Toán 7 HH7 cđ14 2 SU DONG QUY CUA BA DUONG TRUNG TRUC DUONG CAO

Dạng Vận dụng tính chất ba đường cao tam giác để giải toán khác I Phương pháp giải: Dựa vào định lí, tính chất đồng quy ba đường cao tam giác II Bài toán Bài Cho ∆AB C Ba đường cao AM , BN,CP cắt tại O Chứng minh rằng: a) OA = OB = OC ∆AB b) O trọng tâm C c) AM = BN = CP Lời giải: A P O B a) Vì ∆AB C nên ∆AB N C M cân đinh nên ba đường cao AM , BN,CP đồng thời ba C đường trung trực, ba đường trung tuyến tam giác Vì AM , BN,CP ba đường trung trực nên OA = OB = OC (1) b) Vì AM , BN,CP ba đường trung tuyến nên O trọng tâm c) Vì O trọng tâm ∆AB C suy OA = CP AM ,OB = 3 ∆ABC BN,OC = (2) Từ (1) (2) suy AM = BN = CP Bài Chứng minh tam giác có hai đường cao (xuất phát từ đỉnh hai góc nhọn) tam giác tam giác cân Lời giải A E F B C Xé ∆AB t C có hai đường cao Xét hai tam giác vuông ∆CB F BE,CF BE = CF có: ∆CBE BC cạnh chung BE = CF (giả thiết) Suy ∆CBF = ∆CBE (cạnh huyền - cạnh góc vng) Từ suy CBF = BCE Hay ∆A BC cân tại A Bài Chứng minh tam giác có ba đường cao tam giác tam giác Lời giải Xét tam ∆A có hai giác BC đường cao AH , BE,CF AH = BE = CF Xét hai tam giác ∆C ∆CBE có vng BF BC cạnh chung BE = CF (giả thiết) Suy ∆CBF = (cạnh huyền – cạnh góc vng) ∆CBE Suy CBF = BCE (1) Xét hai tam giác ∆A va ∆BAE có vng BH AB cạnh chung AH = BE (giả thiết) Suy ∆A = ∆BA E BH (cạnh huyền – cạnh góc vng) Suy ABH = BAE (hai cạnh tương ứng) (2) Từ (1) (2) suy CBF = BCE = BAE Vậ y ∆ABC có ba góc nên Bài Cho ∆A BC củ ∆ABC , a ∆MAB ∆A BC tam giác vuông tại A , kẻ đường cao AH trung tuyến AM Chứng minh trực tâm thẳng ∆MAC hàng Lời giải A B H M C V th ∆∆ ìA u A BBộc A CC H đ n lê àn n g đ t th r ẳn ờự g nc A g H t (1 câ am) o c củ a Có: AH đường cao ∆ABC ⇒ AH ⊥ BC ⇒ AH ⊥ BM , AH ⊥ CM Xé ∆AB t M có AH ⊥ BM ⇒Trực tâm Xé ∆AC t M ∆ABM thuộc đường thẳng AH (2) có AH ⊥ CM ⇒Trực tâm ∆ACM thuộc đường thẳng AH (3) Từ ( ) ; ( ) ; ( ) ⇒ Trực tâm ∆ABC; ∆ABM ; thẳng hàng ∆ACM Bài Cho tam giác ABC vuông tại A Đường cao AH Lấy I trung điểm AC a) Chứng minh I giao điểm đường trung trực ∆AHC b) Gọi K D trung điểm AH HC Chứng minh KD / / AC c) Chứng minh BK ⊥ AD Lời giải a) Ta có HI đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AC tam giác vuông AHC nên IH = IA = IC = AC Do đó, I giao điểm ba đường trung trực ∆AHC b) Do I giao điểm ba đường trung trực ∆AH nên ID ⊥ HC , suy ID//AH Tương tự ta có C IK // HC ∆IHK = ∆IDC (c.g.c) Suy Từ ta chứng minh KH = ID , KI = HD Ta chứng minh ∆KHD = (c.g.c) Suy ∆IDC KDH = ICD , c) Do KD // AC KD//AC nên KD ⊥ AB Trong ∆ABD , hai đường cao KD AH cắt tại K nên K trực tâm tam giác Do BK ⊥ AD Bài Cho tam ABC cân tại A, hai đường cao BD CE cắt tại AI cắt BC tại M Chứng minh I (D ∈ AC, E ∈ AB) Tia a) M