BÀI 1 QUY NẠP TOÁN HỌC Câu 1 Với mọi số tự nhiên n , tổng 3 2 n S n 3n 5n 3 chia hết cho A 3 B 4 C 5 D 7 Đáp án Với n = 0 ta có 0 S 3 chia hết cho 3, ta chứng minh 3 2 n S n 3n 5n 3 chia hết cho 3 với[.]
BÀI QUY NẠP TOÁN HỌC Câu Với số tự nhiên n , tổng Sn n3 3n chia hết cho: 5n A B C D Đáp án: Với n = ta có: S0 chia hết cho 3, ta chứng minh Sn n3 3n 5n chia hết cho với số tự nhiên n Giả sử mệnh đề đến n k , tức Sk chứng minh mệnh đề đến n k k3 3k 1, tức Sk 5k chia hết cho 3, ta chia hết cho Ta có: Sk 1)3 (k 3(k k3 6k 14k k3 3k 5k (k 3k 5k k3 3k Có: Sk Sk 1) 5(k 1) 3k 9k 12 3) 5k 3(k 3k 3) chia hết cho theo giả thiết quy nạp, 3(k Vậy Sn với số tự nhiên n Đáp án cần chọn là: A Câu Giá trị tổng S A B C D n +1 2n (2n 1) là: 3k 3) , Đáp án: Với n =0 ta có: S Với n =1 ta có S =1–2+3=2 Với n =2 ta có S =1–2+3–4+5=3 Dự đốn S = n +1 (*) ta chứng minh (*) quy nạp Với n = đương nhiên (*) Giả sử (*) với n k , tức Sk chứng minh (*) với n 2k (2k 1) n(n k , ta k +1 Ta có: Sk 1 (1 Sk 4 (2k .2(k 1) 2k 2) (2k 2k 3) k (2(k 1) (2k 2k 1) 1) 2) (2k 2k 3) k Vậy (*) với số tự nhiên n, tức S = n +1 Đáp án cần chọn là: D Câu Với số nguyên dương n , tổng Sn A B C n(n 1)(n 2)(n n(n 1)(n 2) n(n 1)(n 2) D Đáp số khác 3) 1.2 2.3 3.4 1) là: Đáp án: Với n =1 ta có: S1 =1.2=2, đáp án A, C sai n(n Ta chứng minh Sn Giả sử (*) đến n Sk 1.2 đến n Sk 2.3 k 3.4 1)(n k(k 2) (*) với số nguyên dương n 1) , tức k(k 1) k(k 1)(k 2) (k 1)(k , ta chứng minh (∗) 1, tức cần chứng minh 1.2 2.3 3.4 (k 1.2 2.3 3.4 k(k 1)(k 2) 2)(k 3) Ta có: Sk k(k 1)(k 2) (k 1)(k k 2k (k 1) k (k 1)(k (k 1)(k 6) 1)(k 2)(k 3) (k 2k 5k 3k 1) (k 1)(k 2) 2) 6) Vậy (*) với số nguyên dương n Đáp án cần chọn là: B Câu 4: Một học sinh chứng minh mệnh đề ''8n chia hết cho 7, n N* ''(*) sau: Giả sử (*) với n Ta có: 8k + = (8k k tức 8k + chia hết cho 1) - 7, kết hợp với giả thiết 8k + chia hết suy 8k + chia hết cho Vậy đẳng thức (*) với n N* Khẳng định sau đúng? A Học sinh chứng minh B Học sinh chứng minh sai khơng có giả thiết qui nạp C Học sinh chứng minh sai không dùng giả thiết qui nạp D Học sinh không kiểm tra bước (bước sở) phương pháp qui nạp Đáp án: Quan sát lời giải ta thấy: Học sinh thực thiếu bước 1: Kiểm tra n 81 +1=9 khơng chia hết mệnh đề sai Đáp án cần chọn là: D Câu 5: Với n N* , ta xét mệnh đề: P :“ n + chia hết cho 2”; Q: “ n + chia hết cho 3” R: “ n + chia hết cho 6” Số mệnh đề mệnh đề là: A B C D Đáp án: Bằng quy nạp toán học ta chứng minh n + chia hết cho Thật vậy, với n 1ta có: 71 + =12 Giả sử mệnh