Toán 7 HH7 cđ13 2 SU DONG QUY CUA BA DUONG TRUNG TUYEN BA DUONG PHAN GIAC

Dạng Chứng minh đường đồng quy, điểm thẳng hàng I Phương pháp giải: Sử dụng tính chất: + Giao điểm hai đường phân giác hai góc tam giác nằm đường phân giác góc thứ ba + Giao điểm đường phân giác tam giác cách ba cạnh tam giác II Bài toán Bài Cho tam giác ABC cân A Kẻ tia phân giác BD, CE Lấy M trung điểm BC a) Chứng minh AM tia phân giác góc BAC b) Ba đường thẳng AM, BD, CE đồng quy Lời giải a) Chứng minh AMB  AMC (c.c.c) Từ suy AM tia phân giác góc BAC b) Xét ABC có AM , BD,CE tia phân giác Từ tính chất ba đường phân giác tam giác, suy ba đường thẳng AM , BD,CE đồng quy Bài Cho tam giác ABC , tia phân giác AD Các tia phân giác đỉnh B C cắt E Chứng minh ba A, D, E thẳng hàng điểm Lời giải Gọi F, H ,G hình chiếu vng góc điểm E xuống đường thẳng AB, AC, BC Từ giả thiết suy EF  EG EH  EG  EF  EH nên E thuộc tia phân giác góc BAC Mà AD tia phân giác góc BAC Vậy ba điểm A, D, E thẳng hàng Bài Cho tam giác ABC cân A Gọi G trọng tâm, I điểm nằm tam giác cách ba cạnh tam giác Chứng minh ba A, G, I thẳng hàng điểm Lời giải A N I G M B C Gọi M , N trung điểm CA BA AB C cân A có BM , CN đường trung tuyến ứng với cạnh Mà GB  BM ; GC  CN AC, AB ⇒ BM=CN (Tính chất trọng tâm tam giác)  GB  GC Xét AGB AGC có AG chung AB  AC (do AB cân A ) C GB  GC (chứng minh trên)  AGB  AGC c  c  c  BAG  CAG (hai góc tương ứng)  G thuộc tia phân giác BAC Theo đề I cách ba cạnh tam giác  I điểm chung ba đường phân giác  I thuộc tia phân giác BAC Vì G, I thuộc tia phân giác BAC nên A, G, I thẳng hàng Bài Cho tam giác ABC cân A có BM , CN hai đường trung tuyến cắt điểm G a) Chứng minh rằng: AG tia phân giác góc BAC b) CMR: GM  GN c) CMR: đường thẳng AG đường trung trực đoạn thẳng MN d) CMR: đường thẳng AG đường trung trực đoạn thẳng BC e) Gọi P trung điểm BC CMR: Lời giải A, G, P thẳng hàng A M N G B P C a) ABM  ACN (c.g.c)  ABM  ACN   BG  GC Xé ABG t AC G có: AB  AC ABG  ACG BG  CG  ABG  ACG (c.g.c)  BAG  CAG AG phân giác BAC b) AGN  AGM (c.g.c) vì: AG : chung; AN  AM ; NAG  MAG  GN  GM AN  c) GN  AM   AG GM  đường trung trực MN đường trung trực BC AB  d) GB  AC   AG  Xé AP t B có: APC AB  AC AP chung BP  PC  APB  APC (c.c.c)  BAP  CAP (hai góc tương ứng) AP phân giác BAC Mà AG phân giác BAC Suy tia AP trùng với tia AG Hay A, P, G thẳng hàng Bài Cho tam giác ABC Phân giác góc B góc C cắt I Phân giác góc ngồi đỉnh B đỉnh C cắt J , phân giác góc ngồi đỉnh A đỉnh C cắt K , phân giác góc đỉnh A đỉnh B cắt L a) Chứng minh BIC  90  A b) Chứng minh ba điểm A, I , J thẳng hàng c) Chứng minh AJ , BK, CL cắt điểm Lời giải A K L I N B C E M J a) BI tia phân giác góc B  IBC  CI tia phân giác góc C  ICB   IBC  ICB  Xé IB t ABC  ACB   2 ABC ACB có: C A BIC  IBC  ICB  180  BIC  90   180  BIC  90  A b) Kẻ JM  AB, JN  BC, JE  AC J thuộc tia phân giác CBx  JM  JN A 180  A  90  2   