Bài giảng Đại số lớp 11: Phương trình lượng giác cơ bản - Trường THPT Bình Chánh

Bài giảng Đại số lớp 11 Phương trình lượng giác cơ bản được biên soạn với mục đích giúp các em học sinh nắm được một số phương trình lượng giác cơ bản cụ thể gồm: phương trình sinx=m, phương trình cosx=m, phương trình tan x=m. Đây cũng là tài liệu giúp thầy cô tham khảo để chuẩn bị bài giảng thật kỹ lương và chi tiết trước khi lên lớp, cũng như giúp các em học sinh nắm được kiến thức môn học. Mời quý thầy cô cùng tham khảo bài giảng.

TRƯỜNG THPT BÌNH CHÁNH TỔ CHỦ ĐỀ : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN Ôn tập: Bảng giá trị sin cos số góc đặc biệt x sin x cos x    2 2 3 2 2   0;   2 3 5  2 2    1 2 Phương trình sin x = a * Xét phương trình sin x = a (1)  Trường hợp |a| > (*)  Trường hợp |a| ≤ (**) → Nhận xét: - Với trường hợp (*) ta thấy phương trình (1) vô nghiệm |sin x| ≤ với x - Với trường hợp (**), vẽ đường trịn hình sau: + Trên trục sin lấy điểm K cho OK = a + Từ K kẻ đường vuông góc với trục sin cắt đường trịn lượng giác M M’ → Từ ta thấy số đo cung lượng giác AM AM’ tất nghiệm phương trình (1) Gọi α số đo radian cung lượng giác AM Vậy phương trình sin x = a có nghiệm là: x = α + k2л, kϵℤ x = л -α+ k2л, kϵℤ 𝜋 • Nếu số thực α khơng phải số đẹp , thỏa mãn điều kiện − < α < α = arcsin a Khi nghiệm phương trình (1) là: x = arcsin a + k2л, x = л - arcsin a + k2л, kϵℤ kϵℤ 𝜋 sin α = a ta viết  f ( x)  g ( x)  k 2 sinf(x)  sin g ( x)   (k  )  f ( x)    g ( x)  k 2 Tổng quát: Ví du : sin(2 x     )  sin( x   3 )   x   x   k  x   k 2   6   (k  Z )  x      ( x   )  k 2  x     k 2   6 CHÚ Ý: sin x  sin  0  x    k 360 sinx  sin    (k  ) 0  x  180    k 360 Ghi nhớ sinx = sin sin f(x) = sin g(x) sinx = sinO sinx = sinx = -1 sinx = x =  + k2, k  Z x =  -  + k2 , k  Z f(x) = g(x) + k2, k  Z f(x) =  - g(x) + k2 , k  Z x = O + k 360O, k  Z x = 180O - O + k360 O , k  Z x = /2 + k2, k  Z x = - /2 + k2, k  Z x = k, k  Z VÍ DỤ : Giải phương trình: sinx = -1/2  sinx = sin(- /6 ) Vậy x = -/6 + k2 , k  Z x = 7/6 + k2, k  Z sinx = 5/6 sin(x + 30o) Vậy x = arcsin 5/6 + k2 , k  Z x =  – arcsin5/6 + k2, k  Z o) = sin30o  sin(x + 30 = 1/2 Vậy x = k360o , k  Z x = 120o+ k360o, k  Z Phương trình cos x = a * Xét phương trình cos x = a (1)  Trường hợp |a| > (*)  Trường hợp |a| ≤ (**) → Nhận xét: - Với trường hợp (*) ta thấy phương trình (1) vơ nghiệm |cos x| ≤ với x - Với trường hợp (**), vẽ đường trịn hình sau: + Trên trục cơsin lấy điểm H cho OH = a + Từ H kẻ đường vng góc với trục sin cắt đường trịn lượng giác M M’ → Từ ta thấy số đo cung lượng giác AM AM’ tất nghiệm phương trình (1) Gọi a số đo radian cung lượng giác AM Vậy phương trình cos x = a có nghiệm là: x = α + k2л, kϵℤ x = α + k2л, kϵℤ x = - α+ k2л, kϵℤ *Nếu số thực α không đẹp, thỏa mãn điều kiện ≤ α ≤ л cos α = a ta viết α = arccos a Khi nghiệm phương