đề với n với n Ta có: k k k , nghĩa k + chia hết cho 6, ta chứng minh mệnh đề 1, nghĩa phải chứng minh k + chia hết cho + =7( k +5)−30 Theo giả thiết quy nạp ta có k +5chia hết cho 6, 30 chia hết 7( k +5)−30cũng chia hết cho Do mệnh đề với n k Vậy n + chi hết cho với n N* Mọi số chia hết cho chia hết cho chia hết cho Do mệnh đề Đáp án cần chọn là: A Câu 6: Trong phương pháp quy nạp toán học, ta giả sử mệnh đề với n ta cần chứng minh mệnh đề đến: A n k B n k C n k D n k Đáp án : k Nếu ta giả sử mệnh đề với n với n k k ta cần chứng minh mệnh đề Đáp án cần chọn là: C Câu 7: Đối với toán chứng minh P(n) với n p với p số tự nhiên cho trước bước ta cần chứng minh mệnh đề với: A n B n k C n k D n p Đáp án: Đối với toán chứng minh P(n) với n - Bước 1: Chứng minh P(n) với n - Bước 2: Với k p với p số tự nhiên cho trước thì: p p số nguyên dương tùy ý, giả sử P(n) với n minh P(n) n k Từ ta thấy, bước ta cần chứng minh mệnh đề với n phải n k , chứng p không Đáp án cần chọn là: D Câu 8: Dùng quy nạp chứng minh mệnh đề chứa biến P(n) với số tự nhiên n p ( p số tự nhiên) Ở bước ta giả thiết mệnh đề P(n) với n Khẳng định sau đúng? A k p B k p C k p D k p k Đáp án: Ở bước ta cần giả sử mệnh đề với n k với k p Đáp án cần chọn là: B Câu 9: Khi sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh mệnh đề chứa biến P(n) với số tự nhiên n p ( p số tự nhiên), ta tiến hành hai bước: Bước 1, kiểm tra mệnh đề P(n) với n p Bước 2, giả thiết mệnh đề P(n) với số tự nhiên n chứng minh với n k k p phải Trong hai bước trên: A Chỉ có bước B Chỉ có bước C Cả hai bước D Cả hai bước sai Đáp án: Đối với toán chứng minh P(n) với n - Bước 1: Chứng minh P(n) với n - Bước 2: Với k p với p số tự nhiên cho trước thì: p p số nguyên dương tùy ý, giả sử P(n) với n minh P(n) n k k , chứng Từ lý thuyết ta thấy hai bước Đáp án cần chọn là: C Câu 10: Trong phương pháp quy nạp toán học, bước 2, ta giả sử mệnh đề với n k A n ta cần chứng minh mệnh đề với: k B n k C n k D n k Đáp án: Phương pháp quy nạp toán học: - Bước 1: Chứng minh P(n) với n - Bước 2: Với k số nguyên dương tùy ý, giả sử P(n) với n minh P(n) n k Do ta thấy, bước 2, ta giả sử mệnh đề với n mệnh đề với n k k , chứng k 1thì ta cần chứng minh Đáp án cần chọn là: B Câu 11: Giả sử Q tập thật tập hợp số nguyên dương cho a) k Q b) n Q n Q n k Chọn mệnh đề mệnh đề sau A Mọi số nguyên dương thuộc Q B Mọi số nguyên dương lớn k thuộc Q C Mọi số nguyên bé k thuộc Q D Mọi số nguyên thuộc Q Đáp án: Đáp án A: sai Q tập thực N* nên tồn số