ABC  ACB  J thuộc tia phân giác BCy  JN  JE  JM  JE  J thuộc tia phân giác BAC (1) Phân giác góc B góc C tam giác ABC cắt I  Tia AI phân giác BAC hay điểm I thuộc tia phân giác BAC (2) Từ (1) (2)  ba điểm A, I , J ba điểm thẳng hàng c) Theo câu b ta có ba điểm A, I , J thẳng hàng nên đường thẳng AJ qua điểm I Chứng minh tương tự đường thẳng BK qua I đường thẳng CL qua I Vậy ba đường thẳng AJ , BK, CL cắt điểm I Bài Cho tam giác ABC có A  120 Các tia phân giác góc A C cắt O , cắt cạnh BC AB D E Đường phân giác góc ngồi đỉnh B tam giác ABC cắt đường thẳng AC F Chứng minh: a) BO  BF b) BDF  ADF c) Ba điểm D, E, F thẳng hàng Lời giải F A E O C D B Vì O giao điểm hai đường phân giác nên BO đường phân giác tam giác Mà BF đường phân giác nên FBO  90  BO  BF  BAC  120 nên BAF  DAC  DAB  60  Phân giác DAB vng góc với AF  AF phân giác ngồi DAB Vậy F giao điểm đường phân giác tam giác ABD  DF phân giác ADB Vậy BDF  ADF  Chứng minh tương tự, AE phân giác ACD mà CE phân giác tam giác Nên E thuộc đường phân giác ADC Vậy ba điểm D, E, F thẳng hàng Dạng Đường phân giác tam giác đặc biệt (tam giác cân, tam giác đều) I Phương pháp giải: Sử dụng tính chất: tam giác cân, đường phân giác góc đỉnh đồng thời đường trung tuyến, đường cao II Bài toán Bài Cho AB C Khi BD cân A , đường phân giác AM Gọi D điểm nằm A M tam giác gì? C Lời giải A D B ABD Xé ACD M C có: t AB  AC (gt) A1  A2 ( AM đường phân giác) AD cạnh chung Nên ABD  ACD (c.g.c)  BD  CD (hai cạnh tương ứng) Do BD C cân D Bài Cho tam giác MNP cân M có G trọng tâm I điểm nằm tam giác cách ba cạnh tam giác Chứng minh ba M , G, I thẳng hàng điểm Lời giải b) BAC  1200 nên BAF  DAC  DAB  600  phân giác DAB vng góc với AF  AF phân giác ngồi DAB Vậy F giao điểm đường phân giác tam giác ABD  DF phân giác ADB Vậy BDF  ADF c) Chứng minh tương tự, AE phân giác ACD mà CE phân giác tam giác Nên E thuộc đường phân giác ADC Vậy ba điểm D, E, F thẳng hàng Dạng Đường phân giác tam giác đặc biệt (tam giác cân, tam giác đều) Bài A B AM a) Xét B M C AMC , có AB  AC BC BM  MC  AMB  AMC AMB  AMC  900  AM  BC mà AM đường trung tuyến nên AM đường trung trực tam giác b) Cũng chứng minh AMB  AMC , AB  AC  ABC Bài cân a) Xét ABM ABM có: A AB  AC GT  BM  CM GT  H E AM : cạnh chung DI  ABM  ACM (c  c  c)  AMB  AMC (Hai góc tương ứng)  AM đường phân giác Có I giao điểm BD AM  I giao đường phân giác  CI phân giác ABC b) Ta có IBC  (t/c phân giác) ABC ICB  ACB (t/c phân giác) Mà ABC  ACB  IBC  ICB  IBC cân I (dhnb) c) Xét IEB IDC , có EB  I DCI EI B IB   IEB  BE  AE (đối đỉnh)  DIC cân I ) IC ( BI C  IDC  gcg  DC  AD  AED cân A   AED  180  A B M C 180  A Mà ABC  ( ABC cân A )  AED  ABC Mà góc vị trí so le hai đường thẳng ED BC  ED / / BC d) AHE  AHD (c.g.c)  HE  HD (hai cạnh tương ứng)  H trung điểm ED e) Có: AE  AD  HE   HD  đường trung trực ED  AH  AH  ED hay AM  ED f) I trọng tâm G Bài trùng  AB C