trung điểm BC b) Tam giác MED tam giác cân Lời giải a) Hai đường cao BC CE cắt tại I nên I trực tâm tam giác ∆ABC Do AI ⊥ BC Hơn nữa, tam giác ABC cân tại A nên đường cao AI đồng thời đường trung tuyến Do đó, M trung điềm BC b) Trong tam giác vuông EM = BEC, EM đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC nên BC Tương tự, DM = BC Do EM = DM , suy ∆ME D tam giác cân tại M Bài Cho tam giác ABC cân tại A, đường trung tuyến AM đường phân giác BD cắt tại K Gọi E giao điểm CK AB Chứng BD = CE minh Lời giải ∆ABC cân tại A nên đường trung tuyến AM đồng thời đường phân giác Hai đường phân giác AM BD cắt tại K Do đó, CK đường phân giác thứ ba tam giác ∆ABC ∆AB C cân tại A nên B = C Mà DBC = B ECB = C ( BD đường phân giác) ( CK đường phân giác) ⇒ DBC = ECB Xét hai tam giác ∆BD C ∆ECB có DBC = ECB (chứng minh trên) BC : cạnh chung EBC = DCB ( ∆ABC cân tại A ) Suy ∆BDC = ∆ECB (g.c.g) Do đó, BD = CE (hai cạnh tương ứng) Bài Cho tam giác ABC Hai đường cao AH , BK cắt tại I a) Chứng minh CI ⊥ AB b) Khi ACH = 50°, tính góc BIH , HIK Lời giải a) Ta có I trực tâm tam giác chất đồng quy ba đường cao, suy CI ⊥ AB b) Vì tam giác BKC vuông tại K nên KBC = 90° − ACB = 40° Mà tam giác BIH vuông tại H nên BIH = 90° − KBC ⇒ BIH = 40° Vì hai góc HIK BIH kề bù nên ta HIK = 180° − BIH Từ tính HIK = 140° Bài Cho tam giác ABC cân tại A Hai đường cao xuất phát từ đỉnh B đỉnh C cắt tại M Biết góc BMC = 120°, tính góc tam giác ABC Lời giải Gọi E, F chân đường cao hạ từ đỉnh B, C tam giác nên góc CME = 60° Vì tam giác CME vng tại E nên MCA + CME = 90° ABC Ta có BMC = 120° Mặt khác tam giác AFC vuông tại F nên ta có BAC + ACF = 90° Suy BAC = CME = 60° Dạng Chứng minh ba đường thẳng đồng quy, ba điểm thẳng hàng m A,O,G A thẳng hàng? , thẳn Eg Bài Cho tam , hàn giác ABC cân Mg A Gọi M Bài Cho B A tam ∆cân tại ADựng tam giác iB giác BCD ABC Ccân tại D cân D biết tại A khác phía Gọi C với A đối G h với trọng o đường A tâm, , O đường O giao thẳng BC , điểm Gọi O D ba giao điểm t đườn h g AB AC ẳ trung n trực Chứng g minh tam hàng B∆cân tại A giác AGọi M ABC i Btrung a) Ta Cđiểm m BC Các giá đường c BO trung trực C C AB h o ta A ởE m giá C Chứng c c minh ba gì? ắt điểm b) Ch n h a u trung điểm BC Các đường trung trực AB, AC cắt E Chứng minh ba điểm A, E, M thẳng hàng Bài Cho tam giác ABC cân tại A Lấy điểm D cho tam giác BCD cân tại D ( D A nằm khác phía đường thẳng BC ) Chứng minh đường trung trực AB AC đồng quy với đường thẳng AD Bài Cho ∆ABC vuông A , D giao điểm hai đường trung trực hai cạnh AB AC Chứng minh B, D,C thẳng hàng ứn Bài Cho tam g giác ABC cân mi tại A M nh ba điể trung điểm BC Kẻ ME vng góc AB tại E, MF vng góc với AC tại F a) Chứng minh AM đường trung trực EF ? b) Kẻ đường