nguyên dương không thuộc Q Đáp án B: theo lý thuyết phương pháp quy nạp toán học Đáp án C: sai theo giả thiết b) phải số tự nhiên lớn k thuộc Q Đáp án D: sai số ngun âm khơng thuộc Q Đáp án cần chọn là: B Câu 12 Tìm số nguyên dương p nhỏ để 2n A p B p C p D p 2n với số nguyên n p Đáp án: Dễ thấy p bất đẳng thức 2p Xét với p ta thấy 2p 2p 2p bất đẳng thức Bằng phương pháp quy nạp toán học chứng minh 2n Vậy p sai nên loại phương án D 2n với n 3 số nguyên dương nhỏ cần tìm Đáp án cần chọn là: B Câu 13: Với số nguyên dương n , tổng + + + … + (3n – 1) là: A n(3n 1) B n(3n 1) C n(3n 2) D 3n 2 Đáp án: Gọi Sn Với n , ta loại đáp án B, C D ta có: S1 Ta chứng minh Sn (3n 1) (3n 1) n(3n 1) (*) với số nguyên dương n phương pháp quy nạp toán học Giả sử (*) đến n Sk 1) tức k(k k(3k 1) (3k 1) Ta cần chứng minh (*) đến n Sk (3(k 1) 1) (3(k 1) 1) k 1, tức cần chứng minh (k 1).(3(k Thật ta có: Sk k(3k 1) k(3k 1) (3(k 1) 1) 2 2 3k k 6k 3k 7k 2 (k 1)(3k 4) Do (*) đến n k (3k 2) 1) 1) Vậy Sn n(3n 1) với số nguyên dương n (3n 1) Đáp án cần chọn là: A Câu 14: Với số nguyên dương n , ta có: 1 1 a,b số ngun Tính giá trị biểu thức T A P B P C P 20 D P 36 a2 n2 b2 Đáp án: Bằng cách phân tích số hạng đại diện, ta có: 1 k2 k k k k Suy 1 1 n2 n n 2 3 n n n 2n 2n 4n Đối chiếu với đẳng thức cho ta có: a Suy P a2 b2 2,b 20 Đáp án cần chọn là: C Câu 15: So sánh an bn a b n , với a 0;b 0,n N * ta được: an , bn A an bn an B a bn a an C n b n b bn a n b D Không so sánh Đáp án: a b a Với n 1ta có Với n , chọn a an bn 12 2 22 b , loại đáp án A ta có: 1, b a b , 2 n 2 an 0,b 0,n bn a b n Đáp án C sai Ta chứng minh đáp án B với a Với n N * phương pháp quy nạp 1mệnh đề Giả sử mệnh đề đến n Ta phải chứng minh ak k(k bk 1) a Thật vậy, ta nhân vế (1) với ak bk b k a b ta có: a b k (1) ak bk a ak b a k b a kb ab k bk a b a 0, b Nếu a a b ak ak b k (a b) a akb ab k ab k bk bk ak akb k (2) Do a ak b b b k (a b) (a k Từ (2) suy b) , 0,b ak ak ak b k )(a bk bk ak bk a b bk k , mệnh đề đến n k Vậy mệnh đề với n,a, b thỏa mãn điều kiện toán Đáp án cần chọn là: B Câu 16: Với số nguyên dương n , đặt S 12 A S B S C S D S Đáp án: n(n 1)(n n(n 1)(2n 2) n(n 1)(2n 1) n(n 1)(n 2) 2) 22 n Mệnh đề Cách 1: (trắc nghiệm) Kiểm tra tính – sai phương án đến tìm phương án thông qua số giá trị cụ thể nn + Với n S 12 (loại phương án B D); + Với n S 12 22 (loại phương án A) Vậy phương án C Cách Chứng minh phương pháp quy nạp Đáp án cần chọn là: C Câu 17: Với số tự nhiên n A 3n 4n B 3n 4n C 3n 3n 2 bất đẳng thức sau đúng? D Cả ba Đáp án: Với n ta có: 32 3.2 Ta chứng minh đáp án C phương pháp quy nạp toán học Bất đẳng thức với n 3k 3k , giả sử bất đẳng thức đến n Ta chứng minh bất đẳng thức đến n minh 3k Ta có: 3k k(k 3(k 1) 3.3k 3(3k 3k k , tức cần phải chứng 3k 5 2) 9k 2) , tức Vậy bất đằng thức với số tự nhiên n Đáp án cần chọn là: C Câu 18 Tính tổng: 1.4 + 2.7 + … +n.