ABC A E O B D C a) ABD  ACD (c.g.c)  BD  CD (hai cạnh tương ứng)  AD trung tuyến  O giao điểm hai đường trung tuyến b) ABC Bài AD, BE nên O trọng tâm Gọi G trọng tâm ABC  G thuộc trung tuyến AM (1) Mà AI phân giác AB cân C A  AI trung tuyến AB C (2) Từ (1) (2)  A, I ,G thẳng hàng (3) Theo đề AI phân giác góc A mặt khác (theo 4) AK phân giác góc A nên ba điểm A, I , K thẳng hàng (4) Từ (3), (4)  A, I , thẳng hàng K,G Dạng Bài a) Gọi Ax tia đối tia AB Vì ABC  120 nên CAx  60 Do AD phân giác BAC nê BA n D  DAC  CAx  600 Kẻ ME  AB; EN  AD; EP  DB Xé AB t D có BE phân giác góc B  ME  (tính chất tia phân giác), (1) EP AE phân giác góc ngồi đỉnh A tam giác ABD  ME  NE (tính chất tia phân giác) (2) Từ (1) (2) ta có EP  NE Do DE phân giác góc ngồi đỉnh D ABD b) Chứng minh tương tự ta có DF phân giác góc ngồi đỉnh D DEC Vì ADC ; ADB hai góc kề bù nên DE  DF Hay EDF  900 Bài y F A E O x B D  BO, BF hai tia phân giác hai góc kề bù nên BO  BF  FAB  BAC  180 mà BAC  120  FAB  60 AD tia phân giác BAC nên C BAD  DAC  60 FAy  DAC  60 (hai góc đối đỉnh) Từ suy BAF  FAy Xé AB t D có hai đường phân giác góc ngồi đỉnh A B cắt F  DF phân giác ABD Vây BDF  ADF  Xét ACD có phân giác góc C phân giác góc ngồi đỉnh A cắt E  phân giác góc ngồi đỉnh D DE DE, DF tia phân giác góc ADB Suy ba điểm D, E, F thẳng hàng Do đó, DEA  FEA  180 PHIẾU BÀI TẬP Dạng Chứng minh đoạn thẳng nhau, góc nhau, tính độ dài đoạn thẳng, số đo góc Bài Tìm x hình vẽ sau biết CI BI hai phân giác ACB ABC , EH FH hai phân giác DEF DFE Bài Cho ABC có A  120 Các đường phân Bài Cho AB C AD, BE Tính số đo góc BED giác Gọi I giao điểm hai đường phân giác kẻ từ góc B C Tính số đo góc BIC trường hợp: a) BAC  80 b) BAC  120 Bài Cho ABC , tia phân giác góc B góc C cắt I a) Biết A  70 , tính số đo góc BIC b) Biết BIC  140 , tính số đo góc A Bài Cho AB C cân A Gọi D trung điểm BC ; E F chân đường vng góc kẻ từ D đến AB, AC Chứng minh DE  DF Bài Cho ABC có A  90 tia phân giác B C cắt I Gọi D, E chân đường vng góc hạ từ I đến cạnh AB AC a) Biết ID  2cm Tính IE ? b) Biết ID  x  IE  2x  Tìm x ? , Bài Cho AB C gọi I giao điểm hai tia phân giác góc A góc B Qua I kẻ đường thẳng song song với BC , cắt AB M , cắt AC N Chứng minh MN  BM  CN Dạng Chứng minh đường đồng quy, điểm thẳng hàng Bài Cho tam giác ABC cân A Kẻ tia phân giác BD, CE Lấy M trung điểm BC a) Chứng minh AM tia phân giác góc BAC b) Ba đường thẳng AM, BD, CE đồng quy Bài Cho tam giác ABC , tia phân giác AD Các tia phân giác đỉnh B C cắt E Chứng minh ba điểm A, D, E thẳng hàng Bài Cho tam giác ABC cân A Gọi G trọng tâm, I điểm nằm tam giác cách ba cạnh tam giác Chứng minh ba điểm A, G, I thẳng hàng Bài Cho tam giác ABC cân A có BM , CN hai đường trung tuyến cắt điểm G a) Chứng minh rằng: AG tia phân giác góc BAC b) CMR: GM  GN c) CMR: đường thẳng AG đường trung trực đoạn thẳng MN d) CMR: đường thẳng AG đường trung