trình (1) là: x= arccos a + k2л, kϵℤ VÍ DỤ a Giải phương trình: cos3x = cos120 Ta có cos3x = cos120 3x = 120 + k3600 x =  40 + k1200 , ( k Z ) b Giải phương trình  3x   cos    4  Phương trình viết lại: 11  x   k   18   ,k   x   5  k   18   11 Phương trình tan x = a 𝜋 * Điều kiện phương trình x ≠ + k𝜋 ( k ∈ ℤ) - Căn vào đồ thị hàm số hình vẽ ta thấy với số a, đồ thị lại cắt đường thẳng y=a điểm có hồnh độ sai khác bội 𝜋 - Hoành độ giao điểm nghiệm phương trình tan x = a -Gọi x1 hoành độ giao điểm thỏa mãn điều kiện 𝜋 𝜋 - < x1 < → Kí hiệu x1 = arctan a Khi đó, nghiệm phương trình tan x = a là: x = arctan a + k𝜋, Nếu số a đặc biệt (0,± 1, ± 3, ± cơng thức nghiệm là: ) k ∈ ℤ thay a = tan 𝛼 , pt tan x = a trở thành tan x= tan 𝛼 x = 𝛼 + k𝜋 , k ∈ ℤ Ví dụ: Giải pt a) tan 2x =tan x b) tan x=1 a) Ta có : tan 2x = tan x  x  x  k  x  k , k  b) Ta có: 1= tan 𝜋 Nên tan x = tan 𝜋   x   k , k  4 Phương trình cot x = a * Điều kiện phương trình x ≠ k𝜋 ( k ∈ ℤ) - Căn vào đồ thị hàm số hình vẽ ta thấy với số a, đồ thị lại cắt đường thẳng y=a điểm có hồnh độ sai khác bội 𝜋 - Hoành độ giao điểm nghiệm phương trình cot x = a -Gọi x1 hoành độ giao điểm thỏa mãn điều kiện 0< x1 < 𝝅 → Kí hiệu x1 = arccot a Khi đó, nghiệm phương trình cot x = a là: x = arccot a + k𝜋, k ∈ ℤ Nếu số a đặc biệt (0,± 1, ± 3, ± cơng thức nghiệm là: ) thay a = cot 𝛼 , pt cot x = a trở thành cot x= cot 𝛼 x = 𝛼 + k𝜋 , k ∈ ℤ Giải a) cotx = −1 cotx = cot(− 𝜋) x = − 𝜋 + k𝜋 4 HÀM LƯỢNG GIÁC NGƯỢC TRONG GIẢI TOÁN LƯỢNG GIÁC -Đơi cung có số đo q lẻ nên khó để đưa hàm lượng giác thơng thường, người ta thường sử dụng hàm lượng giác ngược mà em thấy : Nếu có số thực 𝛼 thỏa mãn điều kiện: 𝜋 𝜋 +) hàm sin : 𝛼 ∈ [− ; ] 𝑠𝑖𝑛𝛼 = a 𝛼 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑎 2 +) hàm cos : 𝛼 ∈ [0; 𝜋] 𝑐𝑜𝑠𝛼 = a 𝛼 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑎 𝜋 𝜋 +) hàm tan : 𝛼 ∈ (− ; ) 𝑡𝑎𝑛𝛼 = a 𝛼 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑎 2 +) hàm cot : 𝛼 ∈ 0; 𝜋 cotα = a 𝛼 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑡𝑎 -Arcsina đọc ác-sin-a, tương tự với hàm lại HOẠT ĐỘNG CỦNG CỐ BÀI - Các em cần ghi nhớ công thức nghiệm PTLG bản: sinx=a, cosx=a, tanx=a, cotx=a - Các công thức nghiệm TH đặc biệt Sau BT trắc nghiệm cố Câu Tập nghiệm phương trình sin𝑥 = A 𝑆 = 𝜋 + 𝑘2𝜋, 𝑘 ∈ ℤ B 𝑆 = 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ C 𝑆 = 𝑘2𝜋, 𝑘 ∈ ℤ D 𝑆 = 𝜋 − + 𝑘2𝜋, 𝑘 ∈ ℤ  Lời giải Ta có: sin𝑥 = ⇔ 𝑥 = 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ  Chọn B Câu Nghiệm phương trình cos𝑥 = A C 2𝜋 𝑥 = ± + 𝑘2𝜋; 𝑘 ∈ 𝜋 𝑥 = ± + 𝑘𝜋; 𝑘 ∈ ℤ ℤ B 𝑥 = D 𝑥 = 5𝜋 ± + 𝑘𝜋; 𝑘 ∈ ℤ 5𝜋 ± + 𝑘2𝜋; 𝑘 ∈ ℤ  Lời giải  Ta có: cos𝑥 = − ⇔ cos𝑥 =  Chọn A 2𝜋 cos ⇔𝑥= 3𝜋 ± + 𝑘2𝜋; 𝑘 ∈ ℤ Câu Nghiệm phương trình tan2𝑥 − = là: 𝜋 𝜋 A 𝑥 = + 𝑘𝜋 B 𝑥 = 𝜋 𝑘 D 𝑥 = C 𝑥 = + 𝜋 + 𝑘𝜋 𝜋 𝜋 +𝑘  Lời giải  Ta có: tan2𝑥 − = ⇔ tan2𝑥 = 𝜋 𝜋  ⇔ 2𝑥 = + 𝑘𝜋 ⇔ 𝑥 = +  Chọn C 𝜋 𝑘