(SKKN HAY NHẤT) phương pháp viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm

phần i phần mở đầu I.Tính cấp thiết đề tµi: Trong thực tế giảng dạy lớp 12 tốn viết phương trình tiếp tuyến với đường cong toán bản, thường xuyên xuất đề thi tốt nghiệp, cao đẳng đại học hàng năm Vì giáo viên dạy Tốn THPT nhiều năm dạy ơn luyện học sinh lớp 12 tơi có lao động sáng tạo nhỏ hệ thống lại toán viết phương trình tiếp tuyến với đường đồ thị hàm số điểm, đưa phương pháp giải đồng thời số sai lầm mà học sinh hay mắc phải em chưa có nhiều tập để rèn luyện kĩ phân tích trình bày tốn Các em học sinh chưa có phương pháp khái quát toán thường gặp viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số Chính vậy, tơi tìm hiểu viết sáng kiến kinh nghiệm: “Phương pháp viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm ” nhằm giúp em học sinh nắm kiến thức tốn viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số, để em có chuẩn bị tốt cho kỳ thi tốt nghiệp THPT k thi i hc, cao ng II Tình hình nghiên cøu: Bằng phương pháp nghiên cứu lí luận, quan sát v tng kt kinh nghim số kết nghiên cứu ban đầu để thấy rõ đợc kết luyện tập học sinh III Mục đích nhiệm vụ s¸ng kiÕn: Bằng phương pháp nghiên cứu lí luận áp dụng vào thực tiễn giảng dạy Để giúp học sinh vận dụng lí thuyết vào tập Đưa tốn khó tốn thường gặp IV ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI: Häc sinh líp 12A2 - Trờng THPT số Bảo Yên Thời gian nghiên cứu: Trong năm học 2013 - 2014 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com PHẦN II TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1.Tiếp tuyến đường cong phẳng Trong mặt phẳng tọa độ 0xy cho đường cong (C): y = f(x) M(x ; f (x )) kí hiệu M’(x; f(x)) điểm di chuyển ( C) y M, f(x) f (x M ) T O x x x Đường thẳng MM’ cát tuyến ( C) M’(x; f(x)) Khi x di chuyển ( C) tới M(x )) ngược lại Giả sử MM’ có vị ; f (x trí giới hạn, kí hiệu MT MT gọi tiếp tuyến ( C) M Điểm M gọi tiếp điểm Định lý: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C) Phương trình tiếp tuyến tại M(x ;y ) Với: f’(x có dạng: y=f’(x ).( x -x ) hệ số góc tiếp tuyến y )+y = f (x ) Chú ý: Dạng bài: Cho hàm số có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) điểm Phương pháp giải: - Tính - Tính hệ số góc tiếp tuyến - Phương trình tiếp tuyến với độ (C) điểm là: PHẦN III BÀI TẬP ÁP DỤNG LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com A CÁC BÀI TẬP CƠ BẢN Bài tập Cho hàm số có đồ thị (C).Viết phương trình tiếp tuyến với (C) điểm A(2; - 2)(C) Giải Phương trình tiếp tuyến với (C) A có dạng: Bài tập Cho hàm số: Viết phương trình tiếp tuyến với (C) điểm có tung độ Giải Gọi xo hồnh độ tiếp điểm  ta có  phương trình tiếp tuyến +Với  phương trình tiếp tuyến +Với là: là: Nhận xét 1: Bài tập cho hồnh độ tung độ viết phương trình tiếp tuyến tương đối đơn giản, học sinh cần tính đạo hàm tìm hệ số góc tiếp tuyến, Đến tập độ khó tăng nên đầu cho tung độ cần hướng dẫn học sinh tìm hoành độ quay tập 1,ngoài tập cịn cho biết hồnh độ phải tìm tung viết phương trình tiếp tuyến cụ thể sau(( Cho hàm số: Viết phương trình tiếp tuyến với (C) điểm có hồnh độ -2 )) Các tập tương tự Bài tập 3: LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Cho hàm số có đồ thị (C) Gọi M điểm thuộc (C) có