Câu 1 Với mọi số tự nhiên n , tổng Sn=n3+3n2+5n+3Sn=n3+3n2+5n+3 chia hết cho A 3 B 4 C 5 D 7 Lời giải Đáp án A Giải thích Với n = 0 ta có S0=3S0=3 chia hết cho 3, ta chứng minh Sn=n3+3n2+5n+3Sn=n3+3n2[.]
Câu Với số tự nhiên n , tổng Sn=n3+3n2+5n+3Sn=n3+3n2+5n+3 chia hết cho: A B C D Lời giải: Đáp án: A Giải thích: Với n = ta có: S0=3S0=3 chia hết cho 3, ta chứng minh Sn=n3+3n2+5n+3Sn=n3+3n2+5n+3 chia hết cho với số tự nhiên Giả sử mệnh đề đến n=kn=k , tức Sk=k3+3k2+5k+3Sk=k3+3k2+5k+3 chia hết cho 3, ta chứng minh mệnh đề đến n=k+1n=k+1, tức Sk+1Sk+1 chia hết cho Ta có: Sk+1Sk+1 =(k+1)3+3(k+1)2+5(k+1)+3=(k+1)3+3(k+1)2+5(k+1)+3 =k3+6k2+14k+12=k3+6k2+14k+12 =(k3+3k2+5k+3)+3(k2+3k+3)=(k3+3k2+5k+3)+3(k2+3k+3) Có: Sk=k3+3k2+5k+3Sk=k3+3k2+5k+3 chia hết cho theo giả thiết quy nạp, 3(k2+3k+3)⋮33(k2+3k+3)⋮3, Sk+1⋮3Sk+1⋮3 Vậy Sn⋮3Sn⋮3 với số tự nhiên n Câu Giá trị tổng là: S=1−2+3−4+ −2n+(2n+1)S=1−2+3−4+ −2n+(2n+1) A B C D n +1 Lời giải: Đáp án: D Giải thích: Với =0 ta có: S=1S=1 Với =1 ta có SS =1–2+3=2 Với =2 ta có SS=1–2+3–4+5=3 Dự đốn S = n+1(*)* ta chứng minh (*)*đúng quy nạp Với n = đương nhiên (*)* Giả sử (*)* với n=kn=k, tức Sk=1−2+3−4+ −2k+(2k+1)Sk=1−2+3−4+ −2k+(2k+1) =k+1=k+1, ta chứng minh (*)* với n=kn=k +1 Ta có: Sk+1=1−2+3−4+ 2(k−1)Sk+1=1−2+3−4+ 2(k−1) +(2(k+1)+1)+(2(k+1)+1) =(1−2+3−4+ −2k+2k+1)=(1−2+3−4+ −2k+2k+1) −(2k+2)+(2k+3)−(2k+2)+(2k+3) =Sk−(2k+2)+(2k+3)=Sk−(2k+2)+(2k+3) =k+1−2k−2+2k+3=k+1−2k−2+2k+3 =k+2=k+2 Vậy (*)* với số tự nhiên n, tức S = n+1 Câu Với số nguyên dương n , tổng Sn=1.2+2.3+3.4+ +n(n+1)Sn=1.2+2.3+3.4+ +n(n+1) là: A n(n+1)(n+2)(n+3)6n(n+1)(n+2)(n+3)6 B n(n+1)(n+2)3n(n+1)(n+2)3 C n(n+1)(n+2)2n(n+1)(n+2)2 D Đáp số khác Lời giải: Đáp án: B Giải thích: Với =1 ta có: S =1.2=2, đáp án A, C sai Ta chứng minh Sn=n(n+1)(n+2)3(*)Sn=n(n+1)(n+2)3(*) với số nguyên dương Giả sử (*)* đến , tức Sk=1.2+2.3+3.4+ +k(k+1)Sk=1.2+2.3+3.4+ +k(k+1) =k(k+1)(k+2)3=k(k+1)(k+2)3 , ta chứng minh (∗) đến n=k+1n=k+1, tức cần chứng minh Sk+1Sk+1 =1.2+2.3+ +(k+1)(k+2)=1.2+2.3+ +(k+1)(k+2) =(k+1)(k+2)(k+3)3=(k+1)(k+2)(k+3)3 Ta có: Sk+1=1.2+2.3+ +k(k+1)+(k+1)(k+2)=k(k+1)(k+2)3+(k+1)(k+2)=(k+1).(k2+2k3+k+2) =(k+1)(k2+2k+3k+6)3=(k+1)(k2+5k+6)3=(k+1)(k+2)(k+3)3Sk+1=1.2+2.3+ +k(k+1)+ (k+1)(k+2)=k(k+1)(k+2)3+(k+1)(k+2)= (k+1).k2+2k3+ k+2=(k+1)(k2+2k+3k+6)3=(k+1)(k2+5k+6)3=(k+1)(k+2)(k+3)3 Vậy (*)* với số nguyên dương n Câu 4: Một học sinh chứng minh mệnh đề ''8n+1''8n+1 chia hết cho 7,∀n∈N∗''(*)7,∀n∈N*''(*) sau: Giả sử (*)* với n=kn=k tức 8k8k+ chia hết cho Ta có: 8k8k+ = 8(8k+1)(8k+1)- 7, kết hợp với giả thiết 8k8k+ chia hết suy 8k+18k+1+ chia hết cho Vậy đẳng thức (*)* với n∈N∗n∈N* Khẳng định sau đúng? A Học sinh chứng minh B Học sinh chứng minh sai khơng có giả thiết qui nạp C Học sinh chứng minh sai khơng dùng giả thiết