(3n +1) 1) A n.(n B (n 1).(n 2) 3) C (n 1).(2n D Đáp án khác Lời giải Ta dùng phương pháp quy nạp để chứng minh với số nguyên dương n thì: 1.4 2.7 n 3n (1) n n Với n = 1: Vế trái (1) = = Vế phải (1) 1(1 1) Suy Vế trái (1) = Vế phải (1) Vậy (1) với n = Giả sử (1) với n = k Có nghĩa ta có: 1.4 2.7 k 3k k k 2 Ta phải chứng minh (1) với n = k + Có nghĩa ta phải chứng minh: 1.4 2.7 Thật 1.4 k 3k 2.7 k 3k k k 1 k 3k k k 3k k k k 2 k 3k 1) 3k 4] (k 1).(k (k 1).[ k.(k k k 4k 4) (đpcm) Vậy (1) n = k + Do theo ngun lí quy nạp, (1) với số nguyên dương n Chọn A Câu 19 Chứng minh n 3n 5n chia hết cho Lời giải Đặt u n n 3n 13 Ta có u1 Giả sử u k 5n 3.12 5.1 chia hết cho 5k chia hết cho k 3k Ta cần chứng minh u k k 1 3k chia hết cho k Thật vậy, ta có: uk k3 3k k3 6k uk k2 3k 3k Vì u k k (k 3k 5k) 14k 3k 6k 5k (3k 9k 9) 3k chia hết cho 3, nên u k chia hết cho Vậy với số nguyên dương n u n chia hết cho Câu 20: Tìm tất số nguyên dương n cho 2n A n B n C n D n n2 3n Đáp án: Kiểm tra tính – sai bất đẳng thức với trường hợp n = 1,2,3,4, ta dự đoán 2n n2 3n , với n Ta chứng minh bất đẳng thức phương pháp quy nạp toán học Thật vây: -Bước 1: Với n vế trái 24 25 Do 32>28 nên bất đẳng thức với n -Bước 2: Giả sử đẳng thức với n 32 , vế phải 42 k , nghĩa 2k k2 3k 3.4 28 Ta phải chứng minh bất đẳng thức với n minh 2(k 1) (k 1) 1) hay 2k 3(k Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có k Suy 2.2k 2(k Mặt khác: 2k Do 2k 3k) hay 2k (k 6k 2(k 3k) 5k k2 k2 k2 3k 2k 6k 4) k2 k 5k 5k 1, tức phải chứng k 42 4 16 với k hay bất đẳng thức với n k Suy bất đẳng thức chứng minh Vậy phương án D Đáp án cần chọn là: D Câu 21: Cho tổng Sn A Sn B Sn C Sn D Sn 1.2 2.3 3.4 Mệnh đề đúng? n(n 1) n n n n n n n Đáp án: Cách 1: Bằng phương pháp quy nạp toán học, ta chứng minh 1.2 Sn 2.3 Thật vậy, với n 3.4 1.2 2.3 1.2 ta có S1 Giả sử (*) đến n Sk n = (*) n(n 1) n 3.4 k(k 1 1) ta có: k(k 1) k k(k 1) k k k , ta chứng minh (*) đến n k , tức cần chứng minh 1.2 Sk 2.3 3.4 Ta có: Sk 1.2 1 2.3 k k (k k 2k (k 1)(k 1)(k 2) 1 k(k 1) (k 1)(k k(k 2) 2) (k 1)(k 2) (k 1) (k 1)(k 2) k k 2) Vậy (*) với số nguyên dương n Đáp án cần chọn là: B Câu 