trực đoạn thẳng BC e) Gọi P trung điểm BC CMR: A, G, P thẳng hàng Bài Cho tam giác ABC Phân giác góc B góc C cắt I Phân giác góc ngồi đỉnh B đỉnh C cắt J , phân giác góc ngồi đỉnh A đỉnh C cắt K , phân giác góc đỉnh A đỉnh B cắt L a) Chứng minh BIC  90  A b) Chứng minh ba điểm A, I , J thẳng hàng c) Chứng minh AJ , BK, CL cắt điểm Bài Cho tam giác ABC có A  120 Các tia phân giác góc A C cắt O , cắt cạnh BC AB D E Đường phân giác góc ngồi đỉnh B tam giác ABC cắt đường thẳng AC F Chứng minh: a) BO  BF b) BDF  ADF c) Ba điểm D, E, F thẳng hàng Dạng Đường phân giác tam giác đặc biệt (tam giác cân, tam giác đều) Bài Cho AB cân A , đường phân giác AM Gọi D điểm nằm A M C Khi BD tam giác gì? C Bài Cho tam giác MNP cân M có G trọng tâm I điểm nằm tam giác cách ba cạnh tam giác Chứng minh ba điểm M , G, I thẳng hàng Bài Tam giác ABC cân A Tia phân giác góc A cắt đường trung tuyến BD K Gọi I trung điểm AB Chứng minh ba điểm I , K ,C thẳng hàng Bài Chứng minh tam giác cân, trung điểm cạnh đáy cách hai cạnh bên Bài Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AM đường phân giác góc A Chứng minh tam giác ABC cân A Bài Cho ABC có AH  BC BAH  2C Tia phân giác góc B cắt AC E Tia phân giác góc BAH cắt BE I Chứng minh AI E tam giác vuông cân E Bài Cho tam giác ABC cân A có M trung điểm cạnh BC BD đường phân giác ( D thuộc AC ) AM BD giao điểm I a) CMR: Tia CI tia phân giác góc ACB b) CMR: Tam giác BIC tam giác cân c) Gọi E giao điểm tia CI với cạnh AB Chứng minh rằng: ED//BC d) Gọi H giao điểm AM ED CMR: H trung điểm ED e) CMR: AM  ED f) Tìm điều kiện tam giác ABC để điểm I trọng tâm G tam giác ABC trùng Dạng Chứng minh mối quan hệ góc Bài Cho tam giác ABC có ba đường phân giác cắt I Chứng minh rằng: IAB  IBC  IAC  90 Bài Cho tam giác ABC có ba đường phân giác cắt I AB  AC a) Chứng minh rằng: CBI  ACI b) So sánh IB IC Bài Cho hình vẽ a) Chứng minh ABD  ACD b) So sánh góc DBC góc DCB A B Bài Cho BIC  90  D C hai đường phân giác góc B góc C cắt I Chứng minh rằng: AB C A Bài Cho tam giác ABC có B  C Từ đỉnh A kẻ đường cao AH tia phân giác AD a) Biết B  70, C  50 , tính số đo HAD b) Chứng minh Bài Cho HAD  AB C BC tia phân giác góc B C cắt O Gọi D, E, F chân đường vng góc kẻ từ O đến BC,CA, AB  D  BC, E  AC, F  AB Tia AO cắt BC M a) Chứng minh: OD  OE  OF b) So sánh DOB MOC ? MOB DOC ? Phần III BÀI TẬP TỰ LUYỆN Dạng 1.Chứng minh đoạn thẳng nhau, góc nhau, tính độ dài đoạn thẳng, số đo góc Chứng minh đoạn thẳng nhau, góc nhau, tính độ dài đoạn thẳng, số đo góc Bài Cho hình vẽ: H giao điểm hai đường phân giác xuất phát từ N P tam giác MNP a) Chứng minh điểm H cách hai cạnh MN, MP b) Tính số đo HMN , NHP ? Bài Cho AB C vng A Các tia phân giác góc B C cắt I Gọi D, E, F hình chiếu điểm I xuống AB, AC, BC a) Chứng minh AD  AE b) Trong trường hợp ABC cân A Chứng minh DEF cân Bài Cho ABC , tia phân giác góc B góc C cắt I a) Biết