tung độ Tiếp tuyến (C) M cắt trục tọa độ Ox Oy A B Tính diện tích tam giác OAB ÐỀ CAO ĐẲNG NĂM 2013 Giải x=2 Hoành độ tiếp điểm nghiệm Phương trình tiếp tuyến : y – = y’(2)(x – 2)  y = -3x + 11 Tiếp tuyến (C) M cắt trục tọa độ Ox Oy A B A (0; 11); B( ; 0); SOAB = Cho hàm số (đvdt) có đồ thị (C) Viết PTTT đồ thị (C ) điểm có hồnh độ nghiệm phương trình f’’(x) = Cho hàm số y = f(x) = -x3 + 3x2 + 9x + có đồ thị (C) Viết PTTT đồ thị (C) biết tiếp tuyến có hồnh độ tiếp điểm x0 nghiệm phương trình f’’(x0) =-6 Cho hàm số y = f(x) = có đồ thị (C) Viết PTTT đồ thị (C) điểm có hồnh độ x0 nghiệm phương trình f’(x0) = Bài tập Cho hàm số có đồ thị (C) Cho , tiếp tuyến M cắt tiện cận đồ thị hàm số (C) hai điểm A, B Chứng minh M trung điểm AB Giải , , tiếp tuyến M có dạng (d) : Gọi A giao điểm tiếp tuyến (d) tiệm cận đứng x = suy tọa độ điểm A nghiệm hệ : Gọi B giao điểm tiếp tuyến tiệm cận ngang y = , suy tọa độ B nghiệm hệ : LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Nhận xét : (đpcm) Nhận xét 2: Đây tập phải tính tốn tương đối phức tạp, ta phải giải tích điểm M thuộc đồ thị (C) nghĩa Phương trình tiếp tuyến viết theo điểm Xác định tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị, sau tìm giao điểm tiếp tuyến với tiệm cận cách giải hệ phương trình tìm tọa độ điểm A, B Bài tập Cho hàm số Tìm điểm M có đồ thị (C) cho tiếp tuyến đồ thị hàm số M cắt hai trục tọa độ A, B cho tam giác OAB có diện tích (ĐH 2007 khối D) Giải , Tiếp tuyến M có dạng : Gọi tọa độ điểm A nghiệm hệ : Gọi tọa độ điểm B nghiệm hệ : Tam giác OAB vuông O ; OA = ; OB =   Diện tích tam giác OAB : S= OA.OB = LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Vậy tìm hai điểm M thỏa mãn yêu cầu toán : Nhận xét 3: Đây tập phải tính tốn tương đối phức tạp cách giải tương tự tập 4, sau tìm tọa độ điểm A, B phải nhận xét tam giác OAB có đặc điểm để tính diện tích cách nhanh Cụ thể tam giác OAB tam giác vng O diện tích tam giác OAB S = OA.OB Bài tập Cho hàm số có đồ thị (C), điểm (C) , tiếp tuyến đồ thị (C) điểm A cắt (C) điểm B khác điểm A Tìm hồnh độ điểm B theo Giải Điểm (C) , Tiếp tuyến đồ thị hàm có dạng : phương trình hồnh độ giao điểm (d) (C) : Vậy điểm B có hồnh độ Nhận xét 4: Đây tập thuộc dạng quen thuộc (C) ta làm theo bước thơng thường - Tính - Tính hệ số góc tiếp tuyến - Phương trình tiếp tuyến với độ (C) điểm là: Tìm giao điểm tiếp tuyến đồ thị ta hoành độ điểm B, ý hoành độ điểm A phải khác hoành độ điểm B Bài tập Cho hàm số có đồ thị (C) Gọi M điểm đồ thị (C), tiếp tuyến M cắt tiệm cận (C) A, B Chưng minh diện tích tam giác ABI (I giao hai tiệm cận) không phụ thuộc vào vị trí M Giải LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Gọi Tiếp tuyến M có phương trình: Giao điểm với tiệm cận đứng Giao điểm với tiệm cận ngang Giao hai tiệm cận I(-1; 2) Suy đpcm Bài tập Cho hàm sớ có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm M thuộc đồ thị, biết khoảng cách từ điểm I(1;2) đến tiếp tuyến Giải *Tiếp tuyến (C) điểm có phương trình Hay (*) *Khoảng cách từ điểm I(1;2) đến tiếp tuyến (*) giải nghiệm *Các tiếp tuyến cần tìm : Bài tập Cho hàm số có đồ thị (C) Tìm tọa độ điểm M cho khoảng cách từ M lớn Giải Gọi tới tiếp tuyến (C) Thì phương trình tiếp tuyến M đồ thị hay Khoảng cách từ tới tiếp