2k k2 3k 3.4 28 Ta phải chứng minh bất đẳng thức với n minh 2(k 1) (k 1) 1) hay 2k 3(k Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có k Suy 2.2k 2(k Mặt khác: 2k Do 2k 3k) hay 2k (k 6k 2(k 3k) 5k k2 k2 k2 3k 2k 6k 4) k2 k 5k 5k 1, tức phải chứng k 42 4 16 với k hay bất đẳng thức với n k Suy bất đẳng thức chứng minh Vậy phương án D Đáp án cần chọn là: D Câu 21: Cho tổng Sn A Sn B Sn C Sn D Sn 1.2 2.3 3.4 Mệnh đề đúng? n(n 1) n n n n n n n Đáp án: Cách 1: Bằng phương pháp quy nạp toán học, ta chứng minh 1.2 Sn 2.3 Thật vậy, với n 3.4 1.2 2.3 1.2 ta có S1 Giả sử (*) đến n Sk n = (*) n(n 1) n 3.4 k(k 1 1) ta có: k(k 1) k k(k 1) k k k , ta chứng minh (*) đến n k , tức cần chứng minh 1.2 Sk 2.3 3.4 Ta có: Sk 1.2 1 2.3 k k (k k 2k (k 1)(k 1)(k 2) 1 k(k 1) (k 1)(k k(k 2) 2) (k 1)(k 2) (k 1) (k 1)(k 2) k k 2) Vậy (*) với số nguyên dương n Đáp án cần chọn là: B Câu 22: Đặt Sn 1.3 A Sn n 2(2n 1) 3.5 (2n 1)(2n 1) với n N * Mệnh đề B Sn 3n 4n C Sn n 6n D Sn n 2n Đáp án: Cách 1: Rút gọn biểu thức Sn dựa vào việc phân tích phần tử đại diện Với số nguyên dương k , ta có (2k 1)(2k 1 2k 1) 2k Do đó: Sn 1 1 2n 2n 1 2n n 2n Vậy phương án phương án C Cách Dùng phương pháp quy nạp chứng minh C Đáp án cần chọn là: C Câu 23: Với n N* , rút gọn biểu thức S 1.4 A S n(n 1) B S n(n 2) C S n(n 1) D S 2n(n 1) 2.7 3.10 n(3n 1) Đáp án: Để chọn S đúng, dựa vào ba cách sau đây: Cách 1: Kiểm tra tính –sai phương án với giá trị n Với n =1 S =1.4 = (loại phương án B C) Với n S =1.4+2.7=18 (loại phương án D) Cách 2: Bằng cách tính S trường hợp n = 1, S = 4; n =2, S =18; n = 3, S = 48 ta dự đốn cơng thức S n(n 1) Cách 3: Ta tính S dựa vào tổng biết kết 12 22 Ta có: S n(n n2 3(12 22 1)(2n n2 ) (1 n n(n 1) 1) n) n(n 1) Đáp án cần chọn là: A Câu 24 Kí hiệu k! k(k 1) 2.1, k N* đặt Sn 1.1! 2.2! n.n! Mệnh đề đúng? A Sn 2.n! B Sn (n 1)! C Sn (n 1)! D Sn (n 1)! Đáp án: Cách 1: Kiểm nghiệm phương án giá trị cụ thể n Với n 1,S1 1.1! (Loại phương án A, C, D) Đáp án cần chọn là: B Câu 25: Chọn mệnh đề đúng: Với n A (13n 1) 13 B (13n 1) C (13n 1) 12 D (13n 1) N * thì: Đáp án: Với n ta có 131 12 12 , ta sử dụng phương pháp quy nạp toán học để chứng chia hết cho 12 với n minh 13n Giả sử khẳng định đến n đến n 1, tức 13k k Ta có:13k 13 12 Theo giả thiết quy nạp ta có: (13k 13(13k Vậy (13n 1) 12 12 1) 12 , n (13k k(k 1) , tức (13k 1) 12 , ta chứng minh chia hết cho 12 1 13.13k N* 13(13k 1) 12 1) 12 12 12 nên 1) 12 N* Đáp án cần chọn là: C Câu 26: Bất đẳng thức sau đúng? Với số tự nhiên n thỏa n A n n B 2n 2n C 2n n thì: D 2n 2n Đáp án: Với n ta loại đáp án A, B C Ta chứng minh đáp án D phương pháp quy nạp toán học Bất đẳng thức 2n với n 2n Giả sử bất đẳng thức đến n thức đến n k 8>7 , tức 2k 1, tức cần chứng minh 2k k 2k 2(k 1, ta chứng minh bất đẳng 1) 2k Ta có: 2k 2.2k Vì : k 2(2k 1) 2k 4k 2k 2k Do bất đẳng thức đến n k Vậy BĐT với số tự nhiên n Đáp án cần chọn là: D Câu 27 Bất đẳng thức sau đúng? Với số nguyên dương n thì: A 1 n n B 1 n n C 1 n n D 1 n Đáp án: Khi n ta có 1 ⇒ Loại đáp án A, B, D Ta chứng minh đáp án C phương pháp quy nạp toán học Bất đẳng thức với n Giả sử bất đẳng thức đến n 1 k k , ta chứng minh bất đẳng thức đến n chứng minh 1 k Ta có: VT=1 1) tức k(k k k k 1 k k Giả sử: k k k k k k 2 k k 1 k k k k 2 k k k (luôn đúng) Do đó: k k k 1 k k k , tức cần Do bất đẳng thức đến n Vậy 1 n Đáp án cần chọn là: C k n với số nguyên dương n

Ngày đăng: 29/04/2022, 23:17

w