22: Đặt Sn 1.3 A Sn n 2(2n 1) 3.5 (2n 1)(2n 1) với n N * Mệnh đề B Sn 3n 4n C Sn n 6n D Sn n 2n Đáp án: Cách 1: Rút gọn biểu thức Sn dựa vào việc phân tích phần tử đại diện Với số nguyên dương k , ta có (2k 1)(2k 1 2k 1) 2k Do đó: Sn 1 1 2n 2n 1 2n n 2n Vậy phương án phương án C Cách Dùng phương pháp quy nạp chứng minh C Đáp án cần chọn là: C Câu 23: Với n N* , rút gọn biểu thức S 1.4 A S n(n 1) B S n(n 2) C S n(n 1) D S 2n(n 1) 2.7 3.10 n(3n 1) Đáp án: Để chọn S đúng, dựa vào ba cách sau đây: Cách 1: Kiểm tra tính –sai phương án với giá trị n Với n =1 S =1.4 = (loại phương án B C) Với n S =1.4+2.7=18 (loại phương án D) Cách 2: Bằng cách tính S trường hợp n = 1, S = 4; n =2, S =18; n = 3, S = 48 ta dự đốn cơng thức S n(n 1) Cách 3: Ta tính S dựa vào tổng biết kết 12 22 Ta có: S n(n n2 3(12 22 1)(2n n2 ) (1 n n(n 1) 1) n) n(n 1) Đáp án cần chọn là: A Câu 24 Kí hiệu k! k(k 1) 2.1, k N* đặt Sn 1.1! 2.2! n.n! Mệnh đề đúng? A Sn 2.n! B Sn (n 1)! C Sn (n 1)! D Sn (n 1)! Đáp án: Cách 1: Kiểm nghiệm phương án giá trị cụ thể n Với n 1,S1 1.1! (Loại phương án A, C, D) Đáp án cần chọn là: B Câu 25: Chọn mệnh đề đúng: Với n A (13n 1) 13 B (13n 1) C (13n 1) 12 D (13n 1) N * thì: Đáp án: Với n ta có 131 12 12 , ta sử dụng phương pháp quy nạp toán học để chứng chia hết cho 12 với n minh 13n Giả sử khẳng định đến n đến n 1, tức 13k k Ta có:13k 13 12 Theo giả thiết quy nạp ta có: (13k 13(13k Vậy (13n 1) 12 12 1) 12 , n (13k k(k 1) , tức (13k 1) 12 , ta chứng minh chia hết cho 12 1 13.13k N* 13(13k 1) 12 1) 12 12 12 nên 1) 12 N* Đáp án cần chọn là: C Câu 26: Bất đẳng thức sau đúng? Với số tự nhiên n thỏa n A n n B 2n 2n C 2n n thì: D 2n 2n Đáp án: Với n ta loại đáp án A, B C Ta chứng minh đáp án D phương pháp quy nạp toán học Bất đẳng thức 2n với n 2n Giả sử bất đẳng thức đến n thức đến n k 8>7 , tức 2k 1, tức cần chứng minh 2k k 2k 2(k 1, ta chứng minh bất đẳng 1) 2k Ta có: 2k 2.2k Vì : k 2(2k 1) 2k 4k 2k 2k Do bất đẳng thức đến n k Vậy BĐT với số tự nhiên n Đáp án cần chọn là: D Câu 27 Bất đẳng thức sau đúng? Với số nguyên dương n thì: A 1 n n B 1 n n C 1 n n D 1 n Đáp án: Khi n ta có 1 ⇒ Loại đáp án A, B, D Ta chứng minh đáp án C phương pháp quy nạp toán học Bất đẳng thức với n Giả sử bất đẳng thức đến n 1 k k , ta chứng minh bất đẳng thức đến n chứng minh 1 k Ta có: VT=1 1) tức k(k k k k 1 k k Giả sử: k k k k k k 2 k k 1 k k k k 2 k k k (luôn đúng) Do đó: k k k 1 k k k , tức cần Do bất đẳng thức đến n Vậy 1 n Đáp án cần chọn là: C k n với số nguyên dương n