thẳng d vng góc AB tại B , kẻ đường thẳng d / vng góc với AC tại C , hai đường giao giao tại A, M , D thẳng D Chứng minh thẳng d d ba điểm hàng? / Bài Cho tam giác nhọn ABC Gọi H ,G,O theo thứ tự trực tâm, trọng tâm, giao điểm ba đường trung trực tam giác GA, Tia AG cắt BC M Gọi I K trung điểm điểm GH trung Chứng minh: a) OM = AH b) ∆IGK = ∆MGO c) Ba điểm H ,G,O thẳng hàng d) GH = 2GO Bài Cho tam giác ABC cân A , đường phân giác AK Các đường trung trực AB AC cắt tại O Kéo dài CO cắt AB D , kéo dài BO cắt AC E a) Chứng minh ba điểm A, K ,O thẳng hàng b) Chúng minh AK đường trung trực AD AE đồng quy Dạng Vận dụng tính chất ba đường trung trực tam giác để giải toán khác Bài Cho ∆AB cân tại A , đường trung tuyến AM Đường trung trực AC cắt đường C thẳng AM tại D Chứng minh DA = DB AB; AC cắt Bài Cho tam giác cân ABC có AB = AC Hai đường trung trực hai cạnh tại O Chứng minh: AOB = AOC Bài Cho ∆ABC , M trung điểm BC Các đường trung trực AB AC cắt tại O Tính số đo góc OMB Bài Cho a) Chứng minh ∆BI C b) Chứng minh Bài Cho có góc A = 110° Đường trung trực cạnh AB AC cắt tại I ∆AB C cân ( ) tính số đo góc BIC BIC = 180°− BAC ∆ABC có Aˆ = 60° Các đường trung trực cạnh AB AC cắt BC E F Tính EAF Bài Cho ∆AB C cân tại A Đường trung tuyến AM cắt đường trung trực AC tại K Chứng minh KA = KB = KC Bài Cho ∆AB cân tại A , A > 900 Các đường trung trực AB AC cắt tại O C cắt BC tại D E Chứng minh rằng: a) OA đường trung trực BC b) BC = CE c) ∆ODE tam giác cân Bài Chứng minh đường trung trực tam giác vuông cắt tại trung điểm cạnh huyền Bài Cho tam giác ABC Gọi D E hai điểm hai cạnh AB AC cho BD = AE Chứng minh đường trung trực đoạn thẳng DE qua điểm cố định D E di chuyển cạnh AB AC Bài 10 Cho ∆ABC , AC > AB Hai điểm D E theo thứ tự di chuyển cạnh AB AC cho BD = CE Chứng minh đường trung trực DE qua điểm cố định BA ĐƯỜNG CAO Dạng Xác định trực tâm tam giác Bài Cho ∆ABC có ABC = 90° , AH ⊥ BC Em chọn phát biểu đúng: A H trực tâm B A trực tâm C B trực tâm D C trực tâm ∆ABC ∆ABC ∆ABC ∆ABC Bài Cho ∆ABC , hai đường cao AM BN cắt tại H Em chọn phát biểu đúng: A H trọng tâm ∆ABC B HA = AM 2 HB = BN 3 C H trực tâm ∆ABC ; CH đường cao ∆ABC D CH đường trung trực ∆ABC Bài Cho ∆AB C tại M Chọn phát biểu đúng: cân tại A có AM ⊥ BC A AM đường trung tuyến ∆ABC B AM đường trung trực BC C AM đường phân giác BAC D Cả A, B, C Bài Cho ∆AB D Khi C vng tại A Lấy H thuộc AB , vẽ HE ⊥ BC E Tia EH cắt tia CA tại A H trọng tâm ∆BCD B H trực tâm ∆BCD C H giao ba đường trung trực ∆BCD D H giao ba đường phân giác ∆BCD Bài Cho tam giác ∆AHB, ∆AHC ∆AB C vuông tại A, đường cao AH Tìm trực tâm giác ∆ABC, Bài Cho H trực tâm tam giác ABC khơng vng Tìm trực tâm tam giác HBC, HAB, HAC Bài Cho ∆ABC có A = 700 , đường