Giáo án Đại số 11: Phương pháp quy nạp toán học trình bày tóm tắt lý thuyết trọng tâm, các dạng toán và bài tập chủ đề phương pháp quy nạp toán học, có đáp án và lời giải chi tiết, giúp học sinh lớp 11 tham khảo khi học chương trình Đại số và Giải tích 11.
Cơ: Lê Thị Thanh Phương Tổ Tốn Trường THPT Bình Chánh Xét mệnh đề chứa biến P(n) :"3n 3n + 1"& Q(n) :"2n n", n * a Với n = 1, 2, 3, 4, P(n), Q(n) hay sai? b Với n * P(n), Q(n) hay sai? Trả lời: a P(n) Q(n) n 3n 27 81 243 ? 3n+1 n 2n S 10 Đ Đ 13 Đ 16 16 Đ 32 ? n Đ Đ Đ Đ Đ b Với n * P(n) sai; Q(n) chưa thể khẳng định chắn hay sai Chương III: DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN §1: PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TOÁN HỌC Phương pháp qui nạp toán học Để chứng minh mệnh đề với n bước sau: * ta thực theo B1: Kiểm tra mệnh đề với n=1 B2: Giả sử mệnh đề với n = k (Giả thiết qui nạp-GTQN) Ta chứng minh mệnh đề với n=k+1 Ví dụ áp dụng: Ví dụ 1: Chứng minh với n N*, ta có: n(n + 1) + + + + n = Lời giải: +) Với n = 1, ta có VT(1) = 1, VP(1) = (1) 1(1 + 1) =1 , đẳng thức (1) k (k + 1) (GTQN) Ta phải chứng minh (1) với n = k+1, tức phải chứng minh: (k + 1)[(k + 1) + 1] + + + + k + (k + 1) = (2) Thật vậy: VT (2) = (1 + + + + k ) + (k + 1) +) Giả sử (1) với n = k ≥ 1, nghĩa + + + + k = k + k + ( k + 1) k + 3k + k (k + 1) = + (k + 1) = = 2 (k + 1) (k + 1) + 1 (k + 1) ( k + ) k + 3k + VP(2) = = = 2 VT (2) = VP(2) Vậy với n N*, ta có: + + + + n = n(n + 1) (1) Ví dụ 2: Chứng minh với n N*, ta có: Q ( n ) :"2 n " n Lời giải: +) Với n = 1, ta có VT = 21 = VP = ,vậy Q(n) k +) Giả sử Q(n) với n = k ≥ 1, nghĩa là: k ( GTQN ) Kiểm tra Q(n) Ta phải chứng minh với Q(n) n=1 với n = k+1, tức k +1 phải chứng minh: k + Thật vậy, theo GTQN: 2k k 2.2k 2.k 2k +1 k + k k + ( k 1) 2k +1 k + n Vậy với n N*, ta có: Q ( n ) :"2 n " §1: PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TỐN HỌC Phương pháp qui nạp tốn học Để chứng minh mệnh đề với n bước sau: B1: Kiểm tra mệnh đề với n=1 B2: Giả sử mệnh đề với * ta thực theo n = k (Giả thiết qui nạp-GTQN) Ta chứng minh mệnh đề với n=k+1 Ví dụ áp dụng: Chú ý: (SGK- 82) Để chứng minh mệnh đề với n ≥ p ta thực theo bước sau: B1: Kiểm tra mệnh đề với n=p B2: Giả sử mệnh đề với n=k ≥ p (Giả thiết qui nạp-GTQN) Ta chứng minh mệnh đề với n=k+1 CMR :n N * un = 13n − (1) ▪ Với n = ta có: u1 = 131 − = 12 (Mệnh đề (1) đúng) ▪ Giả sử mệnh đề (1) với n = k≥ 1, nghĩa là: Ta phải chứng minh (1) với n = k+ 1, tức : Thật vậy: uk = 13k − uk +1 = 13k +1 − uk +1 = 13k +1 − = 13.13k − = 13.13k − 13 + 12 = 13(13k − 1) + 12 = 13uk + 12 Vậy với n N*, ta có: un = 13n − CMR n * ( 2) : 1.4 + 2.7 + + n(3n + 1) = n(n + 1)2 ▪ Với n = 1, ta có VT= 1.(3.1+1) =4 = 1.(1+1)2=VP, đẳng thức (2) ▪ Giả sử đẳng thức với n = k≥ 1, nghĩa là: 1.4 + 2.7 + + k (3k + 1) = k (k + 1)2 (GTQN) Ta phải chứng minh với n = k+ 1, tức : 1.4 + 2.7 + + k (3k + 1) + (k + 1) 3(k + 1) + 1 = (k + 1) (k + 1) + 1 = (k + 1)(k + 2)2 Thật vậy: VT (*) = [1.4 + 2.7 + + k (3k + 1)] + (k + 1) 3(k + 1) + 1 = k (k + 1) + (k + 1) 3(k + 1) + 1 = (k + 1)[k (k + 1) + 3k + 4] = (k + 1)(k + 4k + 4) = (k + 1)(k + 2)2 = VP(*) Vậy với n N*, ta có: 1.4 + 2.7 + + n(3n + 1) = n(n + 1)2 ( *) CMR : n 2, n N : 3n 3n + ( 3) ▪ Với n = 2, ta có VT(1) = > = VP(1), bất đẳng thức (3) k ▪ Giả sử bất đẳng thức (3) với n = k≥ 1, nghĩa là: Ta phải chứng minh bđt với n = k+ 1, tức : 3k + 3k +1 3(k + 1) + Thật vậy: theo giả thiết qui nạp có: 3k 3k + 3k +1 3(3k + 1) k +1 3 9k + 3k +1 3k + + 6k Vì 6k nê n : 3k +1 3k + Vậy: n 2, n N cã : 3n 3n + Đ1: PHNG PHP QUI NP TON HC ãNờu phương pháp qui nạp tốn học ? •Chú ý chứng minh mệnh đề với số tự nhiên n ≥ p ? • Học thuộc nắm qui trình chứng minh tốn phương pháp qui nạp • Các tập nhà 1,2,3,4,5 SGK/82+83 • Đọc : Bạn có biết Suy luận qui nạp