A  80 , tính số đo góc BIC b) Biết BIC  120 , tính số đo góc A Bài Cho ABC có A  90 tia phân giác B C cắt I Gọi D, E chân đường vng góc hạ từ I đến cạnh AB AC a) Biết ID  3cm Tính IE ? b) Biết ID  x  IE  2x  Tìm x ? , Dạng Chứng minh đường đồng quy, điểm thẳng hàng Bài Cho hình vẽ : CMR: A, B, C thẳng hàng Bài Cho tam giác ABC cân A có BM , CN hai đường trung tuyến cắt điểm G a) Chứng minh rằng: AG tia phân giác góc BAC b) CMR: GM  GN c) CMR: đường thẳng AG đường trung trực đoạn thẳng MN d) CMR: đường thẳng AG đường trung trực đoạn thẳng BC e) Gọi P trung điểm BC CMR: A, G, P thẳng hàng Bài Cho ABC tia phân giác góc B C cắt I Các đường phân giác góc ngồi đỉnh B C cắt K Chứng minh ba điểm A, I, K thẳng hàng Bài Cho tam giác ABC có A  120 Các tia phân giác góc A C cắt O , cắt cạnh BC AB AB C D cắt đường thẳng E Đường phân giác góc ngồi đỉnh B tam giác F Chứng minh: AC a) BO  BF b) BDF  ADF c) Ba điểm D, E, F thẳng hàng Dạng Đường phân giác tam giác đặc biệt (tam giác cân, tam giác đều) Bài Chứng minh rằng: a) Trong tam giác cân, đường trung tuyến ứng với cạnh đáy đường trung trực cạnh đáy b) Nếu tam giác có đường vừa đường trung trực cạnh, vừa đường phân giác tam giác tam giác cân Bài Cho tam giác AB cân A có M C trung điểm cạnh BD BC đường phân giác ( D thuộc AC ) giao điểm I AM BD a) CMR: Tia tia phân giác ACB CI góc b) CMR: Tam giác c) Gọi E d) Gọi H BI C tam giác cân với cạnh AB Chứng minh rằng: ED giao điểm tia CI giao điểm AM ED CMR: H // BC trung điểm ED e) CMR: AM  ED f) Tìm điều kiện tam giác AB C Bài Cho tam giác BE  cân A AB C  E  AC cắt a) Chứng minh: O b) Tam giác trọng tâm tam giác AB trùng C G có đường phân giác AD  D  BC đường trung tuyến  O trọng tâm AB C để điểm I ABC cần có thêm điều kiện để giao điểm đường phân giác O tam giác ABC ? Bài Cho ABC cân A G trọng tâm tam giác, I giao điểm phân giác tam Gọi giác, K giao điểm hai đường phân giác góc ngồi đỉnh điểm B A,G, I , K thẳng hàng C Chứng minh bốn Dạng Đường phân giác tam giác đặc biệt (tam giác cân, tam giác đều) Bài Cho AB C có góc A  120 phân giác  Chứng minh DE AD, BE,CF tia phân giác góc đỉnh D ABD  Chứng minh EDF  90 Bài Cho ABC , A  120 Các tia phân giác BC; AB lần A ; C cắt O , cắt cạnh góc lượt E Đường phân giác góc ngồi đỉnh AB cắt đường thẳng F D B C AC Chứng minh:  BO  BF  BDF  ADF c) DEA  FEA  180 ... có: BAH  ABH  90 mà BAH  2C   2C  2IBH  90  C  IBH ABH  2IBH   90  C  EBH  45 Xé BE t C có AEI góc đỉnh E nên AEI  ECB  EBC  45 Xét AHB có: ABH  HAB  90  2IBA  2IAB... giác BAC (1) Phân giác góc B góc C tam giác ABC cắt I  Tia AI phân giác BAC hay điểm I thuộc tia phân giác BAC (2) Từ (1) (2)  ba điểm A, I , J ba điểm thẳng hàng c) Theo câu b ta có ba điểm...  DAC  BAC BAC  60  30 DAB  ADH  DAC  C  80 Do đó, xét AH D ta tính được: Có thể tính BAH = 90° - 70 ° = 20 ° Vậy HAD  30  20   10 b) HAD  90  HDA  90   A C  ? ?2 Bài Cho