qui nạp D Học sinh không kiểm tra bước (bước sở) phương pháp qui nạp Lời giải: Đáp án: D Giải thích: Quan sát lời giải ta thấy: Học sinh thực thiếu bước 1: Kiểm tra n=1n=1 8181+1=9 khơng chia hết mệnh đề sai Câu 5: Với n∈N∗n∈N* , ta xét mệnh đề: PP :“ 7n7n + chia hết cho 2”; Q: “7n7n+ chia hết cho 3” R: “7n7n+ chia hết cho 6” Số mệnh đề mệnh đề là: A B C D Lời giải: Đáp án: A Giải thích: Bằng quy nạp tốn học ta chứng minh 7n7n + chia hết cho Thật vậy, với n = ta có: 7171 + =12 ⋮⋮ Giả sử mệnh đề với n = k , nghĩa 7k7k + chia hết cho 6, ta chứng minh mệnh đề với , nghĩa phải chứng minh 7k+17k+1 + chia hết cho Ta có: 7k+17k+1 + =7(7k7k+5)−30 Theo giả thiết quy nạp ta có 7k7k+5chia hết cho 6, 30 chia hết 7(7k7k+5)−30cũng chia hết cho Do mệnh đề với n=k+1n=k+1 Vậy 7n7n + chi hết cho với n∈N∗n∈N* Mọi số chia hết cho chia hết cho chia hết cho Do mệnh đề Câu 6: Trong phương pháp quy nạp toán học, ta giả sử mệnh đề với n=kn=k ta cần chứng minh mệnh đề đến: A n=k−1n=k−1 B n=k−2n=k−2 C n=k+1n=k+1 D n=k+2n=k+2 Lời giải: Đáp án: C Giải thích: Nếu ta giả sử mệnh đề với n=kn=k ta cần chứng minh mệnh đề với n=k+1n=k+1 Câu 7: Đối với toán chứng minh P(n)P(n) với n≥pn≥p với p số tự nhiên cho trước bước ta cần chứng minh mệnh đề với: A n=1n=1 B n=kn=k C n=k+1n=k+1 D n=pn=p Lời giải: Đáp án: D Giải thích: Đối với tốn chứng minh P(n)P(n) với n≥pn≥p với p số tự nhiên cho trước thì: - Bước 1: Chứng minh P(n)P(n) với n=pn=p - Bước 2: Với k≥pk≥p số nguyên dương tùy ý, giả sử P(n)P(n) với n=kn=k, chứng minh P(n)P(n) n=k+1n=k+1 Từ ta thấy, bước ta cần chứng minh mệnh đề với n=pn=p n=1n=1 Câu 8: Dùng quy nạp chứng minh mệnh đề chứa biến P(n)P(n) với số tự nhiên n≥pn≥p (p số tự nhiên) Ở bước ta giả thiết mệnh đề P(n)P(n) với n=kn=k Khẳng định sau đúng? A k≠pk≠p B k≥pk≥p C k=pk=p D k2n+1 với số nguyên A p = B p = C p = D p = Lời giải: Đáp án: B Giải thích: Dễ thấy p = bất đẳng thức 2p>2p+12p>2p+1 sai nên loại phương án D Xét với p = ta thấy 2p>2p+12p>2p+1 bất đẳng thức Bằng phương pháp quy nạp toán học chứng minh 2n>2n+12n>2n+1 với n≥3n≥3 Vậy p = số nguyên dương nhỏ cần tìm Câu 13: Với số nguyên dương n, tổng + + + … + (3n – 1) là: A n(3n+1)2n(3n+1)2 B n(3n−1)2n(3n−1)2 C n(3n+2)2n(3n+2)2 D 3n223n22 Lời giải: Đáp án: A Giải thích: Gọi Sn=2+5+8+ +(3n−1)Sn=2+5+8+ +(3n−1) Với n = ta có: S1=2S1=2 , ta loại đáp án B, C D Ta chứng minh Sn=2+5+8+ +(3n−1)Sn=2+5+8+ +(3n−1) =n(3n+1)2(*)=n(3n+1)2(*) với số nguyên dương n phương pháp quy nạp toán học Giả sử (*)* đến n=k(k≥1)n=k(k≥1) tức Sk=2+5+8+ +(3k−1)Sk=2+5+8+ +(3k−1) =k(3k+1)2=k(3k+1)2 Ta cần chứng minh (*) đến n=k+1n=k+1, tức cần chứng minh Sk+1=2+5+ +(3(k+1)−1)Sk+1=2+5+ +(3(k+1)−1) ... P=a2+b2=20P=a2+b2=20 Câu 15: So sánh an+ bn 2an+ bn2và (a+b2)na+b2n, với a≥0;b≥0,n∈N*a≥0;b≥0,n∈N* ta được: A an+ bn2