phân giác góc A cắt BC tại D , BF ⊥ AC AB < AC , F , H giao điểm BF AD , E thuộc AC cho AE = AB a) Xác định trực tâm b) Tính số đo DHF tại ∆ABE Dạng Sử dụng tính chất trực tâm tam giác để chứng minh hai đường thẳng vng góc, ba đường thẳng đồng quy Bài Cho ∆AB C cân tại A , đường cao BE cắt đường trung tuyến AD H Chứng minh CH tạo với AB góc 90 Bài Cho tam ∆A giác cân tại A đường cao CH cắt tia phân giác góc A tại D Chứng minh BD ⊥ AC BC Bài Cho ∆M NP vuông tại M Trên cạnh MN lấy điểm Q , kẻ QR ⊥ NP ( R ∈NP) Gọi O giao điểm đường thẳng PM RQ Chứng minh PQ ⊥ BD Kẻ ON đường Bài Cho tam giác ABC cân tại A Lấy điểm D cho A trung điểm cao AE tam giác ABC , đường cao AF tam giác ACD Chứng minh AE ⊥ AF Bài Cho tam giác MNP có ba góc nhọn, đường cao NQ, PR cắt tại S a) Chứng minh MS ⊥ NP b) Cho MNP = 65° Tính SMR Bài Cho tam giác ABC vuông tại A , kẻ đường cao AH Lấy điểm K thuộc đoạn thẳng HC Qua K kẻ đường thẳng song song với AB , cắt AH tại D Chứng minh AK ⊥ CD Bài Cho tam giác ABC vuông cân tại B Trên cạnh AB lấy H.Trên tia đối tia BC điểm lấy điểm D cho BH = BD Chứng minh a) DH ⊥ AC b) CH ⊥ AD Bài Cho tam giác MNP vuông tại M (MP < MN ) Trên cạnh MN lấy điểm Q cho MQ = MP , tia đối tia MP lấy điểm R cho MR = MN Chứng minh: a) PQ ⊥ NR b) RQ ⊥ NP Bài Cho tam giác ABC vuông tại A , kẻ đường phân giác BM Trên cạnh BC lấy điểm D cho BD = BA a) Chứng minh BM ⊥ AD b) Gọi H hình chiếu vng góc D AC, K hình chiếu vng góc A DM Chứng minh ba đường thẳng AK, BM , DH đồng quy OA = giác ABC vng tại A có BD đường phân giác Trên cạnh BC lấy điểm OB E Kẻ BA = BE Vẽ CH ⊥ DB Chứng BA, DE,CH đồng quy AC cho minh ⊥ Oy, Dạng Vận dụng tính chất ba đường cao tam giác để giải BD toán khác ⊥ Ox (C ∈Ox, D ∈Oy) Bài 10 Đoạn thẳng AB điểm M nằm A B (MA < Đườ MB) Vẽ ng tia lấy thẳn hai điểm g C g D MA = MC , góc MD = MB với s Ox aTia AC vuông cắt tại o BD tại E A cChứng minh: h đườn o g thẳn a)A g E vuôn g ⊥ góc với B Oy D b) C trực tâm tam giác ABD Bài 11 Cho góc nhọn xOy Trên tia Ox lấy điểm A , tia Oy lấy điểm B cho tại B cắt tại M Chứ ng minh : OM , AC, BD đồng quy Bài 12 Cho tam Bài Cho ∆AB C Ba đường cao AM , BN,CP cắt tại O Chứng minh rằng: a) OA = OB ∆ABC = OC b) O trọng tâm c) AM = BN = CP Bài Chứng minh tam giác có hai đường cao (xuất phát từ đỉnh hai góc nhọn) tam giác tam giác cân Bài Chứng minh tam giác có ba đường cao tam giác tam giác Bài Cho ∆ vuông tại A , kẻ đường cao AH trung AB tuyến AM Chứng minh trực tâm C c ∆ABC , thẳng hàng ủ ∆MAB ∆MA a C Bài Cho tam giác ABC vuông tại A Đường cao AH Lấy I AC trung điểm a) Chứng minh I giao điểm đường trung trực ∆AHC b) Gọi K D trung điểm AH c) Chứng minh BK ⊥ AD HC Chứng minh Bài Cho tam A, hai đường cao BD ABC cân tại CE cắt tại KD / / AC I AC, E ∈ (D AB) Tia ∈ AI cắt BC tại M Chứng minh a) M trung điểm BC b) Tam giác MED tam giác cân Bài Cho tam giác ABC cân tại A, t K Gọi E giao a điểm CK ị đường trung tuyến AM đường phân giác BD cắt AB Chứng minh BD = CE B A B i C H Ca h i o đ t a mn g g c i a o c ca át cắt c a gm tại I óg ci cc ủ AH , BK A B C B AB à,, i C M G l ọ a) Chứng C i h H minh t CI o r v ⊥ AB u t b) KA BIH , a n K h C HIK m g l iH g đầ = i in 50 ểl °, c mư hã ợ y A ct tí B ủl n C ầ h c cá c h c â â g n n óc t a ị c c đ n g M ết BM v gó C = u c 120° , n B tính g i Bài Cho tam giác ABC cân tại A Hai đường cao xuất phát từ đỉnh B đỉnh C cắt tại III BÀI TẬP TỰ LUYỆ N A MH = C MK C h ứ n g m in h BA TRUNG Dạng Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác Bài Cho ∆ ABC cân tại A , đường trung tuyến AM Đường trung trực AB cắt AM O Chứng minh điểm O cách ba đỉnh ∆ABC Bài Cho ∆ ABC cân tại A , O giao điểm ba đường trung trực Lấy điểm D cạnh AB , điểm E cạnh cho AD = CE Chứng minh gế ó n a) OA = OB = OC c A kB ẻ v t P h M ầ n đ b) Điểm O nằm đường trung trực DE Bài Nhà bạn Nam có mảnh vườn nhỏ trồng hoa cỏ nhật Bố bạn Nam nhờ Nam chọn vị trí để đặt vịi xoay phun tưới tự động cho vị trí cách ba khóm hoa ba góc vườn Nam lại chưa biết tìm Các em giúp bạn Nam giải vấn đề Bài Ơng Hùng có ba cửa hàng A, B, C không nằm đường thẳng muốn tìm địa điểm O để làm kho hàng Phải chọn vị trí kho hàng đâu để khoảng cách từ kho đến cửa hàng nhau? Dạng Chứng minh ba đường thẳng đồng quy, ba điểm thẳng hàng Bài Cho tam giác ABC cân A, đường phân giác AK Các đường trung trực AB AC cắt tại O a) Chứng minh ba điểm A, K, O thẳng hàng b) Kéo dài CO cắt AB D, kéo dài BO cắt AC E Chứng minh AK đường trung trực AD AE đồng quy Bài Cho xOy = điểm P nằm góc Trên mặt phẳng lấy điểm A cho 90 Ox đường trung trực đoạn thẳng PA điểm B cho Oy đường trung trực đoạn thẳng PB a) Chứng minh ba điểm O, A, B thẳng hàng b) Chứng minh O giao điểm ba đường trung trực ∆AB P từ suy ∆AB vuông P Bài Cho tam giác MNP cân M , đường cao MH Các đường trung trực MN MP cắt D Chứng minh ba điểm M , D, H thẳng hàng Bài Cho tam giác ABC cân có A góc tù Gọi M trung điểm BC N nằm tam giác ABC cho tam giác BNC cân tại N Chứng minh đường thẳng AM đường trung trực NB, NC đồng quy Dạng Vận dụng tính chất ba đường trung trực tam giác để giải tốn khác Bài ∆ABC có Aˆ =110° Các đường trung trực cạnh AB AC cắt BC Cho E F Tính EAF Bài 10 Cho ∆AB cân tại A , A > 900 Các đường trung trực AB AC cắt tại C O cắt BC tại D E Chứng minh rằng: a) OA đường trung trực BC b) BD = CE c) ∆ODE tam giác cân Bài 11 Cho M giao điểm đường trung trực tam giác ABC Chứng minh M nằm cạnh tam giác ABC ABC tam giác vuông Bài 12 Cho ∆ABC , đường phân giác AI ( I ∈ BC ) Trên đoạn thẳng IC lấy điểm H , từ H kẻ đường thẳng song song với AI cắt AB kéo dài tại E cắt AC tại F Chứng minh rằng: a) Đường trung trực đoạn thẳng EF qua đỉnh A ∆ABC b) Đường trung trực đoạn thẳng EF vng góc với AI c) Khi H di động tia IC định Bài 13 ∆ Cho A B C ∆ A B C cố định đường trung trực đoạn thẳng EF cố có ba góc nhọn Các điểm F, K , I trung điểm cạnh BC, BA, AC Gọi H giao điểm đường trung trực ∆ABC Trên tia đối tỉa FH lấy A1 A1F = FH Trên tia đối KH = KC1 ể tia KH lấy điểm C cho Trên tia m cho đối tia B1 IH = IB1 IH lấy điểm cho a) Chứng minh hình lục giác song song b) Chứng ∆ minh rằng: A B C AC1BA1CB1 có cạnh cạnh đơi = ∆A1B 1C1 BA ĐƯỜNG CAO Dạng Xác định trực tâm tam giác Bài ∆ABC , AK, BN,CM Điểm H trực tâm 14 tam giác Tìm trực Cho đường cao tâm ∆B ∆A ∆AHB HC HC , , Bài 15 Cho tam giác ABC , hai đường cao BD BC CE Gọi M trung điểm minh M thuộc Chứng trung trực DE Bài 16 Đoạn thẳng AB điểm M nằm A B (MA < MB) Vẽ tia Mx vuông AB lấy i ể m MA = MC , MD = MB Tia AC vuông cắt BD tại E D Chứng sa minh o ch o C 1.AE ⊥ B D C trực tâm tam giác ∆ABD Dạng Sử dụng tính chất trực tâm tam giác để chứng minh hai đường thẳng vng góc, ba đường thẳng đồng quy Bài 17 Cho tam giác LMN nhọn điểm S nằm tam giác Gọi LS cắt MN tại P , MS cắt LN tại Q Chứng minh LP vng góc với MN MQ vng góc với LN NS vng góc với ML B ài C h o ∆ cân tại M , đường Mcao PQ cắt đường N phân giác MS K P Chứng minh ∆vuông tại A , kẻ N Ađường cao AH K BLấy điểm K thuộc C đoạn thẳng HC ⊥ Qua M P B ài C h o K kẻ đường thẳng song song với AB , cắt AH tại D Chứng minh AK ⊥ CD B ài C h o ∆ v M (MP < MN ) Mu Trên cạnh MN Nô lấy điểm Q Pn cho MQ = MP , g t ạ i tia đối tia MP lấy điểm R cho MR = MN Chứng minh: a) PQ ⊥ NR b) RQ ⊥ NP Dạng Vận dụng tính chất ba đường cao tam giác để giải tốn khác Bài 21 Cho ∆MNP có ba góc nhọn, đường cao NQ, PR cắt tại S c) Chứng minh MS ⊥ NP d) Cho MNP = 650 Tính SMR Bài 22 Cho BD = BA ∆AB C vuông tại A , kẻ đường phân giác BM Trên cạnh BC lấy điểm D cho c) Chứng minh BM ⊥ AD d) Gọi H hình chiếu vng góc D AC , K hình chiếu vng góc A DM Chứng minh ba đường thẳng AK, BM , DH đồng quy ... ∆AEB ) nên OD = OE (2) suy AK đường trung trực (2) BC Xét ∆ADE , theo tính chất ba đường trung trực tam giác suy AK đường trung trực AD AE đồng quy Bài a) Xét ∆AOP có: Ox đường trung trực PA nên... Suy CBF = BCE (1) Xét hai tam giác ∆A va ∆BAE có vng BH AB cạnh chung AH = BE (giả thiết) Suy ∆A = ? ?BA E BH (cạnh huyền – cạnh góc vng) Suy ABH = BAE (hai cạnh tương ứng) (2) Từ (1) (2) suy... B= A2 ∆ABM tam giác cân (1) X ∆ACM có é MA = MC t nên ⇒ A1 = C ∆ACM tam giác cân (2) Tr ∆ có B + A + C = 180 on A g B C ⇒ B + A1 + A2 + C = 180 ⇒ B + A1 + A2 + C = 180 Từ (1) (2) suy 2A1 + 2A2