tuyến là: Theo bất đẳng thức Cơsi ta có: , LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Vậy Khoảng cách d lớn Có hai điểm M thỏa mãn M : hc Nhận xét 5: Bài tập mở rộng tập 8,chỉ khác chỗ tập sau tính khoảng cách từ điểm tới đường thẳng phải lập luận cho khoảng cách từ tới tiếp tuyến (C) M lớn Cách 1: sử dụng bất đẳng thức Côsi Cách 2: sử dụng đạo hàm cách đặt ẩn phụ sau Đặt t = (x0 + 1)2, với Ta xét hàm số Tính đạo hàm kẻ bảng biến thiên, dựa vào bảng biến thiên kết cần tìm B CÁC BÀI TẬP MỞ RỘNG: Bài toán 1: Cho hàm số y =f(x) có đồ thị (C) số Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) có hệ số góc k Bài tập 10: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (C) có hệ số góc Giải = => Có toạ độ tiếp điểm LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Hai phương trình tiếp tuyến: Bài tập 11 Viết phương trình tiếp tuyến với song song với : biết tiếp tuyến Giải Ta có Có hai phương trình tiếp tuyến Bài tập 12 Cho hàm số có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng Giải Đường thẳng có hệ số góc Vì tiếp tuyến d cần tìm vng góc với đường thẳng nên hệ số góc tiếp tuyến cần tìm Hoành độ tiếp điểm tiếp tuyến nghiệm phương trình : Thay tuyến là: vào phương trình tiếp tuyến tổng quát, ta tiếp Nhận xét 6: Các tập 10, 11, 12 ta nhận thấy có chung cách làm tốn Cho hàm số y =f(x) có đồ thị (C) số Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) có hệ số góc k Cách làm -Tìm hồnh độ tiếp điểm f’(x ) hệ số góc tiếp tuyến y = f (x ) - Tìm tung độ tiếp tuyến viết phương trình tiếp tuyến cho hệ số góc LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com - Chú ý: mối quan hệ hai đường thẳng y = a1x + b1 y = a2x + b2 Hai đường thẳng song song với a1 = a2 b1 khác b2 Hai đường thẳng vuông góc với a1 a2 = -1 Bài tốn Cho hàm số y =f(x) có đồ thị (C) điểm cho trước Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) qua A đến đồ thị (C) Bài tập 13 Cho hàm số Viết phương trình tiếp tuyến kẻ đến đồ thị từ điểm Giải Đường thẳng d qua điểm A có hệ số góc k có dạng 10 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Đường thẳng d tiếp xúc với đồ thị (C) hệ sau có nghiệm Thay k vào (*), ta phương trình tiếp tuyến Bài tập 14 Cho hµm sè ViÕt pttt (C) qua Giải Phơng trình đờng thẳng qua có dạng: Đờng thẳng (d) tiếp tuyến đồ thị (C) hệ sau: có nghiƯm Suy +) Víi x = +) Víi +) Víi x= - Pttt lµ: Pttt lµ: Pttt lµ: y = KÕt luËn: VËy cã ba tiếp tuyến kẻ từ đến đến thị (C) Nhn xét 7: 11 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Cho hàm số y =f(x) có đồ thị (C) điểm cho trước Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) qua điểm A Cách giải Đường thẳng d qua điểm A có hệ số góc k có dạng Đường thẳng d tiếp xúc với đồ thị (C) hệ sau có nghiệm Giải hệ phương trình ta tìm k, thay k vào Bài tốn Áp dụng phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm vào chứng minh bất đẳng thức Bài tập 14 Cho a + b + c = Chứng minh rằng: Giải  Bất đẳng thức có dạng nhất, đối xứng biến 12 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com  Bất đẳng thức cho có dạng  Xét hàm số với ta có Tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f(x) điểm có hồnh độ Ta chứng minh : Thật : xét ln Do với a,b,c thuộc a+b+c = ta có : Bất đẳng thức chứng minh Bài tập 15 Cho a, b, c > Chứng minh rằng: Giải  Bất đẳng thức có dạng ,đối xứng biến  Bất đẳng thức cho chưa có dạng Ta biến đổi sau : Do vai trị a, b, c bình đẳng nên đặt a + b + c = dự đoán đẳng thức xảy a = b = c = BĐT cho trở thành  Bất đẳng thức có dạng Xét hàm số với x  (0; 3) 13 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Tiếp tuyến điểm có hồnh độ x = là: Xét Từ ta có: Vậy đpcm Nhận xét 8: Bài tập 14, 15 dạng tập chứng minh bất đẳng thức dựa vào phương trình tiếp tuyến ta tổng quát thành bước làm sau: Bước 1: Chọn điểm rơi bất đẳng thức đầu cho 14, vai trò biến bình đẳng nên đặt a + b + c = dự đoán đẳng thức xảy a = b = c = 15 Bước 2: Bất đẳng thức cho chưa có dạng Bước 3: Viết phương trình tiếp tuyến hàm số điểm rơi, chứng minh bất đẳng thức Bài tập tương tự Cho a, b, c số thực dương thỏa điều kiện CMR: Cho a, b, c số thực thỏa điều kiện : a + b + c = Chứng minh : Cho x,y,z > Chứng minh : 4.Chứng minh : 14 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com PHẦN IV THỜI GIAN VÀ HIỆU QUẢ ÁP DỤNG Kết luận Học xong chương trình lớp 11 học sinh viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm, phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc Đến lớp 12 học sinh học viết phương trình tiếp tuyến qua điểm Đa số học sinh cịn chưa phân biệt hay nói cách khác nhầm 15 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com lẫn dạng phương trình tiếp tuyến với Học sinh thường hay nhầm lẫn mặc định điểm M (x0; y0) thuộc đồ thị tiếp tuyến điểm Sau hướng dẫn em phân chia loại phương trình tiếp tuyến đa số em khơng cịn nhầm lẫn phân biệt trình bày làm tốt kể phương trình tiếp tuyến đề thi đại học đề thi thử đại học Thời gian áp dụng: Học kì I năm học 201 3- 2014 Phạm vi: Lớp 12A2 Kết trước áp dụng: Líp 12A Sĩ số 38 Giỏi Khá Trung bình Yếu SL % SL % SL % SL % 2,6 % 10,5 % 25 % 25 61,9 % Kết sau áp dụng: Líp 12A SÜ số 38 Giỏi Khá Trung bình Yếu SL % SL % SL % SL % 10 26 % 14 36,8 % 12 32% 5,2 % PHẦN V TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa giải tích 12 Sách giáo khoa giải tích nâng cao 12 Bài tập giải tích 12 16 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Bài tập giải tích nâng cao 12 Các đề thi ĐH - CĐ đề dự bị mơn tốn BGD& ĐT PHẦN VI PHỤ LỤC TT Nội dung Trang Trang bìa Phần I Mở đầu Phần II Tóm tắt lí thuyết Phần III Bài tập Phần IV Thời gian áp dụng hiệu 16 Phần V.Tài liệu tham khảo 17 Phần VI Phụ lục 17 4- 15 KẾT LUẬN CỦA HỘI ĐỒNG THẨM ĐỊNH …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… 17 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… 18 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ... toán Cho hàm số y =f(x) có đồ thị (C) điểm cho trước Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) qua A đến đồ thị (C) Bài tập 13 Cho hàm số Viết phương trình tiếp tuyến kẻ đến đồ thị từ điểm Giải... xong chương trình lớp 11 học sinh viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm, phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc Đến lớp 12 học sinh học viết phương trình tiếp tuyến qua điểm Đa số học sinh... Cho hàm số có đồ thị (C) .Viết phương trình tiếp tuyến với (C) điểm A(2; - 2)(C) Giải Phương trình tiếp tuyến với (C) A có dạng: Bài tập Cho hàm số: Viết phương trình